cm Retângulo Losango Quadrado Paralelogramo. 6. A amplitude de um ângulo interno de um polígono regular é 180 (n 2)

Tema 5 – Geometria

Linhas poligonais e polígonos. Quadriláteros. Áreas Praticar– páginas 140 a 145 1. 1.1. III e IV 1.2. II e IV 2. 2.1. I e IV 2.2. II e III 3.

3.1. B, C, D, E e F são trapézios porque são

quadri-láteros com lados paralelos.

3.2. F é um trapézio não paralelogramo, porque é

um quadrilátero que não tem dois pares de lados paralelos.

3.3. C e E são retângulos, porque são quadriláteros

com quatro ângulos retos.

3.4. D e E são losangos, porque são paralelogramos

com quatro lados geometricamente iguais.

3.5. A e G são papagaios, porque são quadriláteros

com dois pares de lados consecutivos geometrica-mente iguais e cujos lados opostos não são iguais.

3.6. E é um quadrado, porque é um paralelogramo

com quatro lados geometricamente iguais e quatro ângulos retos. 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 5. 5.1. Retângulo. 5.2. Losango. 5.3. Quadrado. 5.4. Paralelogramo.

6. A amplitude de um ângulo interno de um polígo-no regular é _ᎏ180 ×

n

(n – 2)

ᎏ, sendo n o número de lados do polígono. Assim, _ᎏ180 × 2 (2 0 0 – 2) ᎏ = ᎏ32 2 4 0 0 ᎏ = 162. Logo, a opção correta é a [C].

7.

7.1. CB^A = 180o_{– BA}^_{D, pois CBA e BAD são}

ângu-los suplementares.

Assim, CB^A = 180o_{– 50}o_{= 130}o_.

7.2. AD^C = CB^A porque ADC e CDA são ângulos

opostos de uma paralelogramo. Assim, AD^C = 130o_. 8. 8.1. A = _ᎏd × 2 D ᎏ A = _ᎏ6 × 2 10 ᎏ = 30 R.: A = 30 cm2_. 8.2. A = _ᎏd × 2 D ᎏ A = _ᎏ6 × 2 12 ᎏ = 36 R.: A = 36 cm2_. 8.3. A = _ᎏd × 2 D ᎏ A = _ᎏ4 × 2 10 ᎏ = 20 R.: A = 20 cm2_. 8.4. A = _ᎏd × 2 D ᎏ A = _ᎏ5 × 2 6 ᎏ = 15 R.: A = 15 cm2_. 3 cm 3 cm 6 cm 4 cm 4 cm 4 cm 60º 60º 4 cm 4 cm 4 cm 4 cm 5 cm 5 cm45º

9. 9.1. A = _ᎏb + 2 B ᎏ × h A = _ᎏ4 + 2 12 ᎏ × 4 = 32 R.: A = 32 cm2_. 9.2. A = _ᎏb + 2 B ᎏ × h A = _ᎏ8 + 2 12 ᎏ × 6 = 60 R.: A = 60 cm2_. 9.3. A = _ᎏb + 2 B ᎏ × h A = _ᎏ2 + 2 5 ᎏ × 3 = 10,5 R.: A = 10,5 cm2_. 9.4. A = _ᎏb + 2 B ᎏ × h A = _ᎏ2 + 2 4 ᎏ × 5 = 15 R.: A = 15 cm2_.

10. A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n – 2) × 180o_.

Neste caso, (5 – 2) × 180o_{= 3 × 180}o_{= 540}o_. Assim, α^= 540o_{– (74}o_{+ 115}o_{+ 100}o_{+ 104}o₎ ⇔ α^= 540o_{– 393}o ⇔ α^= 147o 11. 11.1. Duas diagonais. 11.2. Nove diagonais.

11.3. Não tem diagonais.

12. A opção [C] pode ser falsa. O único losango com diagonais geometricamente iguais é o quadra-do. Todos os outros losangos têm diagonais com comprimentos diferentes.

13. 13.1.

13.2. A = 6 cm × 2 cm = 12 cm2

14. A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é (n – 2) × 180o_.

14.1. A soma das amplitudes dos ângulos internos do polígono é (5 – 2) × 180o_{= 3 × 180}o_{= 540}o_.

Assim, _{x = 540}o_{– (68}o_{+ 125}o_{+ 122}o_{+ 70}o_{) =}

= 540o_{– 385}o₌

= 155o

14.2. A soma das amplitudes dos ângulos internos do polígono é (4 – 2) × 180o_{= 2 × 180}o_{= 360}o_. Assim, _{x + 2x + 90 + 90 = 360} ⇔ 3x = 180 ⇔ x = ᎏ18 3 0 ᎏ ⇔ x = 60

14.3. A amplitude de um ângulo interno de um polí-gono regular é _ᎏ180 × n (n – 2) ᎏ. Logo, _{x = ᎏ}180 9 × 7 ᎏ ⇔ x = ᎏ12 9 60 ᎏ ⇔ x = 140

14.4. Dois ângulos consecutivos de um losango são suplementares.

Logo, _{x = 180 – 48 ⇔ x = 132}

15. A amplitude de um ângulo interno de um polí-gono regular com n lados é _ᎏ(n – 2)

n × 180 ᎏ. Assim, _ᎏ(n – 2) n × 180 ᎏ = 140 ⇔ 180n – 360 = 140n ⇔ 180n – 140n = 360 ⇔ 40n = 360 ⇔ n = _ᎏ3 4 6 0 0 ᎏ ⇔ n = 9

R.: O polígono tem nove lados.

16.

16.1. Como DCB e BAD são ângulos opostos do paralelogramo, então são geometricamente iguais. Logo, DC^B = 119o_.

16.2. Como CBA e BAD são ângulos consecutivos do paralelogramo, então são suplementares.

Logo, CB^A = 180o_{– 119}o_{= 61}o_.

16.3. DC = AB = 6 cm, porque lados opostos de um

paralelogramo são geometricamente iguais.

17. Os ângulos CED e AEC são suplementares. Logo, y^= 180o_{– 120}o_{= 60}o_.

Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180o_{, então os ângulos BAD e} A

B C

DCB são ângulos opostos do paralelogramo. Logo,

são geometricamente iguais. Assim,

z

^_{= 180}o_{– 70}o_{– 60}o_{= 50}o

x

^_{= 60}o_{– z}^_{= 60}o_{+ 50}o_{= 110}o

18. Como o retângulo [ABCD] é equivalente a um losango, então têm a mesma área.

A = _ᎏd × 2 D ᎏ A = _ᎏ25 2 × 8 ᎏ = 100

Então, a área do retângulo também é 100 cm2_.

Como A = b × h, temos: 100 = 10 × AD ⇔ AD = 10 R.: AD = 10 cm.

19.

19.1. No grupo 1 estão os quadriláteros com quatro ângulos retos.

19.2. No grupo 2 estão os restantes quadriláteros. Os polígonos do grupo I são retângulos.

20.

20.1. A soma das amplitudes dos ângulos internos de um polígono convexo é (n – 2) × 180o_. Assim, (n – 2) × 180o_{= 4140 ⇔ n – 2 = ᎏ}4 1 1 8 4 0 0 ᎏ ⇔ n – 2 = 23 ⇔ n = 23 + 2 ⇔ n = 25 R.: O polígono tem 25 lados.

20.2. n – 3 = 25 – 3 = 22

R.: Podem ser traçadas 22 diagonais.

21.CB = ᎏ 2 3 ᎏ AD ⇔ BC = ᎏ 2 3 ᎏ × 4 ⇔ BC = 6 cm A_[ABCD]= × DE A_[ABCD]= _ᎏ4 + 2 6 ᎏ × 5 = 5 × 5 = 25 R.: A_[ABCD]= 25 cm2_. 22. A_[BCDE]= 16 ⇔ × CF = 16 Como DC = AB, temos: × 4 = 16 ⇔ _ᎏ3 3ᎏ AB + ᎏ 1 3ᎏ AB = ᎏ 16 4 × 2 ᎏ ⇔ _ᎏ4 3ᎏ AB = 8 ⇔ AB = ᎏ8 × 4 3 ᎏ ⇔ AB = 6 A_[ABCD]= AD × CF A_[ABCD]= 6 cm × 4 cm = 24 cm2

23. Como o polígono foi dividido em cinco triângu-los, o número de lados é 5 + 2 = 7.

Logo, é um heptágono.

24. Não concordo com o João. Os únicos paralelo-gramos cujas diagonais são perpendiculares são o quadrado e o losango. 25. A_trapézio= _ᎏb + 2 B ᎏ × h A_trapézio= × 10 = _ᎏ1 2 2 ᎏ × 10 = 6 × 10 = 60 R.: A_[ABCD]= 60 cm2_. 26. EC^D = _ᎏ18 3 0o

ᎏ = 60o_{, porque [CED] é um}

triângu-lo equilátero e a soma das amplitudes dos ângutriângu-los internos de um triângulo é 180o_.

BC^F = 360o_{– 90}o_{– 90}o_{– 60}o_{= 120}o

A soma das amplitudes dos ângulos internos do polí-gono [BHIFC] é (5 – 2) × 180o_{= 3 × 180}o_{= 540}o_.

Assim, o^= 540o_{– 79}o_{– 87}o_{– 129}o_{– 120}o _{= 125}o_.

27. A afirmação é falsa. O retângulo é um quadrilá-tero com quatro ângulos retos e não é regular.

28.

28.1. AB = AE porque [AB] e [AE] são raios da

mesma circunferência de centro A.

B C + AD ᎏᎏ 2 DC + EB ᎏ 2 A B + ᎏ1 3ᎏ AB ᎏᎏ 2 A B + DC ᎏᎏ 2 = _ᎏAH × 10 2

28.2. Como AEB e EAD são ângulos agudos de lados paralelos, então AE^B = EA^D = 56o_.

28.3. Como o triângulo [ABE] é isósceles, (AB = AE), então AE^B = EB^A.

Como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180o_{, BA}^_{E = 180}o_{– 56}o_{– 56}o_{= 68}o_.

29. Como o polígono [ABCDE] é um pentágono regular, então α^= 540o_{: 5 = 108}o_.

Considerando o triângulo [BAF], temos:

FA^B = AB^F = 180o_{– 108}o_{= 72}o

Logo, como a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é 180o_{, então,}

β^= BF^A = 180o_{– 72}o_{– 72}o_{= 36}o_.

R.: α^= 108o_{e β}^_{= 36}o_.

Circunferência e semelhança Praticar– páginas 148 a 153

1.

1.1. Aplicando o Teorema de Tales, =

⇔ AC = 8

Como AB = AC – BC, então AB = 8 – 4 = 4. R.: AB = 4 cm.

1.2. Aplicando o Teorema de Tales, =

⇔ AB = 10 R.: AB = 10 cm.

2. Aplicando o Teorema de Tales, ᎏ1 1 0 5 ᎏ = ᎏ8 xᎏ ⇔ x = ᎏ 8 × 10 15 ᎏ ⇔ x = 12 R.: _{x = 12 cm.}

3. As figuras A e B são semelhantes à figura dada. A figura A é geometricamente igual e a figura B é uma ampliação.

4. Retângulo C: razão de semelhança _ᎏ1 2ᎏ. Retângulo F: razão de semelhança 1.

5. A opção correta é a [A].

6.

6.1. Utilizando, por exemplo, o critério LLL, temos: = = Assim, _ᎏ1 1 0 5 ᎏ = ᎏ6 9ᎏ = ᎏ1 8 2 ᎏ ⇔ ᎏ2 3ᎏ = ᎏ 2 3ᎏ = ᎏ 2 3ᎏ. Verdadeiro. Os triângulos [DEF] e [IHJ] são semelhantes, pelo critério LLL.

6.1. Utilizando o critério LAL, temos: • AC^B = DE^F • = , ou seja, _ᎏ6 4ᎏ = ᎏ 1 8 2 ᎏ ⇔ ᎏ3 2ᎏ = ᎏ 3 2ᎏ Verdadeiro. Os triângulos [ABC] e [DEF] são semelhantes pelo critério LAL.

6.3. Utilizando o critério AA, temos: • GI^H = 180o_{– 50}o_{– 58}o_{= 72}o_.

• YX^Z = 180o_{– 72}o_{– 52}o_{= 58}o_.

Assim, H^= X^e G^= J^.

Os triângulos [GHI] e [JXY] são semelhantes pelo critério AA.

6.4. Utilizando o critério LAL, temos: • TR^S = VU^K = 90o • = , ou seja, _ᎏ1 1 2 6 ᎏ = ᎏ3 4ᎏ ⇔ ᎏ 3 4ᎏ = ᎏ 3 4ᎏ Verdadeiro. Os triângulos [STR] e [KUV] são semelhantes pelo critério LAL.

7.

7.1. Os triângulos [ABC] e [BCD] são semelhantes pelo critério AA de semelhança de triângulos (CD^A = BD^C e CBA é comum aos dois triângulos).

Assim, os comprimentos dos lados correspondentes dos triângulos são diretamente proporcionais, ou seja, = . ᎏ5 3ᎏ = ᎏ 3 xᎏ ⇔ x = ᎏ 9 5ᎏ ⇔ x = 1,80 C E ᎏ C D A C ᎏ B C A E ᎏ CE A B ᎏ C D F E ᎏ I J DE ᎏ HI DF ᎏ HJ A C ᎏ DF C B ᎏ F E T R ᎏ K U R S ᎏ U V A C ᎏ B C B C ᎏ DC Assim, = _ᎏ6 3ᎏ ⇔ AC = ᎏ 4 × 3 6 ᎏ A C ᎏ 4 Assim, = _ᎏ8 4ᎏ ⇔ AB = ᎏ 8 × 4 5 ᎏ A B ᎏ 5

7.2. Os triângulos [ABC] e [ABD] são semelhantes pelo critério AA (AD^B = CB^A e BA^D = BA^C). Então,

os comprimentos dos lados correspondentes dos triângulos são diretamente proporcionais, ou seja,

= ᎏ 1 8 7 ᎏ = ᎏ 1 x 5 ᎏ ⇔ x ≈ 7,06 8. = _ᎏ2 3ᎏ 9.

9.1. Como a soma das amplitudes dos ângulos inter-nos de um triângulo é 180o_{, então}

LM^N = 180o_{– 102}o_{– 48}o_{= 30}o_.

O ângulo com maior amplitude é NL^M e como num

triângulo ao ângulo de maior amplitude opõe-se o lado de maior comprimento, concluímos que o lado [MN] é o lado maior do triângulo [MNL].

9.2. Os triângulos são semelhantes, pelo critério AA de semelhança de triângulos:

FE^G = NL^M = 102o_{e GF}^_{E = LM}^_{N = 30}o

9.3. Como os triângulos são semelhantes e [MNL] é uma ampliação de [GEF], a razão de semelhança é

r = = _ᎏ5 3ᎏ.

Assim, como a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança, _ᎏA A [ [ M EF N G L ] ] ᎏ = r2_{, ou seja,} ᎏA[M 2 N ,5 L] ᎏ =



ᎏ5 3ᎏ



2 ⇔ A_[MNL]= _ᎏ2 9 5 ᎏ × ᎏ2 1 5 0 ᎏ ⇔ A_[MNL]= _ᎏ1 1 2 8 5 ᎏ ⇔ A_[MNL]≈ 7 R.: A_[MNL]≈ 7 cm2_. 10.

10.1. Como as retas r e s são paralelas, podemos aplicar o Teorema de Tales.

Assim, = , ou seja, _ᎏ 8 x ᎏ = ᎏ2 6 4 ᎏ ⇔ x = ᎏ24 6 × 8 ᎏ = 32 R.: _{x = 32 cm.}

10.2. Como as retas r e s são paralelas, podemos aplicar o Teorema de Tales.

Assim, = , ou seja, _ᎏ 1 x 6 ᎏ = ᎏ3 2 0 0 ᎏ ⇔ x = ᎏ16 2 × 0 30 ᎏ ⇔ x = 24 R.: _{x = 24 cm.}

11. Se as retas DE e BC forem paralelas, então, pelo Teorema de Tales, = . Como _ᎏ1 4 1 2 2 ᎏ ≠ ᎏ9 3 6 2

ᎏ podemos concluir que as retas não são paralelas.

12. [A]Todos os círculos são semelhantes, sendo a razão de semelhança igual à razão entre os compri-mentos dos raios.

A opção [B]não é a correta. Se dois círculos tiverem raios diferentes os círculos não são geometricamen-te iguais.

A opção [C]não é a correta. Se dois círculos tiverem raios diferentes, eles têm áreas diferentes e, portan-to, não são equivalentes.

A opção [D]também não é correta. Os círculos não são polígonos porque não são formados por linhas poligonais fechadas.

Logo, a opção correta é a [A].

12.

13.1 =

13.2 =

14. Como os triângulos são semelhantes, a razão de semelhança é r = _ᎏ5 1 1 7 ᎏ. P_[ABC]= 12 + 14 + 17 = 43

Como a razão dos perímetros é igual à razão de semelhança, então, _ᎏ P P [ [ A T B V C J] ] ᎏ = ᎏ5 1 1 7 ᎏ. Logo, P_[TVJ]= _ᎏ5 1 1 7 ᎏ × 43 ⇔ P[TVJ]= 129. R.: P_[TVJ]= 129 u.c. A B ᎏ A C B D ᎏ B C F ’A’ ᎏ F A MN ᎏ F Q J L ᎏ J M K J ᎏ J I HF ᎏ E H G D ᎏ E G A D ᎏ D B A E ᎏ C D A B ᎏ A C A D ᎏ A B A D ᎏ DC B D ᎏ A B

15. Os triângulos [ABC] e [EDC] são semelhantes pelo critério AA de semelhança de triângulos:

CB^A = ED^C = 90o _{e AC}^_{B = DC}^_{E (ângulo comum).}

16.

16.1. Como os triângulos [ABC] e [PQR] são seme-lhantes, os ângulos correspondentes têm a mesma amplitude. Então, RP^Q = CA^B = 16o_.

16.2. Como os triângulos [ABC] e [PQR] são seme-lhantes os comprimentos dos lados correspondentes são diretamente proporcionais, ou seja,

= .

⇔ PQ = 4,5 cm

16.3. A razão de semelhança entre [ABC] e [PQR]

r = = _ᎏ1 7

4 ᎏ = 2.

Como a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança, temos ᎏ A A [ [ P A Q BC R ] ] ᎏ = r2_{, ou seja, ᎏ}A[AB 7 C] ᎏ = 22 _{⇔ A} [ABC]= 28. R.: A_[ABC]= 28 cm2_. 17.

17.1. Os triângulos [CDF] e [ABC] são semelhantes, pelo critério AA:

CF^D = CB^A e FD^C = BA^C (ângulos de lados

parale-los).

17.2. A_[AFDE]= EB × BF.

Os triângulos [AED] e [ABC] são semelhantes, pelo critério AA (DE^A = CB^A e o ângulo BAC é comum

aos dois triângulos). Assim, = ⇔ _ᎏ6 2ᎏ = ⇔ BF = ᎏ2 × 6 4 ᎏ ⇔ BF = ᎏ4 3ᎏ Logo, A_[AFDE]= 4 cm ×_ᎏ4 3ᎏ cm = ᎏ 1 3 6 ᎏ cm2_. 18.

18.1. Como a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança, temos:

ᎏ A A [ [ A A B E C FG D ] ] ᎏ = r2_{, ou seja, =}



ᎏ3 2ᎏ



2 ⇔ A_[ABCD]= _ᎏ8 4 1 ᎏ : ᎏ9 4ᎏ ⇔ A_[ABCD]= _ᎏ8 4 1 ᎏ × ᎏ4 9ᎏ ⇔ A_[ABCD]= 9 R.: A_[ABCD]= 9 u.a.

18.2. Como a razão entre os perímetros é igual à razão de semelhança, temos

ᎏ P P [ [ A A B E C FG D ] ] ᎏ = r, ou seja, ᎏP[AE 1 F 8 G] ᎏ = ᎏ3 2ᎏ ⇔ P_[AEFG]= _ᎏ18 2 × 3 ᎏ ⇔ P = 27 R.: P = 27 u.c. 19.

Os triângulos [ATC] e [ATB] são semelhantes pelo critério AA: TA^C = AB^T = 90o_{e CT}^_{A = BT}^_{A (ângulo}

comum). Assim, _ᎏ 2 7 5 ᎏ = . Logo, AB ᎏ7 × 25 24 ᎏ = 6,72.

20. Pelo teorema de Tales as retas r e s são paralelas se: ᎏ8 6ᎏ = ⇔ ᎏ 4 3ᎏ = ᎏ 2 3 0 ᎏ × ᎏ1 5ᎏ ⇔ _ᎏ4 3ᎏ = ᎏ 4 3ᎏ Verdadeiro. Logo, a afirmação é verdadeira.

21. Como TP = 2 × BA, então TR = 2 × BC e P R = 2 × AC. A C ᎏ P R A B ᎏ P Q A C ᎏ P R AB ᎏ A E B C ᎏ B F 4 ᎏ B F ᎏ8 4 1 ᎏ ᎏ A_[ABCD] A B ᎏ 24 ᎏ2 3 0 ᎏ ᎏ 5 Assim, _ᎏ1 7 4 ᎏ = ⇔ QP = ᎏ7 1 × 4 9 ᎏ 9 ᎏ P Q A B 24 7 25 T C

22.

22.1. Método a homotetia.

22.2. a) D’B^’A’ = 60o_{, porque é o ângulo}

correspon-dente ao ângulo DBA.

b) Se DA’ = ᎏ1

3ᎏ OA, então a razão de semelhança é igual a _ᎏ1

3ᎏ, considerando uma redução.

Como a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança, temos: ᎏA A [A [A ’B B ’C C ’ D D ] ’] ᎏ =22_{, ou seja ᎏ}A[A’B 9 ’C 0 ’D’] ᎏ =



ᎏ1 3ᎏ



2 ⇔ A_{[A’B’C’D’]}= _ᎏ1 9ᎏ × 90 ⇔ A_{[A’B’C’D’]}= 10 R.: A_{[A’B’C’D’]}= 10 cm2_. 23.

23.1. Os triângulos [ABC] e [AFE] são semelhantes pelo critério AA: CB^A = AE^F = 90o _{e BA}^_{C = FA}^_E

(ângulo comum aos dois triângulos).

23.2. A_[BCEF]= A_[ABC]– A_[AFE]

A_[ABC]=

A_[ABC]= _ᎏ3 × 2

4 ᎏ = 6

Como os triângulos são semelhantes, os comprimen-tos dos lados correspondentes são diretamente pro-porcionais. Assim, = , ou seja = _ᎏ2 4 ,5 ᎏ ⇔ FE = ᎏ2,5 4 × 3 ᎏ ⇔ FE = 1,875 A_[AFE]= A_[AFE]= _ᎏ2,5 × 2 1,875 ᎏ = 2,34375 A_[BCEF]= 6 – 2,34375 ≈ 3,66 R.: A_[BCEF]≈ 3,66 cm2

24. Como a razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança, temos _ᎏA

A 1 2 ᎏ = r2_{, ou seja,} ᎏ1 A 4 2 4 ᎏ = 42 _{⇔ A} 2= ᎏ 1 1 4 6 4 ᎏ ⇔ A2= 9 Como A = _艎2_{, então A} 2= 9 ⇔ 艎2= 9 ⇔ 艎 = 3 Logo, P = 4 × 3 = 12. R.: P = 12 cm. 25.

25.1. Os triângulos [ABC] e [AMN] são semelhantes pelo critério AA: BA^C = MA^N (ângulo comum) e CB^A = NM^A (ângulos agudos de lados paralelos).

25.2. Como os triângulos são semelhantes e a razão das áreas é o quadrado da razão de semelhança, temos _ᎏ A A [ [ A A M BC N ] ] ᎏ = r2_.

Assim, como A_[AMN]= A_trapézioe, A_[ABC]= 2 × A_[AMN], então _ᎏ2 × A_[ A AM [A N M ] N] ᎏ = r2 _{⇔ r}2_{= 2} ⇔ r = ± 2. Logo, r = 2.

Como os triângulos são semelhantes:

= r, ou seja, = 2 ⇔ BC = 102. R.: BC = 102cm.

26.

Considerando os pontos E e F da figura, os triângu-los [BCD] e [BFE] são semelhantes pelo critério AA:

BE^F = BD^C = 90o_{e FB}^_{E = CB}^_{D (ângulo comum).} Então, = , ou seja, = . Como EF = 2 × DE, temos: = ⇔ 8(2 – DE) = 2 × 2DE B C × AB ᎏᎏ 2 F E ᎏ B C AE ᎏ A B F E ᎏ 3 A E × FE ᎏ 2 B C ᎏ MN B C ᎏ 10 C D ᎏ E F DB ᎏ E B 8 ᎏ E F 2 ᎏᎏ 2 – DE 2 ᎏᎏ 2 – DE 8 ᎏ 2DE T R P A C B y x A O B C -2 2 2

⇔ 15 – 8DE = 4DE ⇔ –8DE – 4DE = –16 ⇔ 12DE = 16 ⇔ DE = ᎏ4 3ᎏ DE = ᎏ4 3ᎏ então EF = ᎏ 4 3ᎏ × 2 = ᎏ 8 3ᎏ Logo, a opção correta é a [C].

Teorema de Pitágoras Praticar– páginas 156 a 161

1.

1.1. Pelo teorema de Pitágoras

x2_{= 7}2_{+ 10}2 ⇔ x2= 49 + 100 ⇔ x2= 149 ⇔ x = ± 149 ⇔x = 149 R.: _{x =} 149m

1.2. Pelo teorema de Pitágoras

x2_{= 4}2_{+ 4}2 ⇔ x2= 16 + 16 ⇔ x2= 32 ⇔ x = ± 32 ⇔x = 32 ⇔ x = 42 R.: _{x = 4}2m

1.3. Pelo teorema de Pitágoras 42_{= x}2_{+ 1}2 ⇔ x2= 16 – 1 ⇔ x2= 15 ⇔ x = ± 15 ⇔x = 15 R.: _{x =} 15m

1.4. Pelo teorema de Pitágoras

(

244

)

2_{= x}2_{+ 12}2 ⇔ x2= 244 – 144 ⇔ x2= 100 ⇔ x = ± 100 ⇔x = 10 R.: _{x = 10 dm}

1.5. Pelo teorema de Pitágoras 82_{= 5}2_{+ x}2 ⇔ x2= 64 – 25 ⇔ x2= 39 ⇔ x = ± 39 ⇔x = 39 R.: _{x =} 39mm

1.6. Pelo teorema de Pitágoras 62_{= 5}2_{+ x}2 ⇔ x2_{= 36 – 25} ⇔ x2_{= 11} ⇔ x = ± 11 ⇔x = 11 R.: _{x =} 11cm

2. A opção [A]não é a correta pois 522_{= 46}2_{+ 20}2

⇔ 2704 = 2116 + 400 ⇔ 2704 = 2516

A opção [B] não representa um termo pitagórico porque 522_{= 18}2_{+ 46}2

⇔ 2704 = 324 + 2116 ⇔ 2704 = 2440 Falso

A opção [C]é a correta pois 522_{= 48}2_{+ 20}2

⇔ 2704 + 400

⇔ 2704 = 2704 Verdadeiro

A opção [D]não é a correta pois 522_{= 48}2_{+ 18}2

⇔ 2704 = 2304 + 324 ⇔ 2704 = 2628 falso

Logo, a opção correta é a [C].

3.

3.1. D = 32₊₆2₊₄2

⇔ D = 9+36+16 ⇔ D = 61cm

3.2. Pelo teorema de Pitágoras

d2_{= 6}2_{+ 3}2 ⇔ d2_{= 36 + 9} ⇔ d2_{= 45} ⇔ d = ± 45 ⇔ d = 45 ⇔ d = 35 R.: d = 35cm

4. O triângulo é retângulo se verificar o teorema de Pigágoras.

A

B = 18 mm

B

C = 8 cm = 80 mm

AC = 0,82 dm = 82 mm (lados de maior

compri-mento)

A

C2_{= A}B2_{+ B}C2 _{⇔ 82}2_{= 18}2_{+ 80}2

⇔ 6724 = 324 + 6400 ⇔ 6724 = 6724 Verdade

5.

Pelo teorema de Pitágoras AB2_{+ A}C2_{+ C}B2_{. Assim,}

A B2_{= 2}2_{+ 4}2 ⇔ AB2_{= 4 + 6} ⇔ AB2_{= 20} ⇔ AB = ± 20 ⇔ AB = 20 ⇔ AB = 25

6. O triângulo [ABC] é retângulo em B e AB = BC. Pelo teorema de Pitágoras AC2_{= A}B2_{+ B}C2_{. Assim,}

(

50

)

2_{= x}2_{+ x}2 ⇔ 50 = 2x2 ⇔ x2_{= 25} ⇔ x = ± 25 ⇔ x = 5 B E = 5 m e BD = 2 × 5 cm = 10 cm A_[BEFD]= 5 × 10 = 50 R.: A_[BEFD]= 50 cm2 7. A_[ACGF]= 25 ⇔ FA = 25⇔ FA = 5 cm Pelo teorema de Pitágoras,

A B2_{= 5}2_{+ 12}2 ⇔ AB2_{= 25 + 144} ⇔ AB2_{= 169} ⇔ AB = ± 169 ⇔ AB = 169 ⇔ AB = 13 P_[ACBDE]= 5 + 12 + 3 × 13 = 56 R.: P_[ACBDE]= 56 cm. 8. A = 225 ⇔ _{艎 =} 225 ⇔ _{艎 = 25} Pelo teorema de Pitágoras,

d2_{= 15}2_{+ 15}2

⇔ d2_{= 2 × 225}

⇔ d2_{= 450}

⇔ d = ± 450 ⇔ d = 152

R.: A diagonal do quadrado tem 152cm.

9. Pelo teorema de Pitágoras, CE2_{= B}C2_{+ B}C2

102_{= B}C2_{+ 8}2 ⇔ CB2_{= 100 – 64} ⇔ CB2_{= 34} ⇔ CB = ± 36 ⇔ CB 6 A_[ABCD]= BC2_{= 6}2_{= 36} R.: A_[ABCD]= 36 cm2 10.

10.1. Sabemos que P_[ABCD]= 13 + 41. Então, 13 + 41= AB + BC + AC + DA ⇔ 13 + 41= 5 + 5 + 3 + DA

⇔ DA = 41 R.: DA = 41cm

10.2. Como DB^A = 90o_{, segundo o teorema de}

Pitá-goras, temos AD2_{= A}B2_{+ B}D2_. Assim,

(

41

)

2_{= 5}2_{+ B}D2 ⇔ BD2= 41 – 25 ⇔ BD2= 16 ⇔ BD = ± 16 ⇔ BD = 4 cm O triângulo [BDC] é retângulo se BC2_{+ B}D2_{+ C}D2_, ou seja, 52_{= 4}2_{+ 3}2 _{⇔ 25 = 16 + 9 verdade}

11. O triângulo retângulo é o que verifica o teorema de Pitágoras. [A]62_{= 3}2_{+ 4}2 _{⇔ 36 = 9 + 16 ⇔ 36 = 25 falso} [B]

(

90

)

2_{= 7}2_{+ 7}2 _{⇔ 90 = 49 + 49 ⇔ 90 = 98} falso [C]

(

42

)

2₌

₍

₅

₎

2₊

₍

₃₇

₎

2 ⇔ 42 = 5 + 37 ⇔ 42 = 42 verdadeiro [D]102_{= 6}2_{+ 4}2 _{⇔ 100 = 36 + 16 ⇔ 100 = 52} falso

Logo, a opção correta é a [C].

12.

Pelo teorem de Pitágoras, x2_{= 10}2_{+ 40}2

⇔ x2= 100 + 1600 ⇔ x2= 1700 ⇔ x = ± 1700 ⇔ x = 1700 3 ×1700≈ 124

R.: Aproximadamente 124 milhões de euros.

A B C y x O ₁ 1 2 2 3 3 4 5 A 10 40 x D

13. A_[ABCD]= 225 ⇔ CD = 225 ⇔ CD = 15 cm Então, DE = 2 × CD = 2 × 15 = 30 cm.

Pelo teorema de Pitágoras, DE2_{= D}F2_{+ E}F2_.

302_{= x}2_{+ x}2 ⇔ 900 = 2x2 ⇔ x2= _ᎏ90 2 0 ᎏ ⇔ x2_{= 450} ⇔ x = ± 450 ⇔ x = 450 Logo, A =

(

450

)

2_{= 450.} R.: A = 450 cm2_. 14.

Pelo teorema de Pitágoras, 42_{= h}2_{+ 1}2

⇔ h2_{= 16 – 1} ⇔ h = ± 15 ⇔ h = 15 Área do trapézio A = _ᎏ4 + 2 6 ᎏ ×15= 515cm2 15.

15.1. AC = AD e como o triângulo [ABC] é

isósce-les, AB = BC.

Pelo teorema de Pitágoras

A C2_{= 3}2_{+ 3}2 ⇔ AC2= 9 + 9 ⇔ AC = ± 18 ⇔ AC = 32 A D = 32 D 哭 –1 + 32 15.2.–1 + 32≈ 3,24 3 < –1 32< 3,4 16.

Cada degrau forma um triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras, x2_{= 4}2_{+ 3}2 ⇔ x2= 16 + 9 ⇔ x2= 25 ⇔ x = ± 25 ⇔ x = 5 cm

Pelo teorema de Pitágoras,

y2_{= 25}2_{– 20}2 ⇔ y2_{= 625 – 400} ⇔ y = ± 225 ⇔ y = 15 Como 15 + 3 = 18 e 18 dm = 1,8 m, a altura do palco é 1,8 m.

17. A área do semicírculo é igual a _ᎏπ 2 r2 ᎏ. Assim, _ᎏπ 2 r2 ᎏ = ᎏ9 8 π ᎏ ⇔ r2= _ᎏ1 8 8 ᎏ ⇔ r2= _ᎏ9 4ᎏ ⇔ r =

_ᎏ9 4ᎏ



⇔ r = _ᎏ3 2ᎏ cm Então, AB = 2 × r = 2 × ᎏ3 2ᎏ = 3 cm

Determinemos a altura do triângulo [ABC], pelo teo-rema de Pitágoras: 22_{= x}2₊



ᎏ3 2ᎏ



2 ⇔ x2= 4 – _ᎏ9 4ᎏ ⇔ x2= _ᎏ7 4ᎏ ⇔ x = ±

_ᎏ7 4ᎏ



⇔ x = A_[ABC]= _ᎏb 2 ×h ᎏ Logo, A_[ABC]= = _ᎏ3 4ᎏ7 Logo, A_total= A_semicírculo+ A_triângulo

7 ᎏ 2 3 ×_ᎏ 2 7  ᎏ ᎏᎏ 2 4 cm 4 cm 1 1 D A B C 3 4 5 x 5 = 25 dm 20 dm 3 4 5 x 5 = 25 dm 20 dm A C ₃ B 2 2

A_total= _ᎏ9 8 π ᎏ + ᎏ3 4ᎏ7≈ 5,52 R.: A = 5,52 cm2_.

18. A área do círculo é 4π cm2_{. Logo,}

πr2_{= 4π} ⇔ r2_{= 4} ⇔ r = 4 ⇔ r = 2 Então, AC = 2 cm. C

D = AC = 2 cm e, como B é o ponto médio de [AC], BC = 1 cm.

Pelo teorema de Pitágoras 22_{= 1}2_{+ B}D2 ⇔ BD2_{= 4 – 1} ⇔ BD = ± 3 ⇔ BD = 3 R.: BD = 3cm. 19. Como AD = AB, então AB = 8 cm.

Pelo teorema de Pitágoras, AC2_{= A}B2_{+ B}C2_.

Assim, AC2_{= 8}2_{+ 15} ⇔ AC2_{= 64 + 225} ⇔ AC = ± 289 ⇔ AC = 17 P_[ABC]= 8 + 15 + 17 = 40 R.: P_[ABC]= 40 cm. 20.

Pelo teorema de Pitágoras

x2_{= 9}2_{+ 12}2 ⇔ x2_{= 81 + 124} ⇔ x2_{= 225} ⇔ x = ± 225 ⇔ x = 225 ⇔ x = 15 R.: A corda tem 15 cm. 21.

21.1. Como o triângulo [ABC] é isósceles, AB = BC. Pelo teorema de Pitágoras,

A

C2_{= 3}2_{+ 3}2

⇔ AC2_{= 18}

⇔ AC = ± 18 ⇔ AC = 18

Como o triângulo [ACD] é isósceles, AC = CD, e, pelo teorema de Pitágoras, AD2_{= A}C2_{+ D}C2_.

A

D2₌

₍

₁₈

₎

2₊

₍

₁₈

₎

2

⇔ AD2_{= 36}

⇔ AD = 36 ⇔ AD = 6

Como AD = AE = 6, então a abcissa do ponto E é –6 é a abcissa do ponto F é 6. 21.2. A_[ABC]= A_[ABC]= _ᎏ3 × 2 3 ᎏ = ᎏ9 2ᎏ A_[ABC]= = _ᎏ1 2 8 ᎏ = 9

Logo, A_[ABCD]= A_[ABC]+ A_[ACD], ou seja,

A_[ABCD]= _ᎏ9 2ᎏ + 9 = ᎏ 2 2 7 ᎏ = 13,5 R: A_[ABCD]= 13,5 u.a.

22. Pelo teorema de Pitágoras, AC2_{= A}B2_{+ B}C2_.

Assim, AC2_{= 16}2_{+ 8}2 ⇔ AC2= 256 + 64 ⇔ AC2= 320 ⇔ AC = ± 320 ⇔ AC = 320 ⇔ AC = 85

Área do semicírculo, cujo raio é r = = 45: ᎏπ × 2 r2 ᎏ = = _ᎏ80 2 π ᎏ = 40π

Área do triângulo [ADC]:

A = _ᎏb × 2 h ᎏ 18×18 ᎏᎏᎏ 2 A B × BC ᎏᎏ 2 85 ᎏ 2 π × (45)2 ᎏᎏ 2 C B D 1 ₂ 12 9 320 160 80 40 20 10 5 1 2 2 2 2 2 2 5

A = _ᎏ8 × 2 16 ᎏ = ᎏ12 2 8 ᎏ = 64

Logo, A_colorida= A_semicírculo– A_[ADC].

A_colorida= (40π – 64) cm2_{≈ 61,7 cm}2

23. V = AB × BC × BF A

B = DC = 4 cm

Pelo teorema de Pitágoras, HB2_{= H}F2_{+ B}F2_.

Assim, 62_{= H}F2₊

₍

₁₁

₎

2 ⇔ HF2= 36 – 11 ⇔ HF2= 25 ⇔ HF = ± 25 ⇔ HF = 25 ⇔ HF = 5

Pelo teorema de Pitágoras, HF2_{= H}G2_{+ F}G2_.

Assim, 52_{= 4}2_{+ F}G2 ⇔ FG2= 25 – 16 ⇔ FG2= 9 ⇔ FG = ± 9 ⇔ FG = 3 Como BC = FG, então V = 4 ×11× 3 = 1211cm3_. 24. Seja a a medida do lado do triângulo.

Comemos por determinar a altrua do triângulo recor-rendo ao teorema de Pitágoras.

x2_{= a}2_–



ᎏa 2ᎏ



2 ⇔ x2_{= ᎏ}4 4ᎏ a 2_{– ᎏ}a 4 2 ᎏ ⇔ x2_{= ᎏ}3 4ᎏ a 2 ⇔ x = ±

_ᎏ3 4ᎏ





a2



⇔ x = a Como A = 575e A = _ᎏb × 2 h ᎏ, temos: = 575 ⇔ a2= ⇔ a2= 20

_ᎏ7 3



5 ᎏ



⇔ a2_{= 20}₂₅ ⇔ a2_{= 20 × 5} ⇔ a2_{= 100} ⇔ a = ± 100 ⇔ a = 10 cm Logo, P = 3 × 10 = 30 R.: P = 30 cm

25. Como a área do quadrado [ABCD] é 144 cm2_,

então AB = 144= 12 cm.

Como a área do quadrado [BEFG] é 81 cm2_{, então}

B

E = 81= 9 cm.

Vamos determinar DM e MF, utilizando o teorema de Pitágoras. DM2_{= A}M2_{+ A}D2 ⇔ DM2_{= 6}2_{+ 12}2 ⇔ DM2₌ ₁₈₀_e MF2_{= F}E2_{+ M}E2 ⇔ MF2_{= 9}2_{+ (9 + 6)}2 ⇔ MF2_{= 306} ⇔ MF = 306 Consideremos a figura: [HDF] é um triângulo retângulo. Então, DF2_{= H}D2_{+ H}F2_{, ou seja,} DF2_{= (12 – 9)}2_{+ (12 + 9)}2 ⇔ DF2_{= 9 + 441} ⇔ DF = 450

Vamos verificar se o triângulo [MDF] é retângulo.

DF2_{= D}M2_{+ M}F2_{, ou seja,}

(

450

)

2₌

₍

₁₈₀

₎

2₊

₍

₃₀₆

₎

2

⇔ 450 = 486 Falso.

Logo, como o triângulo [DMF] não é retângulo, o ângulo FMD não é reto.

26. 3 ᎏ 2 ᎏ 2 3  ᎏa × a ᎏᎏ 2 20 75 ᎏᎏ 3 2 a a ⇔ 3 a2_{= 10}₇₅ ᎏ 2 A M B H C D G E F G x h 10 10 10 5 2

√

Comecemos por determinar a diagonal da base. Pelo teorema de Pitágoras:

x2_{= 10}2_{+ 10}2

⇔ x2_{= 200}

⇔ x = ± 200 ⇔ x = 200 ⇔ x = 102

Para determinar a altura da pirâmide, recorremos novamente ao eorema de Pitágoras:

102_{= h}2₊

₍

₅₂

₎

2 ⇔ h2_{= 100 – 50} ⇔ h2_{= 50} ⇔ h = ± 50 ⇔ h = 52 V_pirâmide= _ᎏ1 3ᎏ Abase× h V_pirâmide= _ᎏ1 3ᎏ × 10 2_{+ 5}₂₌ = _ᎏ50 3 0 ᎏ2≈ 235,7 R.: V = 235,7 u.v. 27.

Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

A D2_{= 48}2_{+ 14}2 _{⇔ A}D2_{= 2500} ⇔ AD = ± 50 ⇔ AD = 50 Como DC = 10 cm e AB = 24 cm, então C B = 50 – 24 – 10 = 16 R.: CB = 16 cm. 28. AD + AC = DB + BC ⇔ AC = 3 + BC ⇔ AC = 1 + BC

Utilizando o teorema de Pitágoras, temos:

A C2_{= A}B2_{+ B}C2_{, ou seja,} (1 + BC)2_{= 5}2_{+ B}C2 ⇔ 1 + BC + BC2= 25 + BC2 ⇔ 2BC = 25 – 1 ⇔ BC = 12 A C = 1 + 12 = 13 cm P_[ABC]= AB + BC + AC = 5 + 12 + 13 = 30 R.: P_[ABC]= 30 cm seja, = 6 ⇔ GD = ᎏ6 × 3 2 ᎏ ⇔ GD = 4 cm

Pelo teorema de Pitágoras AD2_{= A}G2_{+ G}D2_{, isto é,}

A D2_{= 3}2_{+ 4}2 ⇔ AD2_{= 9 + 16} ⇔ AD = ± 25 ⇔ AD = 5 cm Então, BC = 5 cm.

Pelo teorema de Pitágoras BC2_{= B}H2_{+ H}C2_{, ou seja,}

52_{= B}H2₊





2 ⇔ BH2_{= 25 – ᎏ}9 4 1 ᎏ ⇔ BH2_{= ᎏ}9 4ᎏ ⇔ BH = ±

_ᎏ9 4ᎏ



⇔ BH = ᎏ3 2ᎏ Assim, A_[BHC]= A_[ABCD]= 52_{= 25}

Logo, A_laranja= A_[ABCD]– A_[AGD]– A_[BHC]=

A_laranja= 25 – 6 – _ᎏ3

8ᎏ91≈ 15,4 R.: A = 15,4 cm2_.

30. A_{zona branca}= A_{semicircunferência}– A_[ABC]

A_{zona branca}= – = = – Logo, A_lúnulas= + – 3 × GD ᎏᎏ 2 91 ᎏ 2 B H × HC ᎏᎏ 2 A C × BC ᎏᎏ 2 π ×



_ᎏAB 2 ᎏ



2 ᎏᎏ 2 A C × BC ᎏᎏ 2 πAB2 ᎏᎏ 8 π ×



_ᎏCB 2 ᎏ



2 ᎏᎏ 2 π ×



_ᎏAC 2 ᎏ



2 ᎏᎏ 2 x h 10 10 10 5 2

√

A 14 48 D

29. Como A_[AGD]= 6 cm2_{, então ᎏᎏ}AB × GD _{= 6, ou}

2 A_[BHC]= = _ᎏ3 8ᎏ91 ᎏ3 2ᎏ ×ᎏ 9 2 1  ᎏ ᎏᎏ 2

–



–



= = + – + Como AB2_{= A}C2_{+ B}C2_{, temos:} A_lúnulas= _ᎏπ 8ᎏ (AC 2_{+ B}C2_{– A}B2_{) + =} 0 =

Por outro lado, A_[ABC]= _ᎏb × 2

h

ᎏ, ou seja,

A_[ABC]= .

Logo, A_[ABC]= A_lúnulas.

Vetores, translações e isometrias Praticar– páginas 166 a 171

1. A, B e D representam isometrias.

C não representa uma isometria porque não

conser-va o tamanho da figura. 2. 2.1. Reflexão. 2.2. Rotação. 2.3. Reflexão deslizante. 2.4. Translação. 3. A opção correta é a [C]. 4. 5. 6. 6.1. a) e→e f → b) a→ c) a→e e→ 6.2. a→, f → e e→ c→e d → b → e h →

6.3. a→e e→são simétricos porque a→+ e→= 0

→ 6.4. a) b) c) d) a→+ e→= 0 → e) f) 7. 8. π AB2 ᎏᎏ 8 A C × BC ᎏ 2 π AC2 ᎏᎏ 8 π BC2 ᎏᎏ 8 π AB2 ᎏᎏ 8 A C × BC ᎏᎏ 2 A C × BC ᎏᎏ 2 A C × BC ᎏᎏ 2 A C × BC ᎏᎏ 2















X Y Z X’ Y’ Z’ A r B B’ A’ b c a f d c e f g _h A u v B C A A’’ B’’ C’’ D’’ D r u

9. A.A afirmação é falsa.

Para além de terem o mesmo comprimento e a mesma direção, os segmentos de reta têm de ter o mesmo comprimento, para serem iguais.

Corrigindo a afirmação:

‘‘Dois segmentos de reta orientados com a mesma direção, o mesmo comprimento e o mesmo sentido são equipolentes’’.

B.A afirmação é verdadeira.

C.A afirmação é verdadeira.

10. A opção correta é a [B], porque o vetor soma tem que ser vertical com sentido de baixo para cima.

11.

11.1. a) Por exemplo, [C, E] e [B, I].

b) Por exemplo, [A, B] e [D, F].

c) Por exemplo, [A, B] e [D, B].

d) Por exemplo, [C, E] e [B, F].

e) Por exemplo, [H, E] e [G, I].

11.2. a) BE → + ED → + BD → b) AC → + EJ → = AC → + CI → = AI → c) AB → + DB → = AB → + BA → = 0 → d) H + HJ → = J e) I + HE → = I + IG → = G f) B – DA → = B + AD → = B + BD → = F

11.3. Os ângulos são geometricamente iguais, porque a translação conserva as amplitudes dos ângulos.

12. 12.1. Ponto A. 12.2. Ponto B. 12.3. [FG] 12.4. [CDE] 12.5. [HG] 12.6. [FG] 13. 13.1. a) b) 13.2. A afirmação é verdadeira. 14. 14.1. a) Por exemplo, AD → e BC → . b) Por exemplo, AE → e CA → . c) Por exemplo, AD → e AB → . d) Por exemplo, AD → e CB → . e) Por exemplo, AD → e BC → . f) Por exemplo, AD → e CB → . 14.2. A.A afirmação é verdadeira. BD → + AB → = BD → + DC → = BC → B.A afirmação é falsa. BA → + BC → = BA → + AD → = BD → e BD → ≠ AC → C.A afirmação é falsa. BC → – AC → = BC → + CA → = BA → e BA → ≠ AB → D.A afirmação é verdadeira. BA → + DC → = BA → + AB → = 0 → 15. 15.1. O quadrilátero [IKQP]. 15.2. O quadrilátero [QOUV]. 15.3. v→= IL → .

15.4. Como a rotação conserva os comprimentos dos segmentos de reta e as amplitudes dos ângulos,

A_{[A’C’I’H’]}= A_[ACIH]. Assim,

A_{[A’C’I’H’]}= × CI A_{[A’C’I’H’]}= _ᎏ2 + 2 1 ᎏ × 1 = = _ᎏ3 2ᎏ u.a. 16. 16.1. a) DB → + SR → = DB → + BA → = DA → b) FH → + JT → = FH → + HR → = FR → c) RQ → + DN → = DC → + CM → = DM → d) IG → + NO → = IG → + GH → = IH → e) OC → – RF → = OC → + FR → = OC → + CO → = 0 → f) JH → – QG → = JH → + GQ → = JH → + HR → = JR → 16.2. a) I b) S c) S d) G 16.3. [RT] 16.4. [MHG]

16.5. Por exemplo, reflexão de eixo RC. Esta isome-tria não é única, podia ser uma rotação ou uma reflexão deslizante. A C + HI ᎏᎏ 2 B B’ A A’ ED’ DE’ C C’ r v B B’ A A’ E E’ D D’ C C’ r v

17. 17.1. A’(1, 1), B’(–4, –1), C’(–4, 5) e D’(1, 4). 17.2. A’’(–1, –2) 18. 18.1. A’(–4, 1), B’(–1, –3), C’(–2, –5) e D’(–5, –4). 18.2. a) A’(–1, 1), B’(2, 3), C’(1, 5) e D’(–2, 4). b) A’(–1, –3), B’(2, –1), C’(1, 1) e D’(–2, 0). 18.3. C’(2, 4). 19. 19.1. A e C.

19.2. Sim, o triângulo E, rotação de centro O e de amplitude 180o_.

19.3. D

Geometria euclidiana.

Paralelismo e perpendicularidade. Volumes Praticar– páginas 174 a 179

1. A opção [A]é falsa porque as retas DF e AB são não complanares.

A opção [B]é verdadeira, porque a reta CD é para-lela à reta AF e a reta AF pertence ao plano ABE. A opção [C] é falsa, porque os planos CBE e CAF são concorrentes oblíquos.

A opção [D] é falsa, porque as retas AB e BE são perpendiculares.

Logo, a opção correta é a [B].

2.

2.1. a) Por exemplo, EF.

b) Por exemplo, AB.

c) Por exemplo, HA e GF.

d) Por exemplo, HP e HA.

e) Por exemplo, ABG e EFC.

f) Por exemplo, ABG e ABC.

g) Por exemplo, HGP e ABC.

2.2. A afirmação é falsa porque as retas HG e BC são não complanares.

3. 3.1. V_cubo= a3 V_cubo= 33_{= 27 u.v.} 3.2. V_{paralelepípedo}= Ab × h V_{paralelepípedo}= 2 × 3 × 4 = 24. u.v 3.3. V_prisma= Ab × h V_prisma= _ᎏ4 × 2 3 ᎏ × 5 = 30. u.v 3.4. V_pirâmide= _ᎏ1 3ᎏ × Ab × h V_pirâmide= _ᎏ1 3ᎏ × 4 × 4 × 3 = 16 u.v. 3.5. V_cone= _ᎏ1 3ᎏ × Ab × h = ᎏ 1 3ᎏ × πr 2_{× h} V_pirâmide= _ᎏ1 3ᎏ × π × 3 2_{× 9 = 27π u.v.} 3.6. V_esfera= _ᎏ4 3ᎏ × πr 3 V_esfera= _ᎏ4 3ᎏ × π × 2,5 3_{= ᎏ}12 6 5 ᎏ π u.v. 4.

4.1. A = 2 × A_base+ área faces laterais

A = 2 × 52_{+ 4 × 5}2_{= 150 u.a.} 4.2. A = 2 × A_base+ área faces laterais

A = 2 × 4 × 3 + 2 × 3 × 1 + 2 × 4 × 1 = 38 u.a.

4.3. A = 2 × A_base+ área faces laterais Pelo teorema de Pitágoras:

h2_{= 3}2_{+ 4}2 ⇔ h2= 9 + 16 ⇔ h = ± 25 ⇔ h = 5 Logo, A = 2 ×_ᎏ3 × 2 4 ᎏ + 7 × 5 + 4 × 7 + 7 × 3 = 96 u.a. 4.4. A = 4 × π × r2 A = 4 × π × 62_{= 144 π u.a.} D y x B C –1 –2 –3 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5 Eixo de simetria A y x B C –1 –2 –3 1 –1 –2 –3 –4 –5 –6 1 2 3 4 5 6 2 3 4 5

4.5. A = A_base+ área da superfície lateral = = πr2_{+ πrg}

Pelo teorema de Pitágoras:

g2_{= 8}2_{+ 6}2 ⇔ g2_{= 64 + 36} ⇔ g2_{= 100} ⇔ g = ± 兹1苶0苶0苶 ⇔ g = 10 Logo, A = π × 62_{+ π × 6 × 10 =} = 36 π + 60π = = 96π u.a.

4.6. A = 2 × A_base+ Área lateral = = 2 × πr2_{+ h × 2πr}

A = 2π × 52_{+ 14 × 2π × 5}

= 50 π + 140π = = 190π u.a.

5.

5.1. a) Por exemplo, IE.

b) Por exemplo, IE.

5.2. V_[ABCDIGFJ]= V_[ABCDEFGH]+ V_[EFGHIJ]= = A苶B苶 × B苶C苶 × A苶E苶 + A_[EFJ]× F苶G苶 Logo, V_[ABCDIGFJ]= 6 × 9 × 4 + _ᎏ6 × 2 4 ᎏ × 9 = = 216 + 108 = = 324 R.: V = 324 cm3_. 6. 6.1. V_cilindro= Ab × altura = = π × r2_{× h} Como d = 50 cm, então r = 25 cm. Assim, V_cilindro= 12 500π R.: V = 12 500π cm3_. 6.2. A_lateral= 2 × π × r × altrua A_lateral= 2 × π × 25 × 20 = = 1000π R.: A = 1000π cm3_. 7. 7.1. V_pirâmide= _ᎏ1 3ᎏ Ab × altura V_pirâmide= _ᎏ1 3ᎏ × 5 2_{× 3 = 25} R.: V = 25 cm3_.

7.2. a) Por exemplo, DC e DA.

b) Por exemplo, ADE e DCE.

8. V_{observatório}= V_cilindro+ V_semiesfera=

= π × r2_{× h +} V_{observatório}= π × 62_{× 18 +}

冢

ᎏ4 3ᎏ π × 6 3

冣

×_ᎏ1 2ᎏ = = 648π + 144π = = 792π ≈ 2488 R.: V ≈ 2488 m3_. 9. A_esfera= 4 × π × r2 Assim, 4πr2_{= 1600π ⇔ 4r}2_{= 1600} ⇔ r2= _ᎏ16 4 00 ᎏ ⇔ r2_{= 400} ⇔ r = ± 兹4苶0苶0苶 ⇔ r = 20 20 cm = 2 dm V_esfera= _ᎏ4 3ᎏ πr 3 V_esfera= _ᎏ4 3ᎏ π × 2 3_{≈ 34} 34 dm3_{= 34 litros.} R.: 34 litros. 10.

10.1. A opção [A] é falsa, porque os planos ABF e

ADH são perpendiculares.

10.2. A opção [B]é falsa, porque a reta DI é concor-rente oblíqua ao plano BFG.

10.3. A opção [C] é verdadeira, porque a reta EF está contida no plano ABF e EF // GH.

10.4. A opção [D]é falsa, porque as retas AJ e GH são não complanares.

Logo a opção correta é a [C].

10.2. V_[HJEFGI]= × H苶G苶 V_[HJEFGI]= _ᎏ12 2 × 3 ᎏ × 12 = 216 V_[ADHEBFGC]= 12 × 12 × 3 = 432 cm3

Logo, V_{sólido verde}= 432 – 216 = 216 R.: V = 216 cm3_.

11.

11.1. a) Por exemplo, IJK e HGJ.

b) Por exemplo, OC.

11.2. V_[ABCDFEHG]= 10 × 3 × 3 = 90 V_[ABKLJI]= _ᎏ2 × 2 2 ᎏ × 3 = 6 ᎏ4 3ᎏ πr 3 ᎏ 2 H苶E苶 × B苶F苶 ᎏ 2

V_contentor= 90 – 6 × 2 = 78 78 m3_{= 78 000 dm}3_{= 78 000 litros} R.: 78 000 litros. 12. Como V_cubo= 512 cm3_{e V} cubo= a3, então a = 兹3 5苶1苶2苶= 8 cm.

Logo, o diâmetro da esfera é 8 cm e o seu raio é ᎏ8

2ᎏ = 4 cm.

Assim, A_{superfície esférica}= 4 × π × r2

A_{superfície esférica}= 4 × π × 42_{= 64π}

R.: A = 64π cm2

13.

13.1. a) Por exemplo, GH.

b) Por exemplo, ACE e ABC.

c) Por exemplo, AB e FE.

13.2. ACE e HEF

13.3. V_prisma= A苶D苶 × D苶C苶 × D苶苶苶E苶苶苶

V_pirâmide= _ᎏ1

3ᎏ × × D苶苶苶E苶苶苶 =

Como o volume do prisma é 80, então

V_pirâmide= _ᎏ8 6 0 ᎏ = ᎏ4 3 0 ᎏ R.: V = _ᎏ4 3 0 ᎏ u.v. 14. 14.1. a) Não complanares. b) Paralelas. 14.2. Ponto I. 14.3. V_cubo= A苶H苶3_{= 7}3_{= 343} V_{paralelepípedo}= _ᎏ2 7ᎏ Vcubo V_{paralelepípedo}= _ᎏ2 7ᎏ × 343 = 98

Por outro lado V_{paralelepípedo}= B苶M苶 × M苶N苶 × B苶L苶, ou seja, 98 = B苶M苶 × M苶N苶 × B苶L苶 ⇔ 98 = 7 × 7 × B苶L苶

⇔ B苶L苶 = 2

14.4. Como V_pirâmide= V_cubo, então ᎏ1 3ᎏ Ab × h = 343 ⇔ _ᎏ1 3ᎏ × 7 2_{× h = 343} ⇔ h = _ᎏ34 4 3 9 × 3 ᎏ ⇔ h = 21

R.: A pirâmide tem 21 u.c. de altura.

15. _ᎏV

V

’ ᎏ =

Sabemos que os sólidos têm bases iguais, logo,

Ab₁= Ab₂.

Por outro lado, h₁= _ᎏ1

5ᎏ h2, ou seja, h2= 5h1. Assim, _ᎏV V ’ ᎏ = ᎏ1 3ᎏ × ᎏ5 h h 1 1 ᎏ = ᎏ 1 1 5 ᎏ 16. 16.1. a) Reta FG. b) Reta HC.

c) Por exemplo, FA e EH.

16.2. Sabemos que V_sólido= 24.

Sendo a a medida da aresta do cubo, temos:

a3_{+ ᎏ}1 3ᎏ a 2_{× a = 24} ⇔ a3+ _ᎏa 3 3 ᎏ = 24 ⇔ a3_{= ᎏ}4 3ᎏ a 3_{= 24} ⇔ a3_{= ᎏ}24 4 × 3 ᎏ ⇔ a3_{= 18} ⇔ a = 兹3 1苶8苶 R.: a = 兹31苶8苶cm. 17. 17.1. 17.2.

17.3. Sabemos que V_sólido = V_pirâmide + V_cone e que

V_pirâmide= V_cone= 100 cm3_{. Então, sendo a a medida}

da aresta do cubo, a = 兹3 1苶0苶0苶cm. A 苶D苶 × D苶C苶 ᎏᎏ 2 ᎏ1 3ᎏ Ab1× h1 ᎏᎏ Ab₂× h₂ Pares de retas BC e AD • • Não complanares HD e BP • • Paralelas AB e GH • BE e CH • BE e GD • FC e FG • • Perpendiculares

• Concorrentes não perpendiculares

Chave

Pares (reta, plano)

EF e DCF •

• Reta contida no plano AB e CGH •

• Reta estritamente paralela ao plano AD e ABP •

BC e AEH • FB e ADC • AH e BCG •

• Reta perpendicular ao plano • Reta concorrente com o plano, não perpendicular

Chave

= _ᎏᎏA苶D苶 × D苶C苶 × D苶苶苶E苶苶苶 6

Assim, V_pirâmide= 100 ⇔ _ᎏ1 3ᎏ Abase× h = 100 ou seja, _ᎏ1 3ᎏ兹 3 1苶0苶0苶×兹31苶0苶0苶× h = 100 ⇔ (兹31苶0苶0苶)2_{h = 300} ⇔ h = ⇔ h ≈ 12, 92 R.: ≈ 12,92 cm 18. 18.1. V_cone= _ᎏ1 3ᎏ Ab × altura = _ᎏ1 3ᎏ π ᎏ 1 3ᎏ r 2_ᎏ1 3ᎏ 15 V_cone= _ᎏ1 3ᎏ π ᎏ 1 3ᎏ 5 2_ᎏ1 3ᎏ 15 = 125π R.: V = 125π cm3 18.2. a) V_esfera= _ᎏ4 3ᎏ πr 3 = _ᎏ4 3ᎏ × π × 2 3 V_esfera= _ᎏ3 3 2 ᎏ π

Logo, V_{duas esferas}= 2 ×_ᎏ3 3 2 ᎏ π = ᎏ6 3 4 ᎏ π R.: V = _ᎏ6 3 4 ᎏ π cm3_.

b) Como o volume das duas esferas é igual a _ᎏ6 3

4 ᎏ π e o volume do cone é igual a_ᎏ1

3ᎏ π × r 2_{× altura, temos:} ᎏ1 h 5 ᎏ = ᎏ5 rᎏ ⇔ r = ᎏ 5 1 × 5 h ᎏ ⇔ r =_ᎏh 3ᎏ ᎏ1 3ᎏ π × r 2_{× altura = ᎏ}6 3 4 ᎏ π ⇔ r2× h = 64 Logo,

冢

_ᎏh 3ᎏ

冣

2 × h = 64 ⇔ h3_{= 64 × 9} ⇔ h = 兹36苶4苶苶×苶9= 兹3 9苶 19.

19.1. V_líquido= Área base × altura = π × r2_{× h}

V_líquido= π × 82_{× 1,5 = 98 π}

R.: V = 96π cm3_.

19.2. Como a altura do líquido duplicou, passou de 1,5 cm a 3 cm.

Assim, como V_cilindro= Ab × h = π × r2_{× h, temos:}

V_cilindro= π × 82_{× 3 = 192π}

Logo, V_{cubo com líquido}= 192π – 96π = 96π Sendo a a medida da aresta do cubo, ᎏ1 3ᎏ a × a 2_{= 96π ⇔ a}3_{= 288π} ⇔ a = 兹3 2苶8苶8苶苶π ⇔ a ≈ 9,7 R.: a = 9,7 cm 19.3. A opção correta é a [C]. 20. Considerando A苶P苶 = x, então B苶P苶 = 10 – x. V_cone= _ᎏ1 3ᎏ Abase× h V_{cone 1}= _ᎏ1 3ᎏ × π × r 2_{×x = ᎏ}πr 3 2_x ᎏ V_{cone 2}= _ᎏ1 3ᎏ × π × r 2_{× (10 – x) = ᎏ}πr 2₍₁ 3 0 – _x) ᎏ

Assim, V_{cone 1}+ V_{cone 2}= _ᎏπr 3 2_x ᎏ + ᎏπr 2₍₁ 3 0 – _x) ᎏ = = _ᎏπr 3 2_x ᎏ + ᎏ10 3 πr2 ᎏ – ᎏπr 3 2_x ᎏ = = _ᎏ10 3 πr2 ᎏ

Concluímos então que a soma dos volumes dos dois cones é constante e é igual a _ᎏ10

3 πr2 ᎏ. Lugares geométricos Praticar– páginas 182 a 187 1. A opção correta é a [D]. 300 ᎏ (兹3 1苶0苶0苶)2 h r 15 5 10 cm A B P

2. Circunferência de centro A e raio 8 cm.

3. 1.o_{Marcar o ponto P.}

2.o_{Colocar a ponta seca do compasso no ponto P e,}

com abertura 4 cm, traçar a circunferência de cen-tro no ponto P e de raio 4 cm.

3.o_{Sombrear a circunferência e o seu interior.}

4. A opção correta é a [B]. O circuncentro de um triângulo pode situar-se no exterior do triângulo. Por exemplo,

5. 1.o_{Colocar a ponta seca do compasso no ponto R}

e, com abertura superior a metade da distância do ponto R ao ponto T, traçar um arco de circunferência. 2.o_{Colocar a ponta seca do compasso no ponto T e,}

com a mesma abertura do 1º passo, traçar um arco de circunferência.

3.o _{Traçar a reta que passa pelos dois pontos de}

interseção dos dois arcos – a mediatriz do segmento de reta [TR].

4º Colocar a ponta seca do compasso no ponto R e, com abertura 2 cm, traçar a circunferência de cen-tro no ponto R e raio 2 cm.

5.o_{O lugar geométrico pedido é o segmento de reta}

a vermelho.

6.

6.1. 1.o_{Traçar o segmento de reta [BC] com 5 cm.}

2.o_{Colocar a ponta seca do compasso no ponto B e,}

com abertura 4,5 cm, traçar um arco de circunferência. 3.o_{Colocar a ponta seca do compasso no ponto C e,}

com abertura 4 cm, traçar um arco de circunferência.

4.o_{Marcar o ponto A, ponto de interseção dos dois}

arcos de circunferência. 5.o_{Traçar BA e CA.}

6.2. a) 1.o _{Colocar a ponta seca do compasso no}

ponto B e, com uma abertura qualquer, traçar um arco de circunferência. O arco interseta os segmen-tos de reta [AB] e [BC].

2.o _{Com a mesma abertura do 1º passo e com a}

ponta seca num dos pontos, traçar um arco de cir-cunferência. Realizar o mesmo processo para o outro ponto. Os arcos intersetam-se num ponto. 3.o_{Traçar a semirreta com origem no ponto B e que}

passa no ponto de interseção dos dois arcos – a bis-setriz do ângulo CBA.

4.o_{Marcar os pontos da bissetriz que pertencem ao}

interior do triângulo [ABC].

b) 1.o_{Colocar a ponta seca do compasso no ponto}

A e, com abertura 3 cm, traçar a circunferência de

centro no ponto A e raio 3 cm.

2.o _{Marcar os pontos da circunferência que}

perten-cem ao interior do triângulo [ABC].

c) 1.o_{Colocar a ponta seca do compasso no ponto A}

e, com abertura superior a metade da distância do ponto A ao ponto C, traçar um arco de circunferência. 2.o_{Colocar a ponta seca do compasso no ponto C e,}

com a mesma abertura do 1º passo, traçar um arco de circunferência.

3.o _{Traçar a reta que passa pelos dois pontos de}

interseção dos dois arcos – a mediatriz do segmento de reta [AC].

4.o_{Marcar os pontos da mediatriz que pertencem ao}

interior do triângulo [ABC].

P 4 cm T R A B 5 cm C 4 cm 4,5 cm A B C 3 cm C A B C

7.

7.1. 1.o_{Marcar os pontos A, B e C.}

2.o_{Traçar [AB], [BC] e [AC].}

7.2. 1.o_{Colocar a ponta seca do compasso no ponto}

A e, com uma abertura qualquer, traçar um arco de

circunferência. O arco interseta os segmentos de reta [AC] e [AB].

2.o _{Com a mesma abertura do 1º passo e com a}

ponta seca num dos pontos, traçar um arco de cir-cunferência. Realizar o mesmo processo para o outro ponto. Os arcos intersetam-se num ponto. 3.o_{Traçar a semirreta com origem no ponto A e que}

passa no ponto de interseção dos dois arcos – a bis-setriz do ângulo BAC.

7.3. 1.o_{Colocar a ponta seca do compasso no ponto}

C e, com uma abertura qualquer, traçar um arco de

circunferência. O arco interseta os segmentos de reta [AC] e [BC].

2.o _{Com a mesma abertura do 1º passo e com a}

ponta seca num dos pontos, traçar um arco de cir-cunferência. Realizar o mesmo processo para o outro ponto. Os arcos intersetam-se num ponto. 3.o_{Traçar a semirreta com origem no ponto C e que}

passa no ponto de interseção dos dois arcos – a bis-setriz do ângulo ACB.

4.o_{Marcar o ponto I, ponto de interseção das duas}

bissetrizes – I é o incentro do triângulo.

7.4. 1.o_{Colocar a ponta seca do compasso no ponto}

I e com abertura traçar a circunferência de centro

no ponto I e raio .

8. 1.o_{Traçar um segmento de reta.}

2.o_{Com o transferidor, marcar um ângulo de}

ampli-tude.

3.o_{Colocar a ponta seca do compasso no vértice do}

ângulo e, com uma abertura qualquer, traçar um arco de circunferência. O arco interseta os lados do ângulo.

4.o _{Com a mesma abertura do 3º passo e com a}

ponta seca num dos pontos, traçar um arco de cir-cunferência. Realizar o mesmo processo para o outro ponto. Os arcos intersetam-se num ponto. 5.o _{Traçar a semirreta com origem no vértice do}

ângulo e que passa no ponto de interseção dos dois arcos – a bissetriz do ângulo.

9. 1.o _{Colocar a ponta seca do compasso no ponto}

A e, com uma abertura qualquer, traçar um arco de

circunferência. O arco interseta os segmentos de reta [AB] e [AC].

2.o _{Com a mesma abertura do 1.}o _{passo e com a}

ponta seca num dos pontos, traçar um arco de cir-cunferência. Realizar o mesmo processo para o outro ponto. Os arcos intersetam-se num ponto. 3.o _{Traçar a reta que passa por A e pelo ponto de}

interseção dos dois arcos – reta que contém a bisse-triz do ângulo CBA.

4.o_{Com a ponta seca do compasso no ponto A,}

tra-çar uma circunferência de centro A e raio 0,5 cm.

A B C A –2 –1 1 1 2 2 3 3 4 5 C O B x y A –2 –1 1 1 2 2 3 x y 3 4 5 C O B A –2 –1 1 1 2 2 3 3 4 5 C O B I x y A –2 –1 1 1 2 2 3 3 4 5 C O B I x y 60º