UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC
Lista 1 - Bases Matem´
aticas
Elementos de L´ogica e Linguagem Matem´atica
1 — Em um planeta distante, a popula¸c˜ao lo-cal se divide em dois grupos distintos, por eles chamados de HI e HO (n˜ao h´a nenhum indiv´ıduo que perten¸ca a ambos os grupos). Nessa po-pula¸c˜ao, h´a indiv´ıduos com antenas e indiv´ıduos sem antenas. Os indiv´ıduos s˜ao coloridos, po-dendo ser verdes, brancos ou vermelhos (n˜ao h´a indiv´ıduos bicolores ou tricolores). Sabemos que: (i)Se um indiv´ıduo ´e do grupo HI, ent˜ao ele
possui antena.
(ii)Se um indiv´ıduo ´e verde ou branco, ent˜ao ele n˜ao possui antena.
Pergunta-se:
a) Se um indiv´ıduo possui antena, podemos saber a que grupo pertence?
b) Se um indiv´ıduo n˜ao possui antena, pode-mos saber a que grupo pertence?
c) Se um indiv´ıduo ´e do grupo HI, o que po-demos falar sobre sua cor?
d) Se um indiv´ıduo ´e do grupo HO, o que po-demos falar sobre sua cor?
e) Se um indiv´ıduo ´e verde, podemos saber a que grupo pertence?
f) Se um indiv´ıduo ´e branco, podemos saber a que grupo pertence?
g) Se um indiv´ıduo ´e vermelho, podemos sa-ber a que grupo pertence?
2 — Sejam p(n) e q(n) proposi¸c˜oes sobre n´umeros naturais. Assuma que a implica¸c˜ao p(n) ⇒ q(n) ´e verdadeira, para todo n natural. Sabe-se que as proposi¸c˜oes p(2) e q(3) s˜ao verda-deiras e que as proposi¸c˜oes p(5) e q(7) s˜ao falsas. Podemos ent˜ao afirmar que (pode haver m´ultiplas alternativas corretas ou mesmo nenhuma):
a) q(2) ´e verdadeira b) p(3) ´e verdadeira
c) q(5) ´e falsa d) p(7) ´e falsa
3 — Observe o diagrama gen´erico abaixo: premissa 1
premissa 2 conclus˜ao
Ele representa o seguinte argumento: assu-mindo como verdadeiras a premissa 1 e a pre-missa 2, pretendemos deduzir que tamb´em ´e ver-dadeira a conclus˜ao. Um argumento desse tipo ser´a considerado um argumento v´alido, se a con-clus˜ao seguir necessariamente das premissas, isto ´
e, se n˜ao for poss´ıvel termos as premissas verda-deiras e a conclus˜ao falsa. Com esse significado, prop˜oe-se o seguinte problema: dadas duas pro-posi¸c˜oes simples p e q, determine quais dos argu-mentos abaixo s˜ao v´alidos:
a) p⇒ q p q b) p⇒ q q p c) p⇒ q n˜ao p n˜ao q d) p⇒ q n˜ao q n˜ao p
4 — Dˆe exemplos ou contra-exemplos, se exis-tirem, para as seguintes afirma¸c˜oes:
a) Para todo x ∈ R, x + 1 > 2.
b) Todas as letras da palavra “banana” s˜ao vogais.
c) Para todo x ∈ R, x2< x.
d) Para todos m, n ∈ N pares, temos que n + m´e par.
5 — O que as seguintes afirma¸c˜oes significam? Elas s˜ao universais ou particulares? Elas s˜ao ver-dadeiras? O universo de discurso em todos os casos ´e os n´umeros naturais.
a) ∀x∃y(x < y) b) ∃y∀x(x < y) c) ∃x∀y(x < y) d) ∀y∃x(x < y) e) ∃x∃y(x < y) f) ∀x∀y(x < y)
6 — O que as seguintes afirma¸c˜oes significam? Elas s˜ao verdadeiras? Dˆe exemplos e contra-exemplos quando poss´ıvel. O universo de discurso em todos os casos ´e os n´umeros naturais.
a) ∀x∃y(2x − y = 0) b) ∃y∀x(2x − y = 0) c) ∃y∃z(y + z = 100)
7 — Negue as seguintes proposi¸c˜oes: a) 3 > 4 e 2 ´e par.
b) N˜ao ´e verdade que (3 ´e par ou que 5 ´e impar).
c) 2 ´e um n´umero par e 3k + 1 ´e um n´umero ´ımpar.
d) 2 ´e n´umero par e n˜ao ´e verdade que 3 ´e um n´umero ´ımpar.
e) Todo elemento do conjunto A ´e elemento do conjunto B.
f) N˜ao ´e verdade que (5 ´e um n´umero primo e 4 ´e um n´umero ´ımpar).
g) (N˜ao ´e verdade que 5 ´e um n´umero primo) ou 4 ´e um n´umero ´ımpar.
8 — Nas seguintes proposi¸c˜oes abertas o dom´ınio de discurso ´e o conjunto dos reais. Para essas proposi¸c˜oes esboce na reta real o seu con-junto verdade.
a) x > 2 e x < 4 b) x > 2 ou x < 3
c) x > 2 ou ( x < 5 e x > 3)
d) n˜ao ´e verdade que (x > 2 e x < 4)
9 — Ache a contrapositiva (CP), a rec´ıproca (R) e a inversa (I) das seguintes proposi¸c˜oes con-dicionais:
a) n˜ao p⇒ q. b) n˜ao p⇒ n˜ao q.
c) p⇒ n˜ao q.
d) Se chove ent˜ao eu n˜ao vou trabalhar. e) Se x ´e par, ent˜ao 2x + 1 ´e ´ımpar.
f) Se minha m˜ae ´e um trator ent˜ao eu sou uma moto-serra.
g) Se 2k+ 1´e primo, ent˜ao k ´e uma potˆencia de 2.
h) Se x2+ y2= 0ent˜ao x e y s˜ao iguais a 0.
10 — Atribua um valor verdade `as seguintes proposi¸c˜oes:
a) Se 2 ´e par, ent˜ao 3 ´e ´ımpar. b) Se 2 n˜ao ´e par, ent˜ao 3 ´e ´ımpar.
c) Se 3 n˜ao ´e par, ent˜ao 3 n˜ao ´e ´ımpar. d) Se minha m˜ae ´e um trator ent˜ao eu sou
uma moto-serra.
11 — Para os pares de proposi¸c˜oes p e q diga se p ´e condi¸c˜ao necess´aria e\ou suficiente para q. Em todos os exemplos considere x um n´umero natural.
a) p= “x ´e maior que 2” q =“x ´e maior que 3”.
b) p=“x ´e maior que 2” q =“x ´e maior igual a 2”.
c) p=“x ´e maior que 0 e x ´e menor que 2” q =“x ´e menor que 2”.
d) p=“x ´e maior que 0 e x ´e menor que 2” q =“x = 1”.
e) p=“∆ ´e um triˆangulo is´osceles” q =“∆ ´e um triˆangulo equil´atero”.
f) p=“M ´e uma matriz com determinante di-ferente de 0” q =“M ´e uma matriz in-vert´ıvel”.
12 — Transcreva as seguintes proposi¸c˜oes para a forma simb´olica:
a) Existe um n´umero real n tal que n2 = 2. b) N˜ao existe n´umero racional x tal que x2 =
2.
c) Existe x tal que x2 ´e par e divis´ıvel por 3. d) N˜ao existe n´umero inteiro x tal que x2 ´e
primo ou x2 ´e negativo.
e) Existe um ´umero inteiro x tal que x2´e par ou x2 ´e ´ımpar.
f) Para cada n´umero real x existe um n´umero real y tal que x + y = 0.
g) Todo elemento do conjunto A ´e elemento do conjunto B.
h) Para todo , existe δ() tal que se 0 < |x − a| < δ ent˜ao |f(x) − f(l))| < ε.
i) Todo n´umero natural ´e divis´ıvel por 2, 3, 5 ou 7.
j) Para todo n´umero racional x, x ´e menor que 1/x.
k) Se a e b s˜ao dois n´umeros primos, ent˜ao ab´e primo.
l) Existem dois n´umeros cuja soma ´e 1000. m) N˜ao existe n´umero racional cujo quadrado
´ e 2.
n) Para todos n´umeros a e b reais, h´a um n´umero c que ´e menor que b e maior que a.
13 — Para cada uma das proposi¸c˜oes ante-riores, escreva a nega¸c˜ao simb´olica e “em por-tuguˆes”.
14 — Reescreva cada afirma¸c˜ao a seguir em l´ıngua natural, sem usar nota¸c˜ao simb´olica.
a) ∀n ∈ R, n < n2. b) ∃n ∈ R, n2 = n. c) ∃!n ∈ R, n2= n. d) ∃n ∈ R, n2 = n3. e) ∀n ∈ N, ∃k ∈ N : k < n. f) ∀a, b ∈ R, ∃c, d ∈ R : a < c + d < b. g) ∀a, b ∈ Z, ∃c ∈ Z : (a/b)c ∈ Z. h) ∀a, ∈ R, ∃b ∈ R : ∀c ∈ R, ab = c i) ∀a, ∈ R, ∀c ∈ R, ∃b ∈ R : ab = c
15 — A f´ormula de Bhaskara ´e uma proposi¸c˜ao universal. Descreva-a simbolicamente.
16 — Para todas as afirma¸c˜oes a seguir n de-nota um n´umero natural. Determine o conjunto verdade das seguintes proposi¸c˜oes abertas:
a) n2< 12 b) 3n + 1 < 25
c) 3n + 1 < 25 e n + 1 > 4 d) n < 5 ou n > 3
e) n ´e primo e n˜ao ´e verdade que n > 17
f) (n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5) = 0
17 — Para cada demonstra¸c˜ao, diga que tipo de t´ecnica de prova foi usada, e explique como a t´ecnica foi aplicada (o s´ımbolo | significa “di-vide”):
a) a|b e a|c → a|(b + c). Prova: se a|b, ∃k1:
ak1 = b; mas porque a|c, ∃k2 : ak2 = c.
Assim, b + c = ak1+ ak2 = a(k1+ k2), e
mostramos que ∃k : b + c = ak. 2 b) log23 ´e irracional. Prova: suponha que existem a e b tais que log23 = a/b com a, b∈ Z. Ent˜ao, 2a/b = 3, e (2a/b)b= 3b. Mas como (2a/b)b = 2, ter´ıamos que 2a = 3b. Mas 2 elevado a qualquer inteiro deve
ser par, e 3 elevado a qualquer inteiro deve ser ´ımpar. Como um n´umero n˜ao pode ser par e ´ımpar ao mesmo tempo, temos que concluir que log23´e irracional. 2 c) Se a e b s˜ao reais e ab ´e irracional, ent˜ao pelo menos um dentre a e b deve ser ir-racional. Prova: se tanto a como b fo-rem racionais, ent˜ao h´a k1, k2, k3, k4 ∈ Z
tais que a = k1/k2 e b = k3/k4. Ent˜ao,
ab = (k1/k2)(k3/k4) = (k(k1k3)
2k4) – o que
sig-nifica que ab poderia ser escrito como quo-ciente de dois inteiros. Portanto, se ab ´e irracional, ou a ou b deve ser irracional. 2
d) Se a ´e irracional, ent˜ao √a tamb´em ´e ir-racional. Prova: Se√afor racional, ent˜ao existem inteiros m e n tais que √a = m/n. Elevando ambos os lados ao qua-drado, temos a = m2/n2. Como m2 e n2 s˜ao inteiros, a ´e racional. 2 e) Para qualquer triˆangulo retˆangulo n˜ao de-generado (ou seja, com todos os lados de comprimento maior que zero), sejam a e b os comprimentos de seus catetos e c o comprimento de sua hipotenusa. Ent˜ao, a + b > c. Prova: Suponha que a + b ≤ c. Elevando ambos lados ao quadrado temos (a + b)2≤ c2, ou ainda, a2+ 2ab + b2 ≤
c2. Como o triˆangulo n˜ao ´e degenerado (todos os lados s`ao maiores que zero), a2+ b2 < a2+ 2ab + b2≤ c2, e portanto
a2+ b2 < c2. No entanto, o Teorema de Pit´agoras afirma que a2 + b2 = c2, e a prova est´a completa. 2
incor-retas. Aponte o erro em cada uma delas.
a) 1 < 0. Prova: Seja um n´umero real x < 1. Aplicando o logaritmo em ambos os lados da desigualdade, temos log x < log 1. Como sabemos que log 1 = 0, ent˜ao log x < 0. Agora dividimos ambos os lados por log x e obtemos 1 < 0. A b) Todo n´umero inteiro tem raiz quadrada in-teira. Prova: Provamos a contrapositiva de “∀n ∈ Z,√n ∈ Z”. Seja a =√n. Te-mos que a2= n, e como o quadrado de um inteiro ´e sempre outro inteiro, n tamb´em ´
e inteiro. A
c) Se 4|ab ent˜ao 4|a ou 4|b. Prova: Se 4|ab ent˜ao ab ´e da forma 4k para algum k. Por-tanto, ou a = 4m ou b = 4m para algum m. Assim, conclu´ımos que 4|a ou 4|b. A d) 1 = 2. Prova: Sejam a e b dois n´umeros iguais. Multiplicando ambos os lados de “a = b” por a obtemos a2 = ab. Sub-traindo b2 dos dois lados, a2− b2 = ab − b2. Fatorando, (a + b)(a − b) = b(a − b). Simplificando (a − b) temos a + b = b. Quando a e b valem 1, temos que 1+1 = 1, e est´a conclu´ıda a prova. A
19 — Demonstre as seguintes afirma¸c˜oes: a) Se a divide b e a divide c ent˜ao a divide
b + c.
b) Se p, q s˜ao n´umeros racionais, ent˜ao p + q ´
e um n´umero racional.
20 — Use o m´etodo de redu¸c˜ao ao absurdo
para provar cada uma das seguintes proposi¸c˜oes. a) A raiz c´ubica de 2 ´e irracional.
b) Dados a, b, c inteiros. Mostre que se a n˜ao divide bc, ent˜ao a n˜ao divide b.
21 — Prove cada uma das seguintes pro-posi¸c˜oes pelo m´etodo contra-positivo.
a) Se x e y s˜ao dois n´umeros inteiros cujo produto ´e ´ımpar, ent˜ao ambos tˆem de ser ´ımpares.
b) Se a e b s˜ao n´umeros reais tais que o pro-duto ab ´e um n´umero irracional, ent˜ao ou a ou b deve ser um n´umero irracional.
22 — Mostre que o produto de um n´umero ra-cional n˜ao nulo com um n´umero irracional ´e irra-cional.
23 — Dados a, b, c n´umeros inteiros com c 6= 0. Mostre que a divide b se e somente se ac di-vide bc.
Exerc´ıcios Complementares
24 — Use o m´etodo de redu¸c˜ao ao absurdo para provar cada uma das seguintes proposi¸c˜oes. a) N˜ao h´a solu¸c˜oes inteiras positivas para a
equa¸c˜ao x2− y2= 10.
b) N˜ao h´a solu¸c˜ao racional para a equa¸c˜ao x5+ x4+ x3+ x2+ 1 = 0.
Respostas dos Exerc´ıcios
1 a.)N˜ao, pode ser HI ou HO b.)Sim, necessari-amente ´e HO c.)Certamente ´e vermelho d.)Nada e.)Sim, ´e HO f.)Sim, ´e HO g.)N˜ao sabemos
2 a.)Sim, q(2) ´e verdadeira b.)N˜ao podemos concluir nada sobre p(3) c.)N˜ao podemos concluir nada sobre q(5)d.)Sim, p(7) ´e falsa
3 a.)v´alido b.)inv´alido c.)inv´alido d.)v´alido
4 a.)Exemplos: qualquer n´umero real maior que 1. Contra-exemplos: qualquer n´umero real menor igual a 1. b.)Exemplos: letra a. Contra-exemplos: letras b,n c.)Exemplos: qualquer n´umero real menor que 0 ou maior que 1. Os demais n´umeros reais s˜ao contra-exemplos. d.)Exemplos: qualquer par de n´umeros na-turais. Contra-exemplos: n˜ao possui.
5 a.)Para todo n´umero natural x existe um y tal que x < y. Ou seja, para qualquer n´umero natural ´e poss´ıvel achar um n´umero natural maior que ele. Ver-dadeira. Afirma¸c˜ao universal. b.)Existe um y tal que para todo x, x ´e menor que y. Isto ´e, existe um n´umero natural y maior que todo n´umero natural. Afirma¸c˜ao particular. Falsa. c.)Existe um n´umero natural me-nor que todos os n´umeros naturais. Afirma¸c˜ao parti-cular. Falsa. d.)Para todo n´umero natural, ´e poss´ıvel achar um n´umero menor que ele. Afirma¸c˜ao universal. Falsa. e.)Existem x e y tais que x < y. Afirma¸c˜ao particular. Verdadeira. f.)Dados dois n´umeros natu-rais quaisquer x e y, resulta x < y. Afirma¸c˜ao univer-sal. Falsa.
6 a.)Para qualquer escolha do n´umero natural x ´e poss´ıvel achar um n´umero natural y que satisfaz a equa¸c˜ao 2x − y = 0. Verdadeira (afirma¸c˜ao universal sem contra-exemplos). b.)Existe um n´umero natural y de modo que qualquer n´umero natural x satisfaz a equa¸c˜ao 2x−y = 0. Falsa, pois n˜ao h´a exemplos (uma vez escolhido y, a equa¸c˜ao 2x-y possui no m´aximo uma ´unica solu¸c˜ao). c.)Existem n´umeros naturais y e zcuja soma ´e igual a 100. Verdadeira. Alguns exem-plos: y = z = 50; y = 37 e z = 63; y = 0 e z = 100.
7 a.)3 ≤ 4 ou 2 ´e impar. b.)3 ´e par ou 5 ´e ´ımpar. c.)2 ´e ´ımpar ou 3k + 1 ´e um n´umero par. d.)2 ´e ´ımpar ou 3 ´e ´ımpar. e.)Existe um elemento no conjunto A que n˜ao ´e elemento do B. f.)5 ´e primo e 4 ´e ´ımpar. g.)5 ´e primo e 4 ´e par.
8 a.)Segmento aberto de extremos 2 e 4. b.)Toda a reta real. c.)Semi-reta aberta com extremo inferior 2. d.)Toda a reta, menos o segmento aberto de extremos 2 e 4.
9 a.)(CP): n˜ao q ⇒ p; (R):q ⇒ n˜ao p; (I):p ⇒ n˜ao q. b.)(CP): q ⇒ p; (R):n˜ao q ⇒ n˜ao p; (I):p ⇒ q. c.)(CP): q ⇒ n˜ao p; (R):n˜ao q ⇒ p; (I):n˜ao p⇒ q. d.)(CP): Se vou trabalhar ent˜ao n˜ao chove; (R): Se n˜ao vou trabalhar ent˜ao chove; (I): Se
n˜ao chove ent˜ao vou trabalhar. e.)(CP): Se 2x + 1 ´a par, ent˜ao x ´e ´ımpar; (R): Se 2x + 1 ´e ´ımpar, ent˜ao x ´
e par; (I): Se x ´e ´ımpar, ent˜ao 2x + 1 ´e par. f.)(CP): Se eu n˜ao sou uma moto-serra, ent˜ao minha m˜ae n˜ao ´
e um trator; (R): Se eu sou uma moto-serra, ent˜ao minha m˜ae ´e um trator; (I): Se minha m˜ae n˜ao ´e um trator, ent˜ao eu n˜ao sou uma moto-serra. g.)(CP): Se k n˜ao ´e uma potˆencia de 2, ent˜ao 2k + 1 n˜ao ´e primo; (R): Se k ´e uma potˆencia de 2, ent˜ao 2k+ 1´e primo; (I): Se 2k+ 1n˜ao ´e primo, ent˜ao k n˜ao ´e uma potˆencia de 2. h.)(CP): Se x 6= 0 ou y 6= 0, ent˜ao x2+ y2 6= 0; (R): Se x = y = 0, ent˜ao x2+ y2 = 0; (I): Se x2+ y26= 0, ent˜ao x 6= 0 ou y 6= 0.
10 a.)verdadeiro b.)verdadeiro c.)falso d.)verdadeiro
11 a.)Condi¸c˜ao necess´aria, mas n˜ao sufici-ente. b.)Condi¸c˜ao suficiente, mas n˜ao ne-cess´aria. c.)Condi¸c˜ao suficiente, mas n˜ao ne-cess´aria. d.)Condi¸c˜ao necess´aria, mas n˜ao sufici-ente. e.)Condi¸c˜ao necess´aria, mas n˜ao suficiente. f.)Condi¸c˜ao necess´aria e suficiente.
12 a.)∃n ∈ R | n2 = 2 b.)n˜ao∃x ∈ Q | x2 = 2 f.)∀x ∈ R, ∃y ∈ R | x + y = 0
13 a.)∀n ∈ R, n2 6= 2. Para todo n´umero real n, n26= 2. b.)∃x ∈ Q | x2 = 2. Existe um n´umero raci-onal x tal que x2= 2
. f.)∃x ∈ R | ∀y ∈ R, x + y 6= 0. Existe um n´umero real x tal que para todo n´umero real y, x + y 6= 0.
14 a.)Todo n´umero real ´e menor que seu quadrado. c.)Existe um ´unico n´umero real que ´e igual a seu pr´oprio quadrado. h.)Para todo n´umero real a existe algum outro real b tal que para qualquer c real, ab ´e igual a c.
15 A f´ormula diz que as solu¸c˜oes para ax2+ bx + c = 0s˜ao dadas por (−b±√b2− 4ac)/(2a).
Sim-bolicamente, ∀a, b, c, x, ax2+ bx + c = 0⇒ x = −b + √ b2− 4ac 2a ou x = −b − √ b2− 4ac 2a ! 16 a.){0, 1, 2, 3} c.){4, 5, 6, 7} e.){2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}
17 a.)Prova direta: partiu-se das hip´oteses e, atrav´es dos conceitos aritm´eticos envolvidos, obteve-se a tese. b.)Prova por absurdo: supondo-se a afirma¸c˜ao falsa, chegou-se a uma contradi¸c˜ao. c.)Prova contraposi-tiva: provou-se que a nega¸c˜ao da tese implica na nega¸c˜ao da hip´otese. d.)Prova contrapositiva. A
proposi¸c˜ao a ser provada pode ser escrita na forma nao R(a) ⇒ nao R(√a), onde R(x) corresponde `a afirma¸c˜ao ”x ´e racional”. A prova apresentada ´e a da forma R(√a)→ R(a). e.)Redu¸c˜ao ao absurdo. A proposi¸c˜ao diz que a + b > c, e a prova consiste em demonstrar que a nega¸c˜ao da proposi¸c˜ao, “a + b ≤ c”, leva ao absurdo.
18 a.)A pr´opria demonstra¸c˜ao diz que log x < log 1, portanto log x < 0. No entanto, ao multiplicar ou
dividir uma inequa¸c˜ao a < b por algum n´umero ne-gativo, como foi feito na ´ultima passagem, tem-se que −ak > −bk (isto ´e, o sinal da desigualdade ´e inver-tido). b.)A proposi¸c˜ao provada n˜ao ´e a contrapo-sitiva do que se queria provar, e sim a rec´ıproca. c.)A proposi¸c˜ao ´e “Se 4|ab ent˜ao 4|a ou 4|b”, e foi usada para provar a si mesma: “ab ´e da forma 4k . . . Portanto ou a = 4m ou b = 4m para algum m”. d.)Na passagem da simplifica¸c˜ao, estamos dividindo por zero, j´a que a = b.
