Analise3-A8

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Narciso Gomes 1

Universidade de Cabo Verde

Departamento Ciˆ

encia & Tecnologia

Texto te´

orico de An´

alise Matem´

atica III

Prof. Narciso Resende Gomes

Ano lectivo: 2011/2012

• Aten¸cão: Este texto não é uma receita. É apenas um texto feito e seguido pelo professor nas aulas teóricas. O aluno tem a obriga¸cão de consultar outros textos/manuais mormente a bibliografia indicada pelo professor!!

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1.1 Crit´erio dos valores pr´oprios da Hessiana . . . 4

1.2 Teorema de Weierstrass para campos escalares . . . 4

2 Extremos condicionados . . . 4

2.1 Multiplicadores de Lagrange . . . 5

Referˆ

encias

[1] A. Breda e J. Costa, Cálculo com fun¸cões de várias variáveis. McGraw Hill-Portugal, Lisboa, 1996.

[2] E. Lima, An´alise Real - Vol. 2. Rio de Janeiro, Brasil, 2004.

[3] H. Bertolossi, Cálculo diferencial a várias variáveis. Edi¸cões Loyola e editora PUC-Rio, São Paulo, Brasil, 2002.

[4] S. Lang, Calculus of Several Variables. Adison-Wesley, 1973. [5] T. Apostol, C´alculo (Vol. 2). Editora Revert´e, 1996.

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2 Aula teórica de apoio - Análise Matemática III, UniCV

1 Extremos

Primeiramente, considera-se f uma fun¸cão real de duas variáveis reais, ou seja, f : D ⊂ R2 _{→ R. Assim, (a, b) ∈ D. Para fun¸cões de mais de duas variáveis (n > 2),}

terá estudo na seçcão posterior.

Defini¸cão 1: Seja f uma fun¸cão real de duas variáveis, definida num dom´ınio D. Diz-se que f tem um máximo relativo (ou máximo local) no ponto (a, b) ∈ D se

f (x, y) ≤ f (a, b), (x, y) ∈ D numa vizinhan¸ca de (a, b).

Defini¸cão 2: Seja f uma fun¸cão real de duas variáveis, definida num dom´ınio D. Diz-se que f tem um m´ınimo relativo (ou m´ınimo local) no ponto (a, b) ∈ D se

f (x, y) ≥ f (a, b), (x, y) ∈ D numa vizinhan¸ca de (a, b).

Defini¸c˜ao 3: Seja f uma fun¸c˜ao real de duas vari´_{aveis, definida em D ∈ R}2_{. Diz-se que}

f tem um m´aximo global (ou m´aximo absoluto) no ponto (a, b) ∈ D se f (x, y) ≤ f (a, b), ∀(x, y) ∈ D.

Defini¸c˜ao 4: Do mesmo modo, diz-se que f tem um m´ınimo global (ou m´ınimo absoluto) no ponto (a, b) ∈ D se

f (x, y) ≥ f (a, b), ∀(x, y) ∈ D.

Teorema 1.1: Se a fun¸c˜ao f , definida no dom´ınio D, admite um extremo num ponto (a, b) ∈ D ent˜ao:

(a) (a, b) é um ponto cr´ıtico (ou ponto de estacionaridade) de f , isto é, ~∇f (a, b) = ~0. (b) (a, b) é um ponto singular de f , isto é, ~∇f (a, b) não existe.

Corol´ario 1:

• Um ponto cr´ıtico denomina-se ponto de sela se f n˜ao possui um extremo nesse ponto.

• O ponto (a, b) diz-se um extremante de f , se f (a, b) for extremo. Os extremantes podem ser minimizante no caso de f (a, b) ser m´ınimo e maximizante no caso de f (a, b) ser m´aximo.

Defini¸cão 5: Um ponto ponto cr´ıtico (a, b) ∈ D é candidato a extremante de f se: (i) f não é a´ı diferenciável;

ou,

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Geometricamente, um ponto é ponto cr´ıtico de uma fun¸cão num ponto quando o gráfico da fun¸cão nesse ponto não tem plano tangente ou o plano tangente é horizontal. Os pontos de extremos locais (máximos ou m´ınimos) são portanto pontos cr´ıticos. Um ponto cr´ıtico que não é máximo local nem m´ınimo local é chamado de ponto de sela.

M´ınimo M´aximo Sela

Teorema 1.2: Sejam f : D ⊂ R2 _{→ R e (a, b) ∈ D um ponto cr´ıtico de f, tal que f ∈ C}2

na sua vizinhan¸ca. Considere-se o determinante da matriz Hessiana (Hessiano) de f no ponto (a, b): detHess(f )(a, b) = ∂2_f ∂x2(a, b) ∂2_f ∂x∂y(a, b) ∂2_f ∂y∂x(a, b) ∂2_f ∂y2(a, b) .

(i) Se detHess (f )(a, b) > 0 e ∂_∂x2f2(a, b) > 0, ent˜ao f possui um m´ınimo local em (a, b).

(ii) Se detHess (f )(a, b) > 0 e ∂_∂x2f2(a, b) < 0, ent˜ao f possui um m´aximo local em (a, b).

(iii) Se detHess(f )(a, b) < 0, então f é um ponto de sela de f . (iv) Se detHess(f )(a, b) = 0, então nada se pode concluir. Exemplo 1: Determine os extremos da fun¸cão seguinte:

f (x, y) = x2+ xy + y2+ 3x − 3y + 4.

De facto, a fun¸cão é de classe C∞. Então em qualquer máximo ou m´ınimo a gradiente ´

e zero. Ou seja, ∇f (x, y) = 0 ou equivalentemente ∂f_∂x = 0 e ∂f_∂y = 0. Então obtém-se um sistema de duas equa¸cões

2x + y = −3 ∧ x + 2y = 3,

onde obtemos a solu¸cão (x, y) = (−3, 3), que é o ponto candidato ao extremo. Pode-se ver que Hess(f )(−3, 3) > 0 e ∂_∂x2f2(−3, 3) > 0, então f possui um m´ınimo local em (−3, 3).

Exerc´ıcio 1: Encontre os extremos locais da fun¸c˜ao f (x, y) = y2 + xy − 2x − 2y. Exerc´ıcio 2: Encontre os extremos locais da fun¸c˜ao f (x, y) = x3_{− 3x}2_{+ y}2_.

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Teorema 1.3: Caso Geral - Seja f : D ∈ Rn _{→ R uma fun¸c˜ao de classe C}2_{. Suponha}

que x0 ∈ D seja um ponto cr´ıtico de f . Sejam λ1, λ2, . . . , λn os valores pr´oprios da

matriz hessiana de f em x0 ∈ D: Hess(f )(x0) =       ∂2_f ∂x2 1(x0) ∂2_f ∂x1∂x2(x0) · · · ∂2_f ∂x1∂xn(x0) ∂2_f ∂x2∂x1(x0) ∂2_f ∂x2 2(x0) · · · ∂2_f ∂x2∂xn(x0) .. . ... . .. ∂2_f ∂xn∂x1(x0) ∂2_f ∂xn∂x2(x0) · · · ∂2_f ∂x2 n(x0)       .

1.1 Crit´

erio dos valores pr´

oprios da Hessiana

Se os valores pr´oprios λ1, λ2, . . . , λn da matriz Hessiana

1. são todos positivos então f (x0) é um m´ınimo local de f ;

2. são todos negativos então f (x0) é um máximo local de f ;

3. tomam sinais contrários, então f não possui extremante em x0; Dizemos que x0

´e um ponto de sela.

Exerc´ıcio 3: Determine, caso existirem, os extremos da fun¸c˜ao f (x, y, z) = −3₂x4_{+ 6x}3₋

6x2+ x2z − 2xz − 2y2− 12y − 18 − 3 2z

2_.

1.2 Teorema de Weierstrass para campos escalares

Teorema 1.4: Um campo escalar f de classe C0 _{assume, num subconjunto fechado e}

limitado D de Rn_{, um m´}_{aximo e um m´ınimo globais.}

Exerc´ıcio 4: Determine os extremos absolutos da fun¸c˜ao f no dom´ınio D indicado f (x, y) = xy(3 − x − y), D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 ∧ x + y ≤ 3}.

2 Extremos condicionados

Nesta seçcão, estudar-se-á um método eficaz na determina¸cão de extremos, chamado método de multiplicadores de Lagrange. Este método é espec´ıfico para problemas que se conhece o dom´ınio de trabalho, ou seja, o problema tenha fun¸cão de restri¸cão pr´ e-definida.

Considere a fun¸cão f de n variáveis, f = f (x1, x2, . . . , xn) com m fun¸cões de restri¸cão

g = (g1(x1, x2, . . . , xn), g2(x1, x2, . . . , xn), . . . , gm(x1, x2, . . . , xn)) = 0. Se as vari´aveis

não forem independentes mas satisfazem as restri¸cões anteriores, pode-se isolar cada variável das fun¸cões de restri¸cão e as substituir em f e depois encontrando os pontos cr´ıticos através da primeira derivada e analisando a segunda derivada é poss´ıvel encon-trar os máximos e m´ınimos da fun¸cão. Entretanto nem sempre é poss´ıvel resolver por este método. Da´ı a necessidade de recorrer ao método de Multiplicadores de Lagrange proposto por Joseph L. Lagrange, a seguir:

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2.1 Multiplicadores de Lagrange

Defini¸c˜ao 6: Considere f e suas m restri¸c˜oes g citados anteriormente todas elas de classe C1 _{e que ∇g 6= 0. Se f tiver um extremo relativo dentro de suas restri¸c˜}_{oes, ent˜}_{ao este}

ocorre em um ponto P (x∗₁, x∗₂, . . . , x∗_n), tal que P perten¸ca a uma superf´ıcie de restri¸cão de f na qual o gradiente ∇f (x∗₁, x∗₂, . . . , x∗_n) é múltiplo do gradiente ∇g(x∗₁, x∗₂, . . . , x∗_n), ou seja, existe λ tal que satisfaz a condi¸cão seguinte

∇f (x∗₁, x∗₂, . . . , x∗_n) = λ∇g(x∗₁, x∗₂, . . . , x∗_n_{), λ ∈ R.}

Deste modo, ter-se-´a uma estrat´egia para determinar os extremos de f quando sujeitos `

a condi¸c˜ao g = 0, que consiste em resolver o sistema

∇f (x₁, x2, . . . , xn) = λ∇g(x1, x2, . . . , xn)

g(x1, x2, . . . , xn) = 0.

De uma forma mais geral, considere uma fun¸c˜_{ao f : R}n_{→ R uma fun¸c˜ao de classe C}1

e g : Rn _{→ R}m_{, com m < n, uma fun¸c˜}_{ao tamb´}_{em de classe C}1_{. Pretende-se determinar}

os extremos de f sujeitos ao sistema de equa¸cões (ou condi¸cões), g(x) = 0, ou seja,        g1(x1, x2, . . . , xn) = 0 g2(x1, x2, . . . , xn) = 0 · · · gm(x1, x2, . . . , xn) = 0 em que g1, g2, . . . , gm são as componentes de g.

Assim, ter-se-´a que resolver o sistema

∇f (x) = λ₁∇g1(x) + λ2∇g2(x) + · · · + λm∇gm(x) = 0

g(x) = 0. (1)

Assim, quer isso dizer que determina-se os extremos de f restringida à fun¸cões defi-nida pelo sistema de equa¸cões g(x) = 0. Este é o chamado problema dos extremos condicionados.

Note-se que este sistema apresenta (n + m) equa¸cões e (n + m) incógnitas e, em geral, g(x) não é linear. Os escalares λ1, λ2, . . . , λm são os chamados multiplicadores de

Lagrange e ao sistema (1) chama-se m´etodo dos multiplicadores de Lagrange. Exemplo 2: Considerado a fun¸c˜ao f (x, y) = x2_{+ y}2 _{e a restri¸c˜}_{ao g(x, y) = x}2₊y2

4 − 1. Assim, ∇f (x, y) = λ∇g(x, y) g(x, y) = 0 ⇔    2x = λ2x 2y = λy₂ x2₊y2 4 − 1 = 0 ⇔    x(1 − λ) = 0 y(4 − λ) = 0 x2₊y2 4 − 1 = 0 ⇔    x = 0 ∨ λ = 1 y = 0 ∨ λ = 4 x2+y₄2 − 1 = 0

de onde obtemos os pontos (0, −2), (0, 2), (−1, 0), (1, 0). Os dois primeiros são os mais afastados da origem e os outros dois são os mais próximos. Note-se que o cálculo do escalar λ é irrelevante para o problema.

(7)

Exemplo 3: Determine os pontos extremos da fun¸cão f (x, y, z) = x + y + z sujeita às condi¸cões x2+ y2 = 2 e x + z = 1.

Temos duas restri¸c˜oes, ou seja, g1(x, y, z) = x2+ y2− 2 e g2(x, y, z) = x + z − 1. Assim,

precisamos encontrar x, y, z, λ1 e λ2 tal que

   ∇f (x, y, z) = λ1∇g1(x, y, z) + λ2∇g2(x, y, z) g1(x, y, z) = 0 g2(x, y, z) = 0.

Calculando os gradientes, o sistema fica            1 = λ1· 2x + λ2· 1 1 = λ1· 2y + λ2· 0 1 = λ1· 0 + λ2· 1 x2 _{+ y}2 _{− 2 = 0} x + z − 1 = 0 ⇔            1 = 2λ1x + λ2 1 = 2λ1y λ2 = 1 x2_{+ y}2_{− 2 = 0} x + z − 1 = 0

Note-se que se obteve 5 equa¸c˜oes (3 + 2). Como λ2 = 1 ent˜ao 2λ1x = 0 e 2λ1y = 1.

Se λ1 6= 0 ent˜ao x = 0. Assim y = ±

√

2 e z = 1. Portanto, os candidatos a extremos são: (0, ±√2, 1). Pode-se verificar que (0,√2, 1) dá-nos o máximo relativo e (0, −√2, 1) o m´ınimo relativo. A condi¸cão x2+ y2 = 2 implica que x e y são limitados. Do mesmo modo, x + z = 1 mostra que z é limitado. O que segue que as restri¸cões dadas são fechadas e limitadas no conjunto, digamos S. Então, f possui um máximo e um m´ınimo em S, (0,√2, 1) e (0, −√2, 1), respectivamente.