COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS CLÁSSICOS E FUZZY PARA PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR

COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS CLÁSSICOS E FUZZY PARA

PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO NÃO-LINEAR

Ricardo Coêlho Silva Departamento de Telemática

Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP

Caixa Postal 6101, 13081-970, Campinas, SP rcoelhos@dt.fee.unicamp.br

Luiza Amalia Pinto Cantão Departamento de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista - UNESP Av. Três de Março, 511, 18087-180, Sorocaba – SP

luiza@sorocaba.unesp.br

Resumo: Este trabalho realiza uma análise comparativa entre o desempenho para a obtenção da solução ótima dos métodos de otimização não-linear clássicos e dos métodos de otimização não-linear

fuzzy, dispostos na literatura. Para tal comparação, serão apresentados três problemas reais que foram

modelados em termos de Programação Não-Linear Clássico, os quais permitem a introdução de incertezas nas restrições.

Palavras-Chave: Teoria Fuzzy, Otimização Não-Linear, Programação Matemática Fuzzy

Abstract: A comparative analysis of the performace between classic and fuzzy nonlinear optimization methods are presented in the work. For the comparison, three problems are analysed that had been shaped in terms of Classic Nonlinear Programming, which allow the introduction of uncertainties in its formularizations.

Key-Words: Fuzzy Theory, Nonlinear Optimization, Fuzzy Mathematics Programming 1. Introdução

Em geral, os Problemas de Programação Matemática (PPM) envolvem minimização (ou mazimização) da função objetivo sujeito a um conjunto de restrições. Quando definimos Problemas de Programação Matemática Clássica (PPMC), as suas modelagens e as decisões são mais precisas. Um problema convencional é modelado na forma de PPMC se o problema tem definições matemáticas breves e claras, da seguinte forma:

0 , , 2 , 1 , ) ( . ) ( min ₀ ≥ = ≤ x n k b x g a s x g k k K (1)

Os modelos de otimização usam programação matemática tradicional, os quais tentam representar as operações importantes construindo modelos matemáticos exatos. Contudo, não conseguem representar toda a realidade presente. A Lógica Fuzzy, [Zadeh(1965)], tem mostrado um grande potencial para a modelagem desses sistemas, os quais podem ser não-lineares, complexos e mal-definido. A Lógica Fuzzy estabeleceu numerosas aplicações devido a seu alívio de implementação, flexibilidade, tolerancia natural para dados imprecisos, e abilidade para modelar modelos não-lineares de complexidade arbitrária, porém pouco destes estudos se intensificaram na

área de programação não-linear, [Lee et. al(1999), Trappey et. al(1988), Xu(1989)], que abordam problemas com restrições fuzzy.

Este artigo está organizado em 5 seções. A próxima Seção aborda algumas definições básicas de programação matemática fuzzy para melhor entendimento dos conceitos abordados neste artigo. Ainda nesta seção encontra-se uma representação geométrica da idéia de introdução de incertezas nas restrições de um problema de otimização. A Seção 3 descreve os exemplos numéricos, de casos reais, utilizados neste artigo para fins de comparação entre os Métodos Clássicos e Fuzzy. A Seção 4 apresenta os resultados computacionais dos exemplos numéricos da seção anterior. Na última Seção realiza-se uma análise do conjunto de resultados computacionais obtidos.

2. O Problema de Programação Matemática Fuzzy

A construção de um problema de Programação Matemática Fuzzy com uma função objetivo e restrições fuzzy é baseado no modelo geral que pode ser expresso da seguinte forma:

0 , , 1 , ~ ) ( , , 2 1, , ~ ) ( . ) ( in m~ ₀ ≥ + = > = < x n m j b x g m i b x g a s x g j j i i K K (2)

onde o símbolo “~” indica que as restrições contêm informações fuzzy, e podem sofrer um certa violação, que representa uma variação no termo independente permitindo um relaxamento nas restrições do problema.

No Problema (2) pode-se permitir tolerâncias nas restrições, isto é, para os valores admissíveis bi

e bj são dados, para cada restrição, violações máximas toleradas. Logo, este problema pode ser

reescrito da seguinte forma:

0 , , 1 , ) ( , , 2 1, , ) ( . ) ( min ₀ ≥ + = − ≥ = + ≤ x n m j T b x g m i T b x g a s x g j j j i i i K K (3)

Em outras palavras, cada restrição fuzzy corresponde a subconjunto fuzzy no universo de números reais, definido pela função de pertinência _µ

( )

_x :_Rn →

[ ]

0, 1 _.

A Figura 1 mostra geometricamente a teoria adotada no processo matemático realizado na transformação de um problema de Programação Matemático Fuzzy para um problema de Programação Matemático Clássico.

b

j

– T

j

b

j

g

j

1

µ

g

i

b

i

+ T

i

b

i

1

µ

(a) Função de Pertinência Decrescente       ≤ + < < − + ≥ + = i i i i j i i i i i i i i i b x g T b x g b T x g T b T b x g x ) ( se , 1 ) ( se , ) ( ) ( ) ( se , 0 ) ( µ

(b) Função de Pertinência Crescente

      ≥ < < − − + ≤ − = i i i j i i i i i i i i i i b x g b x g T b T x g T b T b x g x ) ( se , 1 ) ( se , ) ( ) ( ) ( se , 0 ) ( µ

A obtenção de mais informações sobre os métodos de Programação Matemática Fuzzy, que serão utilizados neste artigo podem ser encontrados em [Silva e Yamakami(2004)], e as idéias principais para a formulação dos dados de incerteza para os exemplos numéricos apresentados na Seção 3, podem ser encontrados em [Trappey et. al(1988), Xu(1989)].

3. Formulação de Exemplos Numéricos 3.1 Suporte de Teto com Três Barras

A Figura 2 mostra as condições de carga para um Suporte de Teto com Três Barras, o qual tem sido usado como um exemplo na literatura de otimização estrutural. Suponha que P = 2000 kgf, H = 100 cm, e a densidade γ = 0.01 kgf/cm3_{. Os limites e tolerâncias admissíveis de várias variáveis}

físicas são dadas por

u σ = 2000 kgf /cm2 u T_σ = 400 kgf /cm2 l σ = – 1500 kgf /cm2 l T_σ = 300 kgf /cm2 E uu ₌105 _cm E Tu u 5 10 2 . 0 × = cm l A = 0.1 cm2 l A T = 0.02 cm2

O σ representa a força, u é o deslocamento vertical do nó, E representa o módulo elástico, A é a área de secção transversal, e T representa a tolerância de cada variável.

O problema de otimização fuzzy do Suporte de Teto com Três Barras pode ser formulado da seguinte forma:

x

1

x

1

P

P

x

2

H

H

(condição I) (condição II)

Figura 2: Suporte de Teto com Três Barras

10 1 ~ , 2 1 ~ 2 1 4 3 ~ 2 2 1 ~ 2 2 2 1 ~ 2 2 2 . . 2 2 min 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 > < + < + < + < + + + = x x x x x x x x x x x x x x x x x a s x x W (4) 3.2 Anteparo Ondulado

A Figura 3 mostra um Anteparo Transversal Verticalmente Ondulado para um tanque de 65.000dwt, o qual está construído de acordo com as regras das especificações relevantes ao projeto de navios. Dados do projeto são: largura do anteparo B = 21.12 m, altura do painel inferior H = 4.5 m, e densidade _7.85×10−3 _t/mm-m2_{. As posições das colunas horizontais e a largura do casco são fixadas,}

de modo que a forma da corrugação dependa do painel inferior.

As variáveis do projeto são: x = largura do aro (mm); ₁ x = semi-largura da corrugação (mm); ₂ 3

x = comprimento da armação (mm); x = espessura da placa no painel inferior (mm); e ₄ 5

x = profundidade da corrugação (mm).

A função objetivo examina o peso do painel inferior e está sujeita a 6(seis) restrições fuzzy no módulo da secção, o momento de inércia, a espessura mínima da chapa do painel inferior e uma restrição clássica que relaciona as dimensões da seção de corrugação.

Logo, o problema de otimização fuzzy do casco ondulado pode ser formulado como segue: Plataforma Fundo Grades Horizontais x5 x2 x3 x1 x4

0 , , , , ) ( 40 ~ ) arcsen( 5 . 6 ~ 5 . 5 5 . 2 ~ 017297 . 0 5 . 2 ~ 017297 . 0 _ 540408 ~ ) 2 )( 3 ( 4 . 18871 ~ ) 3 ( . . ) ( 746064 . 0 min 5 4 3 2 1 2 1 2 2 3 2 5 1 3 5 4 3 4 1 4 1 2 4 5 3 1 4 5 1 2 3 1 4 5 1 2 4 3 1 > − − ≤ ° > > − > − > > + + > + + = − − − − x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a s x x x x W (5)

3.3 Modelo de Processo Industrial

Um problema de otimização típico de uma operação de máquinas compreende um ou múltiplos objetivos econômicos com várias restrições. O objetivo econômico pode incluir: (1) taxa de produção máxima ou tempo de produção mínima; (2) custo de produção mínima; e (3) taxa de lucro máximo. Neste artigo, o objetivo é minimizar o custo total de produção. Antes de mostrarmos a formulação do problema, vamos descrever a notação que será utilizada.

A1, A2, A5 Constantes;

C0 Constante da vida útil da ferramenta de Taylor; ds Profundidade do corte para finalização (mm);

ds,min Mínima profundidade do corte permissível para finalizar (mm); dt Profundidade total do metal para ser removido (mm);

ds,max Máxima profundidade do corte permissível para finalizar (mm);

dri Profundidade do corte do i-ésimo passo da rugosidade (termo em inglês rough pass)

(mm);

dri,min Mínima profundidade do corte permissível do i-ésimo passo da rugosidade (mm); dri,max Máxima profundidade do corte permissível do i-ésimo passo da rugosidade (mm);

fs Alimentação para finalizara (mmpr);

fri Alimentação para o i-ésimo passo da rugosidade (mmpr); fmin Mínima alimentação permissível (mmpr);

fmax Máxima alimentação permissível (mmpr); Fmax Máxima força de corte (kgf);

h1 , h2 Constantes que pertencem ao transporte da ferramenta e tempo de aproximação/parte; k0 Custo superior ($/min);

k1 Constante na equação de força do corte; kt Custo de uma borda de corte ($/cutting edge);

L Comprimento da peça de trabalho (termo em inglês workpiece) (mm);

nor Número ótimo de passos da rugosidade;

p, q, r Expoentes de velocidade, alimentação e profundidade do corte na equação da vida útil da ferramenta;

Pmax Potência máxima de corte disponível (hp); R Raio frontal da ferramenta de corte (mm);

Rmax Altura pico-vale da superfície áspera para a passagem final (µm); Rr Altura pico-vale da superfície áspera para o passo de rugosidade (µm);

te Tempo requerido para mudar a ferramenta (min); tp Tempo de preparação (min/piece);

Tp Intervalo fixo de tempo após o qual parte da ferramenta é trocada (min); U Custo total da produção por unidade ($/piece);

UCs Custo total da finalização ($/piece);

νmin Velocidade mínima de corte (mpm);

νmax Velocidade máxima de corte (mpm);

νr Velocidade de corte para a rough pass (mpm);

νs Velocidade de corte permissível para terminar (mpm);

µ ,ν Expoentes de alimentação e profundidade do corte na equação da potência de corte; η Eficiência do poder de corte da ferramenta;

ζ Constante.

A formulação deste problema, usando o Custo Mínimo da Produção Total como critério de otimização, pode ser formulado como:

Minimizar: ₅ 1

A

UC

UC

U

nor i ri s

+

+

=

∑

= , (6.1) onde p t k A₅ = ₀ , O custo de produção é dado por:

      −      

+

=

rp s p q s s

A

A

f

d

UC

_{2 1} 1 e

₌

₊

 − rp ri p q ri ri

A

A

f

d

UC

_{2 1} 1 , onde

(

)

.

1000

2 1 0 2 0 1 0 0 1

ζ

ζ

π

s p t e s p s p

T

T

h

L

h

k

A

k

k

t

T

C

T

T

DLk

A

=

+

=

























+

+













=

Sujeito as seguintes restrições: (1) Velocidade Mínima max 1 1 0

~

ν

p p p p r s p q s T C d f > e max 1 1 0

~

ν

p p p p r ri p q ri T C d f > , (6.2) (2) Velocidade Máxima min 1 1 0

~

ν

p p p p r s p q s T C d f < e min 1 1 0

~

ν

p p p p r ri p q ri T C d f < , (6.3)

(3) Alimentação e Superfície Mínima

min

~

_f

f_s > e f_ri

~

> f_min, (6.4)

(4) Alimentação e Superfície Máxima

(

max

,

8

max

)

min

~

_f

_RR

f

_s

<

e f_ri <~min

(

f_max, 8RR_r

)

, (6.5) (5) Força de Corte max 1f d ~ F k _sµ _sν < _e max 1f d ~ F k _riµ _riν < _{, (6.6)}

(6) Potência do Corte p p p p r s p q s C k P T d f ₁ 0 1 max 1 6120 ~

η

ν µ <       −       − e p p p p r ri p q ri C k P T d f ₁ 0 1 max 1 6120 ~

η

ν µ <       −       − , (6.7)

(7)Profundidade do Corte Mínima

min

~ d

d_s > e d_ri ~ d> _min, (6.8)

(8)Profundidade do Corte Máxima

max ~ d d_s < e d_ri ~ d< _max, (6.9) (9)Profundidade Total

∑

=

+

=

nor i ri s t

d

d

d

1 . (6.10)

Este exemplo dado por [Shin e Joo(1992)], considerada por [Gupta et al.(1995)] e [Al-Ahamari(2001)] é usada para validar e ilustrar nosso trabalho. Os dados do problema são os seguintes:

D = 50 mm L = 300 mm dt = 60 mm dmin = 1.0 mm dmax = 3.0 mm fmin = 0.1 mm / rev fmax = 0.9 mm / rev νmin = 5 m / min νmax = 500 m / min C0 =

6

×

10

11 p = 5 q = 1.75 r = 0.75 Tmin = 25 min Tmax = 45 min Fmax = 200 kgf Pmax = 5 kW k1 = 108 µ = 0.75 ν = 0.95 ζ = 1 R = 1.2 mm R r = 100 µm R max = 10 µm h1 =

7

×

10

−4 h2 = 0.3 k0 = $0.5 / min k t = $2.5 / cutting edge t p = min / piece t e = mm / edge

As especificações da violação máxima de tolerância das incertezas de cada restrição deste exemplo estão sumarizadas na Tabela 1.

Restrições Tolerância (6.2) T1 4 (6.3) T2 200 (6.4) T3 0 (6.5) T4 1 (6.6) T5 10 (6.7) T6 4 (6.8) T7 0 (6.9) T8 0

Tabela 1: Níveis máximos de tolerância

As idéias para a formulação dos dados de incerteza deste exemplo numéricos podem ser encontradas em [Trappey et. al(1988)] e [Lee et. al(1999)].

4 Resultados Computacionais

Nesta Seção estão os resultados computacionais dos exemplos numéricos da seção anterior. Os resultados aparecem na mesma ordem que seus respectivos exemplos numéricos. Todos os modelos clássicos foram resolvidos usando a função fmincon do ToolBox Optimization do programa MatLab 6.1, o qual soluciona problemas de programação matemática restrita, e 100% é o nível de satisfação destas soluções.

Iterações

Modelo x1 x2 _{Objetivo RTV RNV Solução}Função

Modelo Clássico 0.667 0.943 2.828 - - 5

Modelo Fuzzy de Xu 0.649 0.917 2.752 6 5 12

Modelo Fuzzy do Trappey, Liu e Chang 0.649 0.917 2.752 6 5 7

Tabela 2: Resultado do Exemplo Numérico 3.1 dos modelos para comparação

O Modelo Clássico convergiu para uma solução ótima, apresentada na Tabela 2, em 5 iterações. Conforme [Silva e Yamakami(2004)], para iniciar os modelos fuzzy precisa-se obter a solução ótima para dois casos: (1) restrições totalmente violadas (RTV); e (2) restrições não violadas (RNV). O primeiro caso convergiu para uma solução ótima em 6 iterações, onde o ponto encontrado foi [0.556 0.786] com valor de Função Objetivo igual a 2.357, enquanto o segundo caso convergiu em 5 iterações, onde este caso tem a mesma solução ótima do Modelo Clássico. Assim, os métodos fuzzy são inicializados, para este problema, com 11 iterações. O Modelo Fuzzy de Xu convergiu para uma solução ótima, apresentada na Tabela 2, em 23 iterações, onde o nível de satisfação desta solução é de 85.64%. O Modelo Fuzzy do Trappey, Liu e Chang obtiveram uma satisfação de 86.05%, e convergiu para uma solução ótima, descrita na Tabela 2, em 18 iterações.

Modelo x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Função Objetivo It.

Modelo Clássico 643.129 997.166 643.129 13.624 536.911 13.111 16

Modelo Fuzzy de Xu 637.050 987.439 637.050 13.469 532.034 12.966 71

Modelo Fuzzy de

Trappey, Liu e Chang 638.305 991.212 638.305 13.489 531.874 12.961 40

Tabela 3: Resultado do Exemplo Numérico 3.2 dos modelos para comparação

Na Tabela 3 o Modelo Clássico convergiu para uma solução ótima em 16 iterações. Na inicialização dos modelos fuzzy o primeiro caso convergiu para uma solução ótima em 15 iterações, onde o ponto otimo foi [579.097 894.931 579.097 12.017 485.388] com valor de Função Objetivo igual a 11.602, enquanto o segundo caso convergiu em 16 iterações. Assim, os métodos fuzzy são inicializados, para este problema, com 31 iterações. O Modelo Fuzzy de Xu convergiu para uma solução ótima apresentada na Tabela 3 em 71 iterações, onde o nível de satisfação desta solução é de 89.49%. O Modelo Fuzzy do Trappey, Liu e Chang obtiveram uma satisfação de 89.64%, e convergiu para uma solução ótima, descrita na Tabela 3, em 40 iterações.

Modelo d t (mm) f s (mmpr) f 1 (mm) f 2 (mm) f 3 (mm) d s (mm) d 1 (mm) d 2 (mm) d 3 (mm) U ($ / piece) Iterações 6 1.31 1.9 - - 2.999 3.001 - - 1.319 5 8 1.31 1.9 1.9 - 1.999 3.000 3.001 - 1.759 28 8.5 1.31 1.9 1.9 - 2.5 3.0 3.0 - 1.767 19 9 1.31 1.9 1.9 - 3.0 3.0 3.0 - 1.773 5 9.5 1.31 1.9 1.9 1.9 1.0 2.833 2.833 2.833 2.179 39 Modelo Fuzzy para o Caso das Restrições Totalmente Violadas 10 1.31 1.9 1.9 1.9 1.0 3.0 3.0 3.0 2.184 41

Tabela 4: Resultados do Exemplo Numérico 3.3 com as Restrições Totalmente Violadas

A Tabela 4 mostra uma solução ótima encontrada quando as restrições do Exemplo Numérico 3.3, da seção anterior, estão com as tolerâncias totalmente violadas, e o número de iterações necessárias para a sua convergência. A solução ótima do Modelo de Al-Ahmari, apresentado na Tabela 5, foi retirado de [Al-Ahmari(2001)]. Esta solução foi obtida utilizando o programa LINGO, contudo esta referência não relata as iterações necessárias para a convergência do problema em todos parâmetros dt avaliados. Assim, este modelo está exposto, somente, para confrontar o ponto ótimo e o

Modelo d t (mm) f s (mmpr) f 1 (mm) f 2 (mm) f 3 (mm) d s (mm) d 1 (mm) d 2 (mm) d 3 (mm) nor U ($ / piece) 6 0.31 0.566 - - 3.0 3.0 - - 1 1.939 8 0.31 0.9 0.585 - 3.0 2.079 2.921 - 2 2.481 8.5 0.31 0.713 0.566 - 3.0 2.5 3.0 - 2 2.550 9 0.31 0.566 0.566 - 3.0 3.0 3.0 - 2 2.619 9.5 0.31 0.774 0.9 0.9 3.0 2.342 2.079 2.079 3 2.953 Modelo de Al- Ahmari 10 0.31 0.606 0.9 0.9 3.0 2.842 2.079 2.079 3 3.022 6 0.31 0.566 - - 3.0 3.0 - - 1 1.939 8 0.31 0.713 0.712 - 3.0 2.5 2.5 - 2 2.481 8.5 0.31 0.632 0.632 - 3.0 2.75 2.75 - 2 2.550 9 0.31 0.566 0.566 - 3.0 3.0 3.0 - 2 2.619 9.5 0.31 0.854 0.854 0.854 3.0 2.167 2.167 2.167 3 2.953 Modelo Clássico 10 0.31 0.777 0.777 0.777 3.0 2.334 2.334 2.332 3 3.022 6 0.493 1.083 - - 3.0 3.0 - - 1 1.629 8 0.485 1.075 1.075 - 2.0 3.0 3.0 - 2 2.143 8.5 0.487 1.077 1.077 - 2.5 3.0 3.0 - 2 2.156 9 0.485 1.075 10.75 - 3.0 3.0 3.0 - 2 2.170 9.5 0.477 1.067 1.067 1.067 1.0 2.833 2.833 2.833 3 2.635 Modelo Fuzzy de Xu 10 0.478 1.068 1.068 1.068 1.0 3.0 3.0 3.0 3 2.641 6 0.474 1.064 - - 3.0 3.0 - - 1 1.644 8 0.470 1.060 1.060 - 2.0 3.0 3.0 - 2 2.156 8.5 0.469 1.060 1.060 - 2.5 3.0 3.0 - 2 2.173 9 0.468 1.058 1.058 - 3.0 3.0 3.0 - 2 2.187 9.5 0.468 1.058 1.058 1.058 1.0 2.833 2.833 2.833 3 2.645 Modelo Fuzzy de Trappey, Liu e Chang 10 0.478 1.068 1.068 1.068 1.0 3.0 3.0 3.0 3 2.641

Tabela 5: Resultado do Exemplo Numérico 3.3 dos modelos para comparação

Para dt igual 6, o Modelo Clássico convergiu para uma solução ótima em 3 iterações. O Modelo Fuzzy de Xu convergiu, com satisfação de 81.34%, em 14 iterações, enquanto o Modelo Fuzzy de

Trappey, Liu e Chang convergiu em 13 iterações, com satisfação de 83.40%. Para dt igual 8, o Modelo

Clássico convergiu para uma solução ótima em 5 iterações. O Modelo Fuzzy de Xu convergiu, com satisfação de 82.08%, em 43 iterações, enquanto o Modelo Fuzzy de Trappey, Liu e Chang convergiu em 51 iterações, com satisfação de 83.97%. Para dt igual 8.5, o Modelo Clássico convergiu para a

solução ótima em 5 iterações. O Modelo Fuzzy de Xu convergiu, com satisfação de 81.95%, em 33 iterações, enquanto o Modelo Fuzzy de Trappey, Liu e Chang convergiu em 34 iterações, com satisfação de 84.07%. Para dt igual 9, o Modelo Clássico convergiu para uma solução ótima em 3

iterações. O Modelo Fuzzy de Xu convergiu, com satisfação de 82.53%, em 12 iterações, enquanto o Modelo Fuzzy de Trappey, Liu e Chang convergiu em 14 iterações, com satisfação de 84.20%. Para dt

igual 9.5, o Modelo Clássico convergiu para a solução ótima em 6 iterações. O Modelo Fuzzy de Xu convergiu, com satisfação de 82.70%, em 56 iterações, enquanto o Modelo Fuzzy de Trappey, Liu e Chang convergiu em 56 iterações, com satisfação de 84.23%. Para dt igual 10, o Modelo Clássico

convergiu para a solução ótima em 6 iterações. O Modelo Fuzzy de Xu convergiu, com satisfação de 82.70%, em 58 iterações, enquanto o Modelo Fuzzy de Trappey, Liu e Chang convergiu em 58 iterações, com satisfação de 84.44%.

5 Conclusões

Diante dos resultados expostos na seção anterior, pode-se inferir que as soluções dos Modelos

Fuzzy fornecem resultados melhores que as soluções dos modelos clássicos. O nível de satisfação dos

Modelos Fuzzy não atingem 100%, mas em todos os resultados acima obtiveram satisfação superior a 80%. Todos os exemplos numéricos apresentados neste artigo convergiram para uma solução ótima. Os Modelos Clássicos convergiram com uma quantidade menor de iterações, porém resolve um problema formulado de forma exata. O número maior de iterações para os Modelos Fuzzy convergiram para uma solução ótima é compensado pelo resultado obtido e pela menor complicação de introduzir dados incertos, referentes a problemas reais, sem aumentar demasiadamente o esforço computacional.

Agradecimentos Os autores agradecem ao CNPq pelo suporte financeiro.

Referências

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