10 Progressão Geométrica - Funções Trigonométricas

(1)

B

I

O

G

E

O

Q

U

Í

L

P

O

F

I

L

H

I

S

O

C

M

a

t

e

m

á

t

i

c

a

2

1

2

1

1 R

R

E

S

F

Í

S

Capítulo 16 Capítulo 16 ...88 Módulo Módulo 55 55 ...1818 Módulo Módulo 56 56 ...2...222 Módulo Módulo 57 57 ...2424 Módulo Módulo 58 58 ...2626 Módulo Módulo 59 59 ...2929 Módulo Módulo 60 60 ...3333

(2)

(3)

O O L L E E G G 7 7 7 7 9 9 9 9 , , N N A A D D A A L L I I N N N N A A , , C C L L A A U U D D E E L L U U X X , , T T O O R R I I A A N N D D I I X X O O N N , , S S E E B B A A S S T T I I A A N N D D U U D D A A / / T T H H I I N N K K S S T T O O C C K K 1.

1.Progressão geométricaProgressão geométrica 1010 2.

2.Organizador gráficoOrganizador gráfico 1717 Módulo 55

Módulo 55 – Progressão geométrica – – Progressão geométrica – Definição e termo geral

Definição e termo geral 1818 Módulo 56

Módulo 56 – Progressão geométrica – Progressão geométrica – Notações auxiliares e interpolação – Notações auxiliares e interpolação geométrica

geométrica 2222

Módulo 57

Módulo 57 – Progressão – Progressão geométrica – Propriedades

geométrica – Propriedades 2424 Módulo 58

Módulo 58 – Progressão geométrica – – Progressão geométrica – Produto de n termos de uma PG; Produto de n termos de uma PG; soma de n termos de uma PG

soma de n termos de uma PG 2626 Módulo 59

Módulo 59 – Progressão geométrica – – Progressão geométrica – Soma de infinitos termos

Soma de infinitos termos 2929 Módulo 60

Módulo 60 – Aplicações de progressão – Aplicações de progressão aritmética

aritmética e progressão geoe progressão geométricamétrica 3333

• Efetuar cálculos utilizando • Efetuar cálculos utilizando

conhecimentos de progressões conhecimentos de progressões geométricas.

geométricas. •

• Obter o termo geral dObter o termo geral de uma progressãoe uma progressão geométrica.

geométrica. •

• Resolver problemas quResolver problemas que envolvame envolvam média geométrica.

média geométrica. •

• Resolver problemas quResolver problemas que envolvame envolvam progressões geométricas.

progressões geométricas. •

• Resolver problemas quResolver problemas que envolvame envolvam progressões aritméticas

progressões aritméticas • Efetuar cálculos utilizando • Efetuar cálculos utilizando

conhecimentos de progressões conhecimentos de progressões aritméticas.

(4)

9

As folhas de algumas plantas são compostas por partes reduzidas com formas

semelhantes a si mesmas. Têm-se, assim, características do todo infinitamente

multiplicadas dentro de cada parte. Dá-se o nome de fractal, do latim

fractus

,,

quebrado ou fraturado, à forma que mantém suas características físicas quando

repartida em par

repartida em partes iguais. Os fractais, entre outras aplicações, podem ser usados

tes iguais. Os fractais, entre outras aplicações, podem ser usados

nos conteúdos de progressões geométricas do Ensino Médio.

Progressão geométrica

(5)

1 1 6 6 2 2 1 1 1 1 M M a a t t e e m m á á t t i

i c c a a

1 1 0 0 M M a a t t e e m m á á t t i

i c c a a

e e s s u u a a s s T T e e c c n n o o l l o o g g i

i a a s s

E E M M I I - - 1 1 5 5 - - 1 1 0 0 0 0

1. Progressão geométrica

A.

A. IntroduIntroduçãoção

A A L L E E X X A A N N D D R R D D E E N N I I S S E E N N K K O O / / T T H H I I N N K K S S T T O O C C K K

Considere que uma pessoa aplicou um capital de Considere que uma pessoa aplicou um capital de R$ 1.000,00 no regime de juros compostos a uma taxa R$ 1.000,00 no regime de juros compostos a uma taxa men-sal de 1%. Suponha que não foram feitas retiradas durante um sal de 1%. Suponha que não foram feitas retiradas durante um ano e que a taxa sempre ficou constante em 1%.

ano e que a taxa sempre ficou constante em 1%.

A seguir, apresenta-se o valor, ao final de cada mês, dos A seguir, apresenta-se o valor, ao final de cada mês, dos cinco primeiros meses.

cinco primeiros meses. Valor inicial: 1.000 Valor inicial: 1.000 VV11 = 1.000 · (1 + 1%) = 1.000 · (1 + 1%)11 = 1.000 · (1,01) = 1.000 · (1,01)11 = = = 1.000 · (1,01) = 1.010 = 1.000 · (1,01) = 1.010 VV₂₂ = 1.000 · (1 + 1%) = 1.000 · (1 + 1%)22_{= 1.000 · (1,01)}_{= 1.000 · (1,01)}22₌₌ = 1.000 · (1,0201) = 1.020,10 = 1.000 · (1,0201) = 1.020,10 VV33 = 1.000 · (1 + 1%) = 1.000 · (1 + 1%)33 = 1.000 · (1,01) = 1.000 · (1,01)33 = = = 1.000 · (1,030301) = 1.030,301 = 1.000 · (1,030301) = 1.030,301 VV₄₄ = 1.000 · (1 + 1%) = 1.000 · (1 + 1%)44_{= 1.000 · (1,01)}_{= 1.000 · (1,01)}44₌₌ 1.000 · (1,04060401) = 1.040,60401 1.000 · (1,04060401) = 1.040,60401 VV₅₅ = 1.000 · (1 + 1%) = 1.000 · (1 + 1%)55_{= 1.000 · (1,01)}_{= 1.000 · (1,01)}55₌₌ 1.000 · 1,0510100501 = 1.051,0100501 1.000 · 1,0510100501 = 1.051,0100501 Utilizando os conceitos de juros

Utilizando os conceitos de juros compostos, esses dadoscompostos, esses dados podem ser estendidos até o décimo

podem ser estendidos até o décimo segundo mês.segundo mês. Observe que

Observe que a sequência a sequência (1 000, 1 (1 000, 1 010, 1 0010, 1 020,10,20,10, 1030,301, 1040,60401, 1 051, 0100501 ...) foi construída de 1030,301, 1040,60401, 1 051, 0100501 ...) foi construída de tal forma que, a par

tal forma que, a partir do segundo termo, cada termo divididotir do segundo termo, cada termo dividido pelo termo anterior é igual a (1+1%) que, por sua

pelo termo anterior é igual a (1+1%) que, por sua vez, é igual avez, é igual a 1,01. Esse tipo de sequência é denominada progressão 1,01. Esse tipo de sequência é denominada progressão geo-métrica.

métrica.

B. Definição

Uma sequência numérica em que o

Uma sequência numérica em que oquocientequociente entre cada entre cada termo, a partir do segundo, e o anterior é constante termo, a partir do segundo, e o anterior é constante denomi-na-se

na-seprogressão geométricaprogressão geométrica, abreviada por, abreviada porPGPG. A constante. A constante mencionada é chamada de

mencionada é chamada derazãorazão da PG. da PG. Em símbolos, pode-se escrever que: Em símbolos, pode-se escrever que: aa

aa qq nn nn 11

==

−− , , nn

∈

¥ ¥**_,, n > 1, em que q

n > 1, em que q é a razão da PG.é a razão da PG.

Da igualdade anterior, pode-se obter a

Da igualdade anterior, pode-se obter ann = = aan–1n–1 · q, n · q, n

∈

¥¥**,,

n > 1, que é a

n > 1, que é alei de recorrêncialei de recorrência para uma PG. para uma PG.

Observe que, da lei de recorrência, têm-se os termos Observe que, da lei de recorrência, têm-se os termos apresentados a seguir. apresentados a seguir. (a (a₁₁, a, a₂₂, a, a₃₃, a, a₄₄, a, a₅₅, a, a₆₆, a, a₇₇, a, a₈₈, ... ), ... ) × × qq × × qq × × qq × × qq × × qq × × qq × × qq Exemplos Exemplos 1.

1. A sequência (1, 2, 4, 8, 16, ...) é uma PG de primeiroA sequência (1, 2, 4, 8, 16, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 1 e razão igual a 2.

termo igual a 1 e razão igual a 2.

2. 2. A sequência (–10 , –2,A sequência (–10 , –2, 22 55

−−

,, 22 25 25

−−

,, 22 125 125

−−

, ...) é uma, ...) é uma PG de primeiro termo igual a

PG de primeiro termo igual a –10 e razão igual a–10 e razão igual a 11 55..

3.

3. A sequência (8, 4, 2, 1, 11A sequência (8, 4, 2, 1,

22,, 1144,, 1188, ...) é uma PG de pri-, ...) é uma PG de pri-meiro termo igual a 2 e

meiro termo igual a 2 e razão igual arazão igual a 11₂₂..

4.

4. A sequência (–2, –10, –50, –250, ...) é uma PG de pri-A sequência (–2, –10, –50, –250, ...) é uma PG de pri-meiro termo igual a –2 e razão igu

meiro termo igual a –2 e razão igual a 5.al a 5.

5.

5. A sequência (2, –4, 8, –16, 32, –64 ...) é uma PG deA sequência (2, –4, 8, –16, 32, –64 ...) é uma PG de primeiro termo igual a 2 e razão igual a –2.

primeiro termo igual a 2 e razão igual a –2.

6.

6. A sequência (2, 2, 2, 2, ...) é uma PG de primeiro termoA sequência (2, 2, 2, 2, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 2 e razão igual a 1.

igual a 2 e razão igual a 1.

7

7.. A sequência (5, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termoA sequência (5, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 5 e razão igual a 0.

igual a 5 e razão igual a 0.

8.

8. A sequência (0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termoA sequência (0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 0 e r

igual a 0 e razão qualquerazão qualquer..

Observe que, com exceção dos exemplos 7 e 8, para Observe que, com exceção dos exemplos 7 e 8, para en-contrar a razão de uma PG basta dividir qualquer termo pelo contrar a razão de uma PG basta dividir qualquer termo pelo termo anterior.

termo anterior.

C.

C. ClassificaçãoClassificação

As progressões geométricas são classificadas como As progressões geométricas são classificadas como segue.

segue.

• Crescente:

• Crescente:ocorre quando cada termo é maior que oocorre quando cada termo é maior que o imediatamente anterior, ou seja, quando o primeiro imediatamente anterior, ou seja, quando o primeiro termo é positivo e a razão é maior que 1 ou quando termo é positivo e a razão é maior que 1 ou quando o primeiro termo é negativo e a razão está o primeiro termo é negativo e a razão está compreen- compreen-dida entre 0 e 1. Os exemplos 1

dida entre 0 e 1. Os exemplos 1 e 2, exibidos anterior-e 2, exibidos anterior-mente no item B, são casos de PG crescente.

mente no item B, são casos de PG crescente.

• Decrescente:

• Decrescente:ocorre quando cada termo é menor queocorre quando cada termo é menor que o imediatamente anterior, ou seja, quando o primeiro o imediatamente anterior, ou seja, quando o primeiro termo é positivo e a razão está compreendida entre 0 termo é positivo e a razão está compreendida entre 0 e 1 ou quando o primeiro

e 1 ou quando o primeiro termo é negativo e a razão étermo é negativo e a razão é maior que 1. Os exemplos 3

maior que 1. Os exemplos 3 e 4, exibidos anteriormen-e 4, exibidos anteriormen-te no ianteriormen-tem B, são casos de PG

te no item B, são casos de PG decrescente.decrescente.

• Alternante:

• Alternante:ocorre quando cada termo tem sinal dife-ocorre quando cada termo tem sinal dife-rente do termo imediatamente anterior, ou rente do termo imediatamente anterior, ou seja,quan-do a razão é negativa. O exemplo 5, exibiseja,quan-do do a razão é negativa. O exemplo 5, exibido anterior-mente no item B, é de uma PG alternante.

mente no item B, é de uma PG alternante.

• Constante:

• Constante: ocorre quando todos os termos sãoocorre quando todos os termos são iguais, ou seja, quando a razão é igual a 1. O iguais, ou seja, quando a razão é igual a 1. O exem-plo 6, exibido anteriormente no item B, é de uma PG plo 6, exibido anteriormente no item B, é de uma PG constante.

constante.

• Singular:

• Singular:ocorre quando um dos termos da ocorre quando um dos termos da sequênciasequência é igual a zero, ou

é igual a zero, ou seja, quando o primeiro termo é igualseja, quando o primeiro termo é igual a zero ou quando a razão é igual a zero. Os exemplos a zero ou quando a razão é igual a zero. Os exemplos 7 e 8, exibidos anteriormente no item B,

7 e 8, exibidos anteriormente no item B, são casos desão casos de uma PG singular.

uma PG singular.

D. Termo geral da PG

No problema apresentado na introdução, cada termo da No problema apresentado na introdução, cada termo da sequência pode ser visto como segue.

sequência pode ser visto como segue. 1 000 1 000 1 000 ·(1,01) 1 000 ·(1,01)11 1 000 ·(1,01) 1 000 ·(1,01)22 1 000 ·(1,01) 1 000 ·(1,01)33 1 000 ·(1,01) 1 000 ·(1,01)44 1 000 ·(1,01) 1 000 ·(1,01)55

(6)

1 6 2 1 1 M a t e m á t i c a 1 1 M a t e m á t i c a e s u a s T e c n o l o g i a s E M I - 1 5 - 1 0 0

Em geral, o termo n-ésimo da sequência é dado por 1 000 · (1,01)n–1_{e este, por sua vez, é chamado de termo}

geral da PG.

Para uma PG genérica, tem-se que:

PG genérica (a1, a2, a3, ... an, ...) n

∈

¥*, de razão q

A lei de recorrência para essa PG é a_n = a_n–1 · q, n

∈

¥*_.

Dessa fórmula, pode-se escrever: Primeiro termo: a1

Segundo termo: a2 = a1 ·q(I)

Terceiro termo: a₃ = a₂ · q (II) Substituindo (I), em (II) segue que: a₃ = a₂ · q = a₁ · q · q = a₁ · q2

a3 = a1 · q2(III)

Quarto termo: a4 = a3 · q (IV)

Substituindo (III) em (IV), segue que: a₄ = a₃ · q = a₁ · q2_{· q = a}

1 · q3

a4 = a1 · q3

Observando o expoente de q e o índice do termo, perce-be-se que o coeficiente é uma unidade a menos que o índice. Dessa forma, pode-se se generalizar a fórmula a seguir, co-nhecida comotermo geral da PG.

a_n = a₁ · q(n–1)_{, n}

∈

_¥*

Exemplos

01.Determine o termo geral da PG (1, 2, 4, 8, 16, ...).

Resolução Primeiro termo: a1 = 1 Razão da PG: q a a 2 1 2 2 1

= = =

Termo geral: an = a1 · qn–1 a_n = 1 · 2(n–1) an = 2n–1 O termo geral da PG é a_n = 2n–1_{, n}

∈

_¥*_.

02. Determine o termo geral da PG (–2, –10, –50, –250, ...).

Resolução Primeiro termo: a₁ = –2 Razão da PG: q a_a2 10₂ 5 1

= = −− =

Termo geral: an = a1 · qn–1 a_n = 2· 5n–1 O termo geral da PG é an = 2· 5n–1, n

∈

¥*.

03. Determine o termo geral da PA (2, 2, 2, 2, ...).

Resolução Primeiro termo: a1 = 2 Razão da PA: r a a 2 2 1 2 1

= = =

Termo geral: an = a1 · qn–1 an = 2· 1n–1 a_n = 2 O termo geral da PG é an = 2, n

∈

¥*. 01.

Se o décimo primeiro termo de uma progressão geométrica é igual 64 e a razão é igual a 2, então o primeiro termo dessa PG é: a. 2 b. 1₂ c. 1 4 d. 1 8 e. 1 16 Resolução

Fórmula do termo geral: a_n = a₁ · qn–1

an = a1 · 2n–1

Décimo primeiro termo da PG: a

{

₁

⋅

2 64 = a1 · 210

⇒

26 = a1 · 210 2 2 a 6 1

= ⇒

a 2

=

⇒

a₁

=

1 Alternativa correta: E 02. UGF-RJ

Em uma progressão geométrica, o primeiro termo é 4 e o quinto termo é 324. A razão dessa progressão geométrica é:

a. 3 b. 4 c. 5 d. 2 e. 1 2 Resolução an = a1 · qn–1

⇒

324 = 4 · q5–1

⇒

324 4

=

q4 q4_{= 81 = 3}4

⇒

_{q = 3} Alternativa correta: A 03.

Qual é o número de termos da PG (72, 48, 32, ..., 256 27 )? Resolução Primeiro termo da PG: a₁ = 72 Razão da PG: q 48 72 2 3

= =

Fórmula do termo geral: an = a1 · qn–1

a n 1

( )

2 3

⋅

256 27 n 1

( )

2 3

= ⋅

256 2 n 1

( )

2 3 = ⋅ 256 n

( )

2

=⋅

2 3 8 2 n 1

( )

2 3

=⋅

2 3 5 5 n 1

( )

2 3

=⋅

n

( )

2 3

=⋅

3 5 = n – 1 n = 6 A PG possui 6 termos.

APRENDER

SEMPRE

1

(7)

1 6 2 1 1 M a t e m á t i c a 1 2 M a t e m á t i c a e s u a s T e c n o l o g i a s E M I - 1 5 - 1 0 0 04.

Certas imagens captadas por satélites espaciais, quan-do digitalizadas, são representadas por normas geométricas de aspecto irregular ou fragmentado, conhecidas por frac-tais. Podem-se obter tais fractais pela alteração da forma original e por uma curva dentro de um processo em que os resultados de uma etapa sejam utilizados como ponto de partida para a etapa seguinte.

Considere um processo tal que, em todas as etapas, cada segmento de reta seja transformado em uma poligonal cujo comprimento corresponde a quatro vezes a terça parte do segmento original, como ilustrado na figura a seguir:

s s

3s 4s

s s s s s

...

Por esse processo, a partir de um quadrado com 1 me-tro de lado, obtém-se a sequência de figuras anteriores. O perímetro, em metro, do quinto polígono dessa sequência é:

a. 4 33 b. 3 c. 4 34 d. 3 4 5 5 e. 3 44 Resolução

Da figura, podemos concluir que os perímetros formam uma PG cuja razão éq 4

3. Sendo assim, a5 = a1 · q4 e, como

o perímetro do 1o_{quadrado é 4, temos então:}

a 4 3 4 ₅ 4

)

4 3

⋅

=

Alternativa correta: C E. Interpolação geométrica

Dados dois números a eb, interpolark meios geométri-cos entre eles é formar uma progressão geométrica em que o primeiro termo seráa, o último termo seráb e a quantidade de termos será (k+2). Pode-se simbolizar da seguinte forma:

a₁ = a

⇒

ak+2 = b

Utilizando a fórmula do termo geral, pode-se encontrar a razão da PG seguindo os passos adiante:

an = a1 · qn–1

⇒

ak+2 = a1 · qk+2–1

⇒

ak+2 = a1 · qk+1 q a a k 1 k 2 1

=

+ +

_⇒

_q a a k 2 1 k 1

=

+ + 01.

Interpole 5 meios geométricos positivos entre 6 e 384.

Resolução

Interpolar 5 meios geométricos significa completar a sequência de tal forma que 6 e 384 sejam os extremos de uma PG e essa tenha 7 termos.

(6, _____, _____, _____. _____, _____, 384) PG Primeiro termo da PG: a1 = 6

Sétimo termo da PG: a7 = 384

Fórmula do termo geral: an = a1· qn–1

a₇ = a₁ · q6 384 = 6 · q6 384 6

=

6 64 = q6 26_{= q}6 q = ±2 q = –2 (não serve) ou q = 2

Os 5 meios geométricos positivos entre 6 e 384 são: (6, 12, 24, 48, 96, 192, 384).

APRENDER

SEMPRE

2

01.

Considere uma PG crescente de três números. Deter-mine essa PG sabendo que a soma desses três números é 7 e o produto é 8.

Resolução

Notação auxiliar:

_

_qx, x, x q

⋅

_

, em que a razão é q. O produto é igual a 8: x q x q 8 x3_{= 8} x = 2 A soma é igual a 7: 2_q

+

2

⋅

7 2 + 2 · q + 2 · q2_{= 7q} 2 · q2_{– 5q + 2 = 0} q = 2 ou q = 1

2 (não serve, pois a PG é crescente) A PG procurada é (1, 2, 4).

APRENDER

SEMPRE

3

F. Notações auxiliares

Há situações em que é necessário utilizar uma quantidade pequena de termos da PG. Nesses casos, o uso das representações a seguir pode ser útil.

Três termos consecutivos da PG: x q, x, x q

⋅









_



, razão igual a q.

Quatro termos consecutivos da PA: x

q3, xq, x q, x q

⋅

3









_



,

razão igual a q2_.

Cinco termos consecutivos da PA: x

q2, xq, x, x q, x q

⋅

2









_



,

(8)

(9)

Determine o produto dos 12 primeiros termos da PG (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...). Resolução a₁ = 1 q 1 2

= =

⋅ ) − = n n n⋅ 1 2 ⋅ ) ( ⋅ − = q 1 12 12 12 1 2 P12 = 112 · 266 P₁₂ = 266

APRENDER

SEMPRE

5

I. Soma dos n primeiros termos de uma PG

Considere uma PG genérica (a1, a2, a3, ..., an, ...) de razão

igual a q e diferente de 1.

Representa-se a soma dos n primeiros termos da PG da seguinte forma:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–2 + an–1 + an

Se ambos os membros da igualdade forem multiplicados por q, a igualdade não será alterada.

q · S_n = (a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n–2 + a_n–1 + a_n)q

Aplicando-se a propriedade distributiva no membro da direita:

q · Sn = a1 · q + a2 · q + a3 · q + ... + an–2· q + an–1 · q + an · q

Como qualquer termo que é multiplicado pela razão for-nece o próximo termo, pode-se reescrever a igualdade ante-rior da seguinte maneira:

q · Sn = a2 + a3 + ... + an–1+ an + an · q

Organizando as duas igualdades de tal maneira que no membro da direita os termos iguais fiquem alinhados em co-lunas, vem que:

S a a a a a q S a a a a a q n 1 2 3 n1 n n 2 3 n1 n n  

{

= + + + + + ⋅ = + + + + + ⋅ − −

Da diferença termo a termo entre as duas igualdades, vem que:

S_n – q · S_n = a₁ – a_n · q

Colocando no membro da esquerda o fator comum Snem

evidência e substituindo a_n pela fórmula do termo geral no membro da direita, segue que:

S_n · (1 – q) = a₁ – a₁ · qn–1_{· q} Sn · (1 – q) = a1 – a1 · qn Sn · (1 – q) = a1 · (1 – qn) S a 1 q 1 q n 1 n

(

)

(

)

= ⋅ − −

Note que, ao multiplicarmos o numerador e o denomina-dor dessa igualdade por – 1, a fórmula poderá ser escrita da seguinte maneira: S a q 1 q 1 n 1 n

(

)

(

)

= ⋅ − −

Observe que foi imposto que a razão q fosse diferente de 1 e, no caso em que a razão é igual a 1, a PG é constante e a soma dos seus termos é dada por:

S_n = a₁ + a₁ + a₁ + ... + a₁ + a₁ + a₁ (com o membro da direita com n fatores)

Sn = a1 · n

Observe que, na fórmula da soma dos termos da PG, o de-nominador é igual a q – 1.

Dessa forma, é necessário entender que a soma não está definida pela fórmula S a q 1

q 1 n 1 n

(

)

(

)

= ⋅ − −

, quando a razão é igual a 1. Se a razão, porém, for igual a 1, podemos reescrever a PG (a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ...). Repare: (a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ...) PG de razão 1 a1 = a1 a₂ = a₁ · q = a₁ · 1 = a₁ a3 = a2 · q = a1 · 1 = a1 a₄ = a₃ · q = a₁ · 1 = a₁ a_n = a₁

Todos os termos da PG são iguais a a1.

A soma dos n primeiros termos dessa PG, em especial, é dada por: S_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n S a a a a n 1 1 1 1 n vezes     = + + + + Sn = n · a1

Assim, se a razão da PG for igual a 1 e o primeiro termo for a1, a soma dos n primeiros termos da PG será Sn = n · a1.

01. Fesp

A soma dos seis primeiros termos da PG ₃,

)

6, 12, é: a. 12 33 b. 15 32 c. 33 d. 21 32 e. 2 3 Resolução S a 1) q 1 3 1 1 2 1 3 1 64 2 1 3 2 21 21 32 n

( )

1 2

( )

6463 = ⇒ =    ⇒ =  = = ⋅ = Alternativa correta: D

APRENDER

SEMPRE

6

(10)

Conta-se que o inventor do jogo de xadrez foi o professor de um príncipe indiano, Sissa, que resolveu dar-lhe uma lição e provar que ele nada seria sem o apoio de seu povo. Encantado com o jogo, o príncipe queria muito recompensar seu mestre por sua invenção. Então, o mestre pediu ao príncipe que depositasse um grão na primeira casa do tabuleiro, dois na segunda, quatro na terceira e, assim, sucessivamente até a última casa. A soma de todo o trigo do tabuleiro seria sua recompensa. O príncipe, abismado pela simplicidade do pedido, ordenou aos seus servos que o trigo fosse trazido. Então, estes lhe informa-ram que o número de grãos necessários equivalia a encher todos os continentes da Terra com searas. Então, Sissa renunciou ao seu pedido – que sabia impossível – e explicou ao princípe a ideia que tinha tido ao inventar o jogo. Esse, cheio de gratidão, nomeou-o seu primeiro-ministro e conselheiro.

Quantos grãos o mestre deveria ganhar?

Resolução

Sendo (1, 2, 4, 8, ..., a₆₄ )

× 2 × 2 × 2

a sequência que denota o número de grãos em cada do tabuleiro, temos: S64 a ( q ) 64

=

, como a1 = 1 e q = 2 Então, S 1 2 ) 1 2 1 grãos 64 64

=

J. Soma dos infinitos termos de uma PG

Considere uma PG em que o primeiro termo é igual a 4 e a razão é igual a 1 2. Essa PG é a sequência 4, 2, 1, 1₂, 1

4, 18, 116, 132, 164, 1128, 1256, 1512,

(

)

.

A seguir, apresenta-se uma sequência de somas dos termos da PG, aumentando-se, em cada etapa, um termo na soma. S = 4 S = 4 + 2 = 6 S = 4+ 2 + 1= 7 S 4 2 1 1 2 15 2 7,5 S 4 2 1 1 2 1 4 31 4 7,75 S 4 2 1 1 2 1 4 1 8 63 8 7,875 S 4 2 1 1 2 1 4 1 8 1 16 127 16 7,9375 S 4 2 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 255 32 7,96875 S 4 2 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 511 64 7,984375 S 4 2 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1023 128 7,9921875 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

= + + + = =

= + + + + = =

= + + + + + = =

= + + + + + + = =

= + + + + + + + = =

= + + + + + + + + = =

= + + + + + + + + + =

=

Note que, em cada etapa, acrescenta-se uma parcela à nova soma, que é cada vez menor e apresenta valor cada vez mais perto de 8. Diz-se que, no limite, essa soma converge para o valor 8.

Acompanhe, agora, a sequência de potências da base 1_{2 .} 1

2 0,5, 12 0,25, 12 0,125, 12 0,0625, ..., 12 0,00097

1 2 3 4 10

( ) ( )

=

( )

=

( )

=

( )

=

Observando os valores, percebe-se que, à medida que se aumenta o expoente, o resultado da potência se aproxima cada vez mais do zero. Em linguagem mais rigorosa, diz-se que, quando n tende ao infinito, a potência 1₂

n

( )

tende a zero. Usando uma linguagem não rigorosa, pode-se representar que

( )

1₂ ∞

=

0.

Note que essa última igualdade não tem, de fato, valor matemático e está sendo usada aqui de forma simbólica.

Em geral, pode-se provar que para –1 < q < 1, quando n tende ao infinito, qn_{tende a zero ou, usando uma linguagem simbólica, q}∞_{= 0.}

Utilizando esse argumento na fórmula S a 1 q 1 q n 1 n

(

)

(

)

= ⋅

−

, deduz-se que: S a 1 q 1 q a 1 0 1 q a 1 q 1 1 1

(

)

( )

( ) ( )

( )

= ⋅

−

= ⋅ −

−

=

−

∞ ∞

(11)

1 6 2 1 1 M a t e m á t i c a 1 6 M a t e m á t i c a e s u a s T e c n o l o g i a s E M I - 1 5 - 1 0 0 Portanto, S a 1 q 1

(

)

=

−

∞ , que é a fórmula que permite

cal-cular os infinitos termos de uma PG, quando a razão está en-tre – 1 e 1.

Exemplo

Na PG de primeiro termo igual a 4 e razão igual a 1 2, 4, 2, 1, 1 2, 14, 18, 116, 132, 164, 1128, 1256, 1512,

(

)

Segue que: S a 1 q S 4 1 1 2 S 4 1 2 1

( ) ( )

(

)

=

−

⇒ =

₋

⇒ =

∞ ∞ ∞ S_∞ = 8

Esse resultado estava sendo induzido pela soma das par-celas vistas nas passagens anteriormente apresentadas.

01.

A soma dos termos de uma PG infinita é 3. Sabendo-se que o primeiro termo é igual a 2, encontre o quarto termo dessa PG.

a. 2 27 b. 1 4 c. 2 3 d. 1 27 e. 8 Resolução S a 1 q 1 q2 q) 3 2 1 3 2 a 272 1 1 3 4

= ⇒ = ⇒

⇒

⇒ = = ⇒

a

⋅

⇒ =

Alternativa correta: A

APRENDER

SEMPRE

7 Paradoxo de Zenão

O mais famoso dos paradoxos atribuídos ao filósofo grego Zenão (que viveu por volta de 450 a.C.) é o de Aquiles e a tartaruga. Aquiles é o grande herói da obraIlíada, de Homero.

O paradoxo de Zenão diz que Aquiles iria apostar corrida com uma tartaruga. Como Aquiles era mais rápido, sua velocidade era 10 vezes a da tartaruga. Assim, ele permitiu que ela fosse na frente. Quando a tartaruga estava a 100 metros de distância, Aquiles decidiu partir. Em pouco tempo, Aquiles atingiu a marca dos 100 m, mas, nesse intervalo de tempo, a tartaruga caminhou 10 m. Em seguida, Aquiles percorreu esses 10 metros, mas a tartaruga não estava mais lá, pois percorrera mais 1 metro; quando Aquiles cobriu esse 1 metro, a tartaruga já estava 1/10 m à frente. Depois, 1/100 m à frente, 1/1 000 m e, assim, sucessivamente.

Como o espaço é infinitamente divisível, sempre haverá um ponto que Aquiles deverá atingir antes de alcançar a tartaruga. Assim, Zenão concluiu que Aquiles nunca conseguiria alcançar a tartaruga.

10 m 100 m

O erro deste raciocínio está em admitir que, somando-se essas infinitas distâncias, não se pode chegar a um número finito, isto é, teríamos um trecho de tamanho infinito para Aquiles percorrer.

Na realidade, a distância que Aquiles tem de percorrer é dada pela soma dos termos de uma PG infi-nita de razão positiva e menor que 1, resultando, portanto, em um número finito.

No caso, Aquiles teria que andar:

+ + + + + = − =

₋

=

≈

100 10 1 1 10 1 100 ... a 1 q 100 1 1 10 1 000

9 111,11 metros para alcançar a tartaruga.

1

Note, ainda, que o tempo também não é infinito. Admitindo-se que o veloz Aquiles consiga correr 100 metros em 10 segundos, ele demorará menos que 120 segundos = 2 minutos para alcançar a tartaruga.

(12)

2. Organizador gráfico

A. Progressão geométrica Características Apenas texto

Tema Tópico Subtópico Subtópicodestaque

Deﬁnição Termo geral Produto dos n

primeiros termos Soma dos n primeiros termos Soma dos inﬁnitos termos Sequências Progressões geométricas (PG) R A 2 S T U D I O / S H U T T E R S T O C K , N A D A L I N N A / T H I N K S T O C K

(13)

Calcule a razão das seguintes progressões geométricas:

a. (3, 6, 12, ...) b.

(

6, 1, 1

−

)

6, 1 36, ... c. (an–5_{, a}n–3_{, a}n–1_{, ...)}

Módulo 55

Progressão geométrica – Definição e termo geral

Exercícios de

Aplicação

02.

Em uma progressão geométrica (PG), o primeiro termo é igual a 5 e a razão é igual a 2. Determine o décimo primeiro termo da PG. Resolução a. b. c. q 6 3 2 q 1 6 1 6 q a a a a n 3 n 5 n 3 (n 5) 2

= =

= − = −

=

−₋

=

− − −

=

Resolução Primeiro termo: a₁ = 5 Razão da PG: q = 2 Termo geral: an = a1 · qn–1

Décimo primeiro termo: a₁₁ = a₁ · q11–1

a₁₁ = 5 · 210

a11 = 5 · 1 024 = 5 120

(14)

1 6 2 1 1 M a t e m á t i c a 1 9 M a t e m á t i c a e s u a s T e c n o l o g i a s E M I - 1 5 - 1 0 0 03. UFRGS-RS

Os lados de um terreno triangular têm medidas diferen-tes, as quais, em certa ordem, formam uma progressão geo-métrica crescente. O conjunto dos possíveis valores da razão dessa progressão é o intervalo:

a. 5 1 2 , 5 12

(

− +

+

)

b. 5 1 2 , 5 1 2

(

− +

)

c. 1, 2 5 1 2

(

−

)

d.

( )

1, 5₂ e. 1, 5 1 2

(

+

)

Exercícios

Extras

04. IME-RJ

Seja a_i um dos termos da progressão geométrica com oito elementos 2,1,_2,1, 1

4,...

)

(

, e S = log₂ a₁ + log₂ a₂ + ... + log₂ a₈. Seb

= −

S ef x x b x b

= + + −

5 ( ) 2 2 , o valor de f(1) será: a. – 7 b. 7 c. 11 d. – 11 e. 1 05. UFF-RJ

Numa progressão geométrica (PG) decrescente, o primei-ro termo é um númeprimei-ro real positivo e cada termo, a partir do terceiro, é igual à sexta parte da soma dos dois termos ime-diatamente anteriores. Determine a razão dessa PG.

x · q2_{< x + x · q}

Dividindo ambos os membros por x e sendo este positivo, vem que: q2_{< 1 + q} q2_{< 1 + q}

⇒

_q2_{– q – 1 < 0} Resolvendo a inequação q2_{– q – 1 < 0.} q2_{– q – 1 < 0} Raízes: q2_{– q – 1 = 0}

∆

= (–1)2_{– 4 · 1 · (–1) = 5}

= ±

⇒

= −

= +











q 1 5 2 q 1 5 2 ou q 1 5 2 1₋ 5 2 1₊ 5 2 –

Os valores de q na inequação q2_{– q – 1 < 0 são:}

1 5

2

1 5

2

−

_{< < +}

_q

A razão, no entanto, deve ser maior que 1, isto é, q > 1. Portanto, os valores de q são dados por: 1 1 5

2

< < +

q . Alternativa correta: E

Habilidade

Efetuar cálculos utilizando conhecimentos de progres-sões geométricas.

Resolução

A medida do menor lado do triângulo será indicada por x e a razão da PG por q.

Assim, os lados do triângulo em ordem crescente são da-dos por: x, x · q, x · q2_.

De acordo com o enunciado, os lados do triângulo são dis-tintos e a PG é crescente.

Como o primeiro termo é positivo, a razão deve ser maior que 1.

Depreende-se da desigualdade triangular que o maior lado do triângulo deve ser menor que a soma dos outros dois lados.

(15)

Exercícios

Propostos

Da teoria, leia os tópicos 1A, B, C, e D.

Exercícios de tarefa reforço aprofundamento

06.

Determine a razão de cada PG a seguir.

a. (64, 32, 16, 8, ...)

b. ( 2, 2, 2 2,)

c. (–1, 1, –1, ...)

Seu espaço

07.

Em uma progressão geométrica (PG), o primeiro termo é igual a 128 e a razão é igual a 1₂ . Determine o oitavo termo da PG.

08.

Dada a PG (2, 6, 18, ...), determine:

a. o quarto termo da sucessão;

b. o nono termo da progressão;

c. a posição do número 486 na sequência.

Sobre o módulo

Este módulo trata de um tipo especial de sequência denominada progressão geométrica (PG).

O foco principal está em reconhecer a sequência que é uma PG. Sugerimos trabalhar bem o termo geral da PG e utilizar a pro-priedade de que três termos consecutivos da PG têm o quadrado do termo central igual ao produto dos outros dois. Neste caso em particular, propomos não se usar a propriedade como uma fórmula, mas sim como uma comprovação de que a razão da PG, utilizando o segundo e o primeiro termo, é igual à razão da PG usando o terceiro e o segundo termo.

(16)

Numa PG de quatro termos, a soma dos termos de ordem par é 10 e a soma dos termos de ordem ímpar é 5. Então, o quarto termo dessa progressão é:

a. 6 b. 7 c. 8 d. 10 e. 15 10. UFTM-MG

O quarto termo de uma progressão geométrica descrita pela sequência an = (–3)–n, com n

∈

¥ , é:

a. ₂₇1 b. ₈₁1 c. 1 243

−

d. 1 27

−

e. 1 81

−

11. UPE

Em uma progressão geométrica estritamente crescente com razão igual ao triplo do primeiro termo e na qual o quarto termo é igual a 16 875, é correto afirmar que:

a. o terceiro termo é igual a nove vezes o primeiro termo.

b. a soma dos três primeiros termos é igual a 241 vezes o primeiro termo.

c. o segundo termo é igual a 9 vezes o quadrado do pri-meiro termo.

d. a soma do primeiro e do terceiro termo é igual a 25 ve-zes o segundo termo.

e. os termos também estão em progressão aritmética.

12. UFRGS-RS

Numa PG de razão positiva, o primeiro termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois primeiros é 24. Nessa pro-gressão a razão é: a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 13. Enem

Fractal (do latim fractus, fração, quebrado) — objeto que

pode ser dividido em partes que possuem semelhança com o objeto inicial. A geometria fractal, criada no século XX, estuda as propriedades e o comportamento dos fractais — objetos geométricos formados por repetições de padrões similares.

O triângulo de Sierpinski, uma das formas elementares da geometria fractal, pode ser obtido por meio dos seguintes passos:

1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);

2. construa um triângulo em que cada lado tenha a meta-de do tamanho do lado do triângulo anterior e faça três cópias;

3. posicione essas cópias de maneira que cada triângu-lo tenha um vértice comum com um dos vértices de cada um dos outros dois triângulos, conforme ilustra a figura 2;

4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para cada có-pia dos triângulos obtidos no passo 3 (figura 3).

...

Figura 1 Figura 2 Figura 3

De acordo com o procedimento descrito, a figura 4 da se-quência apresentada acima é:

a. b. c. d. e. 14. UFRGS-RS

Em uma progressão geométrica de razão positiva, o se-gundo termo é 8 e o oitavo, 1

8. A soma dos dois primeiros termos é: a. 24 b. 16 c. 12 d. 8 e. 4 15. UFRGS-RS

Considere a PG finita e crescente cujo sétimo termo (a7)

seja igual a 5, o décimo primeiro (a11) igual a 80 e o último

termo seja 2 560. Determine:

a. o primeiro termo (a1) e a razão dessa PG;

b. o número dos termos da progressão.

16. UEPA

Um carro, cujo preço à vista é R$ 24.000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o restante em 5 parcelas que se encontram em progressão geométrica. Um cliente que optou por esse plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda parcela seria de R$ 4.000,00 e a quarta parcela de R$ 1.000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na aqui-sição desse carro?

(17)

Em uma PG de três termos positivos, o produto deles é igual a 8. Determine o segundo termo da sequência.

03. UFla-MG

Um naturalista observou que o número de ramos de uma espécie arbórea cresce como uma progressão geométrica ao longo dos anos. Se o número de ramos em certo ano é igual à soma dos números de ramos dos dois anos anteriores, qual a razão dessa progressão?

a. 1 5 2

+

b. 5 c. 2 d. 1 2 e. 1 2 2

−

Módulo 56

Progressão geométrica – Notações auxiliares e interpolação geométrica

Exercícios de

Aplicação

Exercícios

Extras

04.

Em uma PG decrescente de quatro termos positivos, a ra-zão é igual a 1₂ e o produto dos termos é igual a 4. O terceiro termo da PG é igual a: a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 05. UFES

Qual a razão de uma PG de três termos, em que a soma dos termos é 14 e o produto 64?

a. q = 4

b. q = 2

c. q = 2 ou q = 1₂

d. q = 4 ou q = 1

02.

Interpole três meios geométricos positivos entre 1 e 16.

Resolução

Considere a PG de três termos







_qx,x,xq .



_



Produto dos termos: x_q

⋅ ⋅ =

x xq 8 x3_{= 8}

=

x 38 x = 2

O segundo termo é igual a 2.

Resolução

Interpolar 3 meios geométricos significa completar a se-quência de tal forma que 1 e 16 sejam os extremos de uma PG e essa tenha 5 termos.

(1, _. _, _, 16) PG

Primeiro termo da PG: a1 = 1

Quinto termo da PG: a₅ = 16

Fórmula do termo geral: a_n = a₁ · qn–1

a5 = a1 · q5–1 16 = 1 · q4 q4_{= 16} q = ± 2 q = –2 (não serve) ou q = 2 A sequência é (1, 2, 4, 8, 16). Resolução  PG: a q,a,a q, a q a a q aq aq a q q 0 aq aq a aq a q 1 q q 1 0 q 1 1 4 2 q 1 5 2 q 1 5 2 2 2 2 2 (PG crescente)

)

(

⋅









_



⋅ = + ⇒

= +

>

= + = = +

− − =

= ± + ⇒ = ±

⇒

= +

Alternativa correta: A Habilidade

Efetuar cálculos utilizando conhecimentos de progres-sões geométricas.

(18)

Seu espaço

Exercícios

Propostos

Da teoria, leia os tópicos 1E e F.

06.

Determine o segundo termo de uma PG de três termos po-sitivos na qual o produto dos termos é igual a 1.

07.

Inserir dois meios geométricos entre 1 e 8.

08.

Quantos meios geométricos devem ser inseridos entre 4 e 324 para que a razão da PG constituída seja igual a 3?

09.

Três números positivos colocados em determinada or-dem constituem uma progressão geométrica. O produto dos números é igual a 1 e a soma deles é igual a 31

5 . O maior des-ses números é: a. ₂₅1 b. 1 5 c. 1 d. 5 e. 75 10.

O produto de cinco termos positivos de uma PG é igual a 1 515 .

Determine o terceiro termo da PG.

11.

Inserir três meios geométricos positivos entre 1₂ e 1 32 .

12.

Três números positivos colocados em determinado or-dem constituem uma progressão geométrica. Se o produto dos números for igual a 1 331, então o número intermediário entre esses números será:

a. 7 b. 8 c. 10 d. 11 e. 13 13.

Entre os números 50 e 6 400 são interpolados 6 meios aritméticos. A razão da PG formada é:

a. – 2 b. 2 c. 3 d. –3 e. 4 14. Mackenzie-SP

O sexto termo de uma PG, na qual dois meios geométricos estão inseridos entre 3 e –24, tomados nessa ordem, é:

a. –48 b. –96 c. 48 d. 96 e. 192 15.

O produto de três números é igual a _{64 . Colocados em}1 ordem crescente constituem uma PG. O segundo termo dessa PG é igual a: a. 1 b. 1₂ c. 1 3 d. 1 4 e. 1 5 16.

Interpole 3 meios geométricos positivos entre 5 e 405.

Sobre o módulo

Este módulo abordará aplicações sobre interpolação geométrica e notações auxiliares.

Apresentar as notações auxiliares de três, quatro e cinco termos, enfatizando que elas são importantes, principalmente se mencionado o produto dos termos.

Quanto à interpolação, mencionar que inserir meios geométricos é o mesmo que interpolar meios geométricos. Bom trabalho!

(19)

1 6 2 1 1 M a t e m á t i c a 2 4 M a t e m á t i c a e s u a s T e c n o l o g i a s E M I - 1 5 - 1 0 0 01. UFRJ

Considere a PG (1, a, b, c, d, 64). Determine o valor de b · c.

03. UFRGS-RS

Na figura abaixo, os círculos que se interceptam são tan-gentes, e as duas retas são tangentes a todos os círculos. Sa-bendo que a área do disco menor é 6 m2_{e a do maior é 24 m}2_,

conclui-se que a área do outro disco é:

a. 8 m2 b. 10 m2 c. 11 m2 d. 12 m2 e. 15 m2

Módulo 57

Progressão geométrica – Propriedades

Exercícios de

Aplicação

02.

Considere os três círculos a seguir que são tangentes en-tre si e tangentes às retas r e s. Demonsen-tre que as medidas dos raios, em ordem crescente ou decrescente, constituem uma progressão geométrica.

r

s Resolução

Os raios dos círculos, em ordem crescente, constituem uma PG. Denominando de r o raio do círculo intermediário, segue a PG:

(r₁, r, r₃) e r2_{= r} 1 · r3

A sequência das áreas, mantida a ordem, é

(

π π π

r , r , r12 2 32

₎

.

Essa sequência também é uma PG, pois (

π

r2 2) = r

π ⋅ π

r .

12 32

Sendo (6,

π

r2_{, 24) uma PG, tem-se que:}

(

π

r2_{)2 = 6 · 24}

(

π

r2_{)2 = 144}

π

r2_{= 12}

Área do círculo intermediário: A = 12 Alternativa correta: D

Habilidade

Resolver problemas que envolvam média geométrica.

Resolução

Os termos b e c são equidistantes dos extremos. Dessa forma, o produto deles é igual ao produto dos extremos. Daí, segue que:

b · c = 1 · 64 = 64

Resolução

Observe a figura a seguir.

r t s r 1 r 1 r 2 r 2 r 3 r 3 – r2 r 2 – r1

A reta t passa pelos centros das três circunferências e pe-los pontos de tangência entre elas.

Os triângulos hachurados são semelhantes entre si. Da semelhança, segue que:

−

− =

+

r r r r r r r r 3 2 2 1 3 2 2 1

Nessa proporção, o produto dos extremos é igual ao pro-duto dos meios.

(r3 – r2)(r2 + r1) = (r2 – r1)(r3 + r3)

r3r2 + r3r1 – r22 – r2r1 = r3r2 + r22 – r3r1 – r2r1

r₃r₁ – r₂2_{= r}

22 – r3r1

⇒

2r3r2 = 2r22

⇒

r3r1 = r22

Observe que, considerando a sequência, (r₁, r₂, r₃), o termo central ao quadrado é igual ao produto dos outros dois termos.

Dessa forma, a sequência é uma PG.

A igualdade r3r1 = r22 poderia ainda ser vista na forma:

=

r r r r 3 2 2 1 .

Nessa, a razão entre um termo e o anterior é constante, confirmando que é uma PG.

(20)

Exercícios

Extras

04.

A sequência de números reais x – 2, x2

+

11_{, x+7 é} uma progressão geométrica cujo oitavo termo é:

a. 396 b. 390 c. 398 d. 384 e. 194 05. UFPE

Cinco números distintos A, B, C, 21 e D estão, nesta or-dem, em progressão aritmética, de modo que, ao eliminarmos C e 21, temos uma progressão geométrica. Determine a soma dos cinco números.

Seu espaço

Exercícios

Propostos

Da teoria, leia o tópico 1G.

06.

Considere a PG (2, a, b, c, d, e, f, g,h, 3). Determine o pro-duto b · g . 07. Dada a PG (x, 2x, 7+5x,...), determine: a. o(s) valor(es) de x; b. o décimo termo. 08.

Determine o valor de x para que os números x – 1, x e x + 3, nessa ordem, constituam uma progressão geométrica.

09.

Os números x, x+1 e x + 4, nessa ordem, constituem uma progressão geométrica. A razão da PG é igual a:

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 10. PUC-RJ

A sequência (2, x, y, 8) representa uma progressão geo-métrica. O produto xy vale:

a. 8 b. 10 c. 12 d. 14 e. 16 11. Fuvest-SP

O quinto e o sétimo termo de uma PG valem, respectiva-mente, 10 e 16. O sexto termo dessa PG é:

a. 14 b. 10 6 c. 4 d. 4 10 e. 10 12. Insper-SP

Dado um número positivo x, define-se a sequência (log4, log8, logx).

A sequência dada é uma progressão geométrica se, e so-mente se, o valor de x for igual a:

a. 12 2 b. 16 c. 16 2 d. 32 e. 32 2 13. Fuvest-SP

Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética

de razão r, de tal modo que a₁ + 3, a₂ – 3, a₃ – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a1> 0 e a2= 2,

con-clui-se que r é igual a:

a. 3

+

3 b. 3

+

₂3 c. 3 3 4

+

d. 3 3 2

−

e. 3

−

3 14. EFOMM-RJ

Se a sequência de inteiros positivos (2, x, y) é uma pro-gressão geométrica e (x + 1, y, 11), uma propro-gressão aritméti-ca, então, o valor de x + y é:

a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15 15. UFOP-MG

Suponha que os números reais 1 − r, 1 e 1 + r sejam, nes-sa ordem, três termos consecutivos de uma progressão arit-mética de razão r ≠ 0.

Determine r de modo que as imagens f(1 − r), f(1) e f(1 + r) desses números pela função f(x) = 3x2_{sejam, nessa ordem,}

três termos consecutivos de uma progressão geométrica.

16. FGV-SP

A sequência de termos positivos (a1, a2, a3, ... an, ...) é uma

progressão geométrica de razão igual a q. Podemos afirmar que a sequência (Iog a₁, Iog a₂, Iog a₃, ...log a_n...) é:

a. uma progressão aritmética de razão q.

b. uma progressão geométrica de razão q.

c. uma progressão geométrica de razão log q.

d. uma progressão aritmética de razão log q .

e. uma progressão aritmética de razão (Iog a1 – log q).

Sobre o módulo

Este módulo refere-se a duas importantes propriedades da progressão geométrica (PG).

A principal ênfase está na propriedade dos três termos consecutivos da PG. Comentar aqui que, para termos positivos, o termo central é a média geométrica dos outros dois. Usar a razão da P G, sempre justificando a propriedade.

(21)

Calcular a soma S = log 5 + log 25 + log 125 +... + log 514_.

Note e adote: log 5 = 0,70

Sabendo que o comprimento vertical da primeira ramifi-cação é de h1 = 1 m, qual o comprimento vertical total da raiz,

em metros, até h₁₀? a. 1 2 1 1 210

)

(

−

b. 1 2

(

1 1

−

29

)

c. 2 1 1 210

)

(

−

d. 2 1 1 1010

)

(

−

e. 2 1 1 29

)

(

−

Módulo 58

Progressão geométrica – Produto de n termos de

uma PG; soma de n termos de uma PG

Exercícios de

Aplicação

02.

Quantos termos da progressão geométrica (1, 2, 4, ...) de-vemos somar para que a soma seja 1 023?

03. UEL-PR

A figura a seguir representa um modelo plano do desen-volvimento vertical da raiz de uma planta do mangue. A par tir do caule, surgem duas ramificações da raiz e em cada uma delas surgem mais duas ramificações e, assim, sucessiva-mente. O comprimento vertical de uma ramificação, dado pela distância vertical reta do início ao fim da mesma, é sempre a metade do comprimento da ramificação anterior.

au e m m m m 1 2 Resolução

Os comprimentos das ramificações, em metros, consti-tuem a progressão geométrica 1,1

2, 122,... ,

)

(

cujo primeiro ter-mo é 1 e a razão vale 1

2.

Queremos calcular a soma dos dez primeiros termos des-sa sequência, ou seja:

)

(

= ⋅

−

_{− = ⋅}

−

=

−

= ⋅ −

S a 1 q 1 q 1 1 1 2 1 1 2 1 ₂1 1 2 2 1 1 2 10 1 10 10 10 10 Alternativa correta: C Habilidade

Resolver problemas que envolvam progressões geomé-tricas.

Resolução

S = log 5 + log 25 + log 125 + ... + log 514

S = log (5 · 25 · 125 · ... · 514₎

S = log (5 · 52_{· 5}3_{· ... · 5}14₎

S = log (51_{· 5}2_{· 5}3_{· ... · 5}14₎

O logaritmando é o produto dos termos de uma PG.

)

(

=

( + )⋅ S log 51 1 4 142 S = log (5105₎ S = 105 · log 5 S = 105 · 0,70 S = 73,5 Resolução

Existe n na PG (1, 2, 4, ..., aN, ...) tal que SN = 1 023, daí temos: S a (1 q ) 1 q N 1 N

=

−

1023 1(1 2 ) 1 2 N

=

₋

−

⇒

1 023 = 2N – 1 2N = 1 024

⇒

2N = 210

⇒

N = 10

(22)

Exercícios

Extras

04. Vunesp

Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas neste investi-mento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é: Dado: 1,01361_{≈ 36} a. 290,00 b. 286,00 c. 282,00 d. 278,00 e. 274,00 05. UFSM-RS

No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas cooperativas.

Visando a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir na compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para a compra, são deposita-dos, no primeiro dia de cada mês, R$ 600,00 em uma apli-cação financeira que rende juros compostos de 0,6% ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao final de n meses, é: a. 100.600[(1,006)n_{– 1]} b. 100.000[(1,06)n_{– 1]} c. 10.060[(1,006)n_{– 1]} d. 100.600[(1,06)n_{– 1]} e. 100.000[(1,006)n_{– 1]}

Seu espaço

Exercícios

Propostos

Da teoria, leia os tópicos 1H e 1I.

06.

Determine o produto dos 6 primeiros termos de uma PG que possui primeiro e segundo termos iguais respectivamen-te a 3 e 6.

07. UFAM

Uma empresa contratou um empregado para trabalhar de segunda a sexta durante duas semanas. O dono da em-presa pagou R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o dobro do que ele recebeu no dia anterior. Quanto o empregado recebeu pelos 10 dias que trabalhou?

a. R$ 511,00 b. R$ 660,00 c. R$ 830,00 d. R$ 941,00 e. R$ 1.023,00 08.

Seja s a soma dos n primeiros termos da PG (1, 3, 9, 27, ...). A soma dos n primeiros termos da PG 1, 1

3, 19,

(

)

em função de s, é: a. 3s 2s 1

+

b. 2s s 1

−

c. 5s d. 2s 1 3s

+

e. s 2 09. UFPB

Hélio comprou, em uma loja, uma máquina de lavar rou-pas, no seguinte plano de pagamento: 10 parcelas, sendo a primeira de R$ 256,00 e o valor de cada parcela, a partir da segunda, correspondendo a 50% do valor da anterior. Hélio pagou pela máquina de lavar o valor total de:

a. R$ 511,75 b. R$ 511,50 c. R$ 511,00 d. R$ 510,50 e. R$ 510,00 10. UFRGS-RS

Considere que a espiral representada na figura abaixo é formada por oito semicírculos cujos centros são colineares. O primeiro semicírculo tem diâmetro 8 e, para cada um dos demais semicírculos, o diâmetro é a metade do diâmetro do semicírculo anterior. 1 2 4 5 Sobre o módulo

Este módulo tratará da soma finita de PG e do produto dos n termos de uma PG. A maior ênfase será dada à soma.

(23)

O comprimento dessa espiral é:

a.

π

b. 8 3

π

c. 24 7

π

d. 255 32

π

e. 255 16

π

11. UFPR

Um quadrado está sendo preenchido, como mostra a se-quência de figuras a seguir.

Quadrado original

Passo 1 Passo 2 Passo 3

No passo 1, metade do quadrado original é preenchido. No passo 2, metade da área não coberta no passo anterior é preenchida. No passo 3, metade da área não coberta nos pas-sos anteriores é preenchida e assim por diante.

a. No passo 4, que percentual do quadrado original esta-rá preenchido?

b. Qual é o número mínimo de passos necessários para que 99,9% do quadrado original sejam preenchidos?

12. UFRGS-RS

Numa sequência de quadrados, o primeiro tem lado igual a 1, e o lado de cada um dos seguintes é igual à diagonal do quadrado anterior.

A soma das áreas dos dez primeiros quadrados dessa sequência é: a. 1 023 b. 1 024 c. 2 047 d. 2 048 e. 4 096 13. PUC-SP

A soma dos n primeiros termos da sequência (6, 36, 216,..., 6n_{,...) é 55 986. Nessas condições, considerando}

log2 = 0,30 e log3 = 0,48, o valor de log n é:

a. 0,78 b. 1,08 c. 1,26 d. 1,56 e. 1,68 14. UFG-GO

Um detalhe arquitetônico, ocupando toda a base de um muro, é formado por uma sequência de 30 triângulos retân-gulos, todos apoiados sobre um dos catetos e sem sobrepo-sição. A figura a seguir representa os três primeiros triângulos dessa sequência.

...

Todos os triângulos têm um metro de altura. O primeiro triângulo, da esquerda para a direita, é isósceles e a base

de cada triângulo, a partir do segundo, é 10% maior que a do triângulo imediatamente à sua esquerda.

Dado: 1130_{≈ 1,745 · 10}31

Com base no exposto:

a. Qual é o comprimento do muro?

b. Quantos litros de tinta são necessários para pintar os triângulos do detalhe, utilizando-se uma tinta que ren-de 10 m2_{por litro?}

15. PUC-RJ

O “poder” de uma fofoca

Um senhor, há muito tempo, tanto falou que seu vizinho era ladrão, que o rapaz acabou pre-so! Dias depois, descobriram que era inocente.

O rapaz foi solto e processou o homem. No tribunal, o velho diz ao juiz:

— Comentários não causam tanto mal. E o juiz responde:

— Escreva os comentários num papel, depois pique e jogue os pedaços no caminho de casa. Amanhã, volte para ouvir a sentença.

O senhor obedeceu e voltou no dia seguinte. — Antes da sentença, terá que catar os peda-ços de papel que espalhou ontem – disse o juiz.

Responde o velho:

— Não posso fazer isso. O vento deve tê-los espalhado, já não sei onde estão.

Responde o juiz:

— Da mesma maneira, um simples comentá-rio pode destruir a honra de um homem, a pon-to de não podermos consertar o mal. Se não se pode falar bem de uma pessoa, é melhor que não se diga nada.

O fofoqueiro precisa, de uma forma discreta, denegrir a imagem do seu concorrente dentro do reduto de clientes nos níveis nacional e internacional. É necessário que a fofoca atinja um grupo de trezentas mil pessoas e, para ser discreto, num período de 5 minutos, contou essa fofoca para duas pes-soas, instruindo que cada uma dessas duas pessoas levasse cinco minutos para contar a fofoca a outras duas novas pes-soas. Sucessivamente isso foi feito. Considerando que, para todos se protegerem, uma pessoa conta a fofoca apenas uma vez para outras duas pessoas, em quanto tempo todo o redu-to de clientes saberá da fofoca?

(Considerar 100,5

≈

_{3 e 10}0,3

≈

_2.)

a. Em um tempo entre 1 e 2 semanas

b. Em um tempo entre 1 a 2 anos

c. Em um tempo entre 1 e 2 dias

d. Em um tempo entre 1 e 2 meses

e. Em um tempo entre 1 e 2 horas

16.

Determine o produto dos 12 primeiros termos de uma PG que possui primeiro e segundo termos iguais respectivamen-te a 1

(24)

1 6 2 1 1 M a t e m á t i c a 2 9 M a t e m á t i c a e s u a s T e c n o l o g i a s E M I - 1 5 - 1 0 0 03. PUC-RS Um pêndulo simples de comprimento L é colocado em movimento e tem sua pri-meira oscilação formando um arco que mede 2 000 centí-metros, conforme a figura.

O comprimento do arco que correspondente à

segun-da oscilação será de 3_{4 do comprimento do arco que} corres-ponde à primeira. O comprimento do arco da oscilação seguinte será de 3

4 do comprimento do arco anterior e assim por diante. Supondo que o movimento do pêndulo não seja interrompido, a soma dos comprimentos de todos os arcos percorridos será de ________ metros. a. 50 b. 80 c. 160 d. 80 000 e. 160 000 01. UFPA

A soma da série infinita 1 1 5 1 25 1 125 ...é:

+ + + +

a. 6 5 b. 7₅ c. 5₄ d. 2 e. 7₄

Módulo 59

Progressão geométrica – Soma de infinitos termos

Exercícios de

Aplicação

L 02. UFPI O valor de x na equação 2x 3 x 6 x 24 x 96 ... 4 é:

+ + + + + =

a. 4,0 b. 4,5 c. 5,0 d. 5,5 e. 6,0 Resolução 2 000 cm = 20 m

Oscilação Comprimento do arco em metros

1o _{20 m} 2o 3 4·20m 3o 3 4·34·20m . . . . . . Soma dos comprimentos dos arcos:

+ ⋅ + ⋅ ⋅ +…

=

= −

=

−

⇒ = =

=

∞ ∞ ∞ ∞ 20 3 4 20 34 3 4 20 SomadePGinfinita: PG: a 20; q 3 4 S a 1 q S 20 1 3 4 S 20₁ 4 20·4 1 80 S 80 m 1 1 Alternativa correta: B Habilidade

Resolver problemas que envolvam progressões geomé-tricas. Resolução q a a 1 5 1 1 5 S a 1 q S 1₄ 5 S 5 4 2 1 1

= − =

= −

=

∞ ∞ ∞ Alternativa correta: C Resolução

A soma é de uma PG infinita de razão 1₄.

S 2x 3 1 1 4 4 = − = ∞ 2x 3

= −

4 1 x = 4,5 Alternativa correta: B