DELINEAMENTO MEDIDAS REPETIDAS
Montgomery (1991) Em trabalho experimental nas ciências sociais e do comportamento, médica, odontológica, farmacêutica, zootécnica, ciências dos alimentos, as unidades experimentais são freqüentemente pessoas (voluntários, juizes, avaliadores) ou animais (indivíduos).
Devido à diferença em experiência, treinamento ou antecedentes, as diferenças nas respostas de diferentes pessoas para um mesmo tratamento pode ser muito grande em algumas situações experimentais. A menos que isso possa ser controlado, esta variabilidade entre pessoas se tornaria parte do Erro Experimental, e em alguns casos, inflacionaria significativamente o Quadrado Médio do Resíduo, tornando mais difícil detectar diferenças reais entre tratamentos.
É possível controlar esta variabilidade entre pessoas ou animais usando um delineamento no qual cada um dos tratamentos é usado em cada indivíduo. Este é chamado delineamento em medidas repetidas.
Suponha que um experimento envolve I tratamentos e cada tratamento é para ser usado exatamente uma única vez em cada um de n indivíduos.
Tabela. Dados de um delineamento de medidas repetidas com um único fator
Indivíduos Total Tratamentos 1 2 ... n Tratamento 1 y11 y12 y1n y1. 2 y21 y22 ... y2n y2. I yI1 yI2 ... yIn yI. Total y.1 y.2 y.n y.. Modelo: yij =µ+ti+bj+eij = = n ,..., 2 , 1 j I ,..., 2 , 1 i
Em que: yij: representa a resposta do j-ésimo indivíduo ao i-ésimo tratamento;
Com que delineamento já conhecido este se parece? Quantas unidades experimentais: n
Quantas Observações: IN
Suposições: Assume-se que os tratamentos são fixos (assim,
= = I 1 i i 0 t ) e que os indivíduos
são uma amostra simples de alguma população maior de indivíduos. Então os indivíduos coletivamente representam um efeito aleatório. Assim, assume-se que a média de bj é zero e
que a variância de bj é σ . b2b j~(0, σ ). 2b
Fato: bj é comum a todas as medidas no mesmo indivíduo. Assim, a covariância entre yij e
yi’j não é zero, em geral. É comum assumir covariância constante entre yij e yi’j ao longo de
todos tratamentos e indivíduos.
ANVA: Partição da Soma de Quadrados Total:
= = = = = − + − = − I 1 i n 1 j 2 j . ij I 1 i n 1 j n 1 j 2 .. j . 2 .. ij y ) I (y y ) (y y ) y (
SQTotal=SQEntre Indivíduos+SQDentro de Indivíduos Graus de liberdade: In-1 = (n-1) + n(I-1)
Fato: SQEntre Indivíduos+SQDentro de Indivíduos, são estatisticamente independentes. Partição da Soma de Quadrados Dentro de Indivíduos:
= = = = = + − − + − = − I 1 i n 1 j 2 .. j . .i ij 2 .. I 1 i .i I 1 i n 1 j 2 j . ij y ) I (y y ) (y y y y ) y (
SQDentro de Indivíduos = SQTratamentos + SQResíduo Graus de liberdade: n(I-1) = (I-1) + (I-1)(n-1) Teste de hipóteses: H0:t1=t2=...=tI
Ha: Pelo menos um ti≠ 0
usa-se a razão siduo Re QM to QMTratamen ) 1 n )( 1 I /( síduo Re SQ ) 1 I /( to SQTratamen F0 = − −− =
Fato: Se os resíduos do modelo são normalmente distribuídos, então sob a hipótese nula, H0:ti=0, a estatística F0 segue uma distribuição FI-1, (I-1)(n-1). A hipótese nula seria rejeitada se F0> FI-1, (I-1)(n-1).
Tabela Análise de variância de um delineamento de medidas repetidas com um fator. Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de liberdade Quadrado Médio F0 Entre Indivíduos Dentro de Indivíduos Tratamentos Resíduo = − n j j In y I y 1 2 .. 2 . = = = − I 1 i n 1 j n 1 j 2 j . 2 ij I y y = − I 1 i 2 .. 2 .i In y n y SQDentro-SQTrat. n-1 n(I-1) I-1 (I-1)(n-1) - - 1 I to SQTratamen . QMTrat − = ) 1 n )( 1 I ( síduo Re SQ . s Re QM − − = - - síduo Re QM to QMTratamen - Total = = − I 1 i n 1 j 2 .. 2 ij In y y In-1
Nota: Essa análise é semelhante a análise de um ensaio em blocos, com os indivíduos considerados como blocos.
Planos de Medidas Repetidas:
As possíveis seqüências de tratamentos em planos de medidas repetidas são aleatoriamente atribuídas aos indivíduos, de modo que cada seqüência esteja igualmente representada no plano experimental (balanceamento completo da ordem dos tratamentos).
Num plano de medidas repetidas (i.e, um plano em que todos os indivíduos passam por todas as condições ou tratamentos experimentais), o número possível de seqüências é igual a I! e equivale ao número de permutações entre os tratamentos.
Sendo k um número inteiro temos: No. de tratamentos
[I]
No. de seqüências [I!]
No. de indivíduos requeridos [n=kI!] 2 3 4 5 6 7 2!=2 3!=6 4!=24 5!=120 6!=720 7!=5040 2, 4, 6, 8, 10, 12,... 6, 12, 18, 24, 30,... 24, 48, 72, 94,... 120, 240, 360,... 720, 1440,... 5040, 10080,...
Como se pode constatar, ainda que o balanceamento completo seja a melhor estratégia para minimizar os efeitos dos fatores não controlados, as exigências relativas ao número de sujeitos requeridos para a pesquisa limitam o seu uso às situações de 2, 3 ou 4 tratamentos (para 5 tratamentos seriam necessários 120 indivíduos para que pelo menos uma seqüência de tratamentos fosse aleatoriamente atribuída a cada indivíduo; nestas circunstância a melhor solução é recorrer ao balanceamento parcial).
Exemplo:
3 tratamentos (A, B e C) [I=3]
6 seqüências de tratamentos [I!=3!=6] 24 indivíduos [n=24];
4 indivíduos por seqüência de tratamentos [k=n/I!=24/6=4]. ID SEQUENC 1 ABC 2 ACB 3 CAB 4 BAC 5 BAC 6 CAB 7 CAB 8 BCA 9 BCA 10 ABC 11 CAB 12 CBA 13 CBA 14 ACB 15 BCA 16 ABC 17 BAC 18 BCA 19 ACB 20 CBA 21 BAC 22 ACB 23 ABC 24 CBA
Exemplo: Cody, R.P. e Smith, J.K. (1991) apresentam os dados de um ensaio com quatro drogas (A, B, C e D) que aliviam dor. A cada indivíduo foi dada cada uma das drogas em ordem aleatória. A tolerância a dor dos indivíduos foi medida. Tempo suficiente foi permitido para passar o efeito sucessivo da administração da droga de tal forma a assegurar que não existe efeito residual de uma droga aplicada previamente. (Em termos clínicos, isto é chamado período “wash-out”).
Indivíduo DROGAS A B C D Total Média 1 5 9 6 11 31 7,75 2 7 12 8 9 36 9 3 7 8 6 10 31 7,75 4 5 10 7 10 32 8 Total 24 39 27 40 130 Média 6 9,75 6,75 10 8,125 Soma de Quadrados:
1) S.Q. Entre Indivíduos =
4(7,752+92+7,752+82)−4×4(8,125)2 =4(265,125)−16(8,125)2 =1060,5−1056,25 = 4,25 Desenvolvimento algébrico:(
)
n 2 1 j 2 j 2 n 1 j j y In y I y y I •• = • = • • − = −2)
S.Q.DentrodeIndivíduos=(52+72+...+102)−4(7,752+92 +7,752 +82) =1124−4(265,125) =1124-1060,5 =63,5 Desenvolvimento algébrico:(
)
= = • = = = • − = − I 1 i I 1 i n 1 j 2 j n 1 j 2 ij 2 n 1 j ij j y I y y y3)
4 4 ) 130 ( ) 40 27 39 24 ( 4 1 Drogas S.Q. 2 2 2 2 2 × − + + + = 4(4426) 1056,25 1 − = =1106,5 - 1056,25 =50,25= 63,5 - 50,25 =13,25
ANVA para o exemplo das drogas no alívio de dor
Fonte de
Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio F
Entre Indivíduos Dentro de Indivíduos Tratamentos Resíduo 4,25 63,5 (50,25) (13,25) 3 12 (3) (9) - - 16,75 1,47 - - 11,37** - Total 67,75 15 F(0,05; 3;9)=3,86 F(0,01; 3;9)=6,99
Exercício: Cochran e Cox (1957, página 135), Dean e Voss, 1999, página 402)
descreveram um experimento que estudou os efeitos de três dietas sobre produção de leite de vacas leiteiras. As I=3 dietas (níveis do fator tratamento) consistiu de fibrosas -
substâncias não digestíveis, mas que auxiliam a digestão (nível 1), grãos
limitados/triturados (nível 2), e grãos completos (nível 3). Um ensaio de medidas repetidas foi usado, com cada uma das n=6 vacas sendo alimentadas com cada dieta por vez. A variável resposta foi a produção de leite para cada vaca. Os dados estão reproduzidos na Tabela a seguir. Vacas Dietas 1 2 3 4 5 6 1 38 39 72 86 35 31 2 25 109 27 46 75 63 3 15 86 124 76 34 101 Pede-se:
1) Realize a análise de variância segundo o delineamento de medidas repetidas (alfa=0,05); 2) Desdobre a soma de quadrados de tratamentos (dietas) por contrastes ortogonais de interesse da pesquisa (alfa=0,05).
