SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO
3 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
3.2 M EIOS POROSOS
Nield e Bejan (2006) definem um meio poroso como uma matriz sólida, rígida ou pouco deformável, com vazios (poros) interconectados em seu interior por onde pode ocorrer o escoamento de um ou mais fluidos. Além de poros interconectados, que são aqueles unidos a mais de um poro, também podem existir poros cegos (i.e., unidos a apenas outro poro) e isolados (i.e., sem conexão a nenhum outro poro). A medida da fração volumétrica de poros em um meio poroso é dada pela porosidade, ϕ, a qual é expressa matematicamente por:
p t
V V
3.11
sendo Vp o volume total de poros e Vt o volume total do meio poroso.
Considerando somente os poros interconectados, já que são os únicos que contribuem efetivamente para o escoamento, define-se a porosidade efetiva do meio, ϕef, como: pi ef t V V 3.12
sendo Vpi o volume de poros interconectados. Neste trabalho, os poros são considerados sempre interconectados de modo que ϕ = ϕef.
O arranjo, conexão, morfologia, textura, volume, diâmetro hidráulico e área superficial dos poros, entre outros fatores, conferem ao meio poroso uma determinada resistência ao escoamento dos fluidos (CIVAN, 2011). Tal resistência é medida através da permeabilidade, K, cuja definição é dada pela lei de Darcy (NIELD e BEJAN, 2006):
sendo dp/dx1 o gradiente de pressão na direção do escoamento.
3.2.1 Escalas de análise e modelagem do escoamento em meios porosos
Segundo Nield e Bejan (2006), uma questão fundamental no estudo do escoamento em meios porosos é a resolução espacial com a qual o problema é analisado. Para uma escala da ordem de grandeza dos poros, na qual a interface entre as fases sólida (i.e., matriz sólida) e fluida é identificável, define-se a abordagem heterogênea do meio poroso. Em oposição, quando a escala adotada abrange uma grande quantidade de poros, a ponto de não ser possível distinguir as fases sólida e fluida, tem-se a abordagem homogênea. A Figura 3.4 ilustra as abordagens heterogênea e homogênea.
Figura 3.4 – Abordagens homogênea e heterogênea do meio poroso.
Na abordagem heterogênea, o escoamento no interior dos poros é modelado através das equações de conservação da massa e da quantidade de movimento linear, obtidas através dos respectivos balanços num volume de controle infinitesimal estacionário localizado apenas na fase fluida (WHITE, 1999):
0 u t x 3.14 u u p u t x x x
3.15 Fase sólida Fase fluida Abordagem heterogênea Abordagem homogênea Interfacesendo ρ a massa específica do fluido e uα a componente da velocidade do escoamento na direção α. Para os propósitos deste trabalho não foram consideradas eventuais forças de corpo atuando sobre o fluido. As Equações 3.14 e 3.15 são resolvidas em conjunto com a equação constitutiva do fluido, a exemplo da Equação 3.1, para fluidos newtonianos incompressíveis, e Equações 3.5 e 3.7, respectivamente, para fluidos de lei de potência e de Bingham.
Através da abordagem heterogênea, torna-se possível conceber modelos mais representativos do problema em análise, considerando a geometria real (ou a mais próxima possível) do meio poroso. No caso dos fluidos de lei de potência e de Bingham tal abordagem pode ser de fundamental importância, já que a viscosidade do fluido varia com a taxa de deformação, a qual, por sua vez, depende fortemente da geometria do meio poroso. Dullien (1991) ressalta a importância da consideração da geometria do meio poroso no entendimento de fenômenos de transporte em meios porosos. Entretanto, a alta irregularidade geométrica do meio poroso pode tornar inviável a obtenção de um modelo fiel da estrutura porosa, fazendo-se necessária a realização de simplificações, como é o caso dos modelos de leito de esferas ou fibras, obstáculos sólidos, tubos capilares e rede de poros (DULLIEN, 1992).
Considerando a abordagem homogênea, a modelagem mais simples do escoamento em meios porosos é dada pela Equação 3.13, a qual foi determinada experimentalmente por Henri Darcy (DARCY, 1856). Conforme exposto anteriormente, a abordagem homogênea (e, por consequência, a Equação 3.13) ignora os detalhes geométricos do meio poroso, cujas influências são incorporadas na definição da permeabilidade.
A aplicação da Equação 3.13 possui diversas restrições inerentes aos experimentos realizados por Henri Darcy, sendo válida somente para escoamentos incompressíveis e isotérmicos de fluidos newtonianos com baixa velocidade em meios porosos uniformes (i.e., porosidade e permeabilidade constantes), isotrópicos (i.e., propriedades independentes da direção) e com baixa permeabilidade (LAGE, 1998). Para superar tais limitações, são propostas na literatura extensões da lei de Darcy, levando em conta, por exemplo, os arrastos viscoso (termo de Brinkman) e de forma (termo de Forchheimer), associados ao contato do fluido com a matriz sólida do meio poroso (NIELD e BEJAN, 2006; LAGE, 1998). A equação de Darcy-Brinkman-Forchheimer,
2 1
1 2 1 1
1 2
termo de Darcy termo de Brinkman termo de Forchheimer
F ef d u c dp u u u dx K dx K 3.16
sendo cF uma constante adimensional associada ao arrasto de forma (fator de forma). Para o escoamento de fluido de lei de potência, são encontradas na literatura adaptações e/ou modificações da Equação 3.16 para as quais a permeabilidade e os termos de Darcy e Brinkmann são modificados de modo a considerar o comportamento não newtoniano do fluido (SHENOY, 1993; NAKAYAMA E SHENOY, 1993; SILVA et al., 2016). No caso do fluido de Bingham, são propostas equações baseadas em modelos de tubos capilares e no escoamento ao redor de esferas (VRADIS et al., 1993), bem como em resultados experimentais (CHEVALIER et al., 2013) e numéricos (TALON e BAUER, 2013). De um modo geral, são levados em conta, entre outros fatores, aspectos geométricos do meio poroso, propriedades do fluido e o gradiente de pressão crítico, (–Δp/L)c, definido como o gradiente de pressão abaixo do qual não se observa o escoamento através do meio poroso.
3.2.2 Escalas de análise e modelagem do escoamento junto à interface fluido-porosa
Considerando o escoamento junto à interface fluido-porosa, Chandesris e Jamet (2006) definem as escalas micro, meso e macroscópica para a análise do problema, as quais são ilustradas na Figura 3.5.
Figura 3.5 – Escalas de análise micro, meso e macroscópica da interface-fluido porosa. Fonte: Adaptado de Chandesris e Jamet (2009).
2, 2 x u 1, 1 x u Região livre Região porosa 2 rf x h 2 0 x
microscópica mesoscópica macroscópica
Interface fluido-porosa
homogênea Escala da interface fluido-porosa:
Abordagem do meio poroso:
2 rp x h heterogênea Fase fluida Fase sólida Zona de transição não- uniforme
Em um nível de resolução microscópico as fases sólida e fluida do meio poroso são distinguíveis (abordagem heterogênea) e apenas um conjunto de equações é necessário para modelar o escoamento tanto na região livre quanto na porosa. Por outro lado, nas escalas meso e macroscópica o meio poroso é abordado de forma homogênea e os escoamentos nas regiões livre e porosa são descritos por diferentes conjuntos de equações. No caso mesoscópico, considera-se uma zona de transição não uniforme na qual as propriedades do meio poroso (e.g., porosidade e permeabilidade) variam de forma contínua do domínio poroso para o domínio fluido. Já na escala macroscópica as propriedades são descontínuas na interface fluido-porosa, a qual é definida através de uma ou mais condições de contorno (e.g., Equação 2.1, Equações 2.5 e 2.6 ou 2.8), que acoplam os conjuntos de equações que modelam o escoamento em cada região.
As equações que modelam escoamentos nos quais se faz presente uma interface fluido-porosa são determinadas em função da escala de análise adotada. A escala microscópica fica restrita à utilização das equações de conservação da massa, Equação 3.14, quantidade de movimento linear, Equação 3.15, e constitutiva do fluido, sendo a influência do meio poroso sobre o escoamento dada pela interação entre o fluido e a fase
sólida do meio poroso. Já nas abordagens meso e macroscópicas se utiliza a Equação 3.16, sendo o termo de Brinkmann responsável pela captura de efeitos de camada
limite na zona de transição entre as regiões livre e porosa. O termo de Forchheimer, cuja influência é mais significativa para escoamentos com maior inércia, contabiliza o arrasto de forma proporcionado pela matriz sólida. Mais detalhes sobre os termos de Brinkman e Forchheimer podem ser encontrados nas discussões realizadas por Nield e Bejan (2006) e Nield (2000).