Jorge Freitas ESAS 2006
Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
(
, ,
) (
0,
0,
o)
(
1,
2,
3)
,
r
→
x y z
=
x y z
+
λ
v v v
λ
∈ℜ
(
, ,
) (
1,
1,
1) (
1,
2,
3)
,
s
→
x y z
=
x y z
+
k u u u
k
∈ℜ
(
1,
2,
3)
v v v v
G
(
1,
2,
3)
u u u u
G
r
s
1. Rectas ParalelasSe as rectas são paralelas os vectores directores são
colineares
v
G
=
ku
G
ou seja: 3 1 2 1 2 3v
v
v
u
=
u
=
u
Exemplo 1(
, ,
) (
1, 0, 2
)
(
3, 2, 1 ,
)
r
→
x y z
= −
+
λ
−
λ
∈ℜ
(
, ,
) (
1, 0, 0
) (
6, 4, 2 ,
)
s
→
x y z
=
+
k
− −
k
∈ℜ
• São paralelas porque os vectores
(
3, 2, 1 e
)
(
6, 4, 2
)
v
G
−
u
G
− −
são colineares3
2
1
2
6
4
2
u
= − ⇔
v
=
=
−
−
−
G
G
Jorge Freitas ESAS 2006 Exemplo 2
(
, ,
) (
1, 0, 2
)
(
3, 2, 1 ,
)
r
→
x y z
= −
+
λ
−
λ
∈ℜ
3
2
3
6
4
2
x
y
z
s
→
−
=
+
=
−
−
−
• São paralelas porque os vectores
(
3, 2, 1 e
)
(
6, 4, 2
)
v
G
−
u
G
− −
são colineares3
2
1
2
6
4
2
u
= − ⇔
v
=
=
−
−
−
G
G
Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas
(
, ,
) (
0,
0,
o)
(
1,
2,
3)
,
r
→
x y z
=
x y z
+
λ
v v v
λ
∈ℜ
(
, ,
) (
1,
1,
1) (
1,
2,
3)
,
s
→
x y z
=
x y z
+
k u u u
k
∈ℜ
(
1,
2,
3)
v v v v
G
(
)
1,
2,
3u u u u
G
r
s
2. Rectas PerpendicularesSe as rectas são perpendiculares os vectores directores são
perpendiculares
0
v u
G G
⋅ =
ou seja: 1 1 2 2 3 30
v u
+
v u
+
v u
=
2Jorge Freitas ESAS 2006 Exemplo 1
(
, ,
) (
1, 0, 2
)
(
3, 2, 1 ,
)
r
→
x y z
= −
+
λ
−
λ
∈ℜ
(
, ,
) (
1, 0, 0
) (
1, 0, 3 ,
)
s
→
x y z
=
+
k
k
∈ℜ
• São perpendiculares porque os vectores
(
3, 2, 1 e
)
(
1, 0, 3
)
v
G
−
u
G
são perpendiculares( )
0
3 1 2 0
1
3
0
u v
G G
⋅ = ⇔ × + × + − × =
Exemplo 2(
, ,
) (
1, 0, 2
)
(
3, 2, 1 ,
)
r
→
x y z
= −
+
λ
−
λ
∈ℜ
3
3
2
6
3
x
z
s
y
−
−
⎧
=
⎪
→ ⎨
⎪ = −
⎩
• São perpendiculares porque os vectores
(
3, 2, 1 e
)
(
2, 0, 6
)
v
G
−
u
G
−
são perpendiculares( )
0
3 2 2 0
1
6
0
u v
G G
⋅ = ⇔ × + × + − × =
Jorge Freitas ESAS 2006
α
β
0
=
+
+
+
→
ax
by
cz
d
α
0
=
′
+
′
+
′
+
′
→
a
x
b
y
c
z
d
β
)
,
,
(
a
b
c
v
G
)
,
,
(
a
b
c
u
G
′
′
′
Paralelismo e Perpendicularidade de Planos
1. Planos Paralelos
Se os planos são paralelos os vectores perpendiculares
aos planos são colineares
v
G
=
ku
G
ou seja:a
b
c
a
′
=
b
′
=
c
′
3
2
7
0
x
y
z
α
→ −
+
− =
2
x
6
y
4
z
5
0
β
→ − +
−
+ =
Exemplo• São paralelos porque os vectores
(
1, 3, 2 e
)
(
2, 6, 4
)
v
G
−
u
G
−
−
são colineares1
3
2
2
2
6
4
u
= − ⇔
v
=
−
=
−
−
G
G
4Jorge Freitas ESAS 2006
α
β
0
=
+
+
+
→
ax
by
cz
d
α
0
=
′
+
′
+
′
+
′
→
a
x
b
y
c
z
d
β
)
,
,
(
a
b
c
v
G
)
,
,
(
a
b
c
u
G
′
′
′
Paralelismo e Perpendicularidade de Planos
2. Planos Perpendiculares
Se os planos são perpendiculares os vectores perpendiculares aos planos são perpendiculares entre si
.
0
v u
G G
=
ou seja:0
aa
′
+
bb
′
+
cc
′
=
3
2
7
0
x
y
z
α
→ −
+
− =
2
x
2
y
z
5
0
β
→ − −
− + =
Exemplo• Os planos são perpendiculares porque os vectores
(
1, 3, 2 e
)
(
2, 2, 1
)
v
G
−
u
G
− − −
são perpendiculares( ) ( ) ( )
( )
0
2
2
3
2
2
1
0
u v
G G
⋅ = ⇔ × − + − × − + × − = ⇔
0
4 6 2
0
u v
G G
⋅ = ⇔ − + − =
Jorge Freitas ESAS 2006
α
0
=
+
+
+
→
ax
by
cz
d
α
1 1 1 1 2 3x
x
y
y
z
z
r
v
v
v
−
−
−
→
=
=
( , , )
u a b c
G
1 2 3( , , )
v v v v
G
Perpendicularidade de Rectas e Planos
Se a recta é perpendicular ao plano, é paralela ao vector
perpendicular ao plano
// ou
v
G G
u
v
G
=
ku
G
ou seja:r
3 1 2v
v
v
a
=
b
=
c
3
2
7
0
x
y
z
α
→ −
+
− =
Exemplo• A recta é perpendicular ao plano porque os vectores
(
1, 3, 2 e
)
(
2, 6, 4
)
v
G
−
u
G
−
são colineares (ou paralelos)
(
, ,
) (
1, 0, 2
)
(
2, 6, 4 ,
)
r
→
x y z
= −
+
λ
−
λ
∈ℜ
1
3
2
2
2
6
4
u
=
v
⇔ =
−
=
−
G
G
6Jorge Freitas ESAS 2006
α
0
=
+
+
+
→
ax
by
cz
d
α
1 1 1 1 2 3x
x
y
y
z
z
r
v
v
v
−
−
−
→
=
=
( , , )
u a b c
G
1 2 3( , , )
v v v v
G
Escola Secundária Alberto Sampaio Jorge Manuel Carneiro de Freitas
Março 2006
Paralelismo de Rectas e Planos
Se a recta é paralela ao plano, é perpendicular ao vector perpendicular ao plano
ou
0
v
G
⊥
u
G
v u
G G
⋅ =
ou seja:0
aa
′
+
bb
′
+
cc
′
=
3
2
7
0
x
y
z
α
→ −
+
− =
Exemplo• A recta é paralela ao plano porque os vectores
(
1, 3, 2 e
)
(
2, 2, 2
)
v
G
−
u
G
são perpendiculares(
, ,
) (
1, 0, 2
)
(
2, 2, 2 ,
)
r
→
x y z
= −
+
λ
λ
∈ℜ
( )
0
1 2
3
2 2 2
0
u v
G G
⋅ = ⇔ × + − × + × = ⇔
0
2 6 4
0
u v
G G
⋅ = ⇔ − + =
Jorge Freitas ESAS 2006
Intersecção de planos
Intersecção de planos
α
β
γ
Posição relativa de 3 planos
0
ax by
cz
d
α
→
+
+ + =
0
a x b y
c z
d
β
→
′
+
′
+
′
+
′
=
0
a x b y
c z
d
γ
→
′′
+
′′
+
′′
+
′′
=
)
,
,
(
a
b
c
v
G
( , , )
u a b c
G
′ ′ ′
( , , )
w a b c
G
′′ ′′ ′′
8Jorge Freitas ESAS 2006
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
′′
+
′′
+
′′
+
′′
=
′
+
′
+
′
+
′
=
+
+
+
0
0
0
d
z
c
y
b
x
a
d
z
c
y
b
x
a
d
cz
by
ax
A intersecção de três planos obtém-se
resolvendo o sistema:
A intersec
A intersec
ç
ç
ão de três planos obt
ão de três planos obt
é
é
m
m
-
-
se
se
resolvendo o sistema:
resolvendo o sistema:
α
β
γ
A
Sistema poss
Sistema poss
í
í
vel
vel
e determinado.
e determinado.
A solu
A solu
ç
ç
ão
ão
é
é
(x
(x
00,y
,y
00,z
,z
00)
)
(coordenadas
(coordenadas
do ponto
do ponto
A)
A)
)
,
,
(
a
b
c
v
G
)
,
,
(
a
b
c
u
G
′
′
′
)
,
,
(
a
b
c
w
G
′′
′′
′′
w
e
u
v
G
,
G
G
Jorge Freitas ESAS 2006
β
γ
A
Os 3 planos intersectam
Os 3 planos intersectam
-
-
se
se
num ponto. O sistema
num ponto. O sistema
é
é
poss
poss
í
í
vel e determinado.
vel e determinado.
A solu
A solu
ç
ç
ão
ão
é
é
(x
(x
00,y
,y
00,z
,z
00)
)
(coordenadas
(coordenadas
do ponto
do ponto
A
A
)
)
α
)
,
,
(
a
b
c
v
G
u
(
a
′
,
b
′
,
c
′
)
G
)
,
,
(
a
b
c
w
G
′′
′′
′′
w
e
u
v
G
,
G
G
não são colineares
2
6
0
3
4
3
2
1
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
− + =
⎧
⎪ + + =
⎨
⎪ − − =
⎩
Exemplo• Os três planos intersectam-se num ponto.
Resolver o sistema:
• O sistema tem solução
1
2
3
x
y
z
=
⎧
⎪ = −
⎨
⎪ =
⎩
• na calculadora • método da substituição • método da redução 10Jorge Freitas ESAS 2006
α
γ
β
r
Os três planos
Os três planos
intersectam
intersectam
-
-
se segundo
se segundo
uma recta.
uma recta.
O sistema
O sistema
é
é
poss
poss
í
í
vel e
vel e
indeterminado.
indeterminado.
As solu
As solu
ç
ç
ões são
ões são
todos os pontos da recta
todos os pontos da recta
r
r
)
,
,
(
a
b
c
v
G
)
,
,
(
a
b
c
u
G
′
′
′
)
,
,
(
a
b
c
w
G
′′
′′
′′
w
e
u
v
G
,
G
G
não são colineares
2
3
6
2
3
2
3
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
−
= −
⎧
⎪
− − =
⎨
⎪ + − = −
⎩
Exemplo• Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado
0
3
0
3
3
1
1
1
z
x
x
y
z
x
y
z
z
y
=
⎧
⇔ = + = ⇔
−
=
+
=
−
⎨ = +
⎩
Jorge Freitas ESAS 2006
α
β
γ
r
Dois dos planos são
Dois dos planos são
coincidentes.
coincidentes.
O sistema
O sistema
é
é
poss
poss
í
í
vel e
vel e
indeterminado.
indeterminado.
As solu
As solu
ç
ç
ões
ões
são as coordenadas
são as coordenadas
de cada um dos
de cada um dos
pontos da recta
pontos da recta
r
r
)
,
,
(
a
b
c
v
G
)
,
,
(
a
b
c
u
G
′
′
′
)
,
,
(
a
b
c
w
G
′′
′′
′′
w
u
G
//
G
2
3
6
2
4
6
12
2
3
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
−
= −
⎧
⎪
+
−
= −
⎨
⎪ + − = −
⎩
Exemplo• Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado
0
3
0
3
3
1
1
1
z
x
x
y
z
x
y
z
z
y
=
⎧
⇔ = + = ⇔
−
=
+
=
−
⎨ = +
⎩
• Dois dos planos são coincidentes
Jorge Freitas ESAS 2006
α
β
γ
Os 3 planos são
Os 3 planos são
coincidentes
coincidentes
O sistema
O sistema
é
é
indeterminado
indeterminado
)
,
,
(
a
b
c
v
G
)
,
,
(
a
b
c
u
G
′
′
′
)
,
,
(
a
b
c
w
G
′′
′′
′′
w
u
v
G
//
G
//
G
Qualquer ponto destes
Qualquer ponto destes
planos
planos
é
é
solu
solu
ç
ç
ão
ão
do sistema.
do sistema.
2
3
6
2
4
6
12
2
3
6
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
−
= −
⎧
⎪
+
−
= −
⎨
⎪− − + =
⎩
Exemplo• Qualquer ponto de um dos planos pertence também
aos outros planos
• O sistema é indeterminado • Os três planos são coincidentes
Jorge Freitas ESAS 2006
α
β
γ
Os 3 planos são
Os 3 planos são
estritamente
estritamente
paralelos
paralelos
O sistema
O sistema
é
é
imposs
imposs
í
í
vel
vel
Os planos
Os planos
não se intersectam
não se intersectam
)
,
,
(
a
b
c
v
G
)
,
,
(
a
b
c
u
G
′
′
′
)
,
,
(
a
b
c
w
G
′′
′′
′′
w
u
v
G
//
G
//
G
2
3
6
2
3
0
2
3
5
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
−
= −
⎧
⎪ + − =
⎨
⎪ + − =
⎩
Exemplo • O sistema é impossível• Os três planos estritamente paralelos • Os três planos nunca se interceptam
Jorge Freitas ESAS 2006
α
β
γ
Dois dos planos são
Dois dos planos são
estritamente
estritamente
paralelos
paralelos
O sistema
O sistema
é
é
imposs
imposs
í
í
vel
vel
Os 3 planos
Os 3 planos
não se
não se
intersectam
intersectam
)
,
,
(
a
b
c
v
G
)
,
,
(
a
b
c
u
G
′
′
′
)
,
,
(
a
b
c
w
G
′′
′′
′′
u
v
G
//
G
2
3
6
2
3
0
2
3
2
x
y
z
x
y
z
x
y
z
+
−
= −
⎧
⎪− − + =
⎨
⎪
+ −
=
⎩
Exemplo• O terceiro plano intersecta-os segundo rectas
paralelas entre si
• O sistema é impossível
• Dois dos planos são estritamente paralelos
8
8
2
2
x
y
y
x
x
y
y
x
− + = −
= −
⎧
⎧
⇔
⎨
− =
⎨
= −
⎩
⎩
Jorge Freitas ESAS 2006
α
β
γ
Os 3 planos
Os 3 planos
intersectam
intersectam
-
-
se
se
2 a 2 segundo
2 a 2 segundo
rectas
rectas
estritamente
estritamente
paralelas
paralelas
O sistema
O sistema
é
é
imposs
imposs
í
í
vel
vel
)
,
,
(
a
b
c
v
G
)
,
,
(
a
b
c
u
G
′
′
′
)
,
,
(
a
b
c
w
G
′′
′′
′′
w
e
u
v
G
,
G
G
não são colineares
6
2
1
3
2
x
y
z
x
y
x
z
+ + =
⎧
⎪
− = −
⎨
⎪ + =
⎩
Exemplo• Os planos interceptam-se dois a dois segundo
rectas paralelas
• O sistema é impossível • Os três planos não são paralelos
3
2
11
3
2
16
3
2
7
y
z
y
z
y
z
+
= −
⎧
⎪
+
=
⎨
⎪
+
=
⎩
16Jorge Freitas ESAS 2006
