Implementação Bayesiana
Definição 1 O perfil de estratégias s∗(.) = (s∗1(.), ..., s∗I(.)) é um equilíbrio Nash-Bayesiano do mecanismo Γ = (S1, ..., SI, g(.)) se, para todo i e todo
θi ∈ Θi,
Eθ−iui(g(s
∗
i(θi), s∗−i(θ−i)), θi)|θi ≥ Eθ−iui(g(ˆsi, s
∗
−i(θ−i)), θi)|θi
para todo ˆsi ∈ Si.
Definição 2 O mecanismo Γ = (S1, ..., SI, g(.)) implementa a função de
es-colha social f (.) em equilíbrio Bayesiano se existe um equilíbrio Nash-Bayesiano de Γ, s∗(.) = (s∗1(.), ..., s∗I(.)), tal que g(s∗(θ)) = f (θ), para todo θ ∈ Θ.
Definição 3 A função de escolha social f (.) é compatível em incentivos à Bayes-Nash se s∗i(θi) = θi, para todo θi ∈ Θi e todo i, é um equilíbrio do
mecanismo de revelação direta Γ = (Θ1, ..., ΘI, f (.)). Ou seja, se para todo i
e todo θi ∈ Θi,
Eθ−i[ui(f (θi, θ−i), θi)|θi] ≥ Eθ−i
h
ui(f (ˆθi, θ−i), θi)|θi
i , para todo ˆθi ∈ Θi.
Proposição 1 Princípio da Revelação para Equilíbrio Nash-Bayesiano.
Suponha que exista um mecanismo Γ = (S1, ..., SI, g(.)) que implemente a
função de escolha social f (.) em equilíbrio Nash-Bayesiano. Então f (.) é compatível em incentivos à Bayes-Nash.
Demonstração. Se Γ = (S1, ..., SI, g(.)) implementa f em equilíbrio
Nash-Bayesiano, então existe s∗(.) = (s∗1(.), ..., s∗I(.)), tal que g(s∗(θ)) = f (θ) para todo θ ∈ Θ, todo i e todo θi ∈ Θi,
para todo ˆsi ∈ Si.
Em particular, temos que para todo i e todo θi ∈ Θi,
Eθ−iui(g(s
∗
i(θi), s∗−i(θ−i)), θi)|θi ≥ Eθ−i
h
ui(g(s∗i(ˆθi), s∗−i(θ−i)), θi)|θi
i
para todo ˆθi ∈ Θi. Como g(s∗(θ)) = f (θ) a condição acima é equivalente,
para todo i e todo θi ∈ Θi, a
Eθ−i[ui(f (θi, θ−i), θi)|θi] ≥ Eθ−i
h
ui(f (ˆθi, θ−i), θi)|θi
i , para todo ˆθi.
O conceito de implementação Nash-Bayesiana é estritamente mais fraco do que o de implementação em estratégias dominantes no sentido de que toda função de escolha social implementável em estratégias dominantes é também implementável em equilíbrio Nash-Bayesiano, mas não o contrário. A razão é simples, todo equilíbrio em estratégias dominantes é também um equilíbrio Bayes-Nash. No primeiro caso, o requerimento é de que falar a verdade seja
a estratégia ótima qualquer que seja θ−i, enquanto no segundo somente que
seja ótimo quando tomando o θ−i esperado.
O mecanismo de externalidade esperada
Consideremos o problema de provisão de bem público que vimos
anterior-mente — x = (k, t1, ..., tI), com k ∈ {0, 1} e ti ∈ R a transferência de
numerário feita pelo agente i — e suponhamos que a densidade φ(θ) é da forma φ(θ) = φ1(θ1)...φI(θI), i.e., os tipos são independentes. Vamos supor
ainda vi(k, θi) = kθi para todo i.
Seja, então, f (θ) = (k(θ), t1(θ), ..., tI(θ)) com k = 1 se Piθi ≥ c e k = 0
caso contrário, o que vimos ser uma condição necessária para eficiência
modo a gerar equilíbri orçamentário sem violar as restrições de compatibil-idade incentivos, i.e., garantir que f seja ex-post eficiente e compatível em incentivos em equilíbrio Nash-Bayesiano.
Para tanto definamos
ξi(θi) = Eθ−i " k(θ)X j6=i θj − c I # , hi(θ−i) = 1 I − 1 X j6=i ξj(θj), e ti(θi) = Eθ−i " k(θ)X j6=i θj − c I # + k(θ)c I + hi(θ−i).
Para verificar que f é compatível em incentivos à Bayes-Nash considere-mos ˆθi ∈ Θi, θ ∈ Θ e ˆθ = (ˆθi, θ−i), então,
Eθ−i h k(ˆθ)θi− ti(ˆθ) i = Eθ−i " k(ˆθ)θi+ k(ˆθ) X j6=i θj − c I − k(ˆθ)c I − hi(θ−i) # = Eθ−i " k(ˆθ)X i θi− c I − hi(θ−i) # ≤ Eθ−i " k(θ)X i θi− c I − hi(θ−i) # = Eθ−i[k(θi)θi− ti(θ)] .
Para verificar que é eficiente ex-post só precisamos verificar que P
iti(θi) = ck(θ). X i ti(θi) − ck(θ) = − X i Eθ−i " k(θ)X j6=i θj − c I # +X i hi(θ−i) = −X i ξi(θi) + X i hi(θ−i).
Note que X i hi(θ−i) = 1 I − 1 X i X j6=i ξj(θj) = X j ξj(θj).
Esse mecanismo foi caracterizado primeiramente por d’Aspremont e Gérard-Varet (1979) e por Arrow (1979).
Note que podemos generalizar as preferências para o caso Ui(x, θi) =
vi(k, θi) − ti, mas não podemos abrir mão da quase-linearidade.
Compatibilidade em Incentivos Bayesiana com utilidade
quase-linear.
Há algo de especial na estrutura de preferência que usamos no exemplo an-terior pelo fato de ser linear em θ. Vamos agora ver que essa estrutura nos permite uma caracterização relativamente simples de todas as funções de escolha social compatíveis em incentivos à Nash-Bayes.
Seja1
ui(x, θi) = θivi(k) + ti
para todo i. Suponha ainda θi ∈ [ai, bi] ⊂ R, bi > ai. Suponha finalmente
independência estatística da distribuição e que, para todo i, a densidade associada a cada θi tenha a propriedade de φi(θi) > 0 para todo θi ∈ [ai, bi].
Vamos derivar uma condição necessária e suficiente para uma função f (.) = (k(.), t1(.), ..., tI(.)) ser compatível em incentivos em equilíbrio
Nash-Bayesiano.
Comecemos pelas definições, ¯ ti(ˆθi) = Eθ−i h t(ˆθi, θ−i) i e ¯vi(ˆθi) = Eθ−i h vi(k(ˆθi, θ−i)) i , 1Ou seja, suponha u
i(x, θi) = θivi(k) + ti+ mi e use a normalização mi= 0 para todo
que correspondem respectivamente à transferência esperada pelo agente que
anuncia ser ˆθi quando todos os demais adotam a estratégia de falar sempre
a verdade e ao benefício esperado pelo agente nas mesmas circunstâncias. Temos, então, que
Eθ−i h ui(f (ˆθi, θ−i), θi) i = θi¯vi(ˆθi) + ¯ti(ˆθi). Definamos finalmente U (θi) = θi¯vi(θi) + ¯ti(θi).
Proposição 2 A função de escolha social, é compatível em incentivos a Bayes-Nash se e só se, para todo i = 1, ..., I,
¯ vi(θi) é não-decrescente (1) e Ui(θi) = Ui(ai) + ˆ θi ai ¯ vi(s)ds ∀θi. (2)
Demonstração. Necessidade. Compatibilidade em incentivos requer que para cada ˆθi > θi tenhamos
Ui(θi) ≥ θiv¯i(ˆθi) + ¯ti(ˆθi) = Ui(ˆθi) + h θi− ˆθi i ¯ vi(ˆθi) (3) e Ui(ˆθi) ≥ ˆθi¯vi(θi) + ¯ti(θi) = Ui(θi) +h ˆθi− θi i ¯ vi(θi), (4) ou seja, ¯ vi(ˆθi) ≥ Ui(ˆθi) − Ui(θi) ˆ θi− θi ≥ ¯vi(θi). (5)
Usando (??), temos que ¯vi(.) é não-decrescente. Além disso, tomando ˆθi →
θi, temos que Ui0(θi) = ¯vi(θi), donde,
U (θ) = U (a) + ˆ θi
¯
Suficiência. Tome θi e ˆθi tais que, sem perda de generalidade, θi > ˆθi. Se valem (??) e (??) então, Ui(θi) − Ui(ˆθi) = ˆ θi ˆ θi ¯ vi(s)ds ≥ ˆ θi ˆ θi ¯ vi(ˆθi)ds = h θi− ˆθi i ¯ vi(ˆθi) Portanto, Ui(θi) ≥ Ui(ˆθi) + h θi− ˆθi i ¯ vi(ˆθi) = θi¯vi(ˆθi) + ¯ti(ˆθi). Analogamente Ui(ˆθi) ≥ Ui(θi) +h ˆθi− θi i ¯ vi(θi) = ˆθi¯vi(θi) + ¯ti(θi).
O espírito da proposição acima é o seguinte. Primeiro, procuro uma
função k(.) tal que ¯vi(.) é não-decrescente para todo i. Então uso (??) para
determinar as funções de transferência esperada ¯ti(θi). I.e.,
¯ ti(θi) = aiv¯i(ai) − θi¯vi(θi) + ¯ti(ai) + ˆ θi ai ¯ vi(s)ds.
Finalmente, escolho um conjunto de funções (t1(.), ..., tI(.)) tais que Eθ−i[t(θi, θ−i)] =
¯
ti(θi) para todo θi.2
Teorema de Equivalência de Receitas
Considere uma economia composta de I +1 agentes indexados por i = 0, ..., I. O agente 0 é o vendedor de um objeto indivisível para o qual ele valor 0. Há nessa economia I potenciais compradores. Um potencial comprador, i > 0 atribue valor θi, onde θi é extraído de um intervalo [ai, bi] de acordo com uma
distribuição Φi com densidade associada φi.
2Há, em geral, vários conjuntos de funções que têm tal propriedade. Por exemplo,
A regra de alocação definida pela função f pode ser de atribuição aleatória, no sentido de que a função de escolha social pode atribuir a um indivíduo i a probabilidade pi(θ) de ficar com o objeto quando o perfil de tipos é θ. Ou
seja, não precisa ser uma regra determinística.
Note que este ambiente corresponde ao da Proposição ?? se tomarmos k = (p1, ..., pI), K = {(p1, ..., pI); pi ∈ [0, 1], ∀i e
P
ipi ≤ 1} e ¯vi(k) = pi. A
utilidade esperada do indivíduo i é nesse caso θipi(θ) − ti(θ).
Para aplicar a Proposição ?? escrevamos ¯vi(ˆθi) = ¯pi(ˆθi) = Eθ−i
h
pi(ˆθi, θ−i)
i
e
U (θi) = θip¯i(θi) + ¯ti(θi).
Proposição 3 Teorema de Equivalência de Receitas. Considere um ambiente de leilão com Icompradores neutros ao risco em que a valoração de cada comprador i vem de uma distribuição definida intervalo [ai, bi] com
bi > ai e densidade φi tal que φi(θi) > 0 para todo θi ∈ [ai, bi] com os
tipos sendo estatisticamente independentes. Suponha que um par qualquer de equilíbrios Nash-Bayesianos para dois tipos distintos de procedimentos de leilões sejam tais que para todo comprador i: i) para cada realização possível de θ, o comprador tenha probabilidade idêntica de receber o objeto nos dois leilões; e ii) o comprador i tenha sempre a mesma utilidade nos dois leilões caso seu tipo realizado seja ai. Então esses dois leilões geram a mesma receita
esperada para o vendedor.
Demonstração. A idéia da prova é mostrar que duas funções de escolha social compatíveis em incentivos à Nash-Bayes quaisquer que têm as mesmas (p1(θ), ..., pI(θ)) e os mesmos valores de (U1(a1), ..., UI(aI)) geram a mesma
receita esperada. Como toda alocação implementada pelo mecanismo indi-reto que é um leilão é compatível em incentivos esta é a demonstração do teorema.
Tome a expressão da receita esperada do vendedor para um mecanismo compatível em incentivos à Nash-Bayes arbitrário. Note, então, que a
utili-dade esperada do vendedor é igual a E [−P
iti(θ)] e que E [−ti(θ)] = E [−¯ti(θi)] = ˆ bi ai [¯p(θi)θi− Ui(θi)] φi(θi)dθi = ˆ bi ai ¯ p(θi)θi− Ui(ai) − ˆ θi ai ¯ p(s)ds φi(θi)dθi = ˆ bi ai ¯ p(θi)θi− ˆ θi ai ¯ p(s)ds φi(θi)dθi− Ui(ai). Note que ˆ bi ai ˆ θi ai ¯ p(s)ds φi(θi)dθi = ˆ bi ai [1 − Φi(θi)] ¯p(θi)dθi, ou seja, E [−ti(θ)] = ˆ bi ai ¯ p(θi) θi− 1 − Φi(θi) φi(θi) φi(θi)dθi− Ui(ai),
ou, de forma equivalente, E [−ti(θ)] =
ˆ b1 a1 ... ˆ bI aI ¯ p(θi) θi− 1 − Φi(θi) φi(θi) I Y j=1 φj(θj) ! dθ1...dθI− Ui(ai), o que implica em E [−P iti(θ)] = ˆ b1 a1 ... ˆ bI aI " X i ¯ p(θi) θi− 1 − Φi(θi) φi(θi) # I Y j=1 φj(θj) ! dθ1...dθI− X i Ui(ai).
Por essa expressão fica claro que dois leilões quaisquer que geram os mesmos (p1(θ), ..., pI(θ)) e os mesmos (U1(a1), ..., UI(aI)) geram a mesma
receita esperada para os vendedores.
Note que em qualquer leilão simétrico — i.e., em que as valorações dos indivíduos provém de distribuições idênticas e independentes — as condições do teorema serão atendidas em qualquer equilíbrio dos leilões selados de primeiro e segundo preço.
