1 Formulação Matemática. 2 Conceito de Representação

1

Formulação Matemática

No Capítulo anterior, introduzimos alguns conceitos básicos da Mecânica Quân-tica através de exemplos simples. Neste Capítulo, vamos organizar os conceitos introduzidos do ponto de vista da estrutura matemática para ter uma visão mais geral sobre a Mecânica Quântica.

2

Conceito de Representação

Para descrever um fenômeno da Natureza quantitativamente, o primeiro pro-cedimento necessário é representar os conceitos básicos do fenômeno por quan-tidades matematicamente bem de…nidas. Por exemplo, vamos considerar a ro-tação de um pião no formalismo da Mecânica Clássica. Neste caso, o estado do pião em cada instante pode ser expresso em termos de orientação espacial dos eixos …xos nele. Assim, o estado de um pião é representado por 3 números, por exemplo, os ângulos de Euler, os quais descrevem a orientaçao dos eixos em re-lação a um sistema …xo no espaço. Estes números servem como coodenadas para descrever o estado de um pião. Uma vez assim especi…cadas as coordenadas do sistema, podemos representar quantitativamente outros diversos conceitos, tais como a própria rotação. Por exemplo, a rotação de um pião é representada em termos de uma matriz 3x3, que transforma as coordenadas anteriores à rotação para as posteriores à rotação,

~ r0= A~r

Podemos então considerar a matriz A como a representação da rotação que per-mite tratar o ato de rodar em termos de quantidade de…nida matematicamente. Note que desta maneira, o efeito de duas rotações sucessivas é naturalmente representado pelo produto das duas matrizes correspondentes.

Em geral, na Mecânica Clássica, a dinâmica de um sistema é descrita pelo conjunto de variáveis dinâmicas fp; qg; onde p é o momento (generalizado) e q coordenada (generalizada)1_{. Um estado do sistema num instante t é especi…cado} pelos valores destas variáveis neste instante. Assim, a dinâmica do sistema é completamente especi…cada se sabemos como p e q variam em função do tempo t. Em outras palavras, o estado de um sistema clássica é representado por um par de variáveis, fq; pg. Uma vez especi…cado o estado do sistema num instante, a dinâmica posterior é determinada pela equação de movimento, que usualmente é dada pela equação diferencial de p e q em relação ao tempo t. Por exemplo, se tratamos a dinâmica de uma partícula, q representa a coordenada espacial ~r e p representa o momento ~p. Para um conjunto de, digamos, n partículas podemos generalizar esta idéia, simplesmente associando q com o conjunto de coordenadas q = f~ri; i = 1; ::; ng e p com o momento, p = f~pi; i = 1; ::; ng. Na Mecânica Clássica, assumimos que o conjunto destas variáveis fornece a infor-mação completa sobre o sistema.

1_{Aqui, as variáveis q e p podem ser conjuntos de números, q = fq}

ig, p = fpig. Ver a

Dependendo do sistema em questão, as coordenadas não são necessariamente um conjunto …nito de números. No caso de um sistema contínuo, é claro que temos que introduzir um conjunto contínuo de variáveis dinâmicas. Por exemplo, no caso da hidrodinâmica, podemos especi…car o estado do sistema em termos de distribuição de densidade (~r) da matéria e do campo de velocidades ~v(~r). Neste caso, o vetor da coordenada espacial ~r pode ser considerado como um índice (contínuo) para distinguir as variáveis. Este é um exemplo do caso em que o estado do sistema é representado em termos de uma função. O estado de um campo eletromagnético num instante t também é representado por função vetorial, ~E (~r).

Existe um outro exemplo em que o estado do sistema é representado por uma função. Quando a informação completa sobre o sistema não é necessária, ou talvez não possa ser obtida, é conveniente usar a representação do sistema em termos de função de distribuição, f (q; p); no espaço de fase da seguinte forma: Consideramos um conjunto (in…nito) dos sistemas em questão, todos preparados sob a mesma condição inicial dentro da precisão permitida ou necessária. Neste caso, estamos falando de um ensemble estatístico do sistema. Vamos tratar qualquer informação física do sistema estatísticamente, ou seja, sempre falamos sobre as médias das grandezas físicas associadas ao sistema. Note que nesta abordagem, não podemos fazer previsões deterministicas para um único processo de observação, exceto casos peculiares. A previsão só faz sentido quando calcu-lamos os valores médios das muitas medidas sobre os membros deste ensemble. A função de distribuição f (q; p) especi…ca a densidade de probabilidade para a qual o sistema em questão se encontra no estado fq; pg (portanto f deve ser sempre não negativa). Quando tentamos observar uma quantidade do sistema, por exemplo O = O(q; p), um único processo de medição poderia fornecer um valor qualquer desta quantidade devido a incerteza inerente da condição inicial. Mas, se repetimos a medição (ou seja se medimos sobre outros membros do ensemble), o valor médio de O deve convergir ao valor dado por

Q = Z

dpdq f (q; p)Q(q; p) (1)

Dentro deste contexto, a informação máxima disponível sobre o estado do sis-tema está contida na função f . Ou seja, o estado do sissis-tema é representada por

f (q; p). Emfatizamos aqui o fato de que toda informação é representada no sen- Nota:

f (q; p) _,

estado do

ensemble tido estatístico, e o estado representado por f refere-se ao estado do ensemble.

O conceito de estado quântico é bem similar ao exemplo acima. O estado quântico de um sistema é de…nido sobre um ensemble quântico, o conjunto (hipotético) de sistemas que são preparados sob a mesma condição. Assim, podemos também representar o estado deste ensemble pela uma função f (q; p)2_. Só que há diferenças fundamentais. Veremos posteriormente que a função f quântica não necessariamente positiva de…nida. Isto é necessário para incorporar

2_{É possível construir um análogo da função de distribuição no espaço de fase f (q; p) a}

os fenômenos de interferência quântica. Além disto está função deve incorporar também a relação de incerteza entre duas variáveis canonicamente conjugadas. Na Mecânica Clássica, em princípio, não considerando as di…culdades experi-mentais que ocorre na prática, as informações sobre um sistema poderiam ser completamente deterministicas em relação a q e p, se. Ou seja, dependendo da preparação do sistema, a função de distribuição poderia ser teoricamente a função de Dirac,

f (q; p) = (q q0) (p p0) (2)

Neste caso, a descrição em termos de função de distribuição f é equivalente a descrição em termos de trajetória de partículas. Como vimos antes, na Mecânica Quântica3 _{isto não ocorre. A informação mais precisa possível sobre p e q} simultaneamente é no máximo dada por um pacote,

f (q; p) _expf (q q0)2 ~ 2

4 (p p0)

2_{g (3)}

onde é um parâmetro. Aqui, podemos ver claramente que se queremos ter a informação precisa em relação a variável q, a informação sobre a variável p …ca necessariamente imprecisa e vice-versa.

Assim, a Mecânica Quântica só descreve a dinâmica do sistema referente a seu ensemble quântico. As previsões da Mecânica Quântica são sempre prob-abilistica; elas nunca descrevem deterministicamente o resultado de um único processo de medida, exceto alguns situações particulares4_{. O ponto} fundamen-tal é que esta natureza probabilistica não é por causa de falta da informação, mas é a propriedade intrinseca da dinâmica que governa o mundo microscópico. Nos fenômenos clássicos, a descrição do estado do sistema através de função distribuição f é questão de uma opção pela conveniencia, mas no processo mi-croscópico, não é mais possível utilizar a descrição deterministica de trajetótia de partículas.

Emfatizando o fato acima, vamos formular matematicamente o conceito de estado quântico.

3

Descrição de Estados Quânticos

Para formular numa linguagem mais objetiva para representar o estado quântico, vamos resumir as idéias sobre o mundo microscópico vistas no Capítulo anterior: 1. Uma série de medição de uma quantidade sobre um ensemble estatística de um sistema podem ‡utuar em valores, fornecendo uma distribuição, mesmo que os sistemas estejam preparados de forma idêntica.

dada por fW(q; p) = 1 2 ~ Z du eiup=~ q 1 2u q + 1 2u Esta função tem propriedades similares a de f (q; p), mas não é positiva de…nida.

3_{A expressão, ”na Mecânica” seria melhor expressa por ”nos fenômenos para quais a}

Mecânica Quântica deve ser aplicada”.

4_{Por exemplo, a medição for feita sobre uma quantidade quando o sistema já esteja no}

2. Esta ‡utuação é intrinseca do processo quântico. Assim, o conceito de estado do sistema refere sempre ao ensemble do sistema (ensemble quân-tico). Ao mesmo tempo, um observável não sera caracterizada por apenas um número, mas sim pelo conjunto de todos os números possíveis a ser observados em potencial.

3. O estado de um sistema é representado pela amplitude de probabilidade de um observável do sistema.

4. Para amplitudes, vale a Princípio de Superposição. Ou seja, se 1 e 2 são amplitudes correspondentes, a combinação linear destas amplitudes corresponde para um estado.

5. As duas amplitudes para observáveis canonicamente conjugadas não são independentes. Elas são relacionadas em termos de transformação de Fourier (deBroglie).

6. Podemos associar a uma grandeza física o operador que atua na função de onda. O valor esperado desta grandeza para o estado quântico é dado como

hOi = ( ; O ):

7. Os valores encontrados no processo de medição da grandeza O são os au-tovalores deste operador. Como as grandezas físicas mediveis são números reais, os autovalores do operador correspondente a grandeza física têm que ser reais. Isto impor uma restrição na classe de operadores (ver a discussão adiante).

Os itens acima são as bases conceituais para formular o conceito de um estado quântico. Vamos postular o conceito a seguir.

De…nição Chama-se de conjunto completo de observáveis o conjunto de todas as obseváveis indenpendentes cuja medição não interfere entre si. Por ex-emplo, se o sistema em questão é uma partícula sem spin, o conjunto com-pleto de observáveis é fx; y; zg. Entretanto, há outra maneira de escolher este conjunto. Podemos escolher o cojunto completo de observáveis como fpx; py; pzg. Também pode ser

n

E; ~L2_{; L} z

o

. Naturalmente o número mín-imo dos elementos deste conjunto é independente da escolha, ou seja, quantidade intrinseca do sistema.

Postulado 1 O conjunto de todos os estados quânticos de um sistema forma um espaço vetorial separável e completo (espaço de Hilbert, ver a seção a seguir). Denotamos os elementos deste espaço por j i onde o símbolo é o rôtulo que especi…ca o estado. Assim, podemos estabelecer cor-respondência entre o conjunto de estados quânticos e os vetores de um espaço vetorial. A correspondência é de forma tal que dois vetores linear-mente dependentes representam o mesmo estado. Isto é, o vetor j i e o outro vetor _{j i representam o mesmo estado.}

Neste espaço, está de…nido o produto escalar de dois vetores, digamos j i e j i, que denotamos por h j i. Quanod h j i = 1, o vetor j i é dito normalizado.

Postulado 2 As grandezas físicas (que chamaremos de “oberserváveis”) cor-respondem a operadores hermitianos5 _{deste espaço. Os autovalores de} um destes operadores são os valores que se encontram nos processos de medição da observável correspondente.

Postulado 3 Existem um conjunto de observáveis os quais autovetores formam uma base do espaço de Hilbert dos estados quânticos. Estes observáveis são chamados “observáveis completos”.

Postulado 4 _{Seja o conjunto fj} iig autoestados normalizados de um observável A, com que expressamos qualquer vetor j i (normalizado) pela combi-nação linear em fj iig,

j i =Xcij ii; (4)

onde

ci= h ij i:

Na medição da observável A, a probabilidade de obter um autovalor 0 é dada por

jc0j2= jh ij ij2:

O postulado no.1 é a consequência direta do Princípio de Superposição. A natureza matemática do espaço de Hilbert é necessária para que a normalização da probablidade e de…nição de observáveis. Os postulados 2 e 3 representam a idéia de que todas as informações contidas num estado de sistema devem ser expressas em termos do processo de medidas físicas das observáveis. A condição da hermiticidade dos operadores é, além de ter ortogonalidade entre autovetores, para garantir que os valores observados de uma quantidade física é números reais. No exemplo anterior da experiência de duas fendas, os autovalores da observável X são os valores das coordenadas x que encontram-se em cada medida de posição. Os autoestados do X são os estados das partículas localizados na posição x. Os processos de medição de X determinam completamente a informação sobre o estado do sistema.

O postulado 4 de…ne a interpretação de um estado quântico em termos da amplitude de probabilidade.

Utilizando estes postulados, podemos ver que o valor médio dos valores obti-dos numa série de medidas de uma observável, digamos O, é dado por

hOi = h jOj i: (5)

onde o estado deste ensemble quântico do sistema é representado por j i com h j i = 1:

Prova: Pelo que foi postulado, quando um processo de medida de um observável O for realizada, encontrariamos um autovalor oi da observável O e o sis-tema que foi medida torna no autoestado do O deste autovalor,

joii:

A amplitude de probabilidade para este acontece é dada por ci= hoij i

e a probabilidade é

Pi= jcij2:

Repetindo o processo da medida para o ensemble inicial cujo estado é descrito por j i, o valor médio da obervável é obviamente

hOi =X i oiPi =X i oijhoij ij2 =X i h joiioihoij i = h jOj i:

onde na penúltima linha acima utilizamos a expressão de operador na base de seus autovetores, i.e.,

O =X

i

joiioihoij : (6)

Exercício: Mostre a Eq.(6). A forma do operador acima é chamada a repre-sentação diagonal.

Enfatizamos que as medições se referem aqui devem ser feitas sobre o ensem-ble do sistema, mas não sobre o mesmo sistema que acabou de ser medida. No exemplo da experiência de duas fendas, são as medidas sobre às partículas do feixe e não sobre a partícula já detectada no anteparo C. Por outro lado, se …zer-mos as medidas sucessivas sobre a partícula que já encontrado numa posição x, esperamos naturalmente que as medições sucessivas vão apenas conferir o valor já obtido, se a dinâmica posterior não altera a localização da partícula. Em outras palavras, no processso da medição do observável O sobre o sistema cujo estado já é o autoestado deste observável com autovalor oi, o valor que a ser encontrado será semple oi, sem nenhuma ‡utuação. Vamos de…nir um operador

O2 (O _hOi)2 (7)

que representa a dispersão dos valores da medição do O. Para um estado j i qualquer, o valor esperado deste operador é

=X i

(oi hOi)2jcij2

que é a disperção média quadrada da distribuição, Pi. Se j i é um dos autove-tores do O, joi0i, a disperção média quadrada …ca obviamente,

h O2i = 0

pois ci= 0 para as todas i, exceto cio= 1. Isto é, uma medição da observável O

com certeza resultará no valor oio. Podemos provar também o inverso, ou seja,

o estado para que o valor esperado de operador de disperção, Eq.(7), …ca nulo necessáriamente é um dos autoestado do operador.

Exercício: Prove que

h j O2j i = 0; implica em

Oj i = 0; ou equivalentemente

Oj i = hOi j i:

(Dica: Use a propriedade do produto escalar e de fato de que o operador O é um operador hermitiano.)

Exercício: Mostre que o postulado 4 é equivalente a dizer que a probabilidade P ( ! ) de encontrar um estado j i no estado qualquer j i é dada por

P ( ! ) = jh j ij2; onde ambos os vetores, j i e j i são normalizados.

4

Seção Complimentar:

4.1

Espaço Vetorial, Espaço de Hilbert

Um conjunto V =fjxi; jyi; :::g é dito um espaço vetorial se satisfaz às seguintes propriedades:

1. Está de…nida a adição entre dois elementos do conjunto, i.e., 8 jxi; jyi 2 V;

9_{jzi = jxi + jyi 2 V} Esta regra de adição satisfaz às seguintes condições6,

Comutatividade,

jxi + jyi = jyi + jxi Associatividade,

(jxi + jyi) + jzi = jxi + (jyi + jzi) Existe o elemento nulo7_{, ou seja}

9_{02 V} tal que 8_{jxi 2 V} jxi + 0 = jxi Existe o inverso, 8_{jxi 2 V} 9_{jxi 2 V} tal que jxi + jxi = 0 Por razão óbvia, denotamos jxi por jxi.

2. Está de…nida a multiplicação entre um número (elemento de um corpo; C8₎ e um elemento de V tal que

6_{O conjunto V com esta operação de adição forma um grupo abeliano.} 7

Para o elemento nulo, utilizamos a notação 0 em vez de j0 >.

8 2 C; 8jxi 2 V 9_{jyi = jxi 2 V} Esta multiplicação satisfaz às seguintes propriedades:

Distributividade;

(jxi + jyi) = jxi + jyi Associatividade;

( _{)jxi = ( jxi)}

De…nição _{Os n vetores jx}ii de V são ditos linearmente dependentes quando existem os números i’s não nulos que satisfazem à relação,

X i

ijxii = 0

De…nição O número máximo de vetores linearmente independentes de um es-paço vetorial é chamado a dimensão do eses-paço. A dimensão de um eses-paço pode ser in…nita. Um conjunto de vetores é dito uma base, se qualquer ve-tor do espaço é escrito em termos de uma combinação linear dos elementos deste conjunto.

4.2

Produto Escalar, Espaço Dual

Num espaço vetorial, é possível de…nir um produto escalar. Um produto escalar é uma associação de um par ordenado de vetores (jxi; jyi), 8jxi; jyi 2V, ao elemento do Corpo C (número complexo), satisfazendo às seguintes regras:

1.

(jxi; jyi) = (jyi; jxi) ; 2.

(jxi; jyi + jzi) = (jxi; jyi) + (jxi; jzi); 3.

(jxi; jyi) = (jxi; jyi); 4.

(jxi; jxi) 0; sendo a igualdade válida somente para jxi = 0.

Na notação do Dirac, o produto escalar é expresso como hxjyi (jxi; jyi):

Quando o produto escalar entre dois vetores é nulo, dizemos que os vetores são ortogonais.

Numa linguagem coloquial, muitas vezes dizermos ”tomar o produto escalar” dos vetores jxi e jyi. O ato de tomar o produto escalar de um dado jxi com jyi qualquer do espaço V, ou seja sem ser especi…cado, é considerado um funcional9 linear no espaço V. Podemos representar este funcional simbolicamente por hxj. É fácil de veri…car que o conjunto de todos estes funcionais, fhxj; 8jxi 2 Vg; forma um espaço vetorial. Chamamos este espaço de o espaço dual do V e denotamos por Vy_{. O elemento de V}y_{, hxj; é o vetor dual do vetor jxi 2 V e} denotamos esta relação por

hxj jxiy:

A de…nição de produto escalar permite a introdução de noções de norma de um vetor e distância entre dois vetores. A norma de um vetor jxi é dado por (hxjxi)1=2 _{e denotada por k jxi k. A distância d(jxi; jyi) entre jxiejyié de…nida} por

d(jxi; jyi) k jxi jyi k

Partindo do conceito de distância, podemos introduzir as noções de topolo-gia do espaço, tais como a completeza, fechamento, etc. Estes conceitos são importante para analisar as propriedades de várias quantidades utilizadas, em particular, a convergência dos limites, integrais, etc. Entretanto, aqui não dis-cutiremos estes aspectos matemáticos; lembramos apenas que o espaço que uti-lizamos para estados quânticos é o espaço de Hilbert que é uma extensão natural do espaço Euclidiano. Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial que satisfaz às seguintes propriedades:

1. Ele é completo, i.e., o critério de convergência de Cauchy para série de vetores é válido. Ou seja, uma série de vetores fjx1i; jx2i; : : : g converge ao vetor jxi se exite N( ) tal que k jxmi jxni k h para 8 i0, desde que m; niN.

2. Ele é separável. Ou seja, para qualquer elemento de V , sempre existe uma série fjx1i; jx2i; : : : g que converge a ele.

Esta última propriedade é equivalente a dizer que existem bases de elementos numeráveis. Estas duas propriedades são importantes para evitar as quantidades mal de…nidas matematicamente. Entretanto, nas aplicações em física, necessi-tamos frequentemente de estados que não são representados por elementos de um espaço de Hilbert. Nestas situações, precisamos alguns cuidados especiais para garantir os bons comportamentos de quantidades de…nidas (por exemplo, o estado de onda plana).

4.3

Operadores

Um operador é uma mapeamento de um vetor em outro vetor, jxi ! jx0i = Ojxi:

Aqui consideramos somente os operadores lineares, satisfazendo à distributivi-dade

O(jxi + jyi) = Ojxi + Ojyi: Um exemplo de operador é jxihyj, de…nido por

(jxihyj)j i jxi(hyj i) = hyj ijxi; 8j i 2 V

O operador identidade é o operador que mapeia qualquer vetor nele mesmo. Denotamos o operador identidade por 1, sem criar confusão.

Exercício: (Relação de Completeza) Demonstrar que X

i

jxiihxij = 1 (8)

se fjxiig é uma base ortonormal, i.e., hxijxji = ij.

A relação de completeza, Eq.(8) é útil para representar vetores em termos da base. Seja j ium vetor arbitrário. Então,

j i = X i jxiihxij ! j i =X i jxiihxij i =X i cijxii (9) onde ci= hxij i.

O produto de dois operadores é naturalmente de…nido por (O1O2)jxi O1(O2jxi); 8jxi 2 V

Desta forma, é claro que em geral o produto dos operadores não é comutativo, O1O26= O2O1:

A quantidade h jOj i (j i; Oj i) é dita o elemento de matriz de um operador O entre j i e j i. Podemos introduzir a conjugação hermitiana de um operador, de…nida através da relação,

O operador Oy é dita também o operador adjunto de O. Um operador O é chamado hermitiano (ou autoadjunto) se

Oy = O

Para operadores hermitianos, existem seguintes propriedades importantes. Os autovalores de um operador hermitiano são reais.

Os autovetores de um operador hermitiano de autovalores distintos são ortogonais.

Exercício: Mostre que Oy y_{= O.}

Exercício: Prove que os autovalores de um operador hermitiano são reais. Exercício: Prove que os autovetores de um operador hermitiano de autovalores

distintos são ortogonais.

4.4

Especro Contínuo, Função , Distribuições

Até aqui, tratamos o caso em que todos os índices que distinguem vetores são discretos. Entretanto, precisamos frequentemente os casos de autovalores con-tínuos. Por exemplo, o autoestado de posição jxi tem o índice contínuo x. Isto é,

^

X jxi = x jxi;

onde ^X é o operador correspondente a coordenada x e x representa o autovalor. Neste caso, é natural substituir a expressão correspondente a Eq.([?]) pela

j i = Z

dx jxi hxj i Z

dx jxi (x) (10)

onde introduzimos (x) por

(x) = hxj i; (11)

que é chamado a função de onda. Da primeira linha da Eq.([?]), vemos que estamos introduzindo a base

f jxi; x 2 Rg no lugar de

f jii; i 2 Ng : A correspondência entre duas bases é dada por

jxi !p1 dxjii

pois, j i =X i jii hij i =X i dx _p1 dxjii 1 p dxhij j i ! Z dx jxi hxj i:

A relação acima implica que a relação de completeza da base fjxigé expressa

por _Z

dx jxihxj = 1: Por outro lado, a ortonormalidade

hijji = ij …ca escrita por

hxjx0i = (x x0) (12) pois hxjx0i ! 1 dx x;x0; isto é, hxjx0i = 0; x 6= x0; = 1 dx ! 1; x = x 0_;

de tal forma que _Z

dx hxjx0i = 1:

A função de Dirac na Eq.(??) é uma distribuição, e não é uma função normal no sentido de atribui um valor númerico para dado valor de argumento. Matemáticamente uma distribuição é uma funcional linear de…nida no espaço de funções bem comportadas ( funçoes que pertencem a C1com suporte …nito) como formulado pelo L.Schwarz. Naturalmente todas as funções normais são distribuições. Denotando pelo simbolo a operação de funcional linear numa função bem comportada (x), o caso de de Dirac …ca

= (0) (13)

Na física, é usual espressar esta operação como Z

permitindo a imagem intuitiva de função como uma função normal que tem um pico agudo em x = 0 cuja área é normalizada por 1. Entretanto, há várias limites que convergem a . Em geral, o valor de uma distribuição num ponto, digamos x = x0não teria sentido. Entretanto, é possível dizer que uma distribuição f é nula numa visinhança D do ponto x = x0, ou seja, para todas as funções bem comportadas que somente não nula dentro desta visinhança D,

f = 0:

5

Regra de Comutação Canônica

Na Mecânica Quântica, as variáveis físicas são postuladas como sendo oper-adores. Sendo operador, o papel que um observável é transformar um estado físico do sistema em outro estado. Mas em que forma um observável transforma um estado de sistema? Na Macânica Clássica, o papel que o momento canonica-mente conjugado a variavél q é dada como a gerador de transformação canônica de deslocamento. Na Macânica Quântica, de…nimos o operador de momento de tal forma que a situação é a mesma no caso da Macânica Clássica. A régra de comutação canônica é justamente introduzido para satisfazer este requisito. Vejamos este conteúdo em seguida.

5.1

Operador de momento, Onda Plana

Segundo deBroglie, uma partícula com momento p é associada a uma onda plana com número de onda k = p=~. Em outras palavras, a função de onda de uma partícula com momento p é uma onda plana,

p(x) ' eipx=~

Por outro lado, o estado de momento bem de…nido é o autoestado de momento com autovalor p; jpi. Portanto,

hxjpi ' eipx=~ (14)

A pergunta é, o que é a forma do operador de momento nesta base? Para responder esta questão, começamos a de…nição de autoestado de momento,

P jpi = pjpi

onde P é o operador de momento. Tomando o produto escalar desta equação com o autoestado de posição, jxi, e substituindo a relação de completeza em x0_,

temos _Z

Mas p eipx=~= ~ i d dxe ipx=~ Assim, temos _Z dx0_{hxjP jx}0_{i e}ipx0=~= ~ i d dxe ipx=~_:

Esta expressão deve valer para qualquer p. Podemos utilizar este fato para calcular o efeito de operador P sobre uma função geral (x).

Z dx0_{hxjP jx}0_{i (x}0) = Z dx0_{hxjP jx}0_ip1 2 ~ Z dp ~ (p) eipx0=~ = _p1 2 ~ Z dp ~ (p) Z dx0_{hxjP jx}0_ieipx0=~ = p1 2 ~ Z dp ~ (p)~ i d dxe ipx=~ = ~ i d dx 1 p 2 ~ Z dp ~ (p) eipx=~ = ~ i d dx (x)

Nas equações acima, utilizamos a transformada de Fourier de (x), ~ (p) ; (x) = _p1

2 ~ Z

dp ~ (p) eipx=~:

Mostramos assim que Z

dx0_{hxjP jx}0_{i (x}0) = ~ i

d dx (x) ; para uma função arbitrária . Podemos concluir, então,

hxjP jx0i = ~_idxd (x x0): (15)

O operador de momento na Eq.(15) é espresso na forma de elemento de matriz na base de x. Para obter a expressão do operador em si, vamos utlizar a completeza da base de x: _Z dxjxihxj = 1: Temos P = Z dx Z dx0_{jxihxjP jx}0_ihx0_j = Z dx Z dx0_jxi~ i d dx (x x 0_)hx0_j

Consequentemente, P = Z dxjxi~ i d dxhxj (16)

Esta é a representação de P na base em que x é diagonal. Usando a de…nição de derivada,

P = ~ i lim!0

Z

dx jxi hx + j hxj (17)

Assim, podemos concluir que

jx + i = (1 i

~ P )jxi (18)

Exercício: Demostra a passagem da Eq.(17) para a Eq.(18).

Ou seja, o operador (1 +~_{i P ) desloca in…nitesimalmente o autovetor jxi em} jx + i. Para o deslocamento …nito, podemos repetir o deslocamento in…nitesi-mal,

jx + ai = lim !0(1 i ~ P )

a=

jxi = e iaP =~jxi (19)

Aqui, o operador e iaP =~_{é unitário. Note que este operador unitário transforma} todos autoestados de posição jxiem jx0_{i = jx + ai. Isto equivale a mudança do} sistema de coordenadas espacial, transladando-o por a homogeneamente na direção x, pois

0_{(x) = hx}0_{j i} = hx + aj i = (x + a):

O operador eiaP =~ _{representa o efeito no espaço de Hilbert, causado pela tal} transformação de coordenadas x. O operador de momento P é chamado o gerador de transformação. Mais especi…camente, o momento é o gerador de translação de coordenada. Este pode ser visto também da seguinte forma usando Eq.(16)

hxjeiaP =~j i = eadxd (x) = (x + a)

5.2

Normalização de onda plana

O autoestado de momento é uma onda plana. Mas podemos escolher a normal-ização de acordo com conveniência. Vejamos seguinte exercício.

Exercício: _{Na base fjpig, esperamos que}

hp0jP jpi = p (p p0) ?

O Exercício acima mostra que se escolhermos a normalização de uma onda plana como

hxjpi = eipx=~;

então, estamos de…nindo a normalização da base fjpig como hpjp0i = 2 ~ (p p0)

e não

hpjp0i = (p p0) : Neste caso, a relação da completeza da base fjpig …ca

1 2 ~

Z

dp jpihpj = 1: Exercício: Veri…que a relação da completeza acima.

Exercício: _{Na base fjpig com normalização acima, obtenha a expressão do} operador P .

Exercício: _{Na base fjpig com normalização acima, obtenha a expressão do} operador X.

Por outro lado, se escolhemos a normalização da base fjpig por hpjp0i = (p p0) ;

e, portanto, a relação da completeza, Z

dp jpihpj = 1;

então, a normalização da onda de onda plana deveria ser hxjpi = p1

2 ~e ipx=~_:

Exercício: Utlizamos frequentemente a normalização de uma onda plana por hxjpi = p1

Ve ipx=~_;

onde V é o volume do sistema. Esta normalização representa a situação que existe uma partícula no volume V . Neste caso, obtenha a normalização da base fjpig e expresse a relação da completeza desta base.

Exercício: _{Na base fjpig com normalização acima, obtenha a expressão do} operador P .

5.3

Comutador

O operador P não é diagonal na base fjxig como pode ser visto da Eq.(16). Isto sugere que P não comuta com X, operador de posição. Podemos calcular o cumutador destes operadores.

[P; X] = P X XP = =~ i Z dx _jxid dxhxjX Xjxi d dxhxj =~ i Z dx _jxi d dxhxjx xjxi d dxhxj = ~ i Z dxjxihxj = ~_i

Assim, obtemos a regra de comutação canônica bem conhecida entre momento e coordenada,

[P; X] = ~

i (20)

Aqui, deduzimos Eq.(20) como a consequência da a…rmação do deBroglie que relacione a onda plana com o estado de particula com momento bem de…nid. Entretanto, podemos inverter o argumento. Isto é, partindo da Eq.(??), dodas os resultados sobre o operador de momento P , inclusive a onda plana como seu autoestado podem ser obtidas. De fato, postular a regra de comutação Eq.(??) é muito mais geral do que formular a Mecânica Quântica partindo de onda plana. Assim postulamos:

Postulado: Os operadores P e Q que correspondem a par de variável canôni-camente conjugadas satisfazem a regra de comutação canônica,

[P; Q] =~ i; ou

1

i~[Q; P ] = 1: (21)

Note que a relação acima lembra a condição de um par de variávelis canon-icamente conjugadas na Mecânica Clássica,

fQ; P g = 1; (22)

se

q ! Q = Q(q; p); p ! P = P (q; P );

for uma transformação canônica, ou seja, o par (Q; P ) seja um variável canônico. A comparação entre as Eqs.(21) e (22) sugere que o comutador na Mecânica Quântica é um análogo do bracket de Poisson da Mecânica Clássica.

5.4

Um pouco de Mecânica Clássica

O papel de momento como gerador de translação em coordenada já é conhecido na Mecânica Clássica. Vamos fazer uma pequena revisão da Mecâanica Clássica, para estabelecer a correspondência com a Mecânica Quântica.

Seja fq1; p1g um par de variáveis canonicamente conjugadas. Na Mecânica, podemos fazer a transformação de variáveis10_,

fq1; p1g ! fq2; p2g ; (23)

q2= f (q; p);

p2= g(q; p): (24)

Dentro de várias possibilidades, uma classe de transformações que satisfaz a propriedade de preservar a forma estrutural da equação de Hamilton. Esta classe de transformações é chamada a transformação canônica. Se a Eq.(23) é a transformação canônica, os novos variaveis devem satisfazer,

ff; ggq;p= 1 onde ff; ggq;p @f @q @g @p @g @q @f @p

é a parentêse de Poisson. Como a parentêse de Poisson não depende de escolhe de variáveis canônicas para calcular as derivadas do lado direito da equação acima, podemos abreviar os subíndices da parentêse. Dentro de transformação canônica, podemos ainda considerar uma subclasse, a transformação canônica contínua. Para transformação canônica contínua, existe um ou mais que um parâmetros contínuos.

q( ) = f (p1; q1; ) p( ) = g(q1; p1; )

Sem perder a generalidade, podemos escolher = 0 para transformação de identidade. Por de…nição, os q e p com todos valores intermediários de também as variáveis canônicas. A condição em que esté série de variáveis sejam canônicas é que exista uma função G(q; p) tal que

dq( )

d = fq; Gg ; dp( )

d = fp; Gg (25)

A função G é chamada a função geratiz (ou gerador, por simplesmente) da trans-formação contínua. Por exemplo, se escolher G como a Hamiltoniana do sistema e identi…cando como tempo t, Eq.(25) se torna a equação de movimento de Hamilton. Ou seja a Hamiltoniana é gerador de transformação canônica que transforma o conjunto de variáveis fq; pg num instante em conjunto de variáveis canonicamente conjugadas de outro instante. Agora, se escolhemos G = p, então

dq( )

d = fp; qg = 1

1 0_{A transformação pode depender do tempo t. Mas aqui por simplicidade, consideramos o}

dp( )

d = fp; pg = 0 Ou seja

q( ) = q(0) p( ) = p(0)

mostrando a translação de coordenada por . Isto é, o momento p é o gerador da translação em q.

5.5

Relação de Incerteza, Pacote de Incerteza Mínima

Formular a Mecânica Quântica partindo o postulado de regra de comutação canônica é as vezes referido Quantização Canônica. Nele, a relação de comu-tação entre duas variáveis canônicamente conjugadas atribui uma destas var-iáveis a propriedade como sendo o gerador de translação em outra. Ponto de vista matemático, a não comutatividade de duas observáveis implica não ex-istência de uma base em que ambos os operadores se tornam simultaneamente diagonizados. Isto é, um autoestado de um dos observáveis não é autoestado de outro. Físicamente falndo, não podemos fazer medições simultâneas destas observáveis com a precisão arbitrária.

Para ver a relação de incerteza quantitativamente, vamos introduzir os op-eradores que representa as ‡utuações de valores observadaos de Q e P ,

Q = Q _hQi

P = P _{hP i} (26)

Para qualquer estado j i 2 V; podemos de…nir os vetores, j Qi = (Q hQi)j i

j P i = (P hP i)j i (27)

Com estes vetores, podemos escrever os valores esperados de quadradas dos operadores de ‡utuaçao Eq.(26),

h Q2i = h j(Q hQi)2j i = h Qj Qi =k j Qi k2 h P2i = h j(P hP i)2j i = h P j P i =k j P i k2 Por outro lado, pela desigualdade de Schwartz, temos

k j Qi k2k j P i k2 jh Qj P ij2= jh j Q P j ij2 (28) O produto Q P pode ser re-escrito como

Q P = 1

2[ Q; P ] + 1

2f Q; P g

onde [; ] é comutador e f; g é anticomutador. Da regra de comutação canônica, o comutador é simplesmente i~. O anticomutador é um operador hermitiano, portanto o seu valor esperado R = h jf Q; P g j i é um número real.

Exercício: Mostre que o valor esperado do anticomutador R = h j f Q; P g j i é real. Podemos escrever jh j Q P j ij2= 1 2(R + i~) 2 = 1 4(R 2 + ~2) 1 4~ 2

onde o sinal de igualdade vale somente para R = 0. Substituindo a equação acima em Eq.(28), concluimos que

h Q2i h P2i 1₄~2 (29)

que é a relação de incerteza.

A dedução acima da relação de incerteza é particularmente interessante, pois podemos investigar qual é o estado que otimiza as incertezas em q e p. O sinal de igualdade na Eq.(29) é válido somente para o estado j ci que satisfaz

h cj f Q; P g j ci = h cj Q P + P Qj ci = 0; (30) e

P j ci = c Qj ci: (31)

onde c é constante (ver o exercício sobre a desigualdade de Schwartz). Substi-tuindo a segunda equação na primeira, temos

(c + c )h cj Q2j ci = 0

que indica que c é pura imaginária. Ao mesmo tempo, tomando o valor experado em j ci os dois lados da relação de comutação,

h cj [ Q; P ] j ci = (c c )h cj Q2j ci = i~

concluimos que c é um número imaginário positivo. Assim, podemos escrever c = i 2

onde é um número real. Resubstituindo este resultado na Eq.(31), o estado que otimiza a incerteza deve satisfazer

( P i _Q)j ci = 0 ou equivalentemete,

onde p = hP ie q = hQi. É conveniente de…nir o operador (não hermitiano) a por

a = p1

2 ~(P i Q) (32)

e seu conjugado hermitiano,

ay= p1

2 ~(P + i Q) (33)

que são chamados operadores de aniquilação e criação. Assim, a condição para o estado de incerteza mínima é escrita por

aj ci = j ci (34)

onde escrevemos p i q = .

A relação de comutação entre Q e P é traduzida em termos de operadores a e ay _como

a; ay = 1

Partindo desta relação de comutaçõ, podemos determinar as propriedades de operadores a e ay:

1. Em primeiro lugar, de…nimos o operador N , N = aya

Prove que para qualquer estado, o valor esperado deste operador é não negativo. Com isto, conclua que os autovalores de N é não negativo.

2. Mostre que os comutadores entre N; a e ay…cam

[N; a] = a; N; ay = ay

3. Seja jni um autovetor de N,

N jni = njni Mostre que se não for

ajni = 0; então necessariamente

ajni = cjn 1i

4. Assim, argumente que para qualquer autovalor n de N , tem que existir um inteiro k tal que

ak+1_{jni = 0} ou seja,

5. Prove que

n k = 0

6. Conclua que todos autovalores de N são inteiros não negativos, ou seja n = 0; 1; 2; ::::::; 1.. 7. Demostre que ajni =pnjn 1i; ay_{jni =}p_{n + 1jn + 1i} 8. jni = p1 n! a y n_j0i onde aj0i = 0

Estas propriedades são su…cientes para resolver o nosso problema Eq.(34). Expandindo o vetor j i em termos de jni(normalizado)

j ci = 1 X n=0

cnjni

e substituindo na Eq.(34) e utlizando a propriedade acima, temos 1 X n=1 cnpnjn 1i = 1 X n=0 cnjni

Sendo os jni0s linearmente independentes, temos a fórmula de recorrência para os coe…cientes: cn+1=p n + 1cn= n+1 p (n + 1)!c0 Com isto, j ci = c0 1 X n=0 n p n!jni (35)

onde c0é determinado pela condição de normalização, h cj ci = 1, c0= e j j

2₌₂

a fora de um fator de fase. O estado j ci é chamado o estado coerente. É interessante calcular a função de onda do estado coerente. Para isto, é mais conveniente utilizar Eq.(34) do que calcular o produto escalar direto da Eq.(35) com o autoestado de Q, hqj. Da Eq.(34), temos

Ou seja,

~ i

d c(q)

dq i q c(q) = (p i q) c(q) que pode ser fácilmente integrada por

c(q) = Const:e

1 2 (q q)

2

=~+ipq=~ ₍₃₆₎

que é uma pacote de onda de forma Gaussiana concentrada no valor médio q, modulada com a fase eipq=~_{: Assim, o estado coerente é as vezes referido como} a pacote Gaussiana.

6

Transformação Unitária e Gerador da

Trans-formação

Podemos generalizar a discussão em relação a deslocamento e operador de mo-mento no espaço x. De modo geral, quando ocorre alguma mudânça no estado de um sistema, o vetor de estado varia também,

j i ! j 0i: (37)

Naturalmente o novo estado satisfaz

h 0j 0i = 1: (38)

A causa física que provocou esta mudânça deve ter o efeito para todos os estados do sistema. Vamos considerar uma base ortonormal11,

h ij ji = ij; X

i

j iih ij = 1; e a mudânça para cada um dos vetor da base,

j ii ! j 0ii: O novo estado j 0

ii pode ser descrito como a combinação linear dos estados da base antes da mudânça,

j i0i = X

j

j ji uji; (39)

onde uji são os coe…cientes da transformação. Se introduzirmos o operador de…nido por,

U =X

i;i

j ji ujih ij; (40)

1 1_{Lembre que o conjunto de todos os autoestados de um conjunto de observáveis completos}

podemos re-escrever a Eq.(39) por

j 0ii = Uj ii: (41)

Já que fj iig forma uma base, a expressão vale para a variação de qualquer estado Eq.(37),

j i ! j 0i = Uj i: (42)

Exercício: Mostra a Eq.(42) a partir da Eq.(41). Da EQ.(38), temos

UyU = 1; (43)

isto é, o operador deve ser um operador unitário. Podemos resumir em seguinte forma:

Um efeito físico que causa a mudânça nos estados é representado por um opeardor unitário.

Vamos considerar uma série de mudânças no estado, onde a variação é feita continuamente. Podemos associar um parâmetro real para expressar o grau da mudânça. Por exemplo, o deslocamento do sistema na direção x por a. Podemos considerar uma sucessão contínua de deslocamento, variando o valor de a. Um outro exemplo é a rotação do sistema em torno de um eixo, onde o parâmetro é o ângulo da rotação. Nestas transformações, podemos escrever

U = U (a);

onde a é o parâmetro real. Podemos convencionar que a = 0 corresponde a transformação de identidade (não há mudânça),

U (0) = ^1;

onde ^1 representa o operador de identidade no espaço de Hilbert. Se o parâmetro é in…nitesimal,

a ! 0; então, podemos escrever sempre

U (a) ! ^1 + ia ^L;

onde ^L é o operador chamado gerador da transformação. Da condição Eq.(43), temos ^ 1 + ia ^L y ^1 + ia ^L = ^1; (44) donde concluimos ^ Ly = ^L; (45)

Exercício: Mosre a Eq.(45) da condição, Eq.(44).

Vamos considerar uma sucessão destes transformações n vezes. A transfor-mação resultante é dada por

U = ^1 + ianL^n ^1 + ian 1L^n 1 1 + ia^ 2L^2 ^1 + ia1L^1 : (46)

Vamos considerar a sucessão de transformações iguais. Por exemplo, a sucessão de deslocamento em x por a a a; onde

a = 1 nd: Neste caso, ^L1= ^L2= = ^Ln= ^L;e temos

U = ^1 + id n L^ n : No limite de n ! 1; temos U = lim n!1 ^ 1 + id n L^ n = e+id ^L: (47)

Exercício: Seja ^L um operador hermitiano. Mostre que vale a fórmula, lim n!1 ^ 1 + id n L^ n = e+id ^L; onde eX = 1 X n=0 1 n!X n_:

Eq.(47) é a forma geral de uma transformação unitária …nita, com o gerador ^

L. Inversamente, se tivemos um operador hermitiano, digamos ^G, podemos sempre considerar um operador unitário,

U ( ) e+i G^;

onde é um parâmetro real. Podemos escolher, por exemplo, ^

G = P; então, como já vimos na Eq.(19) o operador

U = eiaP =~

causa a translação no sistema. Podemos mostrar a Eq.(19) pela outra maneira. Para isto, vamos começar a fórmula,

etABe tA= B + [A; B] t +t 2

2![A; [A; B]] + t3

Exercício: Prove a Eq.(48).

Usando a Eq.(48) para A = iaP=~, B = Q, onde P e Q são observáveis canonicamente conjugados, temos

eiaP =~Qe iaP =~_{= Q + [P; Q] ia=~ +} 1 2! ia ~ 2 [P; [P; Q]] + Mas [P; Q] = ~ i; então, [P; [P; Q]] = 0;

e todos os comutadores de ordem superior anulam. Temos portanto eiaP =~Qe iaP =~= Q + a:

Isto é,

U QU 1= Q + a: (49)

Exercício: Mostre que

U 1QU = Q a: (50)

Seja jqi o autoestado de Q com autovalor q, Qjqi = qjqi:

Aplicando os dois lados da Eq.(49) neste estado, temos U QU 1_{jqi = (Q + a) jqi}

= (q + a) jqi: Multiplicando U 1_{aos dois lados, temos}

QU 1_{jqi = (q + a) U} 1_jqi: Esta equação mostra que o estado,

U 1_jqi

é o autoestado do operador Q com autovalor (q + a). Concluimos portanto U 1_{jqi = Cjq + ai;}

onde C é o constante da normalização. Considerando que U 1 _{é um operador} unitário, em geral temos

jCj = 1; ou

C = ei

onde é um número real. Sem perder generalidade, podemos escolher = 0. Assim, temos

7

Desenvolvimento Temporal: Equação de Schrödinger

Todas as discussões acima em relação a estados quânticos e operadores referem a um dado instante do tempo. Para discutir o desenvolvimento de um sistema, podemos considerar que o vetor de estado variam em tempo,

j i ! j (t)i:

Neste caso, precisamos a equação que descreve como j (t)i varia em tempo t. Vamos considerar a variação deste estado num intervalo de tempo t,

j (t)i ! j (t + t)i:

Esta variação deve ser obtido por uma transformação unitária, j (t + t)i = Uj (t)i:

Para t in…nitesimal, podemos escrever

U = 1 i

~ t ^H; onde ^H é um operador hermitiano. Temos então,

j (t + t)i = 1 i

~ t ^H j (t)i: Equivalentemente, temos

i~j (t + t)i_t j (t)i= ^_{Hj (t)i;} ou

i~_@t@j (t)i = ^Hj (t)i; (51)

que é a equação de Schrödinger.

No caso em que o Hamiltoniano é um operador constante no tempo, podemos integrar formalmente a Eq.(51) para obter

j (t)i = e i ^H(t t0)=~

j (t0)i; (52)

onde

j (t0)i é o estado inicial.

Exercício: Demonstre que a Eq.(52) é a solução da Eq.(51). Quando ^H de-pende do tempo t, podemos escrever a solução como

j (t)i = e ~i

Rt

7.1

Quantidade Conservada

É interessante perguntar o que é uma quantidade conservada na Mecânica Quân-tica. Se O é um observável conservada para um dado sistema, esperamos que o valor esperado do O deve ser constante no tempo, independentemente da condição inicial. Isto é, se

hOi = h (t) jOj (t)i; devemos ter d dthOi = 0: Mas, d dthOi = d dth (t) jOj (t)i = d dth (t) j Oj (t)i + h (t) jO d dtj (t)i e, da Equação de Schrödinger, podemos escrever

d dthOi =

1

i~h (t) j [O; H] j (t)i: Assim, se O é uma quantidade observável, temos

1

i~h (t) j [O; H] j (t)i = 0; independentemente do estado j (t)i. Concluimos então que

[O; H] = 0:

Isto é, o comutador entre o operador de um observável conservado e o Hamilto-niano do sistema deve ser zero.

O operador do observável conservado e o Hamiltoniano do sistema co-mutam. Inversamente, se um observável comuta com o Hamiltoniano do sistema, esta observável é uma constante do movimento.

Matematicamente falando, O e H pode possuir uma base comun que diagonalizar-os.

Exercício: Suponhe que H e O comutam. Se não há degenerescência de H (i.e., para dado autovalor, só existe um único estado), prove que um autovetor de H é tambem o autovetor de O.

Exercício: Seje a função de onda no tempo t = 0 preparada como um dos autoestados de O. Quuando O e H comutam, mostre que o sistema per-manece no mesmo autoestado para qualquer tempo t posterior.

8

Desenvolvimento Temporal: Visão de

Heisen-berg

Até agora, a dinâmica de um sistema é representada como a variação tempo-ral do estado. Esta visão é bastante diferente da Mecânica Clássica, pois, na Mecânica Clássica, as grandezas físicas, tais como q e p que variam no tempo. Mas mesmo na Mecânica Quântica, podemos também formular que a dinâmica de um sistema pode ser expressa como variação temporal das grandezas físi-cas. Para isto, devemos introduzir o operador dependente no tempo. Seja O o operador de um obervável na visão de Schrödinger. De…nimos o operador dependente do tempo como

OH(t) = e+

i ~tHOe

i ~tH;

e chamamos que o operador na visão de Heisenberg. Podemos calcular a derivada temporal deste operador como

d

dtOH(t) = 1

i~[O; H] ; (53)

o que é conhecido como a Equação de Heisenberg. Esta equação de Heisenberg lembra a derivada temporal de uma função OC(q; p) na Mecânica Clássica,

d

dtOc = fOc; Hcg ;

onde fOc; Hcg é o bracket de Poisson. Em particular, para um par de varáveis canonicamente conjugados Q e P , temos

d dtQ = 1 i~[Q; H] ; (54) d dtP = 1 i~[P; H] ; (55)

além da régra de comutação canônica, 1

i~[Q; P ] = 1:

Nesta forma, a similaridade com a Mecânica Clássica se torna mais explicita. As equações correspondentes na Mecânica Clássica são,

dq dt = fq; Hg ; dp dt = fp; Hg ; e fq; pg = 1:

Como exemplo, vamos considerar um oscilador harmonico unidimensional, H = 1 2mP 2₊m!2 2 Q 2_:

Neste caso, a equação de movimento para os operadores …cam d dtQ = 1 i~[Q; H] = 1 mP; (56) d dtP = 1 i~[P; H] = m! 2_{P: (57)}

Exercício: Obtenha a equação de movimento somente para Q e resolva esta equação. Compare o resultado com o da seção anterior.

Exercício: Discute a relação de comutador e a quantidade conservada do ponto de vista de Heisenberg.

9

Exemplo: Sistema de 2 níveis

Até agora, sempre pensamos o sistema de uma partícula ponteforme (ou seja não existe nenhuma grau de liberdades internos). Neste caso, a variável básica é a coordendada desta partícula e estados quânticos correspondem sempre uma função de onda. O espaço de Hilbert para os estados quânticos nestes casos é de dimensão in…nita. Isto é, existem in…nitos estados linearmente independentes.

Entretanto, exitem na natureza situações em que é necessário considerar apenas alguns estados possíveis para discutir a dinâmica do problema. Por exemplo, é conhecido que o elétron possui o grau de liberdade chamado de spin. A detalhe do spin será discutido posteriormente, mas este grau de liberdade se manifesta como sendo dois estados de energia distintos num campo magnético. Outros exemplos são a aplicação a dinâmica de transição eletromagnética entre dois estados atômicos, o sistema de meson K neutro, e a oscilação de neutrinos. Vamos supor que um sistema possui apenas 2 néveis de energia. Seja H o Hamiltoniano do sistema. Então, existem apenas 2 autovetores do H,

Hje1i = E1je1i; (58)

Hje2i = E2je2i: (59)

Podemos sempre considerar que os dois estados são normalizados. he1je1i = 1;

he2je2i = 1:

Além disto, do propriedade de um operador hermitiano (ver o Exercício ante-rior), os dois vetores devem ser ortogonais,

Assim, os dois vetores, fje1i; je2ig forma uma base ortonormal. Qualquer estado possível deste sistema deve ser expressos como combinação linear destes dois estados;

j i = c1je1i + c2je1i: (60)

Os coe…cientes ci são dados por

ci= heij i:

Podemos representar os vetores fje1i; je2ig pela associação, je1i ! 1

0 je2i ! 0

1 :

Os vetores duais …cam

he1j ! 1 0 ; he2j ! 0 1 : O estado geral j i Eq.(60) …ca nesta representação,

j i ! c1 1 0 + c2 0 1 = c1 c2

e o vetor dual …ca

h j ! c₁ c₂ :

de tal forma que o produto escalar entre dois estados j i e j i é descrita como h j i ! d₁ d₂ c1 c2 = d1c1+ d2c2; (61) onde j i ! d_d1 2 :

Nesta representação, qualquer operador O será representado pela matriz, O ! he_he1jOje1i he1jOje2i

2jOje1i he2jOje2i

: (62)

Exercício: Demonstre a razão da representação do operador para matriz, Eq.(62). Na base dos seus autovetores, o Hamiltoniano …ca a matriz diagonal,

H ! E₀1 _E0

Exercício: Da Eqs.(58) e (59), demonstre que heijHjeji = Ei ij:

Nesta base, a Equação de Schrödinger nesta representação …ca i~_dtd c_c1 2 = E1 0 0 E2 c1 c2 : (63)

Podemos resolver este sistema facilmente, tendo c1 c2 _t= e iE1t=~ ₀ 0 e iE2t=~ c1 c2 _t=0: (64)

9.1

Observável não comutável com

H

Seja O um observável deste sistema. Sejam jo1i e jo2i os dois autoestados de O normalizados com autovalores o1 e o2, respectivamente. Temos

Ojo1i = o1jo1i; Ojo2i = o2jo2i:

Supormos que os dois estados são normalizados. Temos então, hoijoji = ij:

Quando a base formada destes autovetores é igual a base formada dos autoes-tados de H, digamos

je1i = ei1jo1i; (65)

je2i = ei2jo2i; (66)

então podemos mostrar que os operadores O e H comutam.

Exercício: Prove que se vale as Eqs.(65) e (66), então H e O comutam, [O; H] = 0:

Por outro lado, se je1i e jo1i for linearmente independentes, então podemos escrever je1i = u11jo1i + u21jo2i; (67) je2i = u12jo1i + u22jo2i; (68) onde uij 6= 0; 8i; j = 1; 2: (69) Devemos ter UyU = 1; (70) onde U = u11 u12 u21 u22 : (71)

Exercício: Mostre porque da Eq.(70).

Neste caso, o operador O e o Hamiltoninano H não comutam,

[O; H] 6= 0: (72)

Exercício: Mostre a Eq.(72) como concequência da Eq.(69).

9.2

Amplitude de Transição: Visão de Schrödinger

Suponha que no tempo t = 0, uma medição for realizada sobre o obervável O, e obteve o autovalor o1. Com esta medição do observável, o estado do sistema se torna no autoestado jo1i,

j (t = 0)i = jo1i:

Quando O comuta com H, podemos mostrar que o estado do sistema permanece no autoestado do O,

j (t)i = C (t) jo1i:

Neste caso, a medição do obervável O sempre resulta em o1, ou seja a probabil-idade de observar o autovalor o1 é uma.

Exercício: Determine a função C (t) acima.

Quando O não comuta com H, já vimos que O não é um constante de movi-mento. Isto quer dizer que, após certo tempo t, o sistema pode ter probabilidade de estar no outro autoestado de O. Temos

j (t)i = C1(t) jo1i + C2(t) jo2i: (73) Quando efetuamos a medição do observável O, teremos em geral, a probabilidade não nula de encontrar os ambos valores o1 e o2. A probabilidade é dada por

P1= jho1j ij2= jC1(t)j2; e a probabilidade de encontrar o valor o2 é dada por

P2= jho2j ij2= jC2(t)j2: Naturalmente

P1+ P2= 1;

e P2é a probabilidade de transição do sistema do estado jo1i para o estado jo2i. Vamos calcular P1e P2. Da Equação de Schrödinger, temos

i~@tj (t)i = Hj (t)i:

Na base de autoestado de H, como vimos (Eq.(63)), podemos expressar a equação acima como

i~@t he1j (t)i he2j (t)i = E1 0 0 E2 he1j (t)i he2j (t)i :

A solução é (Eq.(64)), he1j (t)i he2j (t)i = e iE1t=~ ₀ 0 e iE2t=~ he1j (0)i he2j (0)i ; ou equivalentemente he1j he2j j (t)i = e iE1t=~ ₀ 0 e iE2t=~ he1j he2j j (0)i (74) Mas queremos expressar este resultado em termos da base fjo1i; jo2ig. Das Eqs.(67) e (68), podemos escrever

he1j he2j = u_11ho1j + u21ho2j u_21ho1j + u22ho2j = u11 u21 u12 u22 ho1j ho2j = Uy ho1j ho2j : Portanto, a Eq.(74) …ca

Uy ho1j ho2j j (t)i = e iE1t=~ ₀ 0 e iE2t=~ U y ho1j ho2j j (0)i ou ho1j ho2j j (t)i = U e iE1t=~ ₀ 0 e iE2t=~ U y ho1j ho2j j (0)i: (75) Temos explicitamente os coe…cientes C1(t) e C2(t) na Eq.(73) como

C1(t) C2(t) = M C1(0) C2(0) ; onde de…nimos M = U e iE1t=~ ₀ 0 e iE2t=~ U y_:

Em particular, para a condição inicial, C1(0)

C2(0) = 1

então C1(t) = M11 = u11 u12 e iE1t=~ ₀ 0 e iE2t=~ u₁₁ u₁₂ = e iE1t=~_ju 11j2+ e iE2t=~ju12j2; (76) C2(t) = M21 = u21 u22 e iE1t=~ ₀ 0 e iE2t=~ u₁₁ u₁₂ = e iE1t=~_u 21u11+ e iE2t=~u22u12: (77) Assim, se sabemos os elementos de matriz de U e os autovalores de H, podemos calcular a probabilidade de transição.

Note que os elementos de matriz de U; uij; são nada mais que as amplitides de probabilidade de encontrar o estado joji no estado jeii,

uij= hojjeii; (veja Eqs.(67,68)). Ou seja, vamos escrever como

uij = A_jeii!joji

O conjugado complexo deste elemento de matriz tem signi…cado como a ampli-tude de encontrar o estado jeii no estado joji pois

u_{ij = ho}jjeii = heijoji; ou seja, expressamos como

u_ij = A_joji!jeii:

Por outro dado, o fator e iE1t=~ _{pode ser escrito como}

e iEit=~

= hei(t) jei(0)i:

Isto é, este fator é a amplitude de encontrar o estado jeii depois do tempo t = t; a partir do estado jeii no temp t = 0. Vamos expressar como,

e iEit=~_{= A}(i)

0!t;

ou seja, a amplitude do estado i no tempo t. Assim, podemos re-escrever as Eqs.(76) e (77) como C1(t) = A_je1i!jo1i A (1) 0!t Ajo1i!je1i+ Aje2i!jo1i A (2) 0!t Ajo1i!je2i; C2(t) = A_je1i!jo2i A (1) 0!t Ajo1i!je1i+ Aje2i!jo2i A (2) 0!t Ajo1i!je2i:

A primeira parcela em C1(t) ;

A_je1i!jo1i A(1)_0!t A_jo1i!je1i

pode ser interpretada como produto sequencial, do direito para esquerdo, de amplitudes de tres etapas: a primeira o sistema inicialmente estava no estado jo1i passa para o estado je1i; a segunda, este estado do sistema passa de tempo t = 0 para t = t, e …nalmente na terceira, o sistema passa do estado je1i para jo1i. A segunda parcela em C1(t) ;

A_je2i!jo1i A

(2)

0!t Ajo1i!je2i;

também pode ser interpretada analogamente como produto sequencial, do di-reito para esquerdo, de amplitudes de tres etapas: a primeira o sistema inicial-mente estava no estado jo1i passa para o estado je2i; a segunda, este estado do sistema passa de tempo t = 0 para t = t, e …nalmente na terceira, o sis-tema passa do estado je2i para jo1i. A amplitude total é a soma destas duas possibilidades.

9.3

Visão de Heisenberg

Vamos analizar o problema acima do ponto de vista de Heisenberg. Na visão de Heisenberg, o observável OH varia no tempo. De acordo com a Equação de Heisenberg, temos

i~dOH

dt = [OH; H] : (78)

Já que OH depende do tempo t, seus autovetores também dependem do tempo, embora os autovalores não mudam.

Exercício: Mostre que os autovalores do operador de Heisenberg são iguais do operador correspondente de Schrödinger.

Vamos denotar por joi(t)i o autovetor do operador OH(t) de autovalor oi. OH(t) joi(t)i = oijoi(t)i:

A amplitude de transição do sistema que estava no estado joi(0)i para o estado joj(t)i é dada por

Ai!j(t) = hoj(t)joi(0)i:

Assim, na visão de Heisenberg, primeira, devemos determinar a dinâmica do op-erador O e depois resolvemos a equação de autovalor deste opop-erador no instante t = t.

Para resolver a Eq.(78), vamos utilizar a base fje1i; je2ig que é invariante no tempo. Calculando os elementos de matrizes nesta base da Eq.(78), temos

onde de…nimos

Oij(t) = heijOHjeji: A Eq.(79) pode ser resolvida para todos os i e j como

Oij(t) = e i(Ej Ei)t=~Oij(0) : Explicitamente temos O11(t) O12(t) O21(t) O22(t) = O11(0) e i(E2 E1)t=~O12(0) e+i(E2 E1)t=~_O 21(0) O22(0) : Note que a expressão acima pode ser re-escrita como

O11(t) O12(t) O21(t) O22(t) = eiE1t=~ ₀ 0 eiE2t=~ O11(0) O12(0) O21(0) O22(0) e iE1t=~ ₀ 0 e iE2t=~ :

Desta forma, podemos relacionar os autovetores de OH(0) e os de OH(t) : Por exemplo, seja

c1 c2

o autovetor de OH(0) de autovalor o1na base fje1i; je2ig, isto é, O11(0) O12(0) O21(0) O22(0) c1 c2 = o1 c1 c2 ; e d1 d2 o autovetor de OH(0) de autovalor o2, O11(0) O12(0) O21(0) O22(0) d1 d2 = o2 d1 d2 :

Exercício: _{Estabeleça a relação entre fc}1; c2; d1; d2g e fuijg das Eqs.(67) e (68).

Pela inspecção, podemos ver facilmente que o vetor c1(t) c2(t) = eiE1t=~ ₀ 0 eiE2t=~ c1 c2 é o autovetor de O11(t) O12(t) O21(t) O22(t) com autovalor o1.

Exercício: Prove que

O11(t) O12(t) O21(t) O22(t) c1(t) c2(t) = o1 c1(t) c2(t) :

A amplitude de transição, por exemplo, A1!1(t) …ca A1!1(t) = c1(t) c2(t) c1 c2 = e iE1t=~ jc1j2+ e iE2t=~jc2j2; que é exatamente igual a Eq.(76).