Geometria Diferencial
Exerc´ıcios sobre curvas planas e espaciais - 2007
Vers˜ao compilada no dia 20 de Setembro de 2007.
Departamento de Matem´atica - UEL
Prof. Ulysses Sodr´e: ulysses(a)uel(pt)br
Matem´atica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/
Resumo: Notas de aulas de Geometria Diferencial para as nossas aulas na UEL. Elas devem ser usadas como roteiro e n˜ao espero que elas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Sugiro que o leitor pesquise na Internet para obter materiais gratuitos para os seus estudos.
Mensagem: ‘Todo aquele que vai al´em do ensino de Cristo e n˜ao permanece nele, n˜ao tem a Deus; quem permanece neste ensino, esse tem tanto ao Pai como ao Filho. Se algu´em vem ter convosco, e n˜ao traz este ensino, n˜ao o recebais em casa, nem tampouco o
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Curvas no plano e no espa¸
co
1. Plotar as curvas parametrizadas: (a) f (t) = (at + b, ct + d) (b) f (t) = (cos t, sin t)
(c) f (t) = (t3, t2) (d) f (t) = (cos t, 1) 2. Exibir a forma impl´ıcita para a curva parametrizada
(a) f (t) = (2t, 3t − 1) (b) f (t) = (cos t, sin t)
(c) f (t) = (cos(t2), sin(t2)) (d) f (t) = (t3, t2)
3. Mostrar que a curva f (t) = (2 cos t − 1)(cos t, sin t) com t ∈ R n˜ao ´e uma curva simples.
4. Reparametrizar a curva
(a) f (t) = (t, 2t) pelo parˆametro t = 3u + 4 (b) f (t) = (cos(t), sin(t)) pelo parˆametro t = −u
(c) f (t) = (cos(2t), sin(2t)) pelo comprimento de arco s (d) f (t) = (t, 2t) pelo comprimento de arco s
5. Calcular a velocidade v = v(t) e a acelera¸c˜ao a = a(t) em um ponto gen´erico f (t) para a curva
(a) f (t) = (3t, 4t) (b) f (t) = (cos t, sin t‘)
(c) f (t) = (cos(2t), sin(2t)) (d) f (t) = (t, 2t)
6. Seja a curva parametrizada f (t) = (2 cos t − 1)(cos t, sin t). Plotar esta curva e mostrar que existem p, q ∈ R distintos com f (p) = f (q) de modo que a velocidade v(p) ´e diferente da velocidade v(q).
7. Exibir uma parametriza¸c˜ao para a curva definida implicitamente por (a) x2 + y2 = 32 (b) x2 + y2 = 0 (c) x 2 a2 + y2 b2 = 1 (d) x 2 a2 − y2 b2 = 1 (e) x2 − y = 0 (f) x2 − y2 = 0
8. Determinar as retas tangente e normal `a curva f (t) = (4 cos t, 3 sin t) no ponto P = f (0) = (4, 0).
9. Analisar se as curvas parametrizadas indicadas s˜ao curvas regulares. (a) f (t) = (t2, t3)
(b) f (t) = (t, |t|)
(c) f (t) = (cos t, sin t) (d) f (t) = (cos t, 1) 10. Calcular o comprimento do arco da curva parametrizada
(a) f (t) = (at + b, ct + d) entre t = 0 e t = 10 (b) f (t) = r(sin t, cos t) entre t = 0 e t = 2π (c) f (t) = (a cos t, b sin t) entre t = 0 e t = 2π (d) f (t) = (a cosh(t), b sinh(t)) entre t = 0 e t = 1 (e) f (t) = r(t − sin t, 1 − cos t) entre t = 0 e t = 2π
11. Seja uma curva f (t) = (x(t), y(t)) que pode ser reparametrizada em co-ordenadas polares de tal modo que x(t) = r cos(θ(t)) e y(t) = r sin(θ(t)) onde r = r(t) > 0 ´e a medida do raio-vetor f (t) e θ = θ(t) ´e o ˆangulo formado entre o raio-vetor f (t) e o eixo OX. Em geral, uma tal curva ´
e indicada em coordenadas polares apenas por r = r(t) e θ = θ(t). O comprimento do arco desta curva entre t = t0 e t = t1, ´e dado por
s(t) = Z t1 t0 |f0(t)|dt = Z t1 t0 s dr dt 2 + r2(t) dθ dt 2 ]dt
Com esta f´ormula, podemos obter o comprimento do arco da espiral entre t = 0 e t = 4π, parametrizada em coordenadas polares por r(t) = ebt, θ(t) = at, sendo a 6= 0, b 6= 0, t ∈ R. Dica: Como dr dt = b ebt e dθ dt = a, ent˜ao ` = Z t1 t0 |f0(t)|dt = Z t1 t0 s dr dt 2 + r2(t) dθ dt 2 ]dt = Z t1 t0 q (bebt)2 + (ebt)2(a)2dt = pa2 + b2 Z t1 t0 ebtdt = √ a2 + b2 b [e bt1 − ebt0]
12. Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva (a) f (t) = et(cos t, sin t)
(b) f (t) = r(cos(2t), sin(2t))
(c) f (t) = (at + b, ct + d) (d) f (t) = (t, 2t)
13. Considerando a > 0, b > 0, r > 0, calcular a curvatura da curva
(a) f (t) = (a cos t, b sin t) k(t) = ab[a2sin2(t) + b2cos2(t)]−3/2 (b) f (t) = r(t − sin t, 1 − cos t) k(t) = [8r(1 − cos t)]−1/2 (c) f (t) = et(cos t, sin t) k(t) = e−t√2/2 (d) f (t) = (t, t3) k(t) = 6t(1 + 9t4)−3/2 14. Estudar o procedimento para obter o centro de curvatura e o raio de
curvatura de uma curva plana parametrizada por f = f (t).
15. Dada a h´elice parametrizada por f (t) = (a cos t, a sin t, bt) com a > 0, determinar as proje¸c˜oes desta curva sobre os planos z = 0, x = 0 e y = 0.
16. Estudar a interpreta¸c˜ao e o papel geom´etrico de: (a) vetor de Darboux
(b) curvatura de uma curva plana
(c) curvatura de uma curva espacial (d) tor¸c˜ao de uma curva espacial
17. Descrever o papel das equa¸c˜oes de Frenet na Geometria Diferencial. 18. Mostrar que a curva parametrizada por f (t) = 1
t(t
2, 1 + t2, 1 − t2) sendo
t > 0 ´e uma curva plana.
19. Obter as equa¸c˜oes intr´ınsecas da curva f (t) = (t, a cosh(t/a), 0).
Dica: τ = 0 pois esta ´e uma curva plana. f0(t) = (1, sinh(t/a), 0), f00(t) = (0, (1/a) cosh(t/a), 0), f0(t) × f00(t) = ... e |f0(t)| = cosh(t/a)
s = Z t 0 |f0(u)|du = a sinh(t/a) k(t) = 1 a cosh2(t/a) = 1 a cosh2(t/a) = 1
a(1 + sinh2(t/a)) = a s2 + a2
20. Obter as equa¸c˜oes intr´ınsecas da h´elice f (t) = (3 cos(t), 3 sin(t), 4t). Dica: f0(t) = (−3 sin(t), 3 cos(t), 4), f00(t) = (−3 cos(t), −3 sin(t), 0), f0(t)×f00(t) = (12 sin(t), −12 cos(t), 9), |f0(t)×f00(t)| = 13, |f0(t)| = 5, B(t) = (12 sin(t), −12 cos(t), 9)/13, s = R0t5du = 5t e k(t) = 12513 .
B0(t) = 12 13(cos(t), sin(t), 0) T (t) = 3 5(− sin(t), cos(t), 4/3) T0(t) = −3 5(cos(t), sin(t), 0) N (t) = −(cos(t), sin(t), 0) τ = B0· N = 12
13(cos(t), sin(t), 0) · −(cos(t), sin(t), 0) = − 12 13 21. O Teorema fundamental das curvas planas afirma que, se k = k(s) ´e
uma fun¸c˜ao do parˆametro comprimento de arco s, existe pelo menos uma curva plana parametrizada f = f (s) tendo a curvatura k = k(s). Para obter f = f (s) (a menos de transla¸c˜ao), tomamos φ = φ(s) como o ˆangulo entre cada vetor tangente T = T (s) e o eixo OX e a defini¸c˜ao de curvatura: dφ ds = k(s) Depois, substitu´ımos em f (s) = ( Z cos(φ(s)) ds, Z sin(φ(s)) ds) Calculando s = s(φ), ent˜ao ds = dφ k(s) = dφ k(s(φ)) = dφ k(φ) e segue que f (s) = ( Z 1 k(φ)cos(φ(t)) dφ, Z 1 k(φ)sin(φ(t)) dφ)
Seguindo os passos acima, obter a curva f = f (s) tal que k(s) = √1 2as. Dica: Tomar dφ
ds = k(s) = 1 √
2as. Integrar com rela¸c˜ao a s para obter φ = r 2s a ou seja s = a 2φ 2, isto ´e, k(φ) = 1 aφ, logo 1 k(φ) = aφ, para
obter: f (s) = ( Z aφ cos(φ(t)) dφ, Z aφ sin(φ(t)) dφ) = a [cos(φ) + φ sin(φ), sin(φ) − φ cos(φ)]
22. O que ´e a evoluta de uma curva plana parametrizada f = f (s)? Mostrar que a evoluta de f = f (s) ´e dada por g(s) = f (s) + k(s)1 N (s).
Mostrar que a evoluta de f (s) = (cos(s), sin(s), 0) ´e g(s) = (0, 0, 0). Dica: f0(s) = (− sin(s), cos(s), 0) e |f0(s)| = 1, assim T (s) = f0(s) e N (s) = T0(s) = (− cos(s), − sin(s), 0) e al´em disso
f0(s) × f00(s) = (− sin(s), cos(s), 0) × (− cos(s), − sin(s), 0) = (0, 0, 1) para garantir que k = k(s) = 1 e escrever
