Mecânica dos Fluidos
Karl Peter Burr
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Distribuição de Pressão em um Fluido
Muitos problemas de mecânica dos fluidos não envolvem movimento. Eles se referem à distribuição de pressão em um fluido estático e seus efeitos sobre superfícies sólidas e sobre corpos flutuantes ou submersos.
Quando a velocidade é nula, na chamada condição hidrostática, a variação de pressão deve-se apenas ao peso do fluido.
Aplicações importantes desse tópico:
1. distribuição de pressão na atmosférica e oceânos;
2. projeto de instrumentos de medida de pressão (manômetros);
3. forças sobre superfícies submersas, planas e curvas;
4. empuxo sobre corpos submersos e,
5. comportamento de corpos flutuantes. 1. Pressão e Gradiente de Pressão
Considere a figura abaixo, que mostra uma pequena cunha de fluido em repouso de tamanho ∆x por ∆z por ∆s e profundidade b normal ao plano.
θ θ ∆ ∆ ∆ z (para cima) x O p x z p p n z x s Peso do elemento: ρ _1 2 dW = g( b x z)∆ ∆ g
Por definição, não há cisalhamenro, mas assumimos que as pressões px, pz e pnpodem
ser diferentes em cada face. O peso do elemento tambem pode ser importante. A força resultante deve ser nula.
• na direção de x: pxb∆z − pnb∆s sin θ = 0 (1) • na direção de z: pzb∆x − pnb∆s cos θ − 1 2ρgb∆x∆z = 0 (2)
Mas da geometria da cunha temos que ∆s sin θ = ∆z e ∆s cos θ = ∆x. Então a equação (1) fornece:
px = pn,
e a equação (2) fornece que
pz = pn+
1 2ρg∆z.
Essa duas relações ilustram dois princípios importantes da condição hidrostática, ou livre de cisalhamento:
(a) não há variação de pressão na direção horizontal;
(b) há uma variação vertical de pressão proporcional a massa específica, à gravidade e à variação de profundidade.
No limite ∆z → 0, a cunha torna-se um ponto, e as equações acima fornecem que
px = pz = pn= p
Como θ é arbitrário concluimos que a pressão p em um ponto de um fluido estático independe da orientação.
Força de Pressão em um Elemento Fluido.
A pressão não causa nenhuma força líquida sobre um elemento fluido, a menos que varie espacialmente. Para ver isso, considere a pressão atuando sobre as duas faces x na figura abaixo. Admita a pressão variando arbitrariamente
p = p(x, y, z, t). p dy dz dz dy dx y x z (p+ dx) dy dzδp δ x
Figura 1: Força líquida x sobre um elemento, devido a variação de pressão.
A força líquida sobre o elemento na figura acima, na direção x, é dada por
dFx= pdydz − p + ∂p ∂xdx dydz = −∂p ∂xdxdydz
De maneira análoga, a força líquida dFy envolve −∂p/∂y, e a força líquida dFzenvolve
−∂p/∂z. O vetor da força líquida total sobre o elemento, devido a pressão, é
d ~Fpressao= −∂p ∂x~i − ∂p ∂y~j − ∂p ∂z~k dxdydz
Identificamos os termos entre parenteses na equação acima como o negativo do vetor gradiente de p. Denotando por ~f a força líquida por unidade de volume do elemento, reescrevemos a equação acima como
~
Logo, não é a pressão, mas sim o gradiente de pressão que causa uma força líquida a ser balanceada pela força gravitacional ou algum outro efeito no fluido.
2. Equilíbrio de um Elemento de Fluido
Forças que podem atuar em um elemento fluido em um escoamento (se houver):
• O gradiente de pressão representa uma força de superfície que atua sobre os lados do elemento.
• Forças de campo devido a potenciais eletromagnéticos ou gravitacionais. Con-siderando apenas a força da gravidade:
d ~Fgrav = ρ~gdxdydz ou ~fgrav = ρ~g
• força de superfície devido ao gradiente das tensões viscosas (se houver). Para um fluido incompressível de viscosidade constante, a força viscosa líquida é
~ fT V = µ ∂2V~ ∂x2 + ∂2V~ ∂y2 + ∂2V~ ∂z2 ! = µ∇2V~
onde T V indica tensões viscosas, µ é o coeficiente de viscosidade e ~V é o campo de velocidade do escoamento (se houver).
Aplicando-se a segunda lei de Newton ao elemento fluido, podemos escrever:
ρ~a =X ~f = ~fpressao+ ~fgrav+ ~fT V = −∇p + ρ~g + µ∇2V~
Essa é a forma diferencial da variação da quantidade de movimento para um elemento fluido. Essa equação será derivada e estudade em detalhe posteriormente nesse curso. No contexto atual, vamos assumir que a velocidade e aceleração do escoamento são conhecidos, de modo que a variação da pressão no fluido é a incognita a ser resolvida. Logo,
~
∇p = ρ(~g − ~a) + µ∇2V = ~~ B(x, y, z, t) (3)
Como ~a = d~V /dt são funções conhecidas do espaço e tempo, e a massa específica e a viscosidade são conhecidos, podemos resolver a equação acima para p(x, y, z, t) por integração direta. A equação vetorial acima é equivalente as três equações escalares abaixo:
∂p ∂x = Bx(x, y, z, t) ∂p ∂y = By(x, y, z, t) ∂p ∂z = Bz(x, y, z, t)
Como o lado direito das equações acima é conhecido, essas equações podem ser in-tegradas sistematicamente para obter a distribuição de pressão p(x, y, z, t), exceto por uma função desconhecida do tempo. Essa função fica determinada conhecendo-se a variação temporal da pressão p0(t) = p(x0, y0, z0, t) em um ponto (x0, y0, z0) do
escoamento.
Examinando a equação (3), podemos destacar quatro casos particulares:
(a) Fluido em repouso ou com velocidade constante: os termos de aceleração e viscosos são nulos e p depende apenas da gravidade e da massa específica. Essa é a condição hidrostática.
(b) Translação e rotação de corpo rígido: os termos viscosos são nulos, e p depende apenas do termo ρ(~g − ~a).
(c) Escoamento irrotacional (∇×~V ): os termos viscosos são nulos, e uma integral exata, chamada equação de Bernoulli, pode ser encontrada para a distribuição de pressão.
(d) Escoamento viscoso arbitrário: caso geral.
Pressão manométrica e pressão vacuométrica. Pressões podem ser especificadas como:
(a) absoluta, ou de magnitude total, ou
(b) relativa, cujo valor é medido em relação à atmosfera ambiente local.
O segundo caso ocorre porque muitos instrumentos de pressão registram, não a mag-nitude absoluta, mas a diferença de pressão entre a atmosfera e o fluido. A pressão medida pode ser maior ou menor que a pressão atmosférica local, dando-se um nome específico para cada caso:
• p > pa - Pressão manométrica: p(manomtrica) = p − pa,
• p < pa - Pressão vacuométrica: p(vacuomtrica) = pa− p.
3. Distribuição de Pressão Hidrostática
Se o fluido está em repouso ou a velocidade constante, ~a = 0 e ∇2V = 0. A equação~ (3) para a distribuição de pressão se reduz a:
~
∇p = ρ~g
Em geral adota-se sistema de eixos coordenados com o eixo z na direção vertical, contrário ao sentido do vetor aceleração da gravidade. Então podemos escrever
~g = −g~k
onde g é a magnitude da aceleração da gravidade local. A equação para a distribuição de pressão é equivalente as três equações escalares abaixo:
∂p ∂x = 0, ∂p ∂y = 0, ∂p ∂z = −ρg
As duas primeiras equações acima mostram que p é independente de x e y. Portanto, ∂p/∂z pode ser substituida pela derivada total dp/dz, e a condição hidrostática se reduz a dp dz = −ρg (4) ou p2− p1 = − Z 2 1 ρgdz (5)
A integração depende de hipóteses sobre a distribuição de massa específica e da aceler-ação da gravidade. Gases e líquidos são tratados de modos diferente. Estabelecemos a seguinte conclusôes sobre a condição hidrostática:
A pressão em um fluido estático uniforme, distribuido continuamente, varia apenas com a distância vertical e é independente da forma do recipiente. A pressão é a mesma em todos os pontos sobre um dado plano horizontal no fluido. a pressão aumenta com a profundidade no fluido.
• Pontos a,b,c e d estão a mesma profundidade na água e, portanto, tem a mesma pressão.
• Pontos A,B e C estão na mesma profundidade na água e tem a mesma pressão. O ponto D tem pressão diferente dos pontos A, B e C apesar de estarem a mesma profundidade, pois o ponto D está em um fluido diferente.
Pressão hidrostática nos líquidos.
Os líquidos são aproximadamente incompressíveis, de modo que podemos desprezar suas variações de massa específica em hidrostática. Então a equação (5) assume a forma p2− p1 = −ρg(z2− z1) (6) ou z1− z2 = p2 ρg − p1 ρg Barômetro de Mercúrio
O barômetro de mercúrio é utilizado para medir a pressão atmosférica e é uma apli-cação simples da formula hidrostática para um líquido. Um tubo cheio de mercúrio é invertido e, ao mesmo tempo, submergido em um reservatório.
Isso provoca vácuo significativo na extremidade superior fechada do tubo, pois o mercúrio tem uma pressão de vapor extremamente pequena à temperatura ambiente (0, 16P a a 20oC). A pressão atmosférica força uma coluna de mercúrio a subir uma
altura h para dentro do tubo e a superfície superior do mercúrio está a pressão zero. Aplicando-se a fórmula (6) temos:
(0 − pa) = −ρMgh ⇒ p =
pa
ρg
Para o padrão do nível do mar, com pa = 101350P a e ρg = 133100N/m2, a altura
barométrica é h = 101350/133100 = 0, 761m ou 761mm. Pressão hidrostática dos gases.
Os gases são compressíveis, com a massa específica aproximadamente proporcional a pressão. Utilizando a lei dos gases perfeitos, podemos reescrever a equação (4) na forma
dp
dz = −ρg = − p RTg
Separando as variáveis temos:
dp p = − g R dz T ⇒ Z 2 1 dp p = − g R Z 2 1 dz T (7)
A integral em z requer uma hipótese a respeito da variação T (z). Uma aproximação comum é a atmosférica isotérmica, na qual T = T0:
p2 = p1exp
−g(z2− z1) RT0
Abaixo segue ilustração de variação de temperatura da atmosfera com a altitude.
A temperatura atmosférica decresce quase que linearmente com z até uma altitude em torno de 11000 metros. Então podemos escrever
T ≈ T0− Bz
Se utilizarmos essa distribuição de temperatura na equação (7) e integrar a equação resultante, obtemos que:
p = pa
1 − Bz T0
onde g/(RB) = 5, 26 para o ar. Exemplo:
Se a pressão ao nível do mar é de 101350P a, calcule a pressão atmosférica padrao a uma altitude de 5000m, usando (a) a fórmula exata e (b) a hipótese isotérmica para uma temperatura de 15oC ao nível do mar. A aproximação isotérmica é adequada?
Solução:
(a) Usando a temperatura absoluta na fórmula dita exata
p = pa 1 − (0, 00650K/m)(5000m) 288, 16K 5,26 = (101350P a)(0, 8872)5,26 = 54000P a
(b) Se a atmosfera fosse isotérmica, a 288, 16K, teriamos
p ≈ exp− gz RT = (101350P a) exp − (9, 807m/s 2)(5000m) (287m2(s2K))(288, 16K) ≈ 60100P a
Esse valor é 11% maior que o valor exato. A fórmula isotérmica é imprecisa na troposfera.
4. Aplicações à Manometria
Da fórmula hidrostática (6), uma elevação z2 − z1 é equivalente a uma variação de
pressão (p2 − p1)/(ρg). Logo, uma coluna estática de um ou mais líquidos ou gases
pode ser usada para medir as diferenças de pressão entre dois pontos. Tal dispositivo é chamado manômetro.
p2− p1 = − ρOg(z2− z1) p3− p2 = − ρAg(z3− z2) p4− p3 = − ρGg(z4− z3) p5− p4 = − ρMg(z5− z4) Soma : p5− p1 = − ρOg(z2− z1) − ρAg(z3− z2) − ρGg(z4− z3) − ρMg(z5− z4) (8)
pA− p1 = − ρ1g(zA− z1)
p1− p2 = − ρ2g(z1− z2)
Soma :
pA− p2 = − ρ1g(zA− z1) − ρ2g(z1− z2)
Logo, podemos escrever que:
pA+ ρ1g(zA− z1) + ρ2g(z1− z2) = p2 ≈ patm
Princípio de Pascal:
Dois pontos quaisquer de mesma elevação, em uma massa contínua do mesmo fluido estático, terão a mesma pressão.
pa− p1 = − ρ1g(z0− z1) = −ρ1g(h + L) p1− p2 = − ρ2g(z1− z2) = −ρ2g(−h − L + L) p2− pb = − ρ1g(z2− z0) = −ρ1g(−L − 0) Soma : pa− pb+ρ1g(h + L) − ρ1gL − ρ2gh = 0 ou pa− pb =(ρ2− ρ1)gh onde z0 = 0, z1 = −h − L e z2 = −L. Exemplo:
O medidor de pressão B deve medir a pressão no ponto A em um escoamento de água. Se a pressão em B é 87kP a, calcule a pressão em A, em kP a. Admita que todos os fluidos então a 20oC. Veja a figura abaixo.
Solução: Temos que:
ρguag = 9780N/m3
ρmercriog = 133100N/m3
ρleog = 8720N/m3
Utilizando a equação (6) para cada fluido temos que:
pA− p1 = − ρguag(zA− z1)
p1− p2 = − ρmercriog(z1− z2)
p2− pB = − ρleog(z2− zB)
que nos leva a:
pA− pB = −ρguag(zA− z1) − ρmercriog(z1− z2) − ρleog(z2− zB)
onde zA = 9cm, z1 = 4cm, z2 = 11cm e zB = 17cm. Então:
pA= pB− (9780N/m3)(0, 05m) − (133100N/m3)(−0, 07m) − (8720N/m3)(−0, 06m)
5. Forças hidrostática sobre superfícies planas
Um problema comum no projeto de estruturas que interagem com fluidos é o cálculo da força hidrostática sobre uma superfície plana. Se desprezarmos a variação da densidade, a equação (6) pode ser utilizada e a pressão sobre a superfície submersa varia linearmente com a profundidade.
Considere o painel plano, de formato arbitrário, mostrado na figura abaixo, total-mente submerso em um líquido. O plano do painel forma um ângulo arbitrário θ com a superfície livre horizontal, de modo que a profundidade varie sobre o painel.
Sendo h a profundidade em um elemento de área dA genérico da placa, pela equação (6), a pressão ali será p = pA+ ρgh. Logo a força que o fluido exerce sobre a superfície
superior da placa será:
~ F = Z A p~ndA = Z A
(pA+ ρgh(x, y))(sin θ~i − cos θ~j)dA
onde ~n = sin θ~i − cos θ~j é o vetor normal a placa que aponta na direção da placa. Os versores ~i e ~j formam uma base ortogonal no plano da figura. O versor ~i aponta
na direção horizontal e o versor ~j aponta na direção vertical. A é a área da placa. Avaliando o integral acima temos que:
~
F = pAA~n +
Z
A
(ρgh(x, y))dA ~n
Podemos escrever h(x, y) = ξ sin θ, como ilustrado na figura acima. Logo
Z A (ρgh(x, y))dA = ρg sin θ Z A ξdA = ρg sin θξCGA
onde CG significa centro de gravidade. ξCG é a posição do centro de gravidade da
placa em relação ao eixo zeta, dado por
ξCG= 1 A Z A ξdA
Finalmente podemos escrever
~
F = (pA+ ρgsin θξCG
| {z }
hCG
)A~n = (pA+ ρghCG)A~n = pCGA~n (9)
A força sobre a face superior de uma placa qualquer, submersa em um fluido uniforme, é igual ao produto da pressão no centro de gravidade da placa pela área da placa, não importando o seu formato nem o seu ângulo de inclinação.
Para equilibrar o momento gerado pela distribuição de pressão sobre a placa, a linha de ação da força resultante ~F não passa pelo centro de gravidade, mas passa pelo centro de pressão. considere um sistema de coordenadas com origem no centro de gravidade da placa, como ilustrado na figura acima.Vamos inicialmente calcular a coordenada y do CP (centro de pressão).
F yCP = Z A ypdA = Z A
y(pA+ ρgξ sin θ)dA = ρg sin θ
Z
A
yξdA
onde o termo RApAydA = 0 pois a origem do sistema de coordenadas está no centro
de gravidade da placa. Introduzindo ξ = ξCG− y, podemos escrever
F yCP = ρg sin θ(ξCG Z A ydA | {z } 0 − Z A y2dA | {z } Ixx ) = −ρg sin θIxx
que implica que
yCP = −ρg sin θ
Ixx
pCGA
(10)
O sinal negativo implica que o centro de pressão fica abaixo do centro de gravidade da figura plana. Vamos determinar xCP de maneira análoga.
F xCP = Z A xpdA = Z A x(pA+ ρgξ sin θ)dA =ρg sin θ Z A x(ξCG− y)dA = −ρg sin θ Z A xydA = − ρg sin θIxy
onde Ixy, é o produto de inércia da placa, novamente calculado no plano da placa.
Substituindo-se | ~F |, resulta
xCP = −ρg sin θ
Ixy
pCGA
(11)
a figura abaixo fornece a área e os momentos de inércia de diversas seções transversais comuns para a aplicação das fórmulas (9), (10) e (11).
Exemplo:
A comporta ilustrada na figura abaixo tem 1, 5m de largura, está articulada no ponto B e repousa contra uma parede lisa no ponto A. Calcule (a) a força sobre a comporta devido a pressão da água do mar, (b) a força horizontal P exercida pela parede no ponto A, e (c) as reações na articulação B.
Solução:
(a) A comporta tem 3, 0m de comprimento entre os pontos A e B e seu centro de gravidade está no meio, a 0, 9m acima do ponto B. Logo, hCG = 4, 5 − 0, 9 = 3, 6m.
A área da comporta é (1, 5)(3, 0) = 4, 5m2. O módulo da força é:
F = pCGA = (pA+ρghCG)A = (101350P a+(10054N/m3)(3, 6m))(4, 5m2) = 1804744, 8N
(b) Para calcular a intensidade da força P em A, vamos calcular o momento do sistema de forças em relação a B. Como o sistema esta em equilíbrio estático, esse momento deve ser nulo.
F dCP −B − P hA = 0
onde dCP −B é a distancia do CP ao ponto B, ou seja, braço da força ~F em relação ao
ponto B, e hA= 1, 8m é a altura do ponto A em relação ao ponto B. Vamos calcular
dCP −B. A posição de CP em relação ao CG da placa é dado por:
yCP = −ρg sin θ
Ixx
pCGA
yCP = −(10054N/m3)(1, 8/3)
(3, 375m4)
1804744, 8 = −0, 01128m
Logo dCP −B = 1, 48872m, e temos que
P = F dCP −B hA
= 1492644, 27N
(c) Realizando o equilíbrio de forças em relação a direção horizontal e vertical podemos achar as componentes da força na articulação nessas duas direções.
X
Fx = 0 → Bx+ F sin θ − P = 0 → Bx = 409797, 39N
e
X
Fz = 0 → Bz− F cos θ = 0 → Bz = 867795, 84N
onde Bx e Bz são as componentes da força ~B nas direções horizontal e vertical
re-spectivamente.
6. Forças Hidrostáticas sobre Superfícies Curvas
A resultante de pressão sobre uma superfície curva é calculada mais facilmente separando-se separando-seus componentes horizontal e vertical, como ilustra a figura abaixo.
Então podemos escrever: ~ F = FH~i − FV~j = Z A p~ndA = Z A p(nx~i − ny~j)dA
onde ~n é o vetor normal a superfície que aponta na direção da superfície. Podemos, então, escrever FH = Z A pnxdA FV = Z A pnzdA
Vamos inicialmente olhar a equação para FH. Como p = pA+ ρgh(x, y, z), podemos
escrever que FH = Z A (pA+ ρgh(x, y, z))nxdA =pA Z A nxdA + ρg Z A hnxdA
=pAAproj yz + ρghCG area projAproj yz
onde Aproj yz é a área da projeção da superfície curva no plano yz e hCG area proj é
a profundidade do centro geométrico da área projetada. Para calcularmos a força vertical FV podemos utilizar a equação acima para FV ou realizar um balanço de
forças na direção vertical, como ilustrado no item (b) da figura acima. As forças verticais são o peso P1 da coluna de água entre os segmentos de e cb e o peso da
atmosfera, mais o peso P2 da coluna de água entre o segmento cb e a superfície curva
mais a força que a superfície aplica no fluido. Então
−P1− P2− patmAproj xz + FV = 0 → FV = P2+ P1+ patmAprojxz
onde patm é a pressão atmosférica na superfície livre do fluido e Aprojxz é a projeção
da superfície curva no plano horizontal (plano xz conforme a figura acima). Em resumo:
• Para a força horizontal FH:
O componente horizontal da força hidrostática sobre uma superfície curva é igual à força sobre a área plana formada pela projeção da superfície curva sobre o plano vertical normal à superfície livre.
• Para a força vertical FV:
O componente vertical da força sobre uma superfície curva é igual em magnitude e direção ao peso da coluna total de fluido, tanto do líquido como da atmosfera, acima da superfície curva.
Exemplo
Uma barragem tem uma forma parabólica z/z0 = (x/x0)2, como mostra a figura
abaixo, com x0 = 3m e z0 = 7, 2m. O fluido á água, ρg = 9802N/m3, e a pressão
atmosférica será omitida. Calcule as forças FH e FV sobre a barragem e a posição
CP onde elas atuam. a largura da barragem é 15m.
Solução:
A projeção vertical da superfície curva é um retangulo de 7, 2m de altura por 15m de largura, com a profundidade do seu centro geométrico hCG = 3, 6m. A força
horizontal é
FH = ρgAprojhCG= (9802N/m3)(7, 2m)(15m)(3, 6m) = 3811018N
A linha de ação de FH passa abaixo abaixo do centro geométrico a uma distância de
yCP = − Ixxsin θ hCGAproj = 1 12(15m)(7, 2m) 3(sin 90o) (3, 6m)(7, 2m)(15m) = −1, 2m
Logo, FH atua a 3, 6 + 1, 2 = 4, 8m abaixo da superfície livre, ou a 2, 4m do fundo.
O componente vertical FV é igual ao peso da porção parabólica da fluido acima da
superfície curva. As propriedades geométricas de uma parábola estão mostradas na figura abaixo.
O peso desse volume de água é
FV = ρg
2 3x0z0b
= (9802N/m3)(2/3)(3m)(7, 2m)(15m) = 2117232N
Essa força atua para baixo e sua linha de ação está a uma distancia 3x0/8 = 1, 125m
à direita do eixo z. A linha de ação da força resultante passa pelo ponto (x, z) = (1, 125m, 2, 4m). Se nos deslocarmos ao longo dessa linha de ação da força resultante até atingirmos a barragem, encontramos um centro de pressões equivalente sobre a barragem em (xCP, yCP) = (1, 629m, 2, 121m).
7. Forças Hidrostáticas em Camadas de Fluidos
As fórmulas da seção anterior se aplicam a um fluido com densidade uniforme. No caso de camadas de fluidos, as fórmulas da seção anterior podem ser aplicadas a cada camada. Considere a figura abaixo, onde temos uma placa imersa em duas camadas de fluidos com diferentes densidades.
A força total que o fluido aplica na placa é ifual a soma das forças que cada camada aplica na placa, ou seja
~
F = X ~Fi =
X
pCGiAi
Para cada camada de fluido em contato com a placa, podemos carcular a posição do centro de pressão para essa porção, ou seja
yCPi = − ρig sin θiIxxi pCGiAi xCPi = − ρig sin θiIxyi pCGiAi
As coordenadas do centro de pressão obtido acima são em relação ao centro geométrico de cada uma das camadas de fluido. Para acharmos o centro geométrico da placa,
basta calcular o momento de cada uma das forças de pressão em relação a um ponto conveniente e igualarmos ao momento da resultantes dessas forças, determinando o centro de pressão. Seja A o ponto escolhido. Então
X
(CPi− A) ∧ ~Fi = (CP − A) ∧ ~F
determina a posição do centro de pressão CP da placa em relação ao ponto A. Exemplo:
Um tanque de 6m de profundidade e 2, 1m de largura armazena camadas com 2, 4m de óleo, 1, 8m de água e 1, 2m de mercúrio. Calcule (a) a força hidrostática total e (b) o centro de pressões resultante do fluido sobre a lateral direita do tanque.
Solução:
(a) Basta determinar a pressão hidrostática no centro geométrico de cada uma das camadas. pCG1 = ρoleog holeo 2 = (8640N/m 3 )(1, 2m) = 10368N/m2
pCG2 = ρoleogholeo+ ρaguag
hagua
2 = 20736 + 9802(0, 9) = 29558N/m
2
pCG3 = ρoleogholeo+ ρaguaghagua+ ρmercuriog
hmercurio
2 = 118118N/m
2
A força hidrostática total será
F = XFi = pCG1A1+ pCG2A2+ pCG3A3 = 461641N
(b) Podemos utilizar as fórmulas acima para calcular a posição do centro de pressão em cada uma das camadas. Necessitamos calcular somente a posição vertical do centro de pressão. Temos que Ixx1 = (2, 1m)(2, 4m)
3/12 = 2, 42m4, I
xx2 = 1, 02m
4 e
Ixx3 = 0, 30m
4. Logo os centroides de pressão são dados por
yCP1 = − ρ1gIxx1 F1 = −0, 4m yCP2 = − ρ2gIxx2 F2 = −0, 09m yCP3 = ρ3gIxx3 F3 = −0, 13m
zCP1 = −1, 2m − 0, 4m = −1, 6m
zCP2 = −3, 3m − 0, 09m = −3, 39m
zCP3 = −4, 8m − 0, 13m = −4, 93m
Para obtermos o centro de pressão da força hidrostática total calculamos o momento em relação a superfície livre
X
FizCPi = F zCP
ou
52255(−1, 6) + 111729(−3, 39) + 297657(−4, 93) = 461641zCP ⇒ zCP = −4, 18m
O centro de pressão da resultante das forças hidrostáticas fica a 4, 18m abaixo da superfície livre.
8. Empuxo e Estabilidade
Os mesmos princípios usados no cálculo das forças hidrostáticas sobre superfícies po-dem ser aplicados para calcular a força líquida de pressão sobre um corpo totalmente submerso ou sobre um corpo flutuante. O resultado são as duas leis do empuxo:
(a) Um corpo imerso em um fluido está sujeito a uma força de empuxo vertical igual ao peso do fluido que ele desloca.
(b) Um corpo flutuante desloca seu próprio peso no fluido em que flutua.
FE =FV,superf icie 2− FV,superf icie 1
=(peso do fluido acima de 2) − (peso do fluido acima de 1) =peso do fluido equivalente ao volume do corpo
ou como alternativa FE = Z corpo (p2 − p1)dAH = −ρg Z corpo
(z2− z1)dAH = ρg( volume do corpo)
Note que:
• a linha de ação da força de empuxo passa pelo centro de volume do corpo deslocado;
• esse ponto, através do qual FE atua, é chamado de centro de empuxo, usualmente
indicado por E ou CE.
Os corpos flutuantes são um caso especial; apenas uma porção do corpo fica submersa, com o restante aparecendo acima da superfície livre, como ilustrado na fiura abaixo.
A equação para o empuxo de um corpo imerso é modificada para se aplicar a esse volume menor
FE = ρg(volume deslocado) = peso do corpo flutuante
Note que a força de empuxo e o peso tem mesma magnitude, mesma direção e sentido oposto. Alem disso, elas são colineares, já que não pode haver momentos líquidos no equilíbrio estático.
Estabilidade
Um corpo flutuante pode não aceitar a posição em que esteja flutuando. Nesse caso, ele irá virar na primeira oportunidade, sendo considerado estaticamente instável. O menor disturbiu fará com que ele procure uma outra posição de equilíbrio, que seja estável.
A única maneira de sabermos se uma posição de equilíbrio é estável, consiste em perturbar o corpo e ver se ele desenvolve um momento restaurador que irá recolocá-lo na sua posição original. a figura abaixo ilustra procedimento para se determinar a estabilidade da posição de equilíbrio de um corpo flutuante simétrico.
(a) A posição básica de flutuação é calculada. O centro de massa e de empuxo do corpo são calculados.
(b) O corpo é inclinado de um pequeno ângulo ∆θ, e uma nova linha d’água é esta-belecida para o corpo flutuar a esse ângulo. a posição do novo centro de empuxo E0 é claculada. Um liha vertical, desenhada a partir de E0, para cima, intercepta a linha de simetria no ponto M , chamado de Metacentro, que é independente de ∆θ para pequenos ângulos.
(c) Se o ponto M está a cima de G, um momento restaurador está presente e a posição original é estável. Se M está abaixo de G, o corpo é instável e irá virar se for perturbado. A estabilidade cresce com aumento de M G.
A altura metacentrica é uma propriedade da seção transversal para um dado peso, e seu valor fornece uma indicação da estabilidade do corpo.
9. Distribuição de Pressões no Movimento de Corpo Rígido. No movimento de corpo rígido temos que:
• todas as partículas do fluido estão em translação e rotação combinados, não havendo movimento relativo entre elas.
• Sem movimento relativo, não há deformações nem taxas de deformação, de modo que o termo viscoso é nulo na equação (3).
A equação (3) assume a forma:
∇p = ρ(~g − ~a) (12)
O gradiente de pressão atua na direção ~g − ~a, e as linhas de pressão constante (in-cluindo a superfície livre, se houver) são perpendiculares a essa direção.
Se o eixo de rotação passa pelo ponto O e a velocidade de translação desse ponto é ~VO, a velocidade de um ponto arbitrário P sobre o corpo é dada pela fórmula de
Poisson
~
V = ~VO+ ~Ω ∧ ~rO
onde ~Ω é o vetor de rotação e ~rO é a posição do ponto P em relação a O. Derivando no
tempo a equação acima, obtemos a fórmula para aceleração do ponto P pertencente a um corpo rígido.
~a = d~VO
dt + ~Ω ∧ (~Ω ∧ ~rO) + d~Ω
dt ∧ ~rO
O primeiro termo do lado direito é a aceleração de translação; o segundo termo do lado direito é a aceleração centripeta; e o terceiro termo é devido a variações do vetor de rotação ~Ω.
É raro ter todos esses três termos em algum escoamento de fluido. Na verdade, fluidos raramente podem se mover como corpos rígidos, a memos que sejam contidos em um tanque d’água e estejam confinados por um longo tempo.
Por exemplo, tanque de água sob aceleração constante:
• água sofreria agitação após instante inicial,
• agitação da água irá amortecer muito lentemante,
• partículas da água atingiriam aceleração de corpo rígido após longo tempo e então tanque atingiria velocidades demasiadamente altas para ocorrerem no dia a dia.
aceleração linear uniforme
Nesse caso, aplica-se a equação (12) com ~a tendo a mesma magnitude e direção para todas as partículas do fluido.
A figura abaixo ilustra a direção do gradiente de pressão para essa situação.
As superfícies de pressão constante devem ser perpendiculares a essa direção, sendo, portanto, inclinadas de um ângulo θ para baixo, tal que
θ = tan−1 ax g + az
onde ~a = ax~i + az~k. A taxa de aumento de pressão na direção ~g − ~a é maior que na
hidrostática ordinária e é dada por
dp ds = ρ
p a2
x+ (g + az)2
Esses resultados são independentes do tamanho e da forma do recipiente, contanto que o fluido esteja continuamente conectado em todo o recipiente.
Rotação de Corpo Rígido
Considere a rotação de um fluido em torno do eixo z, sem qualquer translação, como ilustrado na figura abaixo. Admitimos que o recipiente esteve girando um tempo suficientemente longo com ~Ω constante para que o fluido tenha atingido uma rotação de corpo rígido. A aceleração do fluido será então somente o termo centripeto.
O vetor de rotação e de posição são, respectivamente,
~
Ω = Ω~k, ~rO = r~ir
Logo, a aceleração é dada por
~
Ω ∧ (~Ω ∧ ~rO) = −rΩ2i~r
como indicado na figura acima. A equação (12) assume a forma
∇p = ∂p ∂ri~r+ ∂p ∂z~k = ρ(~g − ~a) = ρ(−g~k + rΩ 2~ ir)
A equação vetorial acima é equivalente as seguintes equações escalares:
∂p
∂r = ρrΩ
2, ∂p
∂z = −ρg
Podemos integrar a primeira equação em relação a r, mas levando em conta o fato de que p = p(r, z). Então
p = 1 2ρr
2Ω2+ f (z)
Substituindo-se essa expressão para a pressão na segunda equação diferencial parcial acima em relação a z, temos que:
∂p
∂z = 0 + f
0
(z) = −ρg
de modo que f (z) = −ρgz + C, onde C é uma constante. Então a pressão no fluido é dada por
p = C − ρgz + 1 2ρr
2
Ω2
onde C é determinada conhecendo-se a pressão em um ponto do fluido. Se p = p0 em
(r, z) = (0, 0), então C = p0 e a distribuição de pressão é dada por
p = p0− ρgz +
1 2ρr
2Ω2.
Se desejarmos plotar uma curva de pressão constante, digamos p = p1, a equação
acima fornece que
z = p0− p1 ρg +
r2Ω2
2g
A figura abaixo ilustra a forma de uma superfície de pressão constante, no caso, a posição da superfície livre.
