Teste de hipóteses

Teste de hipóteses

Tiago M. Magalhães

XLVII Programa de Verão - IME-USP

São Paulo, 23 de janeiro de 2018

Roteiro

1 Teste de hipóteses

2 Valor-p

3 Principais teste de hipóteses

4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência

Roteiro

1 Teste de hipóteses

2 Valor-p

3 Principais teste de hipóteses

4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência

Teste de hipóteses

Hipótese estatística

É uma suposição que se faz quanto ao parâmetro da distribuição ou quanto a natureza da população (testes não-paramétricos).

Teste de hipóteses

Hipótese estatística

É uma suposição que se faz quanto ao parâmetro da distribuição ou quanto a natureza da população (testes não-paramétricos).

Teste de hipóteses

Hipótese estatística

É uma suposição que se faz quanto ao parâmetro da distribuição ou quanto a natureza da população (testes não-paramétricos).

Teste de hipóteses

Tipos de hipóteses







H₀: hipótese de nulidade H₁: hipótese alternativa

Teste de hipóteses

É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitarH₀, baseado nos dados amostrais.

Teste de hipóteses

Tipos de hipóteses







H₀ : hipótese de nulidade H₁ : hipótese alternativa

Teste de hipóteses

É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitarH₀, baseado nos dados amostrais.

Teste de hipóteses

Tipos de hipóteses







H₀ : hipótese de nulidade H₁ : hipótese alternativa Teste de hipóteses

É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitarH₀, baseado nos dados amostrais.

Teste de hipóteses

Tipos de hipóteses







H₀ : hipótese de nulidade H₁ : hipótese alternativa

Teste de hipóteses

É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitarH₀, baseado nos dados amostrais.

Teste de hipóteses

Tipos de hipóteses







H₀ : hipótese de nulidade H₁ : hipótese alternativa

Teste de hipóteses

É uma regra de decisão que consiste em aceitar ou rejeitarH₀, baseado nos dados amostrais.

Teste de hipóteses

Tipos de erro

Erro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H₀ quando H₀ é verdadeira.

Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmosH₀ quandoH₀é falsa.

Teste de hipóteses

Tipos de erro

Erro do tipo I (α).

Probabilidade de rejeitarmos H₀ quando H₀ é verdadeira.

Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmosH₀ quandoH₀é falsa.

Teste de hipóteses

Tipos de erro

Erro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H₀ quando H₀ é verdadeira.

Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmosH₀ quandoH₀é falsa.

Teste de hipóteses

Tipos de erro

Erro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H₀ quando H₀ é verdadeira.

Erro do tipo II (β).

Probabilidade de aceitarmosH₀ quandoH₀é falsa.

Teste de hipóteses

Tipos de erro

Erro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H₀ quando H₀ é verdadeira.

Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmosH₀ quandoH₀é falsa.

Teste de hipóteses

Tipos de erro

Erro do tipo I (α). Probabilidade de rejeitarmos H₀ quando H₀ é verdadeira.

Erro do tipo II (β). Probabilidade de aceitarmosH₀ quandoH₀é falsa.

Teste de hipóteses

Decisão

RejeitarH₀ AceitarH₀ H₀ verdade Erro do tipo I Decisão correta H₀ falsa Decisão correta Erro do tipo II

Teste de hipóteses

Decisão

RejeitarH₀ AceitarH₀ H₀ verdade Erro do tipo I Decisão correta H₀ falsa Decisão correta Erro do tipo II

Teste de hipóteses

Procedimento para a realização de um teste de hipóteses

1 Enunciar as hipótesesH₀ e H₁.

2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada ao teste (normal, t, F, χ²).

3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H₀, baseados na hi- pótese alternativa e no nível de significância.

4 Calcular a estatística do teste

Z = _σ/^X¯−µ√_n;t= _S/^X−µ¯√_n;F = ^S_S^max22 min

.

5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitarH₀, baseados em (3) e (4).

Teste de hipóteses

Procedimento para a realização de um teste de hipóteses

1 Enunciar as hipótesesH₀ eH₁.

2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada ao teste (normal, t, F, χ²).

3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H₀, baseados na hi- pótese alternativa e no nível de significância.

4 Calcular a estatística do teste

Z = _σ/^X¯−µ√_n;t= _S/^X−µ¯√_n;F = ^S_S^max22 min

.

5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitarH₀, baseados em (3) e (4).

Teste de hipóteses

Procedimento para a realização de um teste de hipóteses

1 Enunciar as hipótesesH₀ eH₁.

2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada ao teste (normal, t, F, χ²).

3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H₀, baseados na hi- pótese alternativa e no nível de significância.

4 Calcular a estatística do teste

Z = _σ/^X¯−µ√_n;t= _S/^X−µ¯√_n;F = ^S_S^max22 min

.

5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitarH₀, baseados em (3) e (4).

Teste de hipóteses

Procedimento para a realização de um teste de hipóteses

1 Enunciar as hipótesesH₀ eH₁.

2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada ao teste (normal, t, F, χ²).

3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H₀, baseados na hi- pótese alternativa e no nível de significância.

4 Calcular a estatística do teste

Z = _σ/^X¯−µ√_n;t= _S/^X−µ¯√_n;F = ^S_S^max22 min

.

5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitarH₀, baseados em (3) e (4).

Teste de hipóteses

Procedimento para a realização de um teste de hipóteses

1 Enunciar as hipótesesH₀ eH₁.

2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada ao teste (normal, t, F, χ²).

3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H₀, baseados na hi- pótese alternativa e no nível de significância.

4 Calcular a estatística do teste

Z = _σ/^X¯−µ√_n;t= _S/^X−µ¯√_n;F = ^S_S^max22 min

.

5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitarH₀, baseados em (3) e (4).

Teste de hipóteses

Procedimento para a realização de um teste de hipóteses

1 Enunciar as hipótesesH₀ eH₁.

2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada ao teste (normal, t, F, χ²).

3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H₀, baseados na hi- pótese alternativa e no nível de significância.

4 Calcular a estatística do teste

Z = _σ/^X¯−µ√_n;t= _S/^X−µ¯√_n;F = ^S_S^max22 min

.

5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitarH₀, baseados em (3) e (4).

Teste de hipóteses

Procedimento para a realização de um teste de hipóteses

1 Enunciar as hipótesesH₀ eH₁.

2 Fixar o nível de significância, α, e identificar a distribuição associada ao teste (normal, t, F, χ²).

3 Determinar as regiões de aceitação e rejeição de H₀, baseados na hi- pótese alternativa e no nível de significância.

4 Calcular a estatística do teste

Z = _σ/^X¯−µ√_n;t= _S/^X−µ¯√_n;F = ^S_S^max22 min

.

5 Conclusão: consiste em aceitar ou rejeitarH₀, baseados em (3) e (4).

Roteiro

1 Teste de hipóteses

2 Valor-p

3 Principais teste de hipóteses

4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência

Valor-p

Definição

O valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatística de teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, sob a hipótese nula.

Valor-p

Definição

O valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatística de teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, sob a hipótese nula.

Valor-p

Definição

O valor-p (ou nível descritivo) é a probabilidade de se obter uma estatística de teste igual ou mais extrema que aquela observada em uma amostra, sob a hipótese nula.

Valor-p

SejaS uma estatística do teste qualquer es o valor obtido com a amostra, o valor-p é calculado da seguinte forma:

P(S ≥s|H₀) para testes unilaterais à direita. P(S ≤s|H₀) para testes unilaterais à esquerda.

2×min{P(S ≤s|H₀), P(S ≥s|H₀)} para testes bilaterais.

Valor-p

SejaS uma estatística do teste qualquer es o valor obtido com a amostra, o valor-p é calculado da seguinte forma:

P(S ≥s|H₀) para testes unilaterais à direita.

P(S ≤s|H₀) para testes unilaterais à esquerda.

2×min{P(S ≤s|H₀), P(S ≥s|H₀)} para testes bilaterais.

Valor-p

SejaS uma estatística do teste qualquer es o valor obtido com a amostra, o valor-p é calculado da seguinte forma:

P(S ≥s|H₀) para testes unilaterais à direita.

P(S ≤s|H₀) para testes unilaterais à esquerda.

2×min{P(S ≤s|H₀), P(S ≥s|H₀)} para testes bilaterais.

Valor-p

SejaS uma estatística do teste qualquer es o valor obtido com a amostra, o valor-p é calculado da seguinte forma:

P(S ≥s|H₀) para testes unilaterais à direita.

P(S ≤s|H₀) para testes unilaterais à esquerda.

2×min{P(S ≤s|H₀), P(S ≥s|H₀)} para testes bilaterais.

Valor-p

SejaS uma estatística do teste qualquer es o valor obtido com a amostra, o valor-p é calculado da seguinte forma:

P(S ≥s|H₀) para testes unilaterais à direita.

P(S ≤s|H₀) para testes unilaterais à esquerda.

2×min{P(S ≤s|H₀), P(S ≥s|H₀)} para testes bilaterais.

Valor-p

Interpretação

Um valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor da estatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim à rejeição da hipótese nula.

Valor-p

Interpretação

Um valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor da estatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim à rejeição da hipótese nula.

Valor-p

Interpretação

Um valor-p pequeno significa que a probabilidade de obter um valor da estatística de teste como o observado é muito improvável, levando assim à rejeição da hipótese nula.

Roteiro

1 Teste de hipóteses

2 Valor-p

3 Principais teste de hipóteses

4 Teste de hipóteses para tabelas de contingência

Teste de hipóteses para média µ

1^o caso.

A variância populacional é conhecida.

1















H₀: µ=µ₀

(a)H₁: µ6=µ0 (bilateral)

(b) H₁: µ > µ0 (unilateral à direita) (c)H₁: µ < µ₀ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

Teste de hipóteses para média µ

1^o caso. A variância populacional é conhecida.

1















H₀: µ=µ₀

(a)H₁: µ6=µ0 (bilateral)

(b) H₁: µ > µ0 (unilateral à direita) (c)H₁: µ < µ₀ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

Teste de hipóteses para média µ

1^o caso. A variância populacional é conhecida.

1















H₀: µ=µ₀

(a)H₁: µ6=µ0 (bilateral)

(b) H₁: µ > µ0 (unilateral à direita) (c) H₁: µ < µ₀ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

Teste de hipóteses para média µ

1^o caso. A variância populacional é conhecida.

1















H₀: µ=µ₀

(a)H₁: µ6=µ0 (bilateral)

(b) H₁: µ > µ0 (unilateral à direita) (c) H₁: µ < µ₀ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

Teste de hipóteses para média µ

1^o caso. A variância populacional é conhecida.

1















H₀: µ=µ₀

(a)H₁: µ6=µ0 (bilateral)

(b) H₁: µ > µ0 (unilateral à direita) (c) H₁: µ < µ₀ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

Figura 1: Região crítica paraH1 (a), bilateral

Figura 2: Região crítica paraH1(b), unilateral à direita

Figura 3: Região crítica paraH1(c), unilateral à esquerda

Teste de hipóteses para média µ

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = X¯ −µ₀ σ/√

n . 5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH₀ seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Zα/2<Zc.

Teste de hipóteses para média µ

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = X¯ −µ₀ σ/√

n . 5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH₀ seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Zα/2<Zc.

Teste de hipóteses para média µ

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = X¯ −µ₀ σ/√

n .

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH₀ seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Zα/2<Zc.

Teste de hipóteses para média µ

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = X¯ −µ₀ σ/√

n . 5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH₀ seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Zα/2<Zc.

Teste de hipóteses para média µ

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = X¯ −µ₀ σ/√

n . 5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2.

(b) aceitaremosH₀ seZ_c <Z_α/2. (c) aceitaremos H0 se−Zα/2<Zc.

Teste de hipóteses para média µ

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = X¯ −µ₀ σ/√

n . 5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH0 seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremosH0 se−Zα/2<Zc.

Teste de hipóteses para média µ

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = X¯ −µ₀ σ/√

n . 5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH0 seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremosH0 se−Zα/2<Zc.

Teste de hipóteses para média µ

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = X¯ −µ₀ σ/√

n . 5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH0 seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Zα/2<Zc.

Exercício

Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrão de 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal.

Uma amostra de 40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5% que essa amostra é formada por indivíduos desse país?

Exercício

Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrão de 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de 40 indivíduos apresentou média 167cm.

Podemos afirmar ao nível de 5% que essa amostra é formada por indivíduos desse país?

Exercício

Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrão de 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de 40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5%

que essa amostra é formada por indivíduos desse país?

Exercício

Os indivíduos de um país apresentam altura média de 170cm e desvio padrão de 5cm, com a altura seguindo uma distribuição normal. Uma amostra de 40 indivíduos apresentou média 167cm. Podemos afirmar ao nível de 5%

que essa amostra é formada por indivíduos desse país?

Teste de hipóteses para média µ

2^o caso.

A variância populacional é desconhecida e n ≤30. Neste caso, a estatística do teste é dada por:

t_c= X¯ −µ₀ S/√

n .

A distribuição associada é a t-Student comn−1 graus de liberdade. Dessa forma, a região crítica para este teste é baseada na distribuição t.

Teste de hipóteses para média µ

2^o caso. A variância populacional é desconhecida e n ≤30. Neste caso, a estatística do teste é dada por:

t_c= X¯ −µ₀ S/√

n .

A distribuição associada é a t-Student comn−1 graus de liberdade. Dessa forma, a região crítica para este teste é baseada na distribuição t.

Teste de hipóteses para média µ

2^o caso. A variância populacional é desconhecida e n ≤30. Neste caso, a estatística do teste é dada por:

t_c= X¯ −µ₀ S/√

n .

A distribuição associada é a t-Student comn−1 graus de liberdade.

Dessa forma, a região crítica para este teste é baseada na distribuição t.

Teste de hipóteses para média µ

2^o caso. A variância populacional é desconhecida e n ≤30. Neste caso, a estatística do teste é dada por:

t_c= X¯ −µ₀ S/√

n .

A distribuição associada é a t-Student comn−1 graus de liberdade. Dessa forma, a região crítica para este teste é baseada na distribuição t.

Teste de hipóteses para média µ

2^o caso. A variância populacional é desconhecida e n ≤30. Neste caso, a estatística do teste é dada por:

t_c= X¯ −µ₀ S/√

n .

A distribuição associada é a t-Student comn−1 graus de liberdade. Dessa forma, a região crítica para este teste é baseada na distribuição t.

Teste de hipóteses para a proporção

1















H₀: p =p0

(a)H₁: p 6=p₀ (bilateral)

(b) H₁: p >p0 (unilateral à direita) (c)H₁: p <p₀ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

Teste de hipóteses para a proporção

1















H₀: p =p0

(a)H₁: p 6=p₀ (bilateral)

(b) H₁: p >p0 (unilateral à direita) (c)H₁: p <p₀ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

Teste de hipóteses para a proporção

1















H₀: p =p0

(a)H₁: p 6=p₀ (bilateral)

(b) H₁: p >p0 (unilateral à direita) (c)H₁: p <p₀ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

Teste de hipóteses para a proporção

1















H₀: p =p0

(a)H₁: p 6=p₀ (bilateral)

(b) H₁: p >p0 (unilateral à direita) (c)H₁: p <p₀ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

Teste de hipóteses para a proporção

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = f −p0

qp0(1−p0) n

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH0 seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Z_α/2<Zc.

Teste de hipóteses para a proporção

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = f −p0

qp0(1−p0) n

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH0 seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Z_α/2<Zc.

Teste de hipóteses para a proporção

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = f −p0

qp0(1−p0) n

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH0 seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Z_α/2<Zc.

Teste de hipóteses para a proporção

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = f −p0

qp0(1−p0) n

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2.

(b) aceitaremosH0 seZ_c <Z_α/2. (c) aceitaremos H0 se−Z_α/2<Zc.

Teste de hipóteses para a proporção

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = f −p0

qp0(1−p0) n

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH0 seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc.

Teste de hipóteses para a proporção

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = f −p0

qp0(1−p0) n

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH0 seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc.

Teste de hipóteses para a proporção

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c = f −p0

qp0(1−p0) n

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc <Z_α/2. (b) aceitaremosH0 seZ_c <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Z_α/2<Zc.

Exercício

Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos 90% do casos de alergia.

Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 150 pessoas. A um nível de significância de 1%, a afirmação do fabricante é legítima?

Exercício

Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos 90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 150 pessoas.

A um nível de significância de 1%, a afirmação do fabricante é legítima?

Exercício

Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos 90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 150 pessoas. A um nível de significância de 1%, a afirmação do fabricante é legítima?

Exercício

Um fabricante de droga medicinal afirma que ela é eficaz em pelo menos 90% do casos de alergia. Em uma amostra de 200 pacientes, a droga curou 150 pessoas. A um nível de significância de 1%, a afirmação do fabricante é legítima?

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

1^o caso.

As variâncias populacionais são conhecidas.

1















H₀ : µ1−µ2 =δ

(a)H₁ : µ₁−µ₂ 6=δ (bilateral)

(b)H₁ : µ1−µ2 > δ (unilateral à direita) (c)H₁ : µ₁−µ₂ < δ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

1^o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.

1















H₀ : µ1−µ2 =δ

(a)H₁ : µ₁−µ₂ 6=δ (bilateral)

(b)H₁ : µ1−µ2 > δ (unilateral à direita) (c)H₁ : µ₁−µ₂ < δ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

1^o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.

1















H₀ : µ1−µ2 =δ

(a)H₁ : µ₁−µ₂ 6=δ (bilateral)

(b)H₁ : µ1−µ2 > δ(unilateral à direita) (c)H₁ : µ₁−µ₂ < δ(unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

1^o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.

1















H₀ : µ1−µ2 =δ

(a)H₁ : µ₁−µ₂ 6=δ (bilateral)

(b)H₁ : µ1−µ2 > δ(unilateral à direita) (c)H₁ : µ₁−µ₂ < δ(unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

1^o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.

1















H₀ : µ1−µ2 =δ

(a)H₁ : µ₁−µ₂ 6=δ (bilateral)

(b)H₁ : µ1−µ2 > δ(unilateral à direita) (c)H₁ : µ₁−µ₂ < δ(unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

1^o caso. As variâncias populacionais são conhecidas.

1















H₀ : µ1−µ2 =δ

(a)H₁ : µ₁−µ₂ 6=δ (bilateral)

(b)H₁ : µ1−µ2 > δ(unilateral à direita) (c)H₁ : µ₁−µ₂ < δ(unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada normal padrão.

3 Região crítica: as mesmas apresentadas nas Figuras 1 a 3.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c= ( ¯X₁−X¯₂)−δ r

σ²₁ n1 +^σ

2 2

n2

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Zα/2<Z_c <Z_α/2. (b) aceitaremosH0 seZc <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Z_α/2<Zc.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c= ( ¯X₁−X¯₂)−δ r

σ²₁ n1 +^σ

2 2

n2

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Zα/2<Z_c <Z_α/2. (b) aceitaremosH0 seZc <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Z_α/2<Zc.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c= ( ¯X₁−X¯₂)−δ r

σ²₁ n1 +^σ

2 2

n2

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Zα/2<Z_c <Z_α/2. (b) aceitaremosH0 seZc <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Z_α/2<Zc.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c= ( ¯X₁−X¯₂)−δ r

σ²₁ n1 +^σ

2 2

n2

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Zα/2<Zc <Zα/2.

(b) aceitaremosH0 seZc <Z_α/2. (c) aceitaremos H0 se−Z_α/2<Zc.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c= ( ¯X₁−X¯₂)−δ r

σ²₁ n1 +^σ

2 2

n2

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Zα/2<Zc <Zα/2. (b) aceitaremosH0 seZc <Z_α/2.

(c) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c= ( ¯X₁−X¯₂)−δ r

σ²₁ n1 +^σ

2 2

n2

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Zα/2<Zc <Zα/2. (b) aceitaremosH0 seZc <Z_α/2.

(c) aceitaremosH0 se−Z_α/2<Zc.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

4. Calcular a estatística do teste:

Z_c= ( ¯X₁−X¯₂)−δ r

σ²₁ n1 +^σ

2 2

n2

.

5. Conclusão:

(a) aceitaremosH0 se−Zα/2<Zc <Zα/2. (b) aceitaremosH0 seZc <Z_α/2.

(c) aceitaremos H0 se−Z_α/2<Zc.

Exercício

Testar a hipótese da igualdade entre as médias, usando α = 4%, para o seguinte resultado amostral:

Amostra 1: n₁ = 60; X¯₁ = 5,71; σ²₁ = 43. Amostra 2: n2 = 35; X¯2 = 4,12; σ²₂ = 28.

Exercício

Testar a hipótese da igualdade entre as médias, usando α = 4%, para o seguinte resultado amostral:

Amostra 1: n₁ = 60; X¯₁ = 5,71; σ²₁ = 43.

Amostra 2: n2 = 35; X¯2 = 4,12; σ²₂ = 28.

Exercício

Testar a hipótese da igualdade entre as médias, usando α = 4%, para o seguinte resultado amostral:

Amostra 1: n₁ = 60; X¯₁ = 5,71; σ²₁ = 43.

Amostra 2: n2 = 35; X¯2 = 4,12; σ²₂ = 28.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

2^o caso.

As variâncias populacionais são desconhecidas, assumidas iguais e n1+n2 ≤30.

1















H₀ : µ1−µ2 =δ

(a)H₁ : µ₁−µ₂ 6=δ (bilateral)

(b)H₁ : µ1−µ2 > δ (unilateral à direita) (c)H₁ : µ1−µ2 < δ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada t-Student com n1+n2−2 graus de liberdade.

Teste de hipóteses para a diferença entre as médias

2^o caso. As variâncias populacionais são desconhecidas, assumidas iguais e n1+n2 ≤30.

1















H₀ : µ1−µ2 =δ

(a)H₁ : µ₁−µ₂ 6=δ (bilateral)

(b)H₁ : µ1−µ2 > δ (unilateral à direita) (c)H₁ : µ1−µ2 < δ (unilateral à esquerda)

2 Fixarα, com distribuição associada t-Student com n1+n2−2 graus de liberdade.