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CAPÍTULO 7: Dinâmica de Outros Processos

Importantes

EQE400 – Modelagem e Dinâmica de Processos Professor: Marcellus

REVISÃO

Onde estamos?

1) Classificação dos modelos; Problema da não linearidade; Linearização 2) Definição das variáveis, Modelos dinâmicos por BM e BE;

3) Transformada de Laplace; Funções mais comuns; Frações Parciais; Respostas dinâmicas

4) Funções de Transferência; Propriedades; Malhas feedback;

5) Dinâmica de sistemas de Primeira Ordem; Características; Principais respostas; 6) Dinâmica de sistemas de Segunda Ordem; Sistemas de Primeira Ordem em série com

interação e sem interação; Características para os tipos de resposta; Resposta ao degrau

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7.1) Efeito dos polos

São as raízes do polinômio característico da função de transferência.

E O EFEITO DOS ZEROS?

Cada polo confere o esqueleto de um termo na resposta dinâmica

REVISÃO DA ÚLTIMA AULA

7.1) O elemento Lead-Lag

K 1

1 Primeira ordem puro: K

1 Lead-Lag: Adição de dinâmica no numerador Presença de um zero O zero é localizado em : 1 O polo é localizado em : 1

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Ângulo de fase : é a quantidade em graus ou radianos pelo qual o sinal de saída se atrasa (ângulo lag) ou se adianta (lead) em relação ao sinal de entrada. O ângulo de fase é uma das impressões digitais

do sistema.

O que é?

Usado para ações de controle do tipo avanço (lead) – atraso (lag).

Vamos aprender que a resposta ao seno em um sistema de primeira ordem dá um atraso na resposta por graus radianos .

Denominador da FT de 1ª_{ordem 1 polo} _{Lag de Primeira Ordem}

REVISÃO DA ÚLTIMA AULA

7.1) O elemento Lead-Lag

O que é?

Vamos aprender que a resposta ao seno em um sistema com a seguinte FT:

Fornece um adianto na resposta por graus radianos .

Numerador de 1ª_{ordem 1 zero} _{Lead de Primeira Ordem}

K 1

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7.1) O elemento Lead-Lag

O que é?

Compensação “Lead”: Supre um atraso de fase característico do sistema original. Melhora a dinâmica (“acelera”) Menor amortecimento.

Não afeta o erro de estado estacionário (valor final em malha fechada) – Por quê?

Compensação “Lag”: Supre um avanço de fase característico do sistema original Retarda a dinâmica, mas reduz o erro no estado estacionário

REVISÃO DA ÚLTIMA AULA

7.1) O elemento Lead-Lag

Resposta a um degrau de magnitude B

+′ -.-′ K 1 1 .-′ / +′- BK 1 s 1 1′ 2 BK 1 1 345/78 9 1′ 2 BK 1 1 9 345/78 Sendo:

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Observações importantes

“Comportamento dinâmico do sistema lead-lag é uma média ponderada dos comportamentos de sistema de puro ganho e de

primeira ordem puro, sendo o peso a razão <”

Prova:

Para a resposta ao degrau: Puro ganho:

Primeira ordem puro: =

= 1

1>₂ _/=

1>₂ _{/= 1} ₃4758

Média ponderada entre (2) e (3):

(2)

(3)

1> ₂ _/=9 _{/= 1} ₉ ₁ ₃4785

REVISÃO DA ÚLTIMA AULA

7.1) O elemento Lead-Lag

1> ₂ _/=9 _{/= 1} ₉ ₁ ₃4785

1′ 2 BK 1 1 9 345/78 _{idem à expressão (1) Q.E.D.}

• Em 2 0@_{, 1 2} _{9/= → CD2E FC G3 HE 2C}

• Em 2 → ∞, 1 2 /= → FãE 3 KLMC E NO

• Valor inicial é 9/= e o final é /=. Dependo da faixa de valor de <, o valor no

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7.1) O elemento Lead-Lag

Observações importantes Percebemos isso graficamente, dividindo-se de 3 casos • Caso 1 : P 9 P 1 1′ 2 BK 1 1 9 345/78 Q 0 P 0 /=9 (1) Gráfico para /= P 0 • Caso 2: 0 Q Q 9 Q 1 1′ 2 BK 1 1 9 345/78 P 0 Q 0 • Caso 3: Q 0 9 Q 0 1′ 2 BK 1 1 9 345/78 P 1 Q 0 (1) (2) (3) /=9 /=9 /=9

REVISÃO DA ÚLTIMA AULA

7.1) O elemento Lead-Lag

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• Caso 2: 0 Q Q 9 Q 1 1′ 2 BK 1 1 9 345/78 P 0 Q 0 • Caso 3: Q 0 9 Q 0 1′ 2 BK 1 1 9 345/78 P 1 Q 0 (1) (2) (3) /=9 /=9 /=9 Observações importantes Gráfico para /= P 0 (1) (2) (3) /=9 /=9 /=9

REVISÃO DA ÚLTIMA AULA

7.1) O elemento Lead-Lag

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K 1 1 _R 1 Segunda ordem puro: K

1 R 1 Sistema de Ordem (2,1): Adição de dinâmica no numerador Presença de um zero O zero é localizado em : 1

Os polo são localizados em : 1

S 2 polos e 1 zero

Superamortecido ou criticamente amortecido...

T 1,2

7.2) Sistema de Segunda Ordem com único zero

REVISÃO DA ÚLTIMA AULA

Resposta a um degrau de magnitude B

+′ -.-′ K 1 1 R 1 .-′ / +′- /= 1 1 _R 1 1′ 2 BK 1 R 34 5 78 R R 34 5 7V +′- W WR 1 WX R 1 W BK WR BK R WX BK R

7.2) Sistema de Segunda Ordem com único zero

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Resposta a um degrau de magnitude B 1′ 2 BK 1 R 34 5 78 R R 34 5 7V 1′ 2 BK 1 R 34 5 78 R R 34 5 7V

Segunda ordem puro: Segunda ordem com 1 zero (2,1):

Influência do zero na resposta dinâmica nos pesos das exponenciais

REVISÃO DA ÚLTIMA AULA

7.2) Processo de Segunda Ordem com único zero

Análise matemática fornece 3 casos típicos para a resposta:

• Caso 1 : P Q 0 P 0 1′ 2 BK 1 R 34 5 78 R R 34 5 7V Q 0 Q 0 P 0 P _R Definindo-se Presença de Overshoot “Efeito do suficientemente elevado”

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Observações importantes Análise matemática fornece 3 casos típicos para a resposta: • Caso 2 : 0 Q Y 1′ 2 BK 1 R 34 5 78 R R 34 5 7V

Resposta similar a de Primeira Ordem

“Efeito de dois de primeira ordem ponderados, agora, por termo que

possui ”

Casos particulares: ou _R

Cancelamento polo-zero: G(s) identicamente de primeira ordem puro

7.2) Sistema de Segunda Ordem com único zero

REVISÃO DA ÚLTIMA AULA

Observações importantes Análise matemática fornece 3 casos típicos para a resposta:

• Caso 3 : Q 0 1′ 2 BK 1 R 34 5 78 R R 34 5 7V

Resposta inversa (“undershoot”)

“A resposta inicial é no sentido contrário do novo estado estacionário

(VF).”

Associada a um zero positivo ou righ-plane zero

7.2) Sistema de Segunda Ordem com único zero

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Observações importantes Análise matemática fornece 3 casos típicos para a resposta:

Gráfico para /= P 0

Há resposta inversa quando dois efeitos físicos atuam na variável y(t) de forma competitiva (efeitos antagônicos).

Estes efeitos tem direção oposta e estão em escalas de tempo diferentes.

• Caso 3 (resposta inversa)

Variável de entrada: p_v(pressão de vapor para o refervedor)

Exemplos clássicos:

a) Refervedor de coluna de destilação:

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Observações importantes • Caso 3 (resposta inversa)

Mudança repentina (aumento) na pressão de vapor (perturbação degrau).

a) Refervedor de coluna de destilação:

1. Aumento do nível h_rpelo derramamento (“espirro”) de líquido dos pratos acima devido ao aumento do borbulhamento (efeito inicial, mais rápido);

2. Diminuição do nível h_rdevido ao aumento da taxa de vaporização, mais líquido vaporiza. (efeito final, esperado)

7.2) Sistema de Segunda Ordem com único zero

Mudança repentina (aumento) na vazão mássica da carga do reator (W)

b) Reator catalítico tubular com reação exotérmica

1. Diminuição de T pelo arraste de calor devido ao aumento de W.

2. Aumento de T pelo avanço da reação exotérmica (aumento da taxa de reação).

Variável de entrada: W (vazão mássica da carga do reator) Variável de saída: T (temperatura de saída do reator)

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Abordagem por 2 sistemas de primeira ordem em paralelo:

=R R 1 = 1 .-′ _+Z′ +Z> .-′ = 1 =_R R 1 Observações importantes • Caso 3 (resposta inversa)

Abordagem por 2 sistemas de primeira ordem em paralelo: +Z> .-′ = R 1 =R 1 1 _R 1 +Z> .-′ = =R =₌R ₌=R R 1 1 R 1 +Z> ₌ ₁ ₌ ₌ ₌ R Onde:

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Abordagem por 2 sistemas de primeira ordem em paralelo:

Para haver a resposta inversa:

= R =R

= Q 0 = _R =_R Q 0 =_R Q = _R =R

= P

R

Como e _Rsão maiores que zero,= e =Rdevem ter sinais opostos para se ter resposta inversa.

FICA CLARA A COMPETIÇÃO DOS FENÔMENOS EM PARALELO PARA ESSE CASO.

7.2) Sistema de Segunda Ordem com único zero

Não confunda resposta inversa com ganho negativo (K<0) Resposta a um degrau de magnitude B

K>0 K<0

B>0