E SCOAMENTO EM CANAL POROSO

O segundo problema de verificação estudado é o escoamento em canal poroso. Considerando o escoamento de fluidos de lei de potência, o objetivo é confirmar a relação de proporcionalidade entre a vazão mássica e o gradiente de pressão aplicado, a qual, segundo Fadili et al. (2002), é expressa por:

1 n p m L     _{ }   6.4 * 12 x * 2 0.00 10.00 20.00 -0.20 -0.10 0.00 0.10 0.20 n = 0,25 n = 1,00 n = 4,00 . _* 12 x * 2 0.00 20.00 40.00 -0.25 0.00 0.25 Bi = 0,00 Bi = 0,10 Bi = 0,20 Bi = 0,40 .

Com relação ao escoamento de fluido de Bingham, observa-se a existência de um gradiente de pressão crítico, (–Δp/L)c, abaixo do qual o fluido não escoa através do meio poroso. Utilizando o LBM e uma abordagem homogênea do meio poroso, Talon e Bauer (2013) identificaram três comportamentos distintos para a relação ṁ × (–Δp/L), descritos a seguir. Para gradientes de pressão suficientemente superiores a (–Δp/L)c, a relação entre ṁ e (–Δp/L) é linear, como no caso de um fluido newtoniano. Nesse regime, o fluido

escoa por todos os canais formados pela interconexão dos poros. À medida que o gradiente de pressão é reduzido, nota-se uma região na qual a vazão mássica é reduzida abruptamente com o gradiente de pressão, comportamento associado à queda da quantidade de canais através dos quais o fluido consegue escoar. Quando o gradiente de pressão aplicado é suficientemente próximo a (–Δp/L)c, a relação entre ṁ e (–Δp/L) volta a ser linear, com a existência de apenas um canal de escoamento, cuja geometria se mostra mais propícia para que o gradiente de pressão supere a tensão limite de escoamento do fluido.

A geometria e as condições de contorno do escoamento em canal poroso são mostradas na Figura 6.5.

Figura 6.5 – Geometria e condições de contorno do escoamento em canal poroso utilizando a abordagem heterogênea.

O canal de altura hrp e comprimento L é preenchido por um conjunto de obstáculos quadrados de lado S espaçados entre si por uma distância s. Assim como no caso do escoamento em canal parcialmente poroso, o escoamento é promovido por uma diferença de pressão Δp aplicada entre a entrada (x1 = 0) e a saída do canal (x1 = L) e as paredes do canal (x2 = 0 e x2 = hrp), bem como as superfícies dos obstáculos, são representadas pela condição de não deslizamento (u1 = u2 = 0).





e DO = 16. No caso do fluido de lei de potência n variou entre 0,25 e 4,00, mantendo-se

ηc,mod e ρ com valores unitários. Para cada valor de n, considerou-se três valores de gradiente de pressão (48,00; 96,00 e 192,00 Pa/m). Para o fluido de Bingham, a tensão limite de escoamento variou entre 0,00 e 10,00 Pa, mantendo-se ηp e ρ iguais a um. Para cada valor de τ0, assumiu-se um valor inicial e arbitrário de gradiente de pressão

suficientemente alto, o qual foi gradativamente reduzido até valores próximos de (–Δp/L)c, quando fica evidenciado o desvio do comportamento newtoniano através do

comportamento assintótico de ṁ com a redução de (–Δp/L).

Os resultados apresentados a seguir foram obtidos através de retículos com 160 nós na direção x2 e relações Δx/Δt para as quais a influência do número de Mach do escoamento possa ser desprezada (os valores são apresentados nas Tabelas D.11 e D.12). Considerando o escoamento de fluido de Bingham, utilizou-se np = 104. Os testes de sensibilidade a Δx e Δt, bem como para o ajuste de np, são apresentados na Seção D.2 do Apêndice D. No caso do escoamento em canal poroso, o problema foi considerado em regime permanente quando a variação percentual da vazão mássica através do canal entre duas iterações consecutivas é inferior a 10-12.

Na Figura 6.6 são apresentados, em escala logarítmica, os resultados de ṁ em função de (–Δp/L) obtidos numericamente para o escoamento de fluido de lei de potência para n = 0,25; 1,00 e 4,00 (símbolos), bem como retas com coeficientes angulares iguais a 1/n (linhas).

Figura 6.6 – Vazão mássica em função do gradiente de pressão para o escoamento de fluido de lei de potência em canal poroso: DO* _{= 16, ϕ = 0,75 e n = 0,25; 1,00 e 4,00.}

-p/L m 50 100 150 10-3 10-2 LBM - n = 0,25 LBM - n = 1,00 LBM - n = 4,00 .

Para as faixas de valores de n e gradiente de pressão analisadas, os resultados apresentados na Figura 6.6 corroboram a relação dada pela Equação 6.4, ou seja, a curva

ṁ × (–Δp/L), quando plotada em escala logarítmica, é uma reta com coeficiente angular

(ca) igual a 1/n. Para os casos mostrados na Figura 6.6 a diferença percentual entre as inclinações das curvas dadas por log ṁ × log (–Δp/L) e das retas com coeficientes angulares iguais a 1/n é no máximo 0,13%.

Considerando o escoamento de fluido de Bingham, a Figura 6.7 mostra os gráficos

ṁ × (–Δp/L), também em escala logarítmica, para τ0 = 0,00; 0,10; 1,00 e 10,00 Pa.

Figura 6.7 – Vazão mássica em função do gradiente de pressão para o escoamento de fluido de Bingham em canal poroso: DO* _{= 16, ϕ = 0,75 e τ}

0 = 0,00; 0,10; 1,00 e 10,00 Pa.

A Figura 6.7 mostra que no caso newtoniano (τ0 = 0,00 Pa) a vazão mássica através do meio poroso varia linearmente com o gradiente de pressão, ao passo que para τ0 > 0,00 Pa são identificados dois comportamentos distintos. Para gradientes de pressão suficientemente altos, observa-se um comportamento linear da curva log ṁ × log (–Δp/L), enquanto para gradientes de pressão mais baixos, tem-se um regime não linear, no qual a queda da vazão mássica é mais acentuada. Quanto maior o valor de τ0, maior é o gradiente de pressão para o qual ocorre a transição entre os regimes linear e não linear, já que o gradiente de pressão necessário para superar a tensão limite de escoamento e promover o início do escoamento do fluido deve ser maior. As linhas tracejadas presentes na Figura 6.7 indicam os valores teóricos de (–Δp/L)c para cada valor de τ0, os quais foram

-p/L m 100 101 102 103 104 105 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 LBM - ₀= 0,00 Pa LBM - ₀= 0,10 Pa LBM - ₀= 1,00 Pa LBM - ₀= 10,00 Pa .

obstáculos que compõem o meio poroso. Os valores (–Δp/L)c, calculados através da Equação 3.28 considerando Bi = 0,50, são: 1,54; 15,36 e 153,60 Pa, respectivamente, para

τ0 = 0,10; 1,00 e 10,00 Pa. É possível notar que os comportamentos assintóticos das curvas log ṁ × log (–Δp/L) com a redução de (–Δp/L) se mostram coerentes com os limites estabelecidos pelas linhas tracejadas.

Infelizmente, a instabilidade numérica das simulações com gradientes de pressão mais próximos dos valores indicados pelas linhas tracejadas não permitiu a ampliação da faixa de (–Δp/L) analisada. Desta forma, não foi possível determinar a eventual existência do terceiro regime de escoamento (regime linear para gradientes de pressão suficientemente próximos ao valor crítico) apontado por Talon e Bauer (2013). Vale ressaltar que a geometria regular do meio poroso analisado no presente trabalho pode não propiciar a existência de um único caminho preferencial ao qual Talon e Bauer (2013) associam o terceiro regime de escoamento. A instabilidade numérica constatada ocorre, possivelmente, devido à baixa viscosidade aparente observada nas regiões com taxas de deformação mais elevadas, nas quais a viscosidade aparente do fluido é mais baixa e o fator de relaxação da simulação se aproxima de 0,50, conforme a discussão realizada na Seção 5.8.

6.3 S

As análises apresentadas neste capítulo demonstram a capacidade do LBM em resolver o escoamento de fluidos de lei de potência e de Bingham em diferentes níveis de complexidade geométrica (canal livre e poroso). Os resultados numéricos apresentaram boa concordância com soluções encontradas na literatura tanto no caso do escoamento em canal livre, para o qual as soluções numéricas estão em concordância com as soluções analíticas, quanto para o escoamento em canal poroso, no qual o comportamento da vazão mássica com a variação do gradiente de pressão se mostrou qualitativamente coerente com as previsões encontradas na literatura.