Universidade Federal de São João Del Rei - UFSJ

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Universidade Federal de S˜

ao Jo˜

ao Del Rei - UFSJ

Institu´ıda pela Lei 10.425, de 19/04/2002 - D.O.U. de 22/04/2002 Pr´o-Reitoria de Ensino de Gradua¸c˜ao - PROEN

Disciplina: Cálculo Numérico Ano: 2012 Prof: Natã Goulart da Silva Versão Documento 0.9

Resolu¸c˜ao de Sistemas Lineares

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 2

1.1 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss . . . 2

1.2 Pivoteamento na Elimia¸c˜ao de Gauss . . . 3

1.3 Algoritmo de substitui¸c˜ao retroativas . . . 4

1.4 Verifica convergˆencia pelo Teorema do Raio Espectral . . . 5

1.5 Método de Decomposi¸cão LU com pivota¸cão . . . 6

1.6 Algoritmo de substitui¸c˜ao sucessivas para LU . . . 7

1.7 Algoritmo de pivota¸c˜ao para o m´etodo LU . . . 7

1.8 M´etodo Iterativo de Jacobi . . . 9

1.9 M´etodo Iterativo de Gauss Seidel . . . 11

1.10 Verifica¸cão de convergência métodos iterativos . . . 12

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1 Introdu¸

c˜

ao

Algoritmos retirados dos livros da bibliografia b´asica [1,2, 3,4].

1.1 M´

etodo de Elimina¸

c˜

ao de Gauss

Para usar o pivoteamento, chamar a fun¸cão pivotear no in´ıcio do primeiro la¸co. Algoritmo 1: Método de Elimina¸cão de Gauss

input : Matriz A, vetor independente b

output: Matriz A triangular superior e vetor b alterado % Para a linha 1 da matriz at´e a pen´ultima

for k = 1 : n − 1 do

% Para as linhas da matriz abaixo da linha pivotal for i = k + 1 : n do

% Calcula o valor do multiplicador m = a(i,k)/a(k,k);

%O elemento abaixo do pivo transforma-se em zero a(i,k)=0;

%Para as colunas seguintes aplica-se a opera¸c˜ao elementar for j = k + 1 : n do

a(i,j) = a(i,j) - m*a(k,j); end

%Promove a opera¸c˜ao elementar no vetor b b(i) = b(i)-m*b(k);

end end

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1.2 Pivoteamento na Elimia¸

c˜

ao de Gauss

Algoritmo 2: Executa pivota¸c˜ao em A e b

input : Matriz A, vetor b e o valor j da coluna do elemento pivo output: Matriz A e o vetor b ap´os pivota¸c˜ao

% Variavel de controle para teste da necessidade de pivota¸c˜ao linhapivo=0;

%S´o faz pivoteamento para matrizes com n > 1 if n > 1 then

% Considera inicialmente como pivo o primeiro elemento da linha pivotal (diagonal) pivo = A(j,j);

% Verifica se h´a algum elemento maior em m´odulo, nas linhas abaixo for k = j + 1 : n do

if |A(k, j)| > |pivo| then pivo = A(k,j);

% Se houver um elemento maior que o pivo, guarda a linha k linhapivo = k;

end end

% Se linhapivo ´e diferente de zero, deve-se trocar as linhas if linhapivo 6= 0 then

% Trocar a linha pivotal j pela linha presente em linhapivo Trocar as linhas da matriz A e do vetor b

end end

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1.3 Algoritmo de substitui¸

c˜

ao retroativas

Obten¸c˜ao de x∗ por substitui¸c˜oes retroativas

Algoritmo 3: Substitui¸c˜oes Retroativas

input : Matriz A triangular superior, vetor independente b output: Vetor solu¸c˜ao x∗

% Para o ´ultimo elemento da matriz triangular, a(n,n), efetuar a substitui¸c˜ao x(n) = b(n)/a(n,n);

for i = n − 1 : 1 do

% Inicializa uma vari´avel de soma soma=0;

%Efetua-se a substitui¸c˜ao nas linhas com os valores de x j´a calculados for j = i + 1 : n do

s = s + a(i,j) *x(j); end

%Substitui¸c˜ao dos valores x(i) = (b(i)- s)/a(i,i); end

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1.4 Verifica convergˆ

encia pelo Teorema do Raio Espectral

Verifica¸cão de convergência dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel pelo Teorema do Raio Espectral

Algoritmo 4: Verifica Convergˆencia de Jacobi e Gauss Seidel input : Matriz A dos coeficientes do sistema

output: Verifica¸cão de convergência dos métodos % A partir da matriz A criar as matrizes D, E e F for i = 1 : n do D(i,i) = A(i,i); for j = 1 : n do if i > j then E(i,j) = A(i,j); end if i < j then F(i,j) = A(i,j); end end end

% Calcula a matriz de itera¸c˜ao e o raio espectral J = −D−1∗ (E + F ); lamb1 = ρ(J ); % Verifica se converge if lamb1 < 1 then Imprimir(’Jacobi converge’); end

% Calcula a matriz de itera¸c˜ao e o raio espectral S = −(D + E)−1∗ F ;

lamb2 = ρ(S);

% Verifica se converge if lamb2 < 1 then

Imprimir(’Gauss Seidel converge’); end

if lamb1 ≥ 1 and lamb2 ≥ 1 then

Imprimir(’N˜ao converge para Jacobi e Gauss-Seidel’); end

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1.5 M´

etodo de Decomposi¸

c˜

ao LU com pivota¸

c˜

ao

Algoritmo 5: Método de Decomposi¸cão LU com pivota¸cão input : Matriz A dos coeficientes do sistema e vetor b output: Vetor solu¸cão x∗

Iniciar matrizes identidades P e L; U = A % Faz c´opia de A em U

%La¸co executado sobre as linhas pivotais for k = 1 : n − 1 do

%Antes de calcular multiplicador, chama fun¸cão pivotear % Se houver pivota¸cão, as matrizes P,U e L serão alteradas [P, U, L] = pivotear(P, U, L, k);

% Altera¸c˜oes realizadas abaixo da linha pivotal(k+1) for i = k + 1 : n do

%Para cada linha abaixo da linha pivotal, calcula o multiplicador m m = U (i, k)/U (k, k);

% Matriz L recebe multiplicadores L(i, k) = m;

% Os elementos abaixo do pivo ser˜ao zerados U (i, k) = 0;

for j = k + 1 : n do

%Aplica opera¸c˜oes elementares no restante da linha U (i, j) = U (i, j) − m ∗ U (k, j);

end end end

%Executa as substitui¸c˜oes sucessiva com a matriz L y = subsucessivasLU (L, P ∗ b0);

%Executa as retroativas sucessiva com a matriz U x = subretroativas(U, y)’

%Calcula o vetor res´ıduo r = b0 − A ∗ x

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1.6 Algoritmo de substitui¸

c˜

ao sucessivas para LU

Algoritmo 6: Algoritmo de substitui¸c˜oes sucessivas input : Matriz L e vetor b multiplicado por P output: Vetor y

for i = 1:n do soma =0; for j = 1:i-1 do

% Soma as parcelas onde os valores de y j´a foram calculados soma = soma + L(i,j)*y(j);

end

%Para cada linha, calcula o valor de y(i) y(i) = b(i) - soma;

end

1.7 Algoritmo de pivota¸

c˜

ao para o m´

etodo LU

Algoritmo 7: Executa pivota¸c˜ao em A, L e P

input : Matrizes P, U, L e o valor j da coluna do elemento pivo output: Matrizes P, U e L ap´os pivota¸c˜ao

linhapivo=0;

%S´o faz pivoteamento para matrizes com n > 1 if n > 1 then

% Considera inicialmente como pivo o primeiro elemento da linha pivotal (diagonal) pivo = A(j,j);

% Verifica se h´a algum elemento maior em m´odulo, nas linhas abaixo for k = j + 1 : n do

if |A(k, j)| > |pivo| then pivo = A(k,j);

% Se houver um elemento maior que o pivo, guarda a linha k linhapivo = k;

end end

% Se linhapivo ´e diferente de zero, deve-se trocar as linhas

% Trocar valor da linha pivotal l pelo valor presente em linhapivo if linhapivo 6= 0 then

Trocar as linhas da matriz A e da identidade P for w=1:j-1 do

Trocar os multiplicadores entre as linhas inicialmente pivotal e linha contida em linhapivo at´e a coluna j-1

end end end

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1.8 M´

etodo Iterativo de Jacobi

Algoritmo 8: Algoritmo iterativo de Jacobi input : Matrizes A, vetor b, precisao e kmax output: Vetor solu¸cão x e k, número de itera¸cões

%Definir valores da matriz dos coeficientes A, alterada pela divis˜ao pelo elemento A(i,i) for i=1:n do

r = 1 / A(i,i); % Para cada linha de A, calcular r que ir´a dividir os elementos for j=1:n do

if i ˜ = j then

A(i,j) = A(i,j) * r; end

end

% Calculo do vetor inicial x0 b(i) = b(i) * r; x(i)=b(i); end

normainf = precisao + 10; %iniciando normainf com valor maior que precisao while normainf > precisao do

if k > Kmax then

break; %Condi¸cão de parada, método não atingiu a precisao// end k = k + 1; % Calcular o valor de x1 for i=1:n do soma = 0; for j=1:n do if i ˜ = j then

soma = soma + A(i,j) * x(j); end

end

x1(i) = b(i) - soma; end

normanum = normaden= 0;

% Calculo norma infinita, condi¸c˜ao de parada for i=1:n do

t = abs(x1(i) - x(i)); if t > normanum then

normanum = t; end

if abs(x1(i)) > normaden then normaden = abs(x1(i)); end

end

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1.9 M´

etodo Iterativo de Gauss Seidel

Algoritmo 9: Algoritmo iterativo de Gauss-Seidel input : Matrizes A, vetor b, precisao e kmax output: Vetor solu¸cão x e k, número de itera¸cões

%Definir valores da matriz alterada pela divis˜ao pelo elemento A(i,i) for i=1:n do r = 1 / A(i,i); for j=1:n do if i ˜ = j then A(i,j) = A(i,j) * r; end end

x(i) = b(i) * r; % Calculo do vetor inicial x0 end

k = 0;

normainf = precisao + 10; %iniciando normainf com valor maior que precisao while normainf > precisao do

if k > Kmax then

break;%Condi¸cão de parada, método não atingiu a precisao end k = k + 1; for i=1:n do soma = 0; for j=1:n do if i > j then

soma = soma + A(i,j) * x1(j); end

if i < j then

soma = soma + A(i,j) * x(j); end

end

x1(i) = b(i) - soma;% Atualiza vetor x1 end

normanum = normaden = 0; %inicia normas do numerador e denominador for i=1:n do

t = abs(x1(i) - x(i)); if t > normanum then

normanum = t; end

if abs(x(i)) > normaden then normaden = abs(x1(i)); end

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1.10 Verifica¸

c˜

ao de convergˆ

encia m´

etodos iterativos

Seja o sistema Linear A ∗ x = b representado pelas matrizes a seguir, verifique a con-vergˆencia para o m´etodos iterativos de Jacobi e de Gauss-Seidel.

     0, 5 0, 6 0, 3 1 −1 1 0, 4 −0, 4 1           x1 x2 x3      =      0, 2 0 −0, 6     

Para o métodos iterativos, o primeiro teste que deve ser aplicado é verificar se a matriz dos coeficientes A é estritamente diagonal dominante. Verifica-se que para este exemplo, já na primeira linha da matriz que este teste irá falhar. Então, deve-se calcular as matrizes de itera¸cão dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel e verificar se ρ(M ) < 1.

A = D + E + F      0, 5 0, 6 0, 3 1 −1 1 0, 4 −0, 4 1      =      0, 5 0 0 0 −1 0 0 0 1      +      0 0 0 1 0 0 0, 4 −0, 4 0      +      0 0, 6 0, 3 0 0 1 0 0 0     

A matrizes de itera¸c˜ao s˜ao:

J = −D−1∗ (D + F ) e S = −(D + E)−1_{∗ F}

Como a matria D é uma matriz diagonal, sua inversa pode ser encontrada pelo método de elimina¸cão de Gauss. Nesta forma de cálculo, opera¸cões elementares são realizadas sobre a Matriz D de forma a transformá-la em uma matriz Identidade. As mesmas opera¸cões elementares devem ser realizadas sobre as linhas de uma matriz Identidade com as mesmas dimensões de D. Quando a matriz D se tornar Identidade, a matriz identidade será a inversa. Lembrando que apenas são invers´ıveis matriz cujo seu determinante são diferentes de zero.

Exemplo:      0, 5 0 0 1 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1     

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J = −      2 0 0 0 −1 0 0 0 1      ∗      0 0, 6 0, 3 1 0 1 0, 4 −0, 4 0      =      0 −1, 2 −0, 6 1 0 1 −0, 4 0, 4 0     

det(J − λI) = 0 ⇒ Determinante da matriz seja igual a zero:

     −λ −1, 2 −0, 6 1 −λ 1 −0, 4 0, 4 −λ     

O polinômio caracter´ıstico para esta matriz é: λ3+ 0, 56λ − 0, 24 = 0 que tem apenas uma raiz real λ1 = 0, 3512 < 1. Então, o sistema dado converge para o método de Jacobi.

Para o m´etodo de Gauss Seidel, deve-se calcular (D + E)−1

D + E =      0, 5 0 0 1 −1 0 0, 4 −0, 4 1           0, 5 0 0 1 0 0 1 −1 0 0 1 0 0, 4 −0, 4 1 0 0 1      ⇒      1 0 0 2 0 0 0 1 0 2 −1 0 0 0 1 0 −0.4 1      S = −(D + E)−1∗ F =      −2 0 0 −2 1 0 0 0, 4 −1      ∗      0 0, 6 0, 3 0 0 1 0 0 0      =      0 −1, 2 −0, 6 0 −1, 2 0, 4 0 0 0, 4     

det(S − λI) = 0 ⇒ Determinante da matriz seja igual a zero:

     −λ −1, 2 −0, 6 0 −1.2 − λ 0.4 0 0 0.4 − λ     

Com polinˆomio caracter´ıstico igual a: λ3+ 0, 8 ∗ λ2−0, 48∗λ = λ∗(λ2_{+ 0, 8 ∗ λ − 0, 48) = 0.}

Os três autovalores para a matriz S são: (0; −1, 2; 0, 4) e ρ(S) = 1, 2 > 1. Então este sistema não converge para o método de Gauss Seidel.

Referˆ

encias

(14)

[2] S. C. Chapra and R. P Canale. Métodos Numéricos para Engenharia. Pearson, 2008. [3] N. B. Franco. Cálculo Numérico. Pearson, 2006.

[4] M. A. G . Ruggiero and V. L. R. Lopes. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e Computacionais. Pearson, 2006.