UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
E DE MATERIAIS
RODRIGO ESPERANÇA DA CUNHA PIMENTEL DE MEIRA
ESTUDO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS DE LEI DE POTÊNCIA E
DE BINGHAM EM CANAL PARCIALMENTE POROSO UTILIZANDO
O MÉTODO LATTICE BOLTZMANN
DISSERTAÇÃO
CURITIBA
2016
RODRIGO ESPERANÇA DA CUNHA PIMENTEL DE MEIRA
ESTUDO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS DE LEI DE POTÊNCIA E
DE BINGHAM EM CANAL PARCIALMENTE POROSO UTILIZANDO
O MÉTODO LATTICE BOLTZMANN
Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais da Universidade Tecnológica Federal do Paraná como requisito parcial para obtenção do título de “Mestre em Engenharia” – Área de Concentração: Engenharia Térmica.
Orientador: Prof. Dr. Silvio L. M. Junqueira Coorientador: Prof. Cezar O. R. Negrão, PhD
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação M514e Meira, Rodrigo Esperança da Cunha Pimentel de
2016 Estudo do escoamento de fluidos de lei de potência e de Bingham em canal parcialmente poroso utilizando o método Lattice Boltzmann / Rodrigo Esperança da Cunha Pimentel de Meira.-- 2016.
162 p.: il.; 30 cm.
Texto em português, com resumo em inglês.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais. Área de Concentração: Engenharia Térmica, Curitiba, 2016.
1. Engenharia mecânica - Dissertações. 2. Fluídos - Escoamento. 3. Método Lattice Boltzmann. 4. Materiais porosos - Dinâmica dos fluidos. 5. Fluido de Bingham. 6. Fluidodinâmica computacional. 7. Engenharia térmica. I. Junqueira, Silvio Luiz de Mello. II. Negrão, Cezar Otaviano Ribeiro. III. Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais. IV. Título.
TERMO DE APROVAÇÃO
Rodrigo Esperança da Cunha Pimentel de Meira
ESTUDO DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS DE LEI DE POTÊNCIA E DE BINGHAM EM CANAL PARCIALMENTE POROSO UTILIZANDO O MÉTODO
LATTICE BOLTZMANN
Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de Mestre em Engenharia, área de concentração em Engenharia Térmica, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais.
______________________________________ Prof. Paulo César Borges, Dr.
Coordenador do Programa
Banca Examinadora
___________________________________ __________________________________ Prof. Silvio Luiz de Mello Junqueira, Dr. Prof. Paulo Cesar Philippi, Dr.
UTFPR - orientador UFSC
___________________________________ __________________________________ Prof. Cezar Otaviano Ribeiro Negrão, PhD. Prof. Admilson Teixeira Franco, Dr.
UTFPR - coorientador UTFPR
AGRADECIMENTOS
Aos professores Silvio Junqueira e Cezar Negrão, bem como ao colega Fernando De Lai, pelas inúmeras conversas que me ajudaram a compreender melhor cada um dos diversos aspectos deste trabalho, desde o problema estudado, passando pelas profundezas do LBM, até a forma de apresentação de cada uma das análises realizadas.
Aos professores da banca, Admilson Franco e Paulo Philippi, pelo tempo dedicado à avaliação deste documento. Seus comentários, críticas e elogios foram de grande valia para o desenvolvimento deste trabalho.
Ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais (PPGEM), à Petrobras e ao Centro de Pesquisas em Reologia e Fluidos Não Newtonianos (CERNN) pela formação proporcionada, suporte financeiro e estrutura oferecida.
Aos meus colegas do CERNN pelas horas de trabalho compartilhadas, com boas conversas, sugestões, comentários, piadas e risadas, que com certeza contribuíram para o desenvolvimento deste trabalho.
Aos meus pais, Monica (in memorian) e Jeronimo, minha irmã, Alexandra, minha namorada, Viviani, e a todos os meus amigos por tudo que representam para mim. Vocês sabem que sou uma pessoa de poucas palavras e se um dia tiverem a oportunidade de ler estas palavras com certeza saberão que fui quem as escreveu!
RESUMO
MEIRA, Rodrigo Esperança da Cunha Pimentel de. Estudo do escoamento de fluidos de lei de potência e de Bingham em canal parcialmente poroso utilizando o método lattice Boltzmann. 2016. 162 f. Dissertação - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2016.
Neste trabalho, propõe-se o estudo numérico do escoamento de fluidos de lei de potência e de Bingham em canal parcialmente poroso utilizando o método lattice Boltzmann. Para tanto, considera-se o escoamento entre placas planas e paralelas entre as quais se faz presente um material poroso localizado na parte inferior do canal, o qual é abordado de forma heterogênea (resolução espacial da ordem de grandeza dos poros) e representado através de obstáculos sólidos e quadrados. As equações de conservação da massa e da quantidade de movimento são resolvidas através do modelo de He e Luo (1997a) utilizando-se a estrutura de retículo bidimensional D2Q9, sendo o comportamento não newtoniano do fluido incorporado ao modelo por meio da variação local do fator de relaxação em função da viscosidade aparente do fluido. As análises realizadas mostram o efeito de parâmetros adimensionais do problema relacionados à região porosa (porosidade, densidade de obstáculos e diâmetro hidráulico da região porosa), à inércia do escoamento e aos modelos de fluido (índice de lei de potência e tensão limite de escoamento) sobre o fator de atrito na região livre do canal. De um modo geral, constata-se que o fator de atrito na região livre do canal diminui em relação ao caso do escoamento entre placas planas e paralelas com o aumento da porosidade e do número de Bingham (tensão limite de escoamento adimensional) e com as reduções da densidade de obstáculos adimensional, número de Reynolds e índice de lei de potência. Ademais, propõe-se a adaptação do modelo analítico para a interface fluido-porosa proposto por Ochoa-Tapia e Whitaker (1995b) ao escoamento de fluido de lei de potência, verificando-se a possibilidade de incorporar o comportamento não newtoniano do fluido ao coeficiente de salto de tensão.
Palavras-chave: interface fluido-porosa, fluido de lei de potência, fluido de Bingham, meio
ABSTRACT
MEIRA, Rodrigo Esperança da Cunha Pimentel de. Numerical analysis of power law and Bingham fluids flow in a channel partially filled by a porous domain using the lattice Boltzmann method. 2016. 162 f. Dissertação - Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba, 2016.
The goal of this work is to investigate the flow of power law and Bingham fluids in a channel partially filled by a porous medium using the lattice Boltzmann method. The porous region is located in the bottom half of the channel and is analyzed considering a pore level approach in which the porous medium is represented by a set of solid square obstacles. Mass and momentum conservation equations are solved using the lattice Boltzmann model proposed by He and Luo (1997a) and D2Q9 discretization model. The non-Newtonian fluid behavior is taken into account by varying the relaxation factor locally with the fluid apparent viscosity. Results show the influence of various non-dimensional parameters related to de porous region (porosity, obstacles density and porous region hydraulic diameter), flow inertia and fluid model parameters (power law index and yield stress) on the friction factor of the flow occurring in free region of the channel. In general, decreasing the power law index, the Reynolds number (inertial parameter) or the nondimensional parameter associated to the obstacles density composing the porous domain causes the reduction of the friction factor in comparison to the flow between parallel plates. The same behavior occurs when increasing the Bingham number (non-dimensional yield stress) or the porosity. Moreover, the fluid-porous interface model developed by Ochoa-Tapia and Whitaker (1995b) for Newtonian flows is used to describe the flow of power law fluids by varying the stress jump coefficient with the power law index.
Keywords: fluid-porous interface, power law fluid, Bingham fluid, heterogeneous porous
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Exemplos de meios porosos. (a) rocha carbonática, (b) osso humano, (c)
asfalto permeável e (d) espuma metálica. ... 23
Figura 1.2 – Exemplos de escoamentos de fluidos não newtonianos ocorrendo junto à interface fluido-porosa. (a) fluido de perfuração escoando no espaço anular entre a coluna de perfuração e o reservatório, (b) escoamento de sangue em vasos sanguíneos e (c) filtração tangencial de fluido com partículas em suspensão. ... 25
Figura 1.3 – Esboço do perfil de velocidades do escoamento em canal parcialmente poroso. ... 26
Figura 1.4 – Representação das escalas de análise de um fluido. ... 28
Figura 3.1 – Viscosidade aparente em função da taxa de cisalhamento para uma solução diluída de poliacrilamida em xarope de glicose. ... 43
Figura 3.2 – Comportamento típico de fluidos newtonianos, pseudoplásticos, dilatantes e viscoplásticos. ... 44
Figura 3.3 – Comparação entre as viscosidades aparentes dos modelos de Bingham e Papanastasiou (1987) em função da taxa de cisalhamento para diferentes valores de np. ... 47
Figura 3.4 – Abordagens homogênea e heterogênea do meio poroso. ... 49
Figura 3.5 – Escalas de análise micro, meso e macroscópica da interface-fluido porosa. ... 51
Figura 4.1 – Geometria e condições de contorno do escoamento em canal parcialmente poroso. ... 57
Figura 5.1 – Representação do volume de controle hexadimensional dxαdcα. ... 65
Figura 5.2 – Processos de deslocamento e colisão. ... 68
Figura 5.3 – Estrutura de retículo D2Q9. ... 71
Figura 5.4 – Funções distribuição fi indeterminadas após a etapa de deslocamento na fronteira S. ... 78
Figura 5.6 – Formulações da condição de bounce-back (a) padrão e (b) intermediária. ... 79 Figura 5.7 – Fluxograma do código computacional. ... 83 Figura 6.1 – Geometria e condições de contorno do escoamento entre placas planas
e paralelas. ... 85
Figura 6.2 – Componente axial (u1*) da velocidade do escoamento entre placas
planas e paralelas. Perfis de velocidade para (a) fluido de lei de potência para
Relp = 100 e diferentes valores de n e (b) fluido de Bingham para ReBi = 100 e
diferentes valores de Bi. ... 87
Figura 6.3 – Tensão de cisalhamento ao longo da direção x2* para o escoamento entre
placas planas e paralelas. (a) fluido de lei de potência para n = 0,25, 1,00 e 4,00
com Relp = 100 e (b) fluido de Bingham para Bi = 0,00; 0,10; 0,20 e 0,40 com ReBi
= 100. ... 88
Figura 6.4 – Taxa de cisalhamento ao longo da direção x2* para o escoamento entre
placas planas e paralelas. (a) fluido de lei de potência para n = 0,25, 1,00 e 4,00
com Relp = 100 e (b) fluido de Bingham para Bi = 0,00; 0,10; 0,20 e 0,40 com ReBi
= 100. ... 89 Figura 6.5 – Geometria e condições de contorno do escoamento em canal poroso
utilizando a abordagem heterogênea. ... 90 Figura 6.6 – Vazão mássica em função do gradiente de pressão para o escoamento
de fluido de lei de potência em canal poroso: DO* = 16, ϕ = 0,75 e n = 0,25; 1,00
e 4,00. ... 91 Figura 6.7 – Vazão mássica em função do gradiente de pressão para o escoamento
de fluido de Bingham em canal poroso: DO* = 16, ϕ = 0,75 e τ
0 = 0,00; 0,10; 1,00
e 10,00 Pa. ... 92
Figura 7.1 – Campos escalares de velocidade (a) e componente axial (u1*) da
velocidade (b) dos escoamentos de fluido newtoniano (n = 1,00) entre placas
planas e paralelas e em canal parcialmente poroso para Relp = 100, ϕ = 0,75, DO*
= 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00. ... 96
Figura 7.2 –Campo vetorial de velocidade na região da interface fluido-porosa a montante do obstáculo (a) e detalhe na região lateral do obstáculo (b) para o
escoamento em canal parcialmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, DO* = 16,
Figura 7.3 – Componentes axial (a) e transversal (b) da velocidade ao longo da
direção x1* junto à interface fluido-porosa (x2* = 1,56 × 10-3) para Relp = 100, ϕ
= 0,75, DO* = 16, D
h,rp /Dh,rl = 1,00 e n =1,00. ... 98
Figura 7.4 – Campos escalares de tensão (a) e de pressão (b) dos escoamentos entre placas planas e paralelas (à esquerda) e em canal parcialmente poroso (à direita) para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, DO* = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e n = 1,00. 99
Figura 7.5 – Cf,p/Cf,i em função do número de Reynolds para ϕ = 0,75, DO* = 16, Dh,rp
/Dh,rl = 1,00: (a) fluido de lei de potência e (b) fluido de Bingham. ... 100
Figura 7.6 – Componente axial (u1*) da velocidade ao longo do canal (à esquerda) e
na região da interface fluido-porosa (à direita) para ϕ = 0,75, DO* = 16, D
h,rp
/Dh,rl = 1,00 e diferentes valores de Relp: (a) n = 0,25, (b) 1,00 e (c) 4,00. ... 102
Figura 7.7 – Campos de viscosidade aparente para o escoamento em canal
parcialmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, DO* = 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 para
n =0,25, 1,00 e 4,00. ... 103
Figura 7.8 – Componente axial (u1*) da velocidade ao longo do canal (à esquerda) e
na região da interface fluido-porosa (à direita) para ϕ = 0,75, DO* = 16, D
h,rp
/Dh,rl = 1,00 e diferentes valores de ReBi: (a) Bi = 0,00, (b) Bi = 0,10 e (c) Bi =
0,20. ... 104 Figura 7.9 – Linhas de corrente na região da interface fluido-porosa a montante do
obstáculo para ϕ = 0,75, DO* = 16, D
h,rp /Dh,rl = 1,00 e Relp = 100 (à esquerda) e
103 (à direita): (a) n = 0,25 e (b) 4,00. ... 105
Figura 7.10 – Cf,p/Cf,i em função da porosidade para Relp e ReBi = 100, DO* = 16, Dh,rp
/Dh,rl = 1,00: (a) fluido de lei de potência e (b) fluido de Bingham. ... 106
Figura 7.11 – Componente axial (u1*) da velocidade ao longo do canal (à esquerda)
e na região da interface fluido-porosa (à direita) para Relp e ReBi = 100, DO* =
16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e diferentes valores de ϕ: (a) n = 0,25, (b) 1,00 e (c) 4,00.
... 108
Figura 7.12 – Componente axial (u1*) da velocidade ao longo do canal (à esquerda)
e na região da interface fluido-porosa (à direita) para ReBi = 100, ϕ = 0,75, DO*
= 16, Dh,rp /Dh,rl = 1,00 e diferentes valores de Bi. ... 109
Figura 7.13 – Componentes axial (a) e transversal (b) da velocidade ao longo da
Figura 7.14 – Cf,p/Cf,i em função da densidade de obstáculos adimensional para Relp
= 100, ϕ = 0,75, D
h,rp /Dh,rl = 1,00: (a) fluido de lei de potência e (b) fluido de
Bingham. ... 112 Figura 7.15 – Cf,p/Cf,i em função de Dh,rp/Dh,rl para Relp = 100, ϕ = 0,75, DO* = 16: (a)
fluido de lei de potência e (b) fluido de Bingham... 113
Figura 7.16 – Curvas Cf,p/Cf,i × σ obtidas através dos modelos BJ (αBJ = 27,00), NN
(μef /μ = ϕ-1) e OTW (βOTW = -5.85) e do LBM para o escoamento em canal
parcialmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, DO* = 16, Dh,rp = 1,00 m, n
=1,00. ... 116
Figura 7.17 – Componente axial (u1*) da velocidade ao longo do canal (à esquerda)
e na região da interface fluido-porosa (à direita) para o escoamento em canal
parcialmente poroso para Relp = 1,00, ϕ = 0,75, DO* = 16, Dh,rp = 1,00, n
=1,00 e diferentes valores de Dh,rl. ... 117
Figura 7.18 – Resultados para Cf,p/Cf,i em função de σ obtidos através do LBM para
Relp = 100, ϕ = 0,75, DO* = 16, Dh,rp = 1,00 e diferentes valores n. ... 118
Figura 7.19 – Curvas Cf,p/Cf,i × σ obtidas através do modelo OTW para diferentes
valores de βOTW. ... 118
Figura 7.20 – Comparação entre os resultados apresentados na Figura 7.18 e o
modelo OTW considerando os valores de βOTW apresentados na Tabela 7.8. 119
Figura C.1 – Análise das condições de contorno de bounce-back. Comparação entre os perfis de velocidade analítico e obtidos com bounce-back (a) padrão e (b) intermediário. À esquerda: perfis de velocidade ao longo de toda a seção transversal do canal. À direita: detalhe da região próxima a parede inferior.
... 153
Figura C.2 – Canal parcialmente poroso com diferentes comprimentos. (a) L = 0,25 e (b) L = 0,50. ... 154 Figura C.3 – Perfis de velocidade do escoamento em canal parcialmente poroso em
LISTA DE TABELAS
Tabela 5.1 – Valores de wi, cs e cα,i para o modelo D2Q9. ... 71
Tabela 7.1 – Faixas de valores das variáveis independentes... 94
Tabela 7.2 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes de números de Reynolds e índices de
lei de potência. ... 101
Tabela 7.3 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes de números de Reynolds e números
de Bingham. ... 101
Tabela 7.4 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes porosidades e índices de lei de
potência. ... 107
Tabela 7.5 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes porosidades e números de Bingham.
... 107
Tabela 7.6 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes números de obstáculos e índices de
lei de potência. ... 112
Tabela 7.7 – Valores de Cf,p/Cf,i para diferentes números de obstáculos e números de
Bingham. ... 112 Tabela 7.8 – Valores de β e R2 para cada valor de n. ... 119 Tabela D.1 – Parâmetros das simulações para o escoamento de fluido de lei de
potência. ... 156 Tabela D.2 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de lei de
potência entre placas planas e paralelas para n = 0,25. ... 157 Tabela D.3 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de
Bingham entre placas planas e paralelas para Bi = 0,40 e np = 102. ... 158
Tabela D.4 – Teste de sensibilidade à np para o escoamento de fluido de Bingham
entre placas planas e paralelas para Bi = 0,40. ... 158 Tabela D.5 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de lei de
potência em canal poroso para n = 0,25 e (–Δp/L) = 48,00 Pa/m. ... 159 Tabela D.6 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de
Bingham em canal poroso para τ0 = 10 Pa, (–Δp/L) = 2,50 Pa/m e np = 104. . 159
Tabela D.8 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de lei de
potência em canal parcialmente poroso para n = 0,25 e Relp = 100. ... 160
Tabela D.9 – Teste de sensibilidade à Δx e Δt para o escoamento de fluido de
Bingham em canal parcialmente poroso para Bi = 0,40, ReBi = 100 e np = 102.
... 161
Tabela D.10 – Teste de sensibilidade à np para o escoamento de fluido de Bingham
em canal parcialmente poroso para Bi = 0,40. ... 161 Tabela D.11 – Parâmetros das simulações para o escoamento de fluido de lei de
potência. ... 162 Tabela D.12 – Parâmetros das simulações para o escoamento de fluido de Bingham.
LISTA DE SIGLAS
BGK Aproximação para o operador colisão proposta por Bhatnagar et al. (1954)
BJ Modelo de Beavers e Joseph (1967) CA Cellular Automata
DaQb Estruturas de lattice
FHP Modelo de Frisch et al. (1986) HL Modelo de He e Luo (1997a) LBM Método lattice Boltzmann LGCA Lattice-Gas Cellular Automata NN Modelo de Neale e Nader (1974)
LISTA DE SÍMBOLOS
Símbolos Romanos
a Número de dimensões da estrutura de lattice [-]
A Área da seção transversal [m2]
At Área total (meio poroso bidimensional) [m2]
Af Área de fluido (meio poroso bidimensional) [m2]
b Número de orientações/velocidades de deslocamento no retículo
[-]
Bi Número de Bingham [-]
cα Componente do vetor velocidade das partículas [m/s]
c Velocidade fundamental das partículas [m/s]
Cf Fator de atrito [-]
cF Fator de forma (termo de Forchheimer) [-]
cs Velocidade do som [m/s]
ca Coeficiente angular da reta [-]
C1, C2 Constantes [-]
Dh Diâmetro hidráulico [m]
DO Densidade de obstáculos na região porosa [obstáculos/m2]
e Energia [J]
Eg Erro global [-]
EΔx Erro associado à discretização espacial [-]
EMa Erro associado à compressibilidade [-]
EΔt Erro associado à discretização temporal [-]
EM Expressão a ser minimizada (método dos mínimos quadrados)
[-]
Ep Erro percentual [-]
f Função distribuição de velocidade [-]
fM Função distribuição de Maxwell [-]
f neq Parcela de não equilíbrio da função distribuição de velocidade
[-]
Fα Componente do vetor força externa [N]
gα Componente do vetor aceleração da gravidade [m/s2]
i Orientação de deslocamento das partículas no retículo [-]
kB Constante de Boltzmann [m2kg/s2K]
K Permeabilidade [m2]
Kn Número de Knudsen (llcm/lref) [-]
llcm Livre caminho médio das partículas [m]
lref Comprimento de referência [m]
L Comprimento do canal [m]
m Massa das partículas [kg]
ṁ Vazão mássica [kg/m3]
Ma Número de Mach [-]
n Índice de lei de potência [-]
nvp Número de variáveis do problema (Teorema Pi de Buckingham)
[-]
ndp Número de dimensões primárias (Teorema Pi de Buckingham)
[-]
np Parâmetro de regularização do modelo de Papanastasiou (1987) [s] N Número de partículas [-] N, S, L, O Fronteiras do retículo [-] p Pressão [Pa] P Perímetro [m]
Δp Diferença de pressão [Pa]
Q Operador colisão [-]
Re Número de Reynolds [-]
R2 Coeficiente de determinação (método dos mínimos quadrados)
[-]
s Distância entre os obstáculos [m]
Δt Passo de tempo [s]
T Temperatura [K]
uα Componente do vetor velocidade do escoamento [m/s]
uD Velocidade de Darcy [m/s]
uint Velocidade do escoamento na interface fluido-porosa [m/s]
ū Velocidade média do escoamento [m/s]
uN Velocidade do núcleo não cisalhado (Fluido de Bingham) [m/s]
uref Velocidade de referência do escoamento [m/s]
V Volume [m3]
Vp Volume total de poros [m3]
Vpi Volume de poros interconectados [m3]
Vt Volume total do meio poroso [m3]
w Fator de ponderação [-]
xα Componente do vetor posição [m]
xN Comprimento do núcleo não cisalhado (Fluido de Bingham)
[m]
Δx Distância horizontal/vertical entre nós vizinhos [m]
Símbolos Gregos
αBJ Coeficiente de deslizamento (modelo BJ) [-]
βOTW Coeficiente de salto de tensão (modelo OTW) [-]
Taxa de cisalhamento/Magnitude do tensor taxa de cisalhamento[s-1]
Componente do tensor taxa de cisalhamento [s-1]ξ Parâmetro de escala da expansão de Chapman-Enskog [-]
η Viscosidade aparente [Pa∙s]
ηc Índice de consistência [Pa∙sn]
ηp Viscosidade plástica [Pa∙s]
μ Viscosidade dinâmica [Pa∙s]
μef Viscosidade dinâmica efetiva [Pa∙s]
ρ Massa específica do fluido [kg/m3]
δρ Flutuação da massa específica [kg/m3]
σ Parâmetro adimensional (hrl/ K ) [-]
λ Fator de relaxação [s]
λlb Fator de relaxação adimensional (λ/Δt) [-]
ς Seção transversal diferencial de choque [m2]
τ Tensão/Magnitude do tensor tensão [Pa]
ταβ Componente do tensor tensão [Pa]
τ0 Tensão limite de escoamento [Pa]
ϕ Porosidade [-]
ϕef Porosidade efetiva [-]
φ Variável qualquer do problema [-]
Φ Acréscimo percentual de vazão na região livre [-]
ψk Momento de ordem k da função distribuição [-]
dΩ Elemento de ângulo sólido [sr]
Π Parâmetro adimensional [-]
Subscritos
i Orientação de deslocamento das partículas no retículo
α, β, γ, δ, χ Índices da notação indicial
n Fluido newtoniano
lp Fluido de lei de potência
Bi Fluido de Bingham
lbm Método lattice Boltzmann
ma Modelos analíticos
ref Referência
rl Região livre
rp Região porosa
mod Modificado
i Canal parcialmente poroso impermeável
p Canal parcialmente poroso permeável
Sobrescritos
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ... 23 1.1 Motivação ... 23 1.2 Caracterização do problema ... 26 1.3 Abordagem do problema ... 27 1.4 Objetivos ... 29 1.5 Organização do trabalho ... 29 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 31 2.1 Escoamento junto à interface fluido-porosa: fluido newtoniano ... 31 2.2 Escoamento junto à interface fluido-porosa: fluidos não newtonianos ... 37 2.3 Síntese do capítulo ... 39 3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 41 3.1 Fluidos newtonianos e não newtonianos ... 41 3.2 Meios porosos ... 48 3.3 Fator de atrito e número de Reynolds ... 52 3.4 Síntese do capítulo ... 56 4 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA ... 57 4.1 Geometria e condições de contorno e inicial ... 57 4.2 Hipóteses simplificadoras e equações de balanço ... 58 4.3 Parâmetros e variáveis adimensionais do problema ... 59 4.4 Síntese do capítulo ... 62 5 MÉTODO LATTICE BOLTZMANN ... 63 5.1 Histórico ... 63 5.2 Conceitos básicos sobre teoria cinética dos gases ... 64 5.3 Modelo de He e Luo (1997a) ... 67 5.4 Estruturas de retículo ... 70 5.5 Equivalência entre o modelo HL e as Equações de Navier-Stokes – Expansão de Chapman-Enskog ... 71 5.6 Adaptação do modelo HL para o escoamento de fluidos de lei de potência e de5.8 Metodologia para o teste de sensibilidade à discretização espacial (Δx) e temporal (Δt) 80
5.9 Estrutura do código computacional ... 82 5.10 Síntese do capítulo ... 83 6 PROBLEMAS DE VERIFICAÇÃO ... 85 6.1 Escoamento entre placas planas e paralelas ... 85 6.2 Escoamento em canal poroso ... 89 6.3 Síntese do capítulo ... 93 7 RESULTADOS E DISCUSSÕES ... 94 7.1 Parâmetros de análise do problema ... 94 7.2 Influência da interface fluido-porosa sobre o escoamento na região livre ... 96 7.3 Análise paramétrica ... 99 7.4 Estudo da adaptação dos modelos analíticos BJ, NN e OTW ao escoamento de fluido de lei de potência... 113 7.5 Síntese do capítulo ... 120 8 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 121 8.1 Sugestões para trabalhos futuros ... 122 REFERÊNCIAS ... 123 APÊNDICE A – PARÂMETROS ADIMENSIONAIS ... 132 APÊNDICE B – RESULTADOS INTERMEDIÁRIOS DO MÉTODO LATTICE BOLTZMANN ... 137 B.1 Função de equilíbrio do modelo de He e Luo (1997a) – Equação 5.11... 137 B.2 Momentos de ordem zero e um das funções distribuição de velocidade do modelo de He e Luo (1997a) – Equações 5.13 e 5.14 ... 141 B.3 Momentos de ordem zero e um das parcelas de não equilíbrio das funções distribuição de velocidade – Equações 5.26 e 5.27 ... 145 B.4 Obtenção da equação da conservação da quantidade de movimento linear – expansão de Chapman-Enskog ... 146 APÊNDICE C – TESTES DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DO LBM ... 152 C.1. Comparação entre as formulações padrão e intermediária da condição de
bounce-back 152
C.2. Avaliação da condição de contorno periódica de Liao e Jen (2008) ... 154 APÊNDICE D – RESULTADOS DOS TESTES DE SENSIBILIDADE A Δx E Δt ... 156
D.2 Escoamento em canal poroso... 158 D.3 Escoamento em canal parcialmente poroso ... 160
1 INTRODUÇÃO
1.1 M
OTIVAÇÃOMeios porosos tais como, areia, madeira, asfalto, rochas, pães, tecidos do corpo humano, esponjas, isolantes térmicos e espumas metálicas estão presentes em diversas situações cotidianas e aplicações tecnológicas (NIELD e BEJAN, 2006; SAHIMI, 2010). A Figura 1.1 apresenta alguns exemplos de meios porosos naturais, como rochas carbonáticas da camada pré-sal (Figura 1.1a) e ossos humanos (Figura 1.1b), e artificiais, como asfalto permeável (Figura 1.1c) e espuma metálica (Figura 1.1d). Estas últimas encontram aplicações na construção civil e indústrias automotiva, aeroespacial, biomédica, entre outras (BANHART, 2001).
Equation Chapter (Next) Section 1
(a) (b)
(c)
(d)
Figura 1.1 – Exemplos de meios porosos. (a) rocha carbonática, (b) osso humano, (c) asfalto permeável e (d) espuma metálica.
Em certas circunstâncias, observa-se o escoamento de fluidos ocorrendo junto e no interior de materiais porosos, como os citados no parágrafo anterior. Prasad (1991) destaca a interação entre isolantes térmicos fibrosos ou granulares e a vizinhança ao redor, a convecção da água junto às rochas em sistemas geotérmicos, o contato das águas de oceanos com o leito marinho, o processo de solidificação dendrítica de alguns tipos de ligas metálicas, assim como a lubrificação das articulações sinoviais (e.g., ombros e joelhos) e de rolamentos porosos. Outros exemplos em que ocorrem escoamentos junto à interface entre uma região livre e outra porosa (interface fluido-porosa) são: processos de secagem de alimentos e cimento (MOSTHAF et al., 2014), filtragem industrial (HANSPAL et al., 2006), coletores solares (AL-NIMR e ALKAN, 1997), trocadores de calor (MOROSUK, 2005), perfuração de poços de petróleo e gás (MARTINS, 2004; MARTINS-COSTA et al., 2013), escoamento de filmes líquidos sobre superfícies rugosas (SADIQ e USHA, 2010), moldagem por transferência de resina (YANG et al., 2008), propagação de incêndios em florestas (SÉRO-GUILLAUME e MARGERIT, 2002) e fluxo de sangue em vasos sanguíneos e de outros fluidos biológicos em órgãos do corpo humano (RAO e MISHRA, 2004).
Devido à quantidade de aplicações, o estudo de fenômenos de transporte junto à interface fluido-porosa tem sido realizado de forma extensiva, sendo considerados diversos níveis de complexidade do problema, desde o escoamento de fluido newtoniano, laminar e isotérmico (BEAVERS e JOSEPH, 1967; OCHOA-TAPIA e WHITAKER, 1995b) até, por exemplo, escoamentos turbulentos (SILVA e DE LEMOS, 2003), convecção forçada (KUZNETSOV, 1999) ou natural (GOBIN e GOYEAU, 2008) e transferência de massa (GOBIN et al., 2005). Segundo Chandesris e Jamet (2006), o principal desafio consiste na modelagem adequada da zona de transição entre as regiões livre e porosa de modo a descrever corretamente os fluxos de massa, quantidade de movimento e energia na região interfacial.
Particularmente, o escopo do presente trabalho se restringe aos casos em que o fluido escoando junto à interface fluido-porosa apresenta comportamento não newtoniano, mais especificamente, segundo os modelos de lei de potência e de Bingham. As considerações físicas e matemáticas dos modelos de fluidos não newtonianos utilizados neste trabalho são apresentadas em detalhes no Capítulo 3, mas vale ressaltar que dos exemplos citados anteriormente, os fluidos de perfuração utilizados pela indústria
ilustra situações em que estes fluidos escoam em contato com uma superfície permeável, caracterizando-se, assim, o escoamento junto a interface fluido-porosa.
(a)
(b)
(c)
Figura 1.2 – Exemplos de escoamentos de fluidos não newtonianos ocorrendo junto à interface fluido-porosa. (a) fluido de perfuração escoando no espaço anular entre a coluna de perfuração e o reservatório, (b) escoamento de sangue em vasos sanguíneos e (c) filtragem tangencial de fluido com
partículas em suspensão.
Fonte: (a) LEARNTODRILL, (b) WISEGEEK e (c) LIQTECH
A Figura 1.2a mostra o fluido de perfuração carregando os cascalhos gerados durante o processo de perfuração através do espaço anular entre a coluna de perfuração e as paredes do poço (rochas permeáveis). A Figura 1.2b ilustra a passagem de sangue no interior de vasos capilares, cujas paredes são permeáveis de modo a permitir a passagem de nutrientes e substâncias químicas. Por fim, a Figura 1.2c retrata o processo de filtragem tangencial no qual um fluido com partículas em suspensão escoa sobre uma membrana permeável que permite a separação das partículas de maior granulometria do filtrado composto por fluido e partículas menores.
reservatório (região porosa) fluido de perfuração (região fluida)
endotélio (região porosa)
sangue (região fluida)
suspensão (região fluida) membrana (região porosa) filtrado filtrado
1.2 C
ARACTERIZAÇÃO DO PROBLEMANeste trabalho, a análise do escoamento junto à interface fluido-porosa é realizada através do estudo do escoamento em canal parcialmente poroso, o qual é formado por duas placas planas e paralelas entre as quais se faz presente um material poroso acomodado sobre a placa inferior. No interior do canal são identificadas duas regiões: uma porosa, determinada pelo próprio material poroso, e outra livre, compreendida entre a região porosa e a placa superior do canal, como ilustra a Figura 1.3.
Figura 1.3 – Esboço do perfil de velocidades do escoamento em canal parcialmente poroso.
Tal geometria remete aos experimentos realizados por Beavers e Joseph (1967), cujo trabalho representou o primeiro esforço no sentido de modelar o escoamento junto à interface fluido-porosa. A principal questão a ser investigada é a influência do meio poroso sobre o escoamento na região livre, a qual se traduz no modo como o perfil de velocidades se comporta na zona de transição entre as regiões porosa e livre. Conforme ilustrado na Figura 1.3, a zona de transição é caracterizada pela passagem de um perfil de velocidade aproximadamente uniforme, uD, no interior da região porosa (suficientemente longe da zona de transição e da placa inferior) para um perfil aproximadamente parabólico na região livre. É importante notar que a presença do meio poroso induz uma vazão mássica através da região livre superior àquela esperada no caso em que o meio poroso é substituído por um meio impermeável, já que a velocidade do escoamento na interface
2, 2 x u 1, 1 x u Região livre Região porosa Zona de transição Acréscimo de vazão mássica D u Interface fluido-porosa 2 rf x h 1 x L 2 rp x h 1 0 x 2 0 x
1.3 A
BORDAGEM DO PROBLEMAComo será visto na revisão bibliográfica apresentada no Capítulo 2, o problema do escoamento junto à interface fluido-porosa é abordado na literatura segundo as metodologias experimental e teórica, a qual, por sua vez, pode ser analítica ou numérica. A complexidade matemática associada à modelagem do escoamento na zona de transição torna a obtenção de soluções puramente analíticas extremamente difícil. Os modelos analíticos encontrados na literatura dependem, por exemplo, de parâmetros empíricos relativos ao meio poroso ou são simplificados a tal ponto que a generalidade dos resultados é comprometida. Desta forma, muitos estudos lançam mão de técnicas numéricas para solução das equações que modelam o problema, se utilizando, por exemplo, de integração numérica, do método das diferenças finitas, da simulação numérica direta e do método lattice Boltzmann (LBM). Ainda levando em conta a complexidade imposta pelo meio poroso na modelagem do problema, a abordagem experimental se mostra a melhor alternativa para a reprodução e investigação de problemas reais, fornecendo também subsídios para a validação de modelos analíticos e numéricos.
Neste trabalho, opta-se pela solução do problema através do LBM, método numérico baseado na teoria cinética dos gases para a representação de fenômenos físicos em fluidos (CHEN e DOOLEN, 1998). O LBM é apresentado detalhadamente no Capítulo 5 e será brevemente contextualizado a seguir. Conforme apresentam Guo e Shu (2013), a análise do escoamento de fluidos pode ser realizada em três escalas espaciais: micro, meso e macroscópica, ilustradas na Figura 1.4. Na escala microscópica é possível distinguir cada átomo ou molécula que compõe o fluido, o qual pode ser considerado um sistema de partículas individuais em constante movimentação interagindo entre si por meio de colisões. O fluido é caracterizado pelas trajetórias das partículas, as quais são descritas pelas mecânicas clássica ou hamiltoniana. No extremo oposto se encontra a escala macroscópica, na qual o livre caminho médio das partículas (i.e., distância média percorrida entre duas colisões sucessivas) é muito menor do que o comprimento característico do escoamento. Neste caso, o fluido é considerado um meio contínuo. Através da análise dos fluxos de massa, quantidade de movimento e energia em um volume de controle infinitesimal, obtém-se as respectivas equações de balanço que descrevem o escoamento. Finalmente, a escala mesoscópica se encontra numa posição intermediária, não sendo possível distinguir cada partícula individualmente nem
considerar o fluido como um meio contínuo. Assim sendo, o fluido é caracterizado de forma estatística através de funções distribuição de velocidade, f (xα, cα, t), as quais correspondem ao número provável de partículas dentro de determinadas faixas de posição e velocidade num dado instante de tempo. xα e cα representam, respectivamente, posições dos espaços físico e de velocidades e t o tempo. Através das funções distribuição, determina-se as propriedades macroscópicas do fluido, como massa específica, velocidade e energia interna (GUO e SHU, 2013).
Figura 1.4 – Representação das escalas de análise de um fluido.
Fundamentado na escala mesoscópica, o LBM se mostra uma alternativa a métodos numéricos como a dinâmica molecular (escala microscópica) e o método dos volumes finitos (escala macroscópica). Algumas das vantagens do LBM são a linearidade do termo advectivo, a fácil adaptação do algoritmo à computação paralela e a simplicidade de implementação de condições de contorno. Além disso, não é necessário resolver a equação de Laplace a cada passo de tempo para que a equação da continuidade seja satisfeita. Outra característica importante consiste no cálculo da pressão através de uma equação de estado independente da velocidade do escoamento, não sendo necessária a introdução de um acoplamento entre pressão e velocidade, que em geral causa dificuldades numéricas. Por fim, o número reduzido de velocidades e direções de deslocamento dos conjuntos de partículas torna desnecessária a solução da equação de Boltzmann para todo o espectro de velocidades, o que confere maior eficiência ao método
Meio contínuo Representação estatística Sistema de partículas individuais ,2 F ,3 F ,1 F ,5 F ,4 F
, ,
f x c t ref lcm l l lcm l ,6 F ,7 FSukop e Thorne Jr (2007) destacam o aumento do número de trabalhos científicos envolvendo o LBM nas últimas décadas com aplicações em diversas áreas da ciência e da engenharia. Guo e Shu (2013) apresentam modelos do LBM, com potenciais aplicações na área de engenharia térmica, os quais foram desenvolvidos para a solução de escoamentos turbulentos, multifásicos, compressíveis, com transferência de calor, em escala microscópica e em meios porosos. Também são encontrados na literatura modelos para o escoamento de fluidos não newtonianos (PHILLIPS e ROBERTS, 2011), combustão (YAMAMOTO et al., 2002) e mudança de fase (MILLER, 2001).
1.4 O
BJETIVOSO objetivo neste trabalho é investigar o escoamento de fluidos de lei de potência e de Bingham em canal paracialmente poroso utilizando o método lattice Boltzmann, sendo o meio poroso representado através de obstáculos sólidos e quadrados distribuídos uniformemente na parte inferior do canal.
O parâmetro utilizado na análise do escoamento é o fator de atrito na região livre do canal, sendo estudadas as influências de parâmetros adimensionais relacionados à região porosa (i.e., porosidade, densidade de obstáculos e altura da região porosa adimensionais), à inercia do escoamento (i.e., número de Reynolds) e aos modelos de fluido (i.e., índice de lei de potência e número de Bingham). Ademais, estuda-se a adaptação de modelos analíticos que descrevem a interface fluido-porosa no caso do escoamento de fluidos newtonianos para o escoamento de fluidos de lei de potência.
1.5 O
RGANIZAÇÃO DO TRABALHOA sequência deste documento é dividida em sete capítulos. No Capítulo 2 é realizada a revisão bibliográfica, na qual são descritos os principais estudos relacionados ao escoamento de fluidos newtonianos e não newtonianos junto à interface fluido-porosa. Ao final do capítulo são evidenciados os principais diferenciais e contribuições do presente trabalho.
No Capítulo 3 é apresentada a fundamentação teórica necessária para o desenvolvimento deste trabalho, sendo apresentados conceitos básicos sobre fluidos newtonianos e não newtonianos, meios porosos, bem como a definição de fator de atrito. Em seguida, no Capítulo 4, realiza-se a formulação do problema, sendo apresentadas a geometria, as condições de contorno e inicial, as hipóteses simplificadoras
e as equações de balanço que descrevem o problema. Além disso, os parâmetros adimensionais que caracterizam o escoamento em canal parcialmente poroso são identificados.
O método lattice Boltzmann é apresentado no Capítulo 5, destacando-se aspectos introdutórios do método, o modelo de He e Luo (1997a), a estrutura de retículo D2Q9 e o acoplamento dos modelos de lei de potência e de Bingham. Ademais, são apresentadas as condições de contorno utilizadas na modelagem do escoamento em canal parcialmente poroso, a metodologia utilizada para o desenvolvimento dos testes de sensibilidade à malha computacional, bem como uma noção geral da estrutura do código de programação.
No Capítulo 6 são apresentados os estudos de dois problemas de verificação utilizados para avaliar a implementação numérica do LBM e a sua capacidade na solução do escoamento de fluido de lei de potência e de Bingham em diferentes geometrias. Particularmente, analisa-se os escoamentos entre placas planas e paralelas e em canal poroso.
As análises do escoamento em canal parcialmente poroso são apresentadas no Capítulo 7, no qual são discutidas as influências do meio poroso sobre o escoamento na região livre do canal, bem como o comportamento do fator de atrito em função da variação de cada parâmetro adimensional do problema. Além do mais, neste capítulo é estudada a adaptação de modelos analíticos que descrevem a interface fluido-porosa para o escoamento de fluidos newtonianos para o caso do escoamento de fluidos de lei de potência.
Finalmente, no Capítulo 8 é apresentada a conclusão do trabalho, na qual são considerados os principais resultados obtidos e sugestões para trabalhos futuros.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Neste capítulo são revisados trabalhos da literatura que investigaram o escoamento junto à interface fluido-porosa. Na seção 2.1 são apresentados estudos relativos ao escoamento de fluido newtoniano, enquanto a seção 2.2 trata do escoamento de fluidos não newtonianos, com destaque aos modelos de lei de potência e de Bingham. No final do capítulo são apontados as principais diferenças e contribuições do presente trabalho.
2.1 E
SCOAMENTO JUNTO À INTERFACE FLUIDO-
POROSA:
FLUIDO NEWTONIANOO primeiro trabalho a tratar do escoamento junto à interface fluido-porosa é atribuído a Beavers e Joseph (1967), que investigaram o problema de forma analítica e experimental. Para tanto, Beavers e Joseph (1967) analisaram o escoamento de Poiseuille (i.e., escoamento promovido por um gradiente de pressão) em uma geometria similar à da Figura 1.3, i.e., escoamento entre duas placas planas e paralelas entre as quais se faz presente um material poroso, de tal forma que duas regiões são estabelecidas: uma livre (superior) e outra porosa (inferior). Experimentalmente, constatou-se que a vazão mássica na região livre era superior àquela esperada no caso em que o material poroso é impermeável (escoamento entre placas planas e paralelas), de modo que os autores inferiram a existência de uma velocidade de deslizamento, uint, sobre a superfície do material poroso.
O modelo analítico proposto por Beavers e Joseph (1967), que neste trabalho é denotado por BJ, considerou o escoamento de Stokes unidimensional e plenamente desenvolvido na região livre e a lei de Darcy na região porosa. Para modelar a interface fluido-porosa foi proposta a seguinte condição de contorno:
Equation Chapter (Next) Section 1
2 1 int 2 0 BJ D x du u u dx K 2.1sendo u1 a componente da velocidade na direção do escoamento, x2 a componente da posição na direção perpendicular ao escoamento, x2 = 0+ a posição da interface pelo lado da região livre, K a permeabilidade do meio poroso, uD a velocidade média do escoamento na região porosa (velocidade de Darcy) e αBJ um parâmetro empírico associado ao meio poroso (coeficiente de deslizamento). A Equação 2.1 pode ser vista como uma aproximação do gradiente de velocidade na zona de transição entre as regiões livre e porosa, o qual é proporcional, por meio do parâmetro αBJ, à diferença entre uD (velocidade do escoamento no interior da região porosa) e uint (velocidade do escoamento na interface
fluido-porosa) ao longo de um comprimento característico da região porosa, representado por K.
Para validar o modelo BJ, Beavers e Joseph (1967) analisaram a relação entre o acréscimo percentual de vazão mássica na região livre, Φ, e o parâmetro adimensional σ, os quais são dados, respectivamente, por:
rl i i m m m 2.2 rl h K 2.3
sendo ṁrl e ṁi, respectivamente, as vazões mássicas através da região livre quando o meio poroso é permeável e impermeável, e hrl a altura da região livre.
Considerando as características do experimento conduzido por Beavers e Joseph (1967), no qual o escoamento é promovido por um gradiente de pressão igualmente aplicado nas regiões livre e porosa, a expressão analítica de Φ para o modelo BJ, ΦBJ, é
dada por:
BJ 3 2 1 BJ BJ 2.4aloxite), mostraram que Φ cresce assintoticamente com a redução de σ, podendo alcançar
valores superiores a 1,2. De um modo geral, o modelo BJ apresentou resultados qualitativamente coerentes com os resultados experimentais. Para uma faixa de σ variando aproximadamente entre 2 e 90, o parâmetro α se mostrou independente do fluido e variou entre 0,1 e 4,0, dependendo da amostra de meio poroso utilizada.
Em um estudo posterior, Sahraoui e Kaviany (1992) analisaram o escoamento junto à interface fluido-porosa através de simulação numérica direta, representando o meio poroso através de um conjunto de cilindros sólidos. Os resultados obtidos mostraram que o parâmetro αBJ depende da porosidade, efeitos inerciais, altura da região livre, posição da interface fluido-porosa, direção do escoamento e acabamento superficial do meio poroso.
Beavers et al. (1970) avaliaram o fator de atrito, Cf, do escoamento na região livre do canal, confrontando resultados obtidos experimentalmente com o modelo BJ. Os autores identificaram que o produto Cf Re é constante para uma determinada configuração geométrica de canal e meio poroso (σ e αBJ fixos), sendo Re o número de Reynolds baseado na velocidade média do escoamento e na altura da região livre. Especificamente, Beavers et al. (1970) demonstraram que o produto Cf Re é inversamente proporcional a (1 + Φ). Desta forma, conclui-se que Cf Re diminui na presença da interface fluido-porosa, sendo este efeito tanto maior quanto maior o acréscimo percentual de vazão mássica na região livre, ou seja, quanto menor a altura da região livre ou maiores forem a permeabilidade do meio poroso e o parâmetro α.
Neale e Nader (1974) propuseram a inclusão do termo de Brinkman, associado ao arrasto viscoso do fluido com a matriz sólida do meio poroso, na modelagem do escoamento na região porosa. Desta forma, é possível capturar a penetração dos efeitos viscosos na zona de transição entre as regiões livre e porosa. No modelo apresentado por Neale e Nader (1974), neste trabalho denotado por NN, a interface fluido-porosa é representada pela continuidade da velocidade e da tensão de cisalhamento, a qual é calculada utilizando a viscosidade efetiva associada ao termo de Brinkman, μef, pelo lado do meio poroso:
2 2
1x 0 1x 0
2 2 1 1 2 0 2 0 ef x x du du dx dx 2.6
sendo x2 = 0- a posição da interface pelo lado da região porosa.
O acréscimo percentual de vazão mássica na região livre previsto pelo modelo NN resulta num caso particular do modelo BJ, com αBJ 2 = (μef /μ):
NN 3 2 1 ef ef 2.7Suportados pelos resultados experimentais apresentados por Beavers e Joseph (1967), Neale e Nader (1974) consideraram o modelo NN válido, apontando para a necessidade de maiores informações a respeito da relação entre μ e μef.
Além do termo de Brinkman, Vafai e Kim (1990) introduziram o termo de Forchheimer na modelagem do escoamento na região porosa, de modo que os efeitos associados ao arrasto de forma da matriz sólida do meio poroso foram contabilizados. A interface fluido-porosa foi representada pelas Equações 2.5 e 2.6, considerando μef = μ. Das análises apresentadas por Vafai e Kim (1990), pode-se constatar que a distribuição de vazão mássica entre as regiões livre e porosa depende do número de Darcy (permeabilidade adimensional) e do parâmetro inercial resultante do produto entre o número de Reynolds (baseado na altura da região livre e na velocidade de Darcy) e o parâmetro adimensional relacionado ao termo de Forchheimer. A vazão mássica através da região livre cresce com a redução do número de Darcy ou com o aumento do parâmetro inercial, pois em ambos os casos a resistência do meio poroso ao escoamento cresce, de tal forma que o fluido escoa preferencialmente pela região livre.
Através da aplicação do método da média volumétrica, Ochoa-Tapia e Whitaker (1995a, 1995b) obtiveram as equações de Stokes e Darcy-Brinkman para a modelagem do escoamento nas regiões livre e porosa do canal, respectivamente. Como resultado da média volumétrica, a interface fluido-porosa é caracterizada pela continuidade da velocidade, Equação 2.5, e pela descontinuidade da tensão de cisalhamento, a qual é
2 2 1 1 int 2 0 2 0 OTW ef x x du du u dx dx K 2.8
sendo βOTW um parâmetro empírico associado ao meio poroso (coeficiente de salto de tensão) e μef = μ/ϕ, com ϕ representando a porosidade do meio poroso. Para o caso particular em que βOTW = 0, o modelo OTW de Ochoa-Tapia e Whitaker (1995b) se reduz ao modelo NN (ver Equações 2.6 e 2.8).
O acréscimo percentual de vazão mássica na região livre previsto pelo modelo de Ochoa-Tapia e Whitaker (1995b), ΦOTW, é dado por:
OTW 3 2 1 OTW 2.9Ochoa-Tapia e Whitaker (1995b) mostraram que o modelo OTW representa os resultados experimentais apresentados Beavers e Joseph (1967) de maneira mais satisfatória que os modelos BJ e NN (com μef = μ/ϕ), com o parâmetro βOTW variando entre -1,00 e 1,47 dependendo do meio poroso analisado. Na tentativa de aperfeiçoar o modelo OTW, eliminando a idealização da interface fluido-porosa e, por consequência, o parâmetro empírico βOTW, Ochoa-Tapia e Whitaker (1995b) propuseram um modelo, resolvido numericamente, no qual foi suposta a variação espacial da porosidade dentro da zona de transição entre as regiões livre e porosa. No entanto, os resultados obtidos não foram satisfatórios.
Como destacaram Goyeau et al. (2003), a consideração de uma interface separando as regiões livre e porosa representa a idealização da zona de transição indicada na Figura 1.3, na qual ocorre uma rápida variação das propriedades do meio poroso (e.g., porosidade, permeabilidade, viscosidade efetiva). Dentro desta perspectiva, os parâmetros empíricos αBJ e βOTW podem ser vistos como representações das informações ignoradas através da simplificação realizada pela consideração da interface fluido-porosa. Na literatura são encontrados outros modelos para a representação da interface fluido-porosa, os quais buscam aprimorar a descrição do escoamento na zona de transição (GOYEAU et al., 2003; CHANDESRIS e JAMET, 2006; CHANDESRIS e JAMET, 2007; VALDÉS-PARADA et al., 2007; JAMET e CHANDESRIS, 2009; VALDÈS-PARADA et al., 2013). No entanto, o maior número de parâmetros empíricos envolvidos
e/ou a complexidade matemática associada ao conhecimento da geometria do meio poroso na zona de transição tornam a aplicação prática destes modelos menos atrativa.
Algumas análises encontradas na literatura dispensam a modelagem matemática da interface fluido-porosa, sendo o efeito da zona de transição entre as regiões livre e porosa dado pela variação das propriedades do meio poroso na região interfacial. Nestas abordagens, o escoamento é representado por um único conjunto de equações tanto na região livre quanto na porosa, de modo que não se faz necessária a utilização de condições de contorno representando a interface fluido-porosa (utilizadas para acoplar diferentes conjuntos de equações). De especial interesse para este trabalho é a representação do meio poroso através de obstáculos sólidos, como nos trabalhos de James e Davis (2001), Nabovati e Sousa (2008), Nabovati e Amon (2013) e Meira et al. (2014), além do já citado estudo de Sahraoui e Kaviany (1992).
James e Davis (2001) analisaram os escoamentos de Couette (i.e., placa superior do canal se movendo com velocidade constante) e Poiseuille em um canal parcialmente poroso bidimensional utilizando um método de singularidade. O meio poroso foi representado através de diferentes arranjos de obstáculos sólidos circulares. No caso do escoamento de Poiseuille, observou-se que a diferença entre a velocidades na interface fluido-porosa no interior do meio poroso é depende da porosidade e da altura da região livre. Considerando os casos analisados, os autores concluíram que para ϕ < 0,99 a velocidade de deslizamento pode ser aproximada pela velocidade do escoamento no interior do meio poroso, uma vez que a diferença entre ambas é inferior a 10% da velocidade máxima do escoamento na região livre. Além do mais, os autores verificaram que, em comparação aos resultados numéricos, o modelo NN superestima a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa.
Utilizando o LBM, Nabovati e Sousa (2008) simularam o escoamento de fluido newtoniano em canal parcialmente poroso bidimensional, representando o meio poroso através de obstáculos sólidos e quadrados distribuídos de forma aleatória na parte inferior do canal. Os resultados apresentados mostraram que a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa aumenta com a porosidade. Os autores verificaram que o modelo numérico é qualitativamente coerente com o modelo BJ e que o parâmetro αBJ varia linearmente com a porosidade.
autores verificaram que à medida que a porosidade diminui, menores são a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa, a espessura da zona de transição entre as regiões livre e porosa, bem como o acréscimo percentual de vazão mássica na região livre. A comparação dos resultados numéricos com os modelos os modelos BJ e OTW mostrou a existência de uma relação linear entre a porosidade e os parâmetros αBJ e βOTW.
Também utilizando o LBM, Meira et al. (2014) analisaram o escoamento de fluido newtoniano em canal parcialmente poroso, de modo similar a Nabovati e Sousa (2008), considerando um arranjo uniforme dos obstáculos. As análises foram realizadas para diferentes valores de porosidade, número de obstáculos e alturas da região livre, resultando numa variação de σ entre 2,3 e 111,5. As análises apresentadas mostraram que o modelo OTW representou melhor o modelo numérico investigado em relação ao modelo BJ. Considerando os casos analisados, o parâmetro βOTW, ajustado através do método dos mínimos quadrados, variou entre –4,72 e –7,80, com R2 apresentando valores superiores a 0,98. Nesse sentido, foi proposta uma correlação para o parâmetro βOTW em função da porosidade e da quantidade de obstáculos compondo o meio poroso.
2.2 E
SCOAMENTO JUNTO À INTERFACE FLUIDO-
POROSA:
FLUIDOS NÃO NEWTONIANOSOs estudos envolvendo o escoamento de fluido não newtoniano junto à interface fluido-porosa encontrados na literatura se estendem a diversos modelos de fluido, tais como:
i) fluido de lei de potência (CHEN et al., 2009; RAO E MISHRA 2004; KAMISLI, 2006; PASCAL, 2006; ATTIA, 2008; ERVIN et al., 2009; SAQID e USHA, 2010; MAHMOUD, 2011; MARTINS-COSTA et al., 2013; SILVA et al., 2016),
ii) fluido de Bingham (ATTIA e SAYED-AHMED, 2004; TSANGARIS et al., 2007; CHEN e ZHU, 2008; CHEMLOUL, 2013; AVINASH et al., 2013),
iii) fluido de Herschel-Bulkley (CLOÈTE, 2013), iv) fluido de Maxwell (EL-SHEHAWY et al., 2006), v) fluido de Walters modelo B (LAKSHMI et al., 2013) e vi) fluido de segunda ordem (ARIEL, 2002).
A seguir são destacados os trabalhos cujas análises e resultados são mais relevantes para o problema do escoamento em canal parcialmente poroso investigado no presente trabalho.
Chen et al. (2009) utilizaram o LBM para simular o escoamento de fluido de lei de potência em um canal bidimensional parcialmente preenchido por um meio poroso caracterizado através da abordagem homogênea. A resistência do meio poroso ao escoamento do fluido é modelada através da condição de bounce-back parcial, a qual é determinada pela fração volumétrica da fase sólida no meio poroso (1 – ϕ) e dispensa a definição de uma condição de contorno para a interface fluido-porosa. Os autores verificaram que, para um gradiente de pressão constante, a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa, bem como a penetração dos efeitos viscosos no meio poroso, é tanto maior quanto maior o índice de lei de potência e menor a fração volumétrica de fase sólida no meio poroso.
Através da teoria de misturas, Martins-Costa et al. (2013) modelaram o escoamento de fluido de lei de potência em canal parcialmente poroso, sendo a interface fluido-porosa representada por condições de compatibilidade para a velocidade e sua derivada. Tais condições dependem da porosidade e de um parâmetro escalar associado à estrutura do meio poroso. O conjunto de equações foi resolvido através do método Runge-Kutta de quarta ordem e os resultados apresentados corroboram os obtidos por Chen et al. (2009), ou seja, a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa aumenta com
n.
Silva et al. (2016) propuseram um modelo matemático para a representação da interface fluido-porosa no caso do escoamento de fluidos de lei de potência baseado no modelo OTW no qual a Equação 2.8 é modificada para:
2 2 1 1 int int 2 0 2 0 rp OTW rf x x du du u dx dx K 2.10
sendo ηrl, ηrp e ηint, respectivamente, as viscosidades aparentes do fluido nas regiões livre,
porosa, e na interface entre estas regiões. Para mais detalhes consultar as definições apresentadas por Silva et al. (2016). Os autores analisaram o escoamento entre placas
potência para uma vazão mássica total constante através do canal, observou-se que à medida que n cresce a vazão mássica total no canal se redistribui de tal forma que a vazão na região porosa aumenta e na região livre diminui. Os resultados apresentados não indicam qualquer relação entre n e a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa. Considerando o escoamento de fluido de Bingham, Avinash et al. (2013) estudaram analiticamente o escoamento em um tubo cônico de paredes porosas, utilizando o modelo BJ para representar a interface fluido-porosa. Os autores verificaram que, para um gradiente de pressão fixo, a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa e o acréscimo de vazão mássica são tanto maiores quanto maior for a tensão limite de escoamento do fluido.
Analisando o escoamento de fluido de Herschel-Bulkey (i.e., fluido de lei de potência com tensão limite de escoamento) em canal parcialmente poroso, Cloète (2013) estendeu o modelo NN. Diferentemente do observado por Chen et al. (2009) e Martins-Costa et al. (2013), os resultados obtidos por Cloète (2013) mostram que à medida que o índice de lei de potência diminui, maior é a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa. A diferença entre o comportamento observado por Cloète (2013) com relação aos trabalhos de Chen et al. (2009) e Martins-Costa et al. (2013) pode ser creditada à combinação dos valores de gradiente de pressão, índice de consistência e altura da região livre escolhidos por cada um dos autores. Considerando a análise da influência da tensão limite de escoamento, Cloète (2013) observou que quanto maior esta propriedade menor é a velocidade do escoamento na interface fluido-porosa.
2.3 S
ÍNTESE DO CAPÍTULONeste capítulo foram apresentados alguns dos principais trabalhos encontrados na literatura cujas análises englobam o escoamento de fluidos newtonianos e não newtonianos junto à interface fluido-porosa. De um modo geral, as análises estão relacionadas à modelagem matemática e à investigação da influência da região interfacial sobre o escoamento nas regiões livre e porosa. Tal influência é verificada em termos do acréscimo percentual de vazão mássica na região livre, fator de atrito, velocidade do escoamento na interface fluido-porosa e distribuição da vazão mássica total entre as regiões livre e porosa. Os principais parâmetros que afetam o escoamento estão relacionados ao meio poroso, à altura da região livre, à inércia do escoamento e ao comportamento não newtoniano do fluido.
