Sistemas de Equações Lineares (SEL ) Parte II

Sistemas de Equações

Lineares (SEL ) – Parte II

■

Motivação I

■ Ocorrência em larga escala de sistemas lineares em

cálculos de Engenharia e modelagem científica ■ Exemplos:

■ Simulações de processos químicos ■ Simulações de dispositivos e circuitos

■ M o d e l a g e m d e p r o c e s s o s g e o c i e n t í f i c o s e

geoambientais

■ Análise estrutural ■ Biologia estrutural

■ Modelagem de processos físicos

■

Motivação II

■ Tendência à existência de matrizes de coeficientes à

grandes e esparsas

■ Grandes ⇨ Comum para n > 100.000

■ Esparsas ⇨ Maioria dos coeficientes nulos

■ Resolução de sistemas esparsos por métodos diretos

■ Processos de triangularização e fatoração ⇨

Onerosos, por não preservarem a esparsidade original, que pode ser útil por facilitar a resolução do sistema.

■

Motivação III

■ Métodos mais apropriados para a resolução de

sistemas de natureza esparsa ⇨ Métodos iterativos

■ Gauss-Jacobi ■ Gauss-Seidel

■ A partir de uma estimativa inicial x_i0, consistem em

encontrar uma seqüência de estimativas x_ik _{que convirja}

p a r a u m a s o l u ç ã o d o S E L a p ó s u m n ú m e r o suficientemente grande de iterações.

Métodos Iterativos

!

!

!

!

!

!

!

#

$

$

$

$

$

$

$

&

) 0 ( 3 ) 0 ( 2 ) 0 ( 1

x

x

x

!

_!

!

!

!

!

!

!

#

$

$

$

$

$

$

$

&

) 1 ( 3 ) 1 ( 2 ) 1 ( 1

x

x

x

!

_!

!

!

!

!

!

!

#

$

$

$

$

$

$

$

&

) 2 ( 3 ) 2 ( 2 ) 2 ( 1

x

x

x

!

_!

!

!

!

!

!

!

#

$

$

$

$

$

$

$

&

) k ( 3 ) k ( 2 ) k ( 1

x

x

x

!

!

■

Vantagem ⇒ Menos suscetíveis ao acúmulo de

erros de arredondamento do que o método de

Eliminação de Gauss.

■

Lembretes importantes:

■ Como todo processo iterativo, estes métodos

sempre apresentarão um resultado aproximado, que será tão próximo do resultado real conforme o número de iterações realizadas.

■ Além disto, também é preciso ter cuidado com a

convergência destes métodos.

Métodos Iterativos

■ Transformação do sistema linear Ax=b em x = Cx +g

■ A: matriz dos coeficientes, n x m ■ x: vetor das variáveis, n x 1;

■ b: vetor dos termos constantes, n x 1; ■ C: matriz, n x n; e

■ g: vetor, n x 1.

■ Métodos a estudar

Método de Gauss-Jacobi

■ Conhecida a estimativa inicial, x(0), obtém-se

consecutivamente os vetores: o) aproximaçã ésima -(k , g Cx x o) aproximaçã (segunda , g Cx x o) aproximaçã (primeira , g Cx x ) 1 k ( ) k ( ) 1 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 1 ( + = + = + = − !

▪ De um modo geral, a aproximação x(k+1) _{é calculada}

pela fórmula:

x(k+1) _{= C x}(k)_{+g, k=0, 1, ...}

▪ Método de Gauss-Jacobi

▪ Da primeira equação do sistema:

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... +a_1n x₂ = b₁ obtém-se: x₁ = (1/a₁₁) (b₁ - a₁₂ x₂ - ... -a_1n x₂) e, analogamente, x₂ = (1/a₂₂) (b₂ - a₂₁ x₁ - ... -a_2n x_n) x_n = (1/a_nn) (b_n - a_n1 x₁ - ... - a_nn-1 x_n-1)

!

Método de Gauss-Jacobi

▪ Método de Gauss-Jacobi

▪ Desta forma, para x = C x + g, obtém-se:

! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % & = nn n 33 3 22 2 11 1 a b a b a b a b g ! ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ $ $ $ % & − − − − − − − − − − − − = 0 a a a a a a a a 0 a a a a a a a a 0 a a a a a a a a 0 C nn 3 n nn 2 n nn 1 n 33 n 3 33 32 33 31 22 n 2 22 23 22 21 11 n 1 11 13 11 12 ! " # ! # " " ! ! e

Método de Gauss-Jacobi

▪ Método de Gauss-Jacobi

▪ Distância entre duas iterações

▪ Critério de Parada

x

-x

max

d

(k)

₌

(k)_i (k_i -1)

x

max

d

d

_(k) i (k) (k) r

<

ε

"

"

=

Método de Gauss-Jacobi

▪ Método de Gauss-Jacobi – Exemplo 13 ▪ Seja o sistema: ▪ Determinação de 2x 3x 10xC e g 6 8 x 5x x 7 3x 2x x 10 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = + + = + + = + + ! ! ! ! ! ! ! ! " # $ $ $ $ $ $ $ $ % & = 10 6 5 8 10 7 g

!"

#

$%

&

=

0 3/10 – 1/5 -1/5 0 -1/5 - 0 -2/10 - 3/10

C

Método de Gauss-Jacobi

▪ Método de Gauss-Jacobi – Exemplo 13

▪ Assim, considerando como estimativa inicial:

e _{ε = 0,05}, obtém-se: e

!

!

"

#

$

$

%

&

=

0,6

1,6

-

0,7

x

₀

!

!

"

#

$

$

%

&

=

+

=

0,94

1,34

0,84

g

Cx

x

(1) (0) |x₁(1) _{– x} 1(0)| = 0,14 |x₂(1) _{– x} 2(0)| = 2,94 |x (1) _{– x} (0)_{| = 0,34}

Método de Gauss-Jacobi

▪ Método de Gauss-Jacobi – Exemplo 13 ▪ Assim: ⇒ e, analogamente: ⇒

!

!

"

#

$

$

%

&

=

+

=

0,030

1,244

0,150

g

Cx

x

(2) (1)

_ε

>

=

=

0,7315

1,244

0,91

d

_r(2)

0,1968

1,5640

0,4422

g

Cx

x

(3) (2)

!

!

"

#

$

$

%

&

=

+

=

=

=

0,2046

>

ε

1,5640

0,32

d

_r(3)

Método de Gauss-Jacobi

▪ Método de Gauss-Jacobi – Exemplo 13 ▪ Igualmente: ⇒ e, finalmente: ⇒

!

!

"

#

$

$

%

&

=

+

=

0,0424

1,4722

0,3282

g

Cx

x

(4) (3)

_ε

> = = 0,1049 1,4722 0,1544 d_r(4) ! ! " # $ $ % & = + = 0,0927 1,52590,3929 g Cx x(5) (4)

_ε

< = = 0,0424 1,5259 0,0647 d_r(5)

Método de Gauss-Jacobi

Método de Gauss-Seidel

■ Similarmente ao método de Gauss-Jacobi, conhecida a

estimativa inicial, x(0)_{, obtém-se consecutivamente os}

vetores x(1)_{, x}(2)_{, ..., x}(k)

▪ Todavia, ao se calcular x_j(k+1)_{, usa-se todos os valores}

x₁(k+1)_{, x}

2(k+1), ..., xj-1(k+1) que já foram calculados e os

valores x_j+1(k)_{, x}

j+2(k), ..., xn(k) restantes.

Método de Gauss-Seidel

■ Descrição I

■ Seja o seguinte sistema de equações:

n n nn 1 n 1 nn 3 3 n 2 2 n 1 1 n 3 n n 3 1 n 1 n 3 3 33 2 32 1 31 2 n n 2 1 n 1 n 2 3 23 2 22 1 21 1 n n 1 1 n 1 n 1 3 13 2 12 1 11 b x . a x . a x . a x . a x . a .x a .x a .x a .x a .x b a b x . a x . a x . a x . a x . a b x . a x . a x . a x . a x . a = + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + − − − − − − − −

!

"

#

"

!

!

!

Método de Gauss-Seidel

Método de Gauss-Seidel

■ Descrição II

■ Isolando x_i a partir da linha i, tem-se:

(

)

(

)

(

)

(

n n1 1 n2 2 nn 1 n 1

)

nn n n n 3 1 n 1 n 3 2 32 2 31 3 33 3 n n 2 1 n 1 n 2 3 23 1 21 2 22 2 n n 1 1 n 1 n 1 3 13 2 12 1 11 1 x . a x . a x . a b a 1 x x . a x . a x . a x . a b a 1 x x . a x . a x . a x . a b a 1 x x . a x . a x . a x . a b a 1 x − − − − − − − − − − − − = − − − − − = − − − − − = − − − − − =

!

"

!

!

!

Método de Gauss-Seidel

Método de Gauss-Seidel

■ Descrição III

■ O processo iterativo se dá a partir das equações:

(

)

(

)

(

)

(

k 1

)

1 n 1 n , n 1 k 2 2 n 1 k 1 1 n n nn 1 k n k n n 3 k 1 n 1 n , 3 1 k 2 32 1 k 1 31 3 33 1 k 3 k n n 2 k 1 n 1 n , 2 k 3 23 1 k 1 21 2 22 1 k 2 k n n 1 k 1 n 1 n , 1 k 3 13 k 2 12 1 11 1 k 1 x . a ... x . a x . a b a 1 x x . a x . a ... x . a x . a b a 1 x x . a x . a ... x . a x . a b a 1 x x . a x . a ... x . a x . a b a 1 x + − − + + + − − + + + − − + + − − + − − − − = − − − − − = − − − − − = − − − − − =

Método de Gauss-Seidel

Método de Gauss-Seidel

■ Critério de Parada I

■ Diferença relativa entre duas iterações consecutivas, dada por: ! ! ! ! ! " !! ! ! ! # $ !" ! # $ ≠ = = ≠ − = + + + + + ≤ ≤ +

=

0 x 0 x se , 1 0 x x se , 0 0 x se , x x x . Máx M k i 1 k i k i 1 k i 1 k i 1 k i k i 1 k i n i 1 1 k R

Método de Gauss-Seidel

Método de Gauss-Seidel

■ Critério de Parada II

■ F i m d o p r o c e s s o i t e r a t i v o ⇨ V a l o r d e M_Rk + 1

suficientemente pequeno para a precisão desejada

▪ Método de Gauss-Seidel – Exemplo 14 ▪ Resolver: ▪ Solução: . 10 . 5 M com , 0 z 6 y 3 x 3 6 z y 4 x 3 5 z y x 5 2 k R ≤ − = + + = + + = + +

(

)

(

)

(

)

(

x y

)

2 1 z y 3 x 3 6 1 z z x 3 6 4 1 y z y 5 5 1 x + − = ⇒ − − = − − = − − =

Método de Gauss-Seidel

▪ Método de Gauss-Seidel – Exemplo 14

▪ Quadro de resultados do processo iterativo

k x Mxk k y Myk zk M_zk M_Rk -1 - 0 - 1 - -0,8 2,25 0,65 1 -0,725 2,379 2,379 1,015 0,212 0,92 0,293 -0,967 0,250 0,293 1,009 0,006 0,985 0,066 -0,997 0,030 0,066 1,002 0,007 0,998 0,0013 -1 0,003 0,0013 x = 1,002 y = 0,998 z = -1

Método de Gauss-Seidel

▪ Método de Gauss-Seidel – Exemplo 14

▪ Verificação (substituição no sistema)

x = 1,002 y = 0,998 z = -1

5.(1,002) + 1.(0,998) + 1.(-1) = 5,008 ≅ 5 OK

3.(1,002) + 4.(0,998) + 1.(-1) = 5,998 ≅ 6 OK

3.(1,002) + 3.(0,998) + 6.(-1) = 0 OK

▪ Critérios de Convergência

▪ Processo iterativo ⇨ Convergência para a solução exata não garantida para qualquer sistema.

▪ Necessidade de determinação de certas condições que devem ser satisfeitas por um SEL para a garantia da convergência do método.

▪ Critérios de determinação das condições de convergência

▪ Critério de Sassenfeld

▪ Critério das Linhas

▪ Critério de Sassenfeld I

▪ Sejam as quantidades β_i dadas por:

n - ordem do sistema linear que se deseja resolver

a_ij - coeficientes das equações do sistema

Método de Gauss-Seidel

para i = 2, 3, ..., n

∑

₌ ⋅ = β n 2 j j 1 11 1 _a a 1 ! ! ! " # $ $ $ % & + β ⋅ ⋅ = β

∑

∑

+ = − = n 1 i j ij 1 i 1 j j ij ii i _a a a 1 e

▪ Critério de Sassenfeld II

▪ Este critério garante que o método de Gauss-Seidel convergirá para um dado SEL se a quantidade M, definida por:

for menor que 1 (M<1).

Método de Gauss-Seidel

i

max

M

n i 1_{≤ ≤}

β

=

▪ Critério de Sassenfeld III

▪ Exemplo 15: Seja A a matriz dos coeficientes e b o vetor dos termos constantes, dados por:

for menor que 1 (M<1).

4 44 43 42 41 3 34 33 32 31 2 24 23 22 21 1 14 13 12 11 b a a a a b a a a a b a a a a b a a a a

(

)

(

)

(

)

(

41 1 42 2 43 3

)

44 4 34 2 32 1 31 33 3 24 23 1 21 22 2 14 13 12 11 1 a a a a 1 a a a a 1 a a a a 1 a a a a 1 β + β + β ⋅ = β + β + β ⋅ = β + + β ⋅ = β + + ⋅ = β

Método de Gauss-Seidel

▪ Critério de Sassenfeld IV

▪ Exemplo 15: Seja A a matriz dos coeficientes e b o vetor dos termos constantes, dados por:

4 44 43 42 41 3 34 33 32 31 2 24 23 22 21 1 14 13 12 11 b a a a a b a a a a b a a a a b a a a a

(

)

(

)

(

)

(

41 1 42 2 43 3

)

44 4 34 2 32 1 31 33 3 24 23 1 21 22 2 14 13 12 11 1 a a a a 1 a a a a 1 a a a a 1 a a a a 1 β + β + β ⋅ = β + β + β ⋅ = β + + β ⋅ = β + + ⋅ = β

Método de Gauss-Seidel

▪ Critério de Sassenfeld V ▪ Exemplo 15:

Método de Gauss-Seidel

0 , 10 x 0 , 4 x 8 , 0 x 2 , 1 x 4 , 0 0 , 1 x 2 , 0 x x 2 , 0 x 1 , 0 8 , 7 x 3 , 0 x 6 , 0 x 3 x 6 , 0 4 , 0 x 2 , 0 x 2 , 0 x x 0 , 2 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 − = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + ⋅ − ⋅ − − = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ − + ⋅

(

)

(

)

(

)

(

0,4 0,7 1,2 0,44 0,8 0,358

)

0,2736 4 1 358 , 0 2 , 0 44 , 0 2 , 0 7 , 0 1 , 0 1 1 44 , 0 3 , 0 6 , 0 7 , 0 6 , 0 3 1 7 , 0 2 , 0 2 , 0 1 2 1 4 3 2 1 = ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = β = + ⋅ + ⋅ ⋅ = β = + + ⋅ ⋅ = β = + + ⋅ = β M < 1 _{⇒ Convergência da}

solução do sistema a partir do

10.0 4.0 0.8 1.2 0.4 1.0 0.2 1.0 0.2 0.1 -7.8 0.3 0.6 3.0 0.6 0.4 0.2 0.2 1.0 2.0 A b

Método de Gauss-Seidel

▪ Critério de Sassenfeld VI ▪ Exemplo 15: Solução 7 , 0 M =

max

β

=

Método de Gauss-Seidel

▪ Critério das Linhas

▪ Segundo este critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:

n. ..., 3, 2, 1, i para , a a _ii n i j 1 j ij < =

∑

≠ =

Método de Gauss-Seidel

▪ Critério das Linhas

▪ Exemplo 16: O SEL do Exemplo 14 satisfaz o Critério das Linhas, sendo a verificação quase imediata, se for observado que: 4 , 2 8 , 0 2 , 1 4 , 0 a a a 4 a 5 , 0 2 , 0 2 , 0 1 , 0 a a a 1 a 5 , 1 3 , 0 6 , 0 6 , 0 a a a 3 a 4 , 1 2 , 0 2 , 0 1 a a a 2 a 43 42 41 44 34 32 31 33 24 23 21 22 14 13 12 11 = + + = + + > = = + + = + + > = = + + = + + > = = + + = + + > = 4. 3, 2, 1, i para a a n = <

∑

■

Tanto o

Critério de Sassenfeld

quanto o

Critério

das Linhas

são condições

suficientes

, porém

não

necessárias

, para a convergência do método de

Gauss-Seidel para um dado SEL

■ Um dado SEL pode não satisfazer estes critérios e

ainda convergir

■ Um sistema pode não satisfazer o Critério das

Linhas, porém sua convergência será garantida se satisfizer o Critério de Sassenfeld

Método de Gauss-Seidel

▪ Critério das Linhas x Critério de Sassenfeld ▪ Exemplo 17: Seja o seguinte SEL:

▪ O Critério das Linhas não é satisfeito, visto que:

▪ Todavia, o Critério de Sassenfeld é satisfeito, uma vez que: 18 x 2 x 6 23 x x 10 2 1 2 1 = ⋅ + ⋅ = + ⋅ 6 a 2 a_{22 = < 21 =}

(

6 0,1

)

0,3 1 e 1 , 0 1 1 = ⋅ ⋅ = β = ⋅ = β

Método de Gauss-Seidel

▪ Critério das Linhas x Critério de Sassenfeld

▪ Exemplo 17: Assim sendo, a convergência do SEL é

■

Embora não altere a solução do SEL, a ordem de

aparecimento das equações pode alterar sua

convergência pelo método da Gauss-Seidel.

■ Exemplo 18: Seja o SEL:

■ Observa-se que na ordem atual de aparecimento das equações, o SEL não satisfaz o Critério das Linhas

(verificar!!!); logo, sua convergência não é garantida.

■ A inversão da ordem das duas equações do SEL fará com que o Critério das Linhas seja satisfeito e sua

Considerações Finais

15 x 3 x 5 19 x 10 x 4 2 1 2 1 = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ −

■ Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R. Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e computacionais.

MAKRON Books, 1996, 2ª ed.

■ Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico:

Fundamentos e Aplicações. Departamento de Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.

■ Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos Numéricos. DI/UFPR, 2006.

■ Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação de

Erros, Notas de aula, SE/ DM/ IST [Online] http://

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