Lista de Estudo para a Prova de 1º Ano
Prof. Lafayette
1. Um triângulo ABC é retângulo em A e os ângulos em B e C são, respectivamente, de 30° e 60°. A hipotenusa mede 4.
a) Faça um desenho representativo.
b) Desenhe a altura relativa à hipotenusa e calcule a medida dessa altura. c) Calcule a área deste triângulo.
Resolução: a) sen 60 4 3 2 3 2 4 b b b sen 30 4 1 2 2 4 a a a b)
Seno no triângulo ADB: sen 30 2 3 1 3 2 2 3 h h h
c) A área de um triângulo retângulo sempre pode ser calculada considerando um cateto como base e o outro como altura (atenção, isso só vale para triângulos retângulos):
2 2 2 3 2 3 u.a. 2 b h A A
2. Um triângulo ABC é retângulo em A e os ângulos em B e C são, respectivamente, de 45° e 45°. A hipotenusa mede 4.
a) Faça um desenho representativo.
b) Desenhe a altura relativa à hipotenusa e calcule a medida dessa altura. c) Calcule a área deste triângulo.
Resolução: a)
Devido aos dois ângulos agudos serem de mesma medida, o triângulo é isósceles e portanto os dois catetos são iguais (por isso, a e a na figura).
Desde já note que como ABC é isósceles a altura AD também é mediana, isto é, divide a hipotenusa em dois segmentos de mesmo tamanho.
b) tg 45 2 1 2 2 h h h
Calculando “a” também:
2 2 2 2 2 2 2 8 8 2 2 2 2 a a a a c) A área é: 2 2 4 2 4 u.a. 2 b h CB AD A A
Ou como no exercício anterior, usando um cateto como base e um como altura:
2 2 2 2 2 4 u.a. 2 AC AB A A
a) Calcule a área do triângulo ACD. b) Calcule a medida de CH. c) Calcule a distância HM. Resolução: a) 10 24 120 u.a. 2 A b) Calculando a hipotenusa AD: 2 2 2 2 2 10 24 100 576 676 26 x x x x
Como a área do triângulo não muda, independentemente de quais sejam a base e sua
respectiva altura que houverem sido escolhidas para o cálculo, devemos usar a área que já foi calculada no item “a” e a hipotenusa AD = 26 como base, assim conseguiremos calcular a altura de medida CH. 2 26 120 120 2 13 b h A h h c)
Como M é ponto médio, temos AM = 13. Basta calcular a medida w.
2 2 2 2 2 120 10 13 14400 100 169 16900 14400 2500 169 169 50 13 w w w w E assim, 13 50 119 13 13 13 y w y
4. Observe o triângulo abaixo:
Desenhe a mediana relativa ao lado AC e calcule a sua medida. Faça o mesmo para a mediana relativa a CD.
RESOLUÇÃO:
Mediana relativa a AC (figura da esquerda): observe o triângulo retângulo na parte superior da figura, de medidas 5, 24 e x: 2 2 2 2 5 24 25 576 601 x x x
Mediana relativa a CD (figura da direita):
2 2 2 2 10 12 100 144 244 2 61 y x x
5. Desenhe as três medianas do triângulo ABC abaixo.
Resolução:
Usando uma régua quando necessário, marcamos os pontos médios de cada um dos lados e em seguida as medianas:
6. Calcule a área de um triângulo isósceles em que dois lados medem 12 cm cada, e o terceiro lado mede 8 cm.
Resolução:
Em um triângulo isósceles chamamos “base” ao lado que é diferente dos outros dois. Lembrando que a altura, relativa à base, também é mediana:
(Ou seja, que a altura que sai do vértice C também divide o lado oposto ao meio): 2 2 2 2 4 12 16 144 8 2 cm h h h
Assim, a base é AB = 8 e calcula-se a área: 2 2 8 8 2 32 2 cm 2 b h A A
7. A figura abaixo mostra um triângulo equilátero de lado L com todas as alturas desenhadas, dividindo o triângulo em seis triângulos menores.
a) Obtenha as medidas de todos os ângulos da figura. b) Obtenha a medida dos segmentos: AD, GD, GC, GE, BG.
RESOLUÇÃO: a)
b) 2 L AD (metade do lado). 3 2 L
CF BDAE (altura do triângulo equilátero)
Como G é baricentro, divide cada mediana em segmentos sendo que um deles mede 1/3 do total, e o outro mede 2/3 do comprimento total (o maior é o segmento com o vértice). Então, 1 3 3 3 2 6 L L GD 2 3 3 3 2 3 L L GC 1 3 3 3 2 6 L L GE 2 3 3 3 2 3 L L BG
8. Considere um triângulo isósceles com dois lados de medida 13 cm e um lado de medida 10 cm.
a) Qual é a área deste triângulo?
b) Qual é a medida da altura relativa ao lado de 13 cm?
RESOLUÇÃO: a) 2 2 2 5 13 12 cm h h Área:
2 10 12 60 cm 2 2 b h A
b) A altura procurada está mostrada no desenho abaixo:
Como a área do triângulo não se altera, a nova base é 13 e a nova altura, h’:
2 3 ' 120 60 = ' cm 2 13 b h A h h
9. (UNIFOR CE) Observando as figuras abaixo, marque a opção que indica qual(is) dela(s)
está(ão) com as medidas erradas.
a) A figura 1. b) A figura 2. c) A figura 3. d) Todas as figuras. e) Nenhuma das figuras.
Figura 1: soma dos ângulos internos é 42° + 42° + 74° = 158°.
Incorreta, porque a soma dos ângulos internos de um triângulo sempre resultará em 180°. Figura 2: Aplicando o Teorema de Pitágoras:
2 2 2 12 15 18 144 225 324 369 324 (Falso!)
Logo a figura 2 também está incorreta porque este triângulo não pode ser um triângulo retângulo.
Figura 3: viola a condição de existência de triângulos, segundo a qual:
“Para que três medidas possam ser os lados de um triângulo, cada uma delas deve ser menor que a soma das outras duas.”
Como 15 é maior que a soma dos lados 8 e 6, a figura não pode corresponder a um triângulo. Gabarito: D
10. Admitindo que 𝐴𝐶 ̅̅̅̅̅seja bissetriz de 𝐴𝑂̂𝐵, determine x.
RESOLUÇÃO: 3x – 10 = 2x + 20 x = 30°
RESOLUÇÃO:
Igualando os dois ângulos da direita; e lembrando que a soma dos três ângulos destacados deve ser igual a 180°:
20 2 10 4 20 2 10 180 y x x y x Desenvolvendo: 2 30 6 170 y x x y Substituindo na segunda equação:
6
2
30 170
8
200
25
x
x
x
x
E portanto, y = 2x – 30 = 20°.12. Analisando a figura abaixo, marque como Verdadeiras (V) ou Falsas (F) cada uma das afirmativas abaixo.
(F) O segmento BD é bissetriz do triângulo ABC.
Correção: ele é altura, porque faz 90° com o lado oposto ao vértice B. Seria bissetriz se dividisse o ângulo em B ao meio.
(F) O segmento BD é mediana do triângulo ABC.
Correção: seria mediana se dividisse o lado
AC
ao meio, ou seja, se D fosse o ponto médio deAC
. Como já dito anteriormente, ele é altura.(V) O segmento FH é mediana do triângulo EFG. Comentário: é mediana, porque H é ponto médio.
(F) O segmento FH é altura e mediana do triângulo EFG.
Correção: não é altura, porque não está indicado que FH faz 90° com EG
(V) O segmento IM é altura do triângulo IJH.
Comentário: verdadeiro, porque faz 90° com o prolongamento do lado oposto a I.
(V) O segmento OQé bissetriz do triângulo NOP.
Comentário: verdadeiro, porque divide o ângulo Ô em dois ângulos de mesma medida.
(F) O segmento USé bissetriz do triângulo RST, pois une o ponto médio U do lado RT do triângulo ao vértice oposto.
Correção: justamente porque “une o ponto médio U do lado RT do triângulo ao vértice oposto “ o segmento US é mediana. Seria bissetriz se dividisse algum ângulo ao meio (em partes iguais).
13. Desenhe na figura as três alturas do triângulo dado.
Resolução: Somente a altura relativa a
AC
será interna ao triângulo. Para as outras duas precisamos prolongar os lados como mostrado abaixo.14.
a) Desenhe a mediatriz relativa ao segmento AB.
b) Desenhe manualmente as três mediatrizes do triângulo ABC (use uma régua com cuidado ou um compasso, se necessário).
c) Chamemos P o ponto de encontro das mediatrizes, desenhe um círculo de centro P e raio PA. Explique o que acontece.
RESOLUÇÃO: a)
c)
Como visto em sala, todos os pontos da mediatriz de um segmento qualquer AB são equidistantes dos pontos extremos A e B.
Assim, o encontro das três mediatrizes (que é o ponto P) tem a propriedade de ser equidistante dos três vértices. Como a distância PA = PB = PC, então P é o centro de uma circunferência que passa por A, B e C, chamada circunferência circunscrita.
