O presente artigo foi desenvolvido com base em um estudo estatístico realizado no mercado imo-biliário de Sorocaba, cidade localizada no interior de São Paulo. Neste estudo, objetivou-se a utili-zação de métodos de regressão linear múltipla na modelagem do preço de venda de casas da cidade de Sorocaba-SP com base em suas características. Visando obter maior qualidade na predição dos preços de venda, foram utilizados métodos de seleção de variáveis, que garantem a utilização ape-nas das variáveis relevantes ao problema, implicando em uma estimação mais fiel dos preços de venda. Além disso, uma das variáveis contidas era qualitativa, o que demandou o uso de variáveis dummy. Através dos métodos citados, chegou-se à conclusão de que algumas variáveis coletadas não deveriam fazer parte do modelo. Obteve-se assim, as variáveis importantes para a construção de um modelo de regressão linear múltipla adequado, que pode auxiliar de maneira eficiente na avaliação e estimação do preço de venda de imóveis situados em Sorocaba.
Regressão Linear Múltipla; Seleção de Variáveis; Estimação do Preço de Venda de Casas.
This article is based on a survey about the real estate market in Sorocaba, a city in the interior of Sao Paulo. The main objective of this study was to use the multiple linear regression modeling method for gauging housing prices in Sorocaba. In order to obtain higher quality in the prediction of sales pri-ces, various methods were used for selecting variables which can then guarantee the use of only using variables that are relevant to the problem, therefore resulting in a more accurate estimation of sale prices. In addition, a qualitative variable was included, which required the use of dummy variables. Using the methods mentioned we came to the conclusion that some of the variables collected should not be part of the model. Thus through obtaining the important variables for the construction of an appropriate multiple linear regression model, we can effectively assist in the evaluation and estima-tion of the sales prices of real estate located in Sorocaba.
Multiple Linear Regression; Selection of Variables; Estimation of the Sales Prices of Houses. Júlio César Pereira (UFSCar-SP/Brasil) - julio.pereira.ufscar@gmail.com,
• Rodovia João Leme dos Santos (SP-264), Km 110, 18052-780, Sorocaba-SP Salomão Garson (UFSCar-SP/Brasil) - salomaogars@hotmail.com
Elton Gean de Araújo (UFMS-MS/Brasil) - egarauj@yahoo.com.br
RESUMO
Palavras-chave
ABSTRACT
Keywords
Construção de um modelo para o preço de venda de
casas residenciais na cidade de Sorocaba-SP
1. INTRODUÇÃO
O município de Sorocaba, localizado no interior do estado de São Paulo, tem passado por um grande desenvolvimento nas últimas décadas. Sendo considerado o terceiro município mais populo-so do interior paulista e o quarto mercado consumidor do estado, com exceção da região metropo-litana, Sorocaba recebe grandes investimentos nos mais diversos setores, como industrial e educa-cional (PORTAL SOROCABA, 2010). Consequentemente, a cidade tem tido um grande crescimento populacional, levando a uma movimentação estrondosa no mercado imobiliário, que segundo Stei-ner et al. (2007), é uma das áreas mais dinâmicas do setor terciário da economia e a maior dificuldade em desenvolver estudos acerca do mesmo é a grande heterogeneidade das características (atributos e variáveis) de cada imóvel, bem como as relações que elas podem guardar entre si.
Além da utilidade como moradia, uma unidade imobiliária é também um investimento fi-nanceiro, e a construção de um modelo para predição de seu preço passa a ser necessária para a observação de sua volatilidade, para a estimativa dos retornos esperados e para sua avaliação. Assim, os compradores poderão medir o retorno de seus investimentos e os gerentes poderão es-timar seus preços conforme parâmetros valorizados pelo mercado (ROZENBAUM; MACEDO--SOARES, 2007).
Dada a grande quantidade de variáveis que podem ser utilizadas para explicar o preço de imóveis, é necessário que haja uma seleção do conjunto de variáveis independentes a ser usado no modelo. Algumas vezes, muitas das variáveis envolvidas não são importantes para modelar adequadamente o preço do imóvel. Nessas situações tem-se interesse em filtrar as variáveis candi-datas para obter um modelo que contenha o melhor conjunto possível de variáveis regressoras que expliquem a variável preço (Y). Dessa forma, espera-se obter um modelo final que contenha va-riáveis regressoras suficientes, de modo a obter desempenho satisfatório do modelo na descrição, bem como previsão, da variável Y. Por outro lado, para manter os custos mínimos de manutenção e tornar um modelo de fácil utilização, é desejável que o modelo use o menor número possível de variáveis regressoras. Diante desse conflito entre usar uma quantidade suficiente de vaiáveis que descreva bem a variável Y e o menor número possível de variáveis para que o modelo seja de fácil interpretação, é necessária a utilização dos métodos de seleção de variáveis (MONTGOMERY; RUNGER, 2008).
Pelo intenso aquecimento do mercado imobiliário de Sorocaba e pela dificuldade de predição e avaliação dos preços de venda de imóveis, o presente artigo tem por objetivo propor um modelo de regressão linear múltipla que auxilie na estimação dos preços de venda de imóveis da cidade de Sorocaba, a partir de suas características físicas e de sua localização. Para isso, foi considerada uma amostra de casas residenciais à venda na cidade. Além disso, foram utilizados métodos de seleção de variáveis, com o intuito de se obter um modelo de regressão linear adequado, que contemple apenas as variáveis relevantes ao estudo em questão e que estime de maneira fiel os preços de venda de uma casa situada em Sorocaba.
Este artigo está estruturado da seguinte forma: na seção 2 é feita uma revisão de literatura, em que alguns estudos semelhantes ao assunto abordado são apresentados, de forma a ilustrar que tipos de modelos são desenvolvidos para avaliação do mercado imobiliário; a seção 3 apresenta os mate-riais e métodos utilizados; na seção 4 são apresentados os resultados obtidos e discussões. Nas seções
2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Em estudos do mercado imobiliário, é comum utilizar modelos de regressão linear múltipla, a fim de analisar uma variável de interesse (Y) em função de diversas outras variáveis (xj). Por exemplo, Nadal et al. (2003) fez uso de uma amostra de 20 imóveis na cidade de Curitiba para o desenvolvimento de um modelo de regressão linear múltipla que auxiliasse na predição do preço de venda de um imóvel da cidade que havia sido desapropriado por fatores ambientais e turísticos. Foram utilizadas as variáveis idade aparente do imóvel, área equivalente, padrão da construção, número de vagas na garagem e preço de venda do imóvel para chegar ao modelo de regressão li-near, através do método dos mínimos quadrados. Além disso, foram realizados alguns testes para validação do modelo adotado, com o intuito de garantir a qualidade do modelo. Este é apenas um exemplo, entre diversos outros que empregam modelos de regressão para a modelagem do preço de venda de imóveis, como é o caso de Steiner et al. (2007), Rozenbaum e Macedo-Soares (2007), Gazola (2002), Alves (2005), Couto (2007) e Braulio (2005).
A regressão linear é um método estatístico que estabelece uma relação entre uma variável resposta Y e outras variáveis independentes x. A regressão linear simples considera um único re-gressor ou preditor x e uma variável dependente Y, enquanto a regressão linear múltipla relaciona Y com n outras variáveis, como apresentado a seguir.
Considerando-se k regressores o modelo de regressão linear múltipla pode ser expresso pela Equação 1, podendo ser escrito na forma reduzida, como na Equação 2 (MONTGOMERY; RUN-GER, 2008).
y = β0 + β1x1 + β2x2 + … + βkxk + ε (1)
y = β0 +
∑
βjxij + εik
j=1 (2)
Em que, βj, j = 0, 1,…, k são os coeficientes de regressão, sendo parâmetros que representam a variação esperada em y por unidade de variação em xj quando todos os outros regressores são mantidos constantes. Além disso, a regressão linear múltipla também pode ser trabalhada na for-ma for-matricial, como ilustra a Equação 3, em que n representa o número de observações utilizadas na amostra (MONTGOMERY; RUNGER, 2008).
(3) β1
β2
... βk
xi1 xi1 xi1xi2 xi1xik = xi1y1
2
xi1 xi2 xik y1
xik xik xi1 xi1xi2 xik xiky1
n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n i=1 n ... ... ... ... ... . . . . . . . . . 2
Esse modelo é utilizado com o objetivo de entender como Y se comporta após uma mudança em uma ou mais variáveis independentes. Dessa forma, é possível fazer inferências sobre a variável resposta, tais como realizar predições de seu comportamento e obter estimativas por intervalo (CHARNET et al., 1999; MONTGOMERY; RUNGER, 2008).
Dentre outros trabalhos que empregam técnicas de regressão linear aplicadas ao mercado imobiliário, pode-se citar Steiner et al. (2007), que realizaram um estudo imobiliário na cidade de Campo Mourão, no Paraná, utilizando a análise de agrupamento para criar grupos de imóveis com características mais homogêneas, para posteriormente utilizar a regressão linear múltipla, com o intuito de estimar preços de imóveis que seriam colocados à venda. Gazola (2002) coletou dados referentes a apartamentos da cidade de Criciúma, no estado de Santa Catarina, visando à estimação de preços de outros apartamentos a partir de suas características por meio de uma re-gressão linear múltipla. As variáveis utilizadas foram a área total do imóvel, consumo de energia, distância à escola, acessibilidade, idade do imóvel, dormitórios, meio ambiente, região homogê-nea, zona fiscal, padrão de entrada, classificação, conservação, garagem, suíte, dependência de empregada, elevador e pólos de valorização. Além disso, utilizou-se a técnica de Ridge Regression, que evita a multicolinearidade, que ocorre quando as variáveis independentes de uma regressão possuem relações lineares exatas ou aproximadamente exatas.
No mesmo âmbito, Alves (2005) avaliou preços de imóveis na cidade de Campo Mourão, no estado do Paraná, através de modelos de regressão linear e com o auxílio de um programa compu-tacional denominado AMI (Análise Multivariada de Imóveis), desenvolvido através da linguagem computacional MATLAB. A interface do programa oferece como opções três diferentes tipos de re-gressões e fornece o resultado de maneira imediata ao usuário. Além disso, Couto (2007) realizou um estudo imobiliário na cidade de Porto, em Portugal, através de ferramentas estatísticas, dentre elas, modelos de regressão linear múltipla, tendo sido seu trabalho voltado principalmente para imóveis destinados à habitação e com maior concentração na tributação imobiliária.
Braulio (2005) desenvolveu um modelo através de métodos estatísticos multivariados para avaliar imóveis em função de suas principais características na cidade de Campo Mourão, assim como Alves (2005). Porém, para apurar os dados coletados e garantir a confiabilidade do modelo final, foram utilizadas técnicas de análise multivariada, como análise de agrupamento e diversos testes de seleção de variáveis, como a análise de todas as regressões possíveis, o teste Stepwise (passo a passo), Seleção forward e Eliminação backward. O resultado obtido foi um modelo de regressão linear múltipla de alto nível de precisão no que diz respeito à predição de preços de ca-sas, apartamentos e terrenos da cidade de Campo Mourão. Já no estudo de Rozenbaun e Macedo--Soares (2007), foi construído um índice de preço de imóveis através de um modelo de regressão linear múltipla. Estes autores, citando Sirmans et al. (2005), elencam as seguintes variáveis entre as mais presentes nos estudos de avaliação do preço de imóveis, sendo elas: área privativa, número de quartos, localização, amenidades e idade do imóvel. Porém, a diferença do trabalho de Rozenbaun e Macedo-Soares (2007) com o desenvolvido por Braulio (2005) é que no primeiro não foram utili-zados métodos de seleção de variáveis formais, mas estas foram selecionadas de maneira subjetiva através de um modelo hedônico, que permite analisar a importância relativa a cada variável.
3. MATERIAL E MÉTODO DA PESQUISA
3.1. Material
Foi coletada uma amostra de 150 observações a partir dos websites de diversas imobiliárias da cidade de Sorocaba-SP. Foram consideradas as informações disponíveis nos sites, sendo as va-riáveis disponíveis: o preço de venda da casa (Y), quantidade de dormitórios (x1), área construída
em m2 (x
2), área do terreno em m2 (x3), número de vagas na garagem (x4) e a localização do imóvel
indicada pelo bairro (d), sendo que a amostra obtida cobriu todas as regiões da cidade.
3.2. Métodos
Os dados mencionados na seção anterior foram tratados utilizando-se técnicas de regres-são linear múltipla, na qual se procurou construir um modelo para o preço de casas em função das demais características disponíveis. E a fim de elencar as variáveis realmente importantes na formação do preço, foram empregados os métodos de seleção de variáveis. No que se segue são apresentados os métodos utilizados.
3.2.1. Seleção de Variáveis para a Modelagem do Preço
Com o intuito de selecionar as variáveis relevantes para a construção de um modelo relacio-nando o preço de venda das casas residenciais e suas características disponíveis, foram utilizados alguns métodos de seleção de variáveis.
Muitas vezes, nem todas as variáveis ou regressores são relevantes para o modelo, nesse ca-so, é necessário obter um subconjunto de variáveis que contenha apenas as que influenciam no sentido de melhorar o modelo. O objetivo ao se utilizar esses métodos é encontrar um modelo de regressão linear que contenha o melhor subconjunto de regressores, de modo a desempenhar sua função de forma satisfatória. Porém, quanto maior for o número de regressores, maior é o gasto de recursos para se trabalhar com o modelo, como o custo de manutenção e a dificuldade de utili-zação do modelo. Assim, a seleção de variáveis na verdade é um problema de otimiutili-zação, em que o objetivo é encontrar o melhor subconjunto de regressores que gere um modelo fiel (MONTGO-MERY; RUNGER, 2008). Os métodos de seleção de variáveis utilizados são citados a seguir.
3.2.1.1. Todas as regressões possíveis
Nessa abordagem, para se encontrar o melhor modelo, foram testadas todas as equações de regressão possíveis, considerando as quatro variáveis quantitativas disponíveis. Ou seja, foram ajus-tadas todas as equações existentes com apenas uma das variáveis candidatas, todas existentes com duas e assim por diante, obtendo um total de 24 equações diferentes. Assim, todas as equações foram
Um dos critérios utilizados para analisar e comparar as equações é o coeficiente de determi-nação múltipla (Rp 2), representado pela Equação 4.
Rp 2 = SQR (p) = 1 –
SQT
SQE (p)
SQT (4)
Em que SQR (p) é a soma quadrática da regressão, SQE (p) é a soma quadrática dos erros e SQt é a soma quadrática total, para um modelo com p variáveis. Conforme p aumenta, ocorre tam-bém um aumento em Rp. Assim, adicionam-se variáveis ao modelo até o ponto que é visível que o aumento em Rp é praticamente desprezível. Essa técnica é importante, pois mostra que existem modelos de regressão bons com números diferentes de regressores. Existe um momento em que se aumenta o número de regressores e a qualidade do modelo aumenta pouquíssimo, o que gera maior gasto de recursos pelo maior número de regressores.
Outro critério utilizado é o quadrado médio do erro, dado pela Equação 5. MQE (p) = SQE (p)
(n–p) (5)
Normalmente ocorre uma diminuição no MQE (p) quando p aumenta. Escolhe-se o mínimo MQE (p), pois a média quadrática devido ao erro seria menor, não prejudicando a qualidade do modelo.
Um terceiro critério utilizado foi a média quadrática total do erro, Cp, para o modelo de re-gressão. Essa medida é definida através da Equação 6.
Cp = SQE (p) = n + 2p
σˆ 2 (6)
As equações que possuem tendenciosidade negligenciável têm valores de Cp próximos de p, enquanto aquelas com tendenciosidades significantes terão Cp relativamente maiores do que p. Obviamente, o modelo escolhido é o que possui a média quadrática do erro mais próxima do valor de p, pois é o que possui menor tendenciosidade.
Outro critério empregado, apresentado na Equação 7, é o chamado Rp 2 ajustado, que é basica-mente uma modificação em Rp 2 que considera o número de variáveis no modelo.
Rp 2 = 1 – = (1 – R
p 2) (n – 1)
(n – p) (7)
Percebe-se que Rp 2 decresce à medida que p aumenta, se a diminuição de (n – 1)(1 – Rp 2) não for compensada pela perda de um grau de liberdade n – p. Além disso, o modelo selecionado é o de valor máximo do Rp 2 , que na verdade é o mesmo que selecionar o valor mínimo de MQE (p) (MONTGOMERY; RUNGER, 2008).
3.2.1.2. Regressão por etapas
Segundo Charnet et al. (1999), o método de regressão por etapas é o mais utilizado na seleção de variáveis de modelos de regressão, em que é construída uma sequência de modelos adicionando ou removendo variáveis, em cada etapa. Os três métodos de regressão por etapas foram utilizados, sendo o “Passo atrás”, “Passo a frente” e “Passo a Passo”. No primeiro caso, inicialmente foram uti-lizadas todas as variáveis do modelo e feitos testes de significância (Teste F) por etapas, sendo que a cada etapa, uma variável poderia ser eliminada. A partir do momento em que não foi eliminada nenhuma variável, as variáveis que restaram no processo foram as selecionadas. No método “Passo a frente”, iniciaram-se os testes com apenas uma variável, a de maior coeficiente de correlação amostral com a variável resposta y. Assim, foram realizados os testes, em que a cada etapa, poderia ser adicionada uma variável. Da mesma forma que no método “Passo atrás”, no momento em que nenhuma variável foi adicionada, o teste foi interrompido e foram utilizadas no modelo final as variáveis que restaram no conjunto.
O método “Passo a Passo” é semelhante ao “Passo a frente”, possuindo como diferença, o fato de que em cada etapa, alguma variável poderia ser descartada também. Ou seja, neste método, variáveis foram adicionadas e descartadas a cada etapa. Obtivemos o subconjunto de variáveis selecionado para utilização no modelo final quando nenhuma variável foi incluída ou excluída do modelo (CHARNET et al., 1999).
3.2.2. Variáveis Dummy
No presente estudo, foram utilizadas variáveis quantitativas, como quantidade de vagas na garagem, número de quartos, área útil e área do terreno. Porém, como no caso da utilização da variável bairro, muitas vezes existe a necessidade de utilizar variáveis não numéricas, chamadas de variáveis qualitativas e conhecidas na econometria como variáveis Dummy, que são binárias. Assim, em casos como informações sobre gênero (masculino ou feminino), pessoas que possuem ensino superior ou não, empresas que disponibilizam determinado serviço ou não, as variáveis Dummy são utilizadas (WOOLDRIDGE, 2010).
Geralmente essas variáveis possuem valor 1 para uma das opções e zero para a outra, como ilustra o exemplo na Tabela 1.
Tabela 1 – Exemplo de utilização de variáveis Dummy para variáveis com 2 níveis.
Bairro de Sorocaba Variável Dummy
Campolim 1
Não Campolim 0
Fonte: Dados da pesquisa.
Segundo Montgomery (2008), quando a variável qualitativa possui mais de dois valores, é necessária utilização de mais de uma variável Dummy, sendo que uma variável com t níveis pode ser modelada com t – 1 variáveis indicativas, como ilustra o exemplo na Tabela 2.
Tabela 2 – Exemplo da utilização de variáveis Dummy para variáveis com mais de 2 níveis. Bairros de Sorocaba Variável Dummy 1 Variável Dummy 2 Variável Dummy 3
Campolim 1 0 0
Jardim Vera Cruz 0 1 0
Jardim São Paulo 0 0 1
Centro 0 0 0
Fonte: Dados da pesquisa.
A princípio, no presente trabalho, os preços dos imóveis foram avaliados em função das va-riáveis quantitativas, tendo sido a variável bairro trabalhada posteriormente, por ser uma variável Dummy e demandar tratamento estatístico diferenciado.
Para todos os tratamentos estatísticos realizados no presente artigo, foi utilizado o software R Development Core Team (2010).
4. ANÁLISE DE DADOS E RESULTADOS
Antes de se iniciar o processo de ajuste de modelos e seleção de variáveis foi realizada uma análise da correlação entre as variáveis quantitativas, candidatas a regressores, x1 (número de
dor-mitórios), x2 (área do terreno), x3 (área construída), x4 (número de vagas na garagem) e a variável
resposta Y (preço do imóvel). O resultado obtido está expresso na Tabela 3.
Tabela 3 – Correlação entre as variáveis independentes quantitativas e a variável dependente.
x1 x2 x3 x4 Y x1 - 0,48 0,35 0,17 0,39 x2 0,48 - 0,84 0,45 0,88 x3 0,35 0,84 - 0,51 0,86 x4 0,17 0,45 0,51 - 0,48 Y 0,39 0,88 0,86 0,48
-Fonte: Dados da pesquisa.
Percebe-se que as variáveis x2, x3 apresentam fortes correlações com a variável y. Isso significa
que a relação entre a área do terreno e área construída das casas de Sorocaba é mais próxima de uma relação linear com o preço de venda, e havendo um crescimento de uma dessas variáveis, o valor do preço da casa acompanhará esse crescimento.
A Figura 1 corrobora com os resultados obtidos na Tabela 3, em que se nota forte associação entre as variáveis área do terreno e área construída das casas com o preço de venda. Porém,
ob-Figura 1 – Diagrama de dispersão entre preço e área construída da casa (a) e Diagrama de disper-são entre preço e área do terreno da casa (b).
Pr eç o i m óve l Pr eç o i m óve l 1.000 .000 1.000 .000 200 400 600 800 500 1000 1500 Área construída
(a) Área do terreno(b)
0 0 2. 000 .000 2. 000 .000
Fonte: Dados da pesquisa.
4.1. Seleção das Variáveis
Inicialmente foi utilizado o método “Todas as regressões possíveis”, sendo ajustados todos os possíveis modelos de regressão, considerando as variáveis independentes (x1, x2, x3 e x4). Os
mo-delos candidatos foram comparados através de alguns indicadores, como coeficiente de determi-nação múltipla (R2), coeficiente de determinação múltipla ajustado (R
p 2), quadrado médio do erro (MQE) e média quadrática total do erro (Cp). A Tabela 4 apresenta os resultados dos indicadores para cada modelo de regressão linear. As linhas em negrito representam os melhores indicadores a cada grupo de equações com as mesmas quantidades de variáveis.
Tabela 4 – Cálculo dos indicadores para seleção de variáveis de cada modelo candidato. Variáveis usadas na equação candidata R2 R2 ajustado MQ
E Cp Cp – p x1 0,1550 0.1268 7,0756E+10 469,8126 467,8126 x2 0,7823 0.7751 1,8223E+10 31,2468 29,2468 x3 0,7393 0.7306 2,1823E+10 60,5690 58,5690 x4 0,2343 0.2088 6,4114E+10 414,3482 412,3482 x1 e x2 0,7843 0.7771 1,8058E+10 31,9109 28,9109 x1 e x3 0,7497 0.7413 2,0958E+10 56,0978 53,0978 x1 e x4 0,3341 0.3119 5,5754E+10 346,5429 343,5429 x2 e x3 0,8268 0.8211 1,4495E+10 2,0181 -1.181 x2 e x4 0,7902 0.7832 1,7562E+10 27,6176 24,6176 x3 e x4 0,7429 0.7343 2,1527E+10 60,7042 57,7042 x1, x2 e x3 0,8271 0.8214 1,447E+10 3,6163 -1.163 x1, x2 e x4 0,7911 0.7841 1,7491E+10 28,6226 24,6226 x1, x3 e x4 0,7523 0.7441 2,0734E+10 56,1425 54,1425 x2, x3 e x4 0,8281 0.8224 1,439E+10 3,1344 -1.344 x1, x2, x3 e x4 0,8283 0.8226 1,4371E+10 4,9605 -1.605
A última linha da Tabela 4, representada pela equação que possui todas as variáveis, apresen-tou os melhores indicadores. Porém, como mostra o gráfico do comportamento do coeficiente de correlação múltipla, ilustrado na Figura 2, existe um ponto em que a adição de variáveis ao modelo não gera grandes diferenças nos indicadores. A equação que representa este ponto é a que possui apenas as variáveis x2 e x3, sugerindo que talvez não seja vantajoso incluir as variáveis x1 e x4 no
modelo, fato que não implicaria em melhora significativa na qualidade do mesmo. Figura 2 – Comportamento do coeficiente de determinação múltipla para cada equação.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 x1 x4 x3 x2 x1 e x4 x3 e x4 x1 e x2 x2 e x4 x2 e x3 x1, x3 e x4 x1, x2 e x4 x1, x2 e x3x2, x3 e x4 x1, x2, x3 e x4 x1 e x2 Co ef icie nt e d e d et er m in aç ão m últ ip la
Fonte: Dados da pesquisa.
Também foram aplicados os procedimentos de seleção de variáveis “Passo a Passo”, “Passo a Frente” e “Passo Atrás”. Esses procedimentos apresentaram os mesmos resultados que o método “Todas as Regressões”. Dessa forma, na Tabela 5 são apresentados os resultados apenas do método “Passo a Passo” divididos por etapas. As linhas em negrito na Tabela 5 indicam as variáveis que devem compor o modelo a cada etapa.
Assim como no método “Todas as Regressões”, observa-se na Tabela 5 que o método “Passo a Passo” indica não haver necessidade de se utilizar um modelo com mais que duas variáveis regres-soras dentre as variáveis testadas.
Tabela 5 – Cálculo dos indicadores para seleção de variáveis de cada modelo candidato usando o método “Passo a Passo”.
Etapa Variável presente na Equação Teste F p-valor (Resultado)
1
x1 22,564 5.56e-06 ***
x2 441,87 2.2e-16 ***
x3 350,65 2.2e-16 ***
Os resultados dos métodos de seleção de variáveis aplicados indicam a necessidade de se tra-balhar apenas com as variáveis x2 e x3, o que resultou em um modelo expresso através da Equação
8. Neste modelo, observa-se que a cada unidade aumentada na área útil das casas (x2), o valor do
preço terá um acréscimo de R$ 989,40, considerando a área do terreno fixa, ou seja, a área constru-ída é um dos atributos principais a serem considerados pelos investidores imobiliários, sendo este mais relevante do que o tamanho do terreno.
y = –34792,9 + 989,4x2 + 43,4x3 (8)
O fato das variáveis x1 e x4 (número de dormitórios e número de vagas na garagem) terem sido
eliminadas do modelo de regressão linear pode parecer não fazer sentido, pelo fato da estimação do preço de venda de uma casa ser baseada apenas na área útil e na área do terreno. No entanto, é perceptível o motivo que gerou este fato, sendo que na maioria das vezes, quanto maior a área útil de uma casa, maior o número de dormitórios presentes nela e quanto maior a área de um terreno, maior a possível quantidade de vagas na garagem; ou seja, para um terreno com área grande, mes-mo que a quantidade de vagas anunciadas não seja grande, espera-se que seja possível disponibili-zar espaço para esse fim. Assim, as variáveis x1 e x4, de certo modo, são explicadas pelas variáveis
x2 e x3, o que torna irrelevante a presença delas no modelo.
4.2. Variável Bairro
Na amostra coletada, existem casas de 23 bairros diferentes, havendo a necessidade da uti-lização de 22 variáveis Dummy, fato que prejudica a eficiência do modelo, visto que o objetivo do estudo é desenvolver um modelo de regressão linear com o melhor desempenho possível e utili-zando apenas variáveis relevantes. Dessa forma, foi realizada uma análise da diferença existente entre cada bairro, auxiliando no agrupamento dos bairros de características semelhantes. Para isso, consideraram-se as variáveis selecionadas anteriormente, x2 e x3, e ajustou-se um modelo
in-cluindo as 22 variáveis Dummy, representando os 23 bairros. Esse modelo foi ajustado diversas vezes, tomando como base um bairro diferente em cada ajuste, ou seja, a cada ajuste um bairro di-ferente era representado por todas as variáveis Dummy assumindo valores iguais a zero. Com isso foi possível verificar, através do teste de significância dos coeficientes de regressão, quais bairros eram diferentes do bairro base. Os bairros que não apresentaram diferenças significativas foram colocados no mesmo grupo.
Através do teste de significância dos coeficientes de regressão, bairros que possuem casas de características semelhantes foram agrupados. Dessa forma, foram criados 5 grupos que incluem os 23 bairros coletados na amostra, como ilustra a Tabela 6. Cada grupo formado representa, de certa forma, a similaridade social e de infra-estrutura dos bairros que compõem o grupo. O grupo 1, por exemplo, contém os bairros nobres, onde reside a elite da cidade e onde se concentram shopping centers e hipermercados. No grupo 2, pode-se dizer que se concentram bairros populares, no grupo 3 bairros de classe média, no grupo 4 bairros antigos e bem localizados, enquanto que no grupo 5 bairros localizados nos extremos da cidade e distantes do centro.
Tabela 6 – Grupos criados no agrupamento dos bairros.
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5
Campolim Nova Manchester Pq Vitória Régia Centro Cajuru
Jd dos Estados Jd Santo André Éden Vila Santana São Bento
Trujilo Pq das Laranjeiras Jd Casa Branca Jd Vera Cruz Vila Fiori
Santa Rosália Simus Jd São Paulo
Jd Europa Jd Tatiana
São Conrado Jd Bertanha
Jd Guaíba
Fonte: Dados da pesquisa.
Assim, o número de variáveis Dummy no modelo foi reduzido de 22 variáveis para apenas 4. Dessa forma, para realizar a estimação do valor de uma casa através do modelo final, deve-se utilizar a Tabela 6 para saber em qual grupo a casa em questão está inserida.
4.3. Modelo Final
Após a realização dos diversos testes para seleção de variáveis que explicam a variável y (pre-ço do imóvel), chegou-se a um conjunto de regressores composto pelas variáveis x2 e x3, que
repre-sentam área construída e área do terreno respectivamente, além das variáveis Dummy d1, d2, d3 e
d4, que representam os 5 grupos de bairros. O modelo de regressão final é apresentado através da
Equação 9.
y = 29020,7 + 887,7x2 + 451,9x3 + 88051,8d1 – 66601,1d2 – 360261d3 – 32951,7d4 – ε (9)
Para utilização do modelo, devem-se substituir as variáveis x2, x3 na equação pela área
cons-truída e área do terreno da casa que se deseja estimar o preço de venda. Para as variáveis Dummy, é preciso enquadrar o bairro do imóvel em um dos 5 grupos expostos na Tabela 6. Assim, deve-se utilizar a Tabela 7 para atribuir os valores às 4 variáveis, dependendo do grupo que está sendo con-siderado. Por exemplo, no caso da necessidade de se estimar o preço de venda de uma casa no bair-ro Jardim Eubair-ropa, percebe-se através da Tabela 6 que ele pertence ao grupo 3. Portanto, de acordo com a Tabela 7, a variável d3 deve ser igual a 1 e todas as outras variáveis Dummy devem ser nulas.
Tabela 7 – Valores das variáveis Dummy para cada grupo de bairros.
Grupo d1 d2 d3 d4
4.4. Validação Preditiva
A fim de realizar um teste de validação acerca da qualidade do modelo de regressão linear obtido, foram selecionadas ao acaso 10 casas da amostra utilizada, com o intuito de empregar o modelo para calcular seus preços de venda a partir de suas áreas construídas, áreas do terreno e bairros. O resultado obtido encontra-se na Tabela 8.
Tabela 8 – Utilização do modelo de regressão na previsão de preços de casas contidas na amostra utilizada.
Bairro x2 x3 Preço observado Preço estimado Erro (%)
Campolim 202 325 R$ 380.000,00 R$ 443.255,40 16,65% Campolim 341 360 R$ 500.000,00 R$ 582.462,20 16,50% Trujilo 515 420 R$ 920.000,00 R$ 764.036,00 -16,95% Santa Rosália 364 644 R$ 650.000,00 R$ 721.218,90 10,95% Pq das Larenjeiras 160 250 R$ 190.000,00 R$ 217.426,60 14,43% Jd Europa 200 152 R$ 260.000,00 R$ 239.223,40 -8,00% Pq São Bento 70 144 R$ 130.000,00 R$ 156.233,30 20,17% Trujilo 240 300 R$ 300.000,00 R$ 311.037,60 3,67% Trujilo 213 664 R$ 550.000,00 R$ 606.214,20 10,22% Pq Vitória Régia 69 125 R$ 100.000,00 R$ 110.733,40 19,73% Erro absoluto médio 13,73%
Fonte: Dados da pesquisa.
Como se pode perceber, existe uma diferença entre os preços de venda utilizados no mercado e os estimados através do modelo de regressão. No bairro Campolim, por exemplo, observou-se erros de previsão de aproximadamente 16,5% para as duas casas sorteadas. Porém, isso não implica em um padrão de erros aproximadamente iguais dentro dos bairros. Os valores dos erros de previ-são nesse bairro poderiam ser diferentes caso tivessem sido sorteadas outras casas para a previprevi-são. A exemplo disso, observa-se, por exemplo, o bairro Trujilo, em que o erro de previsão apresentou uma variação de -16,95% a 10,22%. Essa variação possivelmente poderia ser explicada por variáveis não medidas, como a localização do imóvel dentro do bairro (proximidade com o shopping center ou com a universidade localizados no bairro).
De uma forma geral, o erro absoluto médio de previsão foi estimado em cerca de 13,70%. Esta diferença pode ser causada pela falta de algumas variáveis que poderiam agregar qualidade ao modelo, como idade, estado de conservação do imóvel e proximidade com centros comerciais e escolas. Dessa forma, é possível que a falta de dados gere algumas imperfeições no modelo de regressão final.
Estes resultados indicam que o modelo proposto pode contribuir na avaliação do preço de casas da cidade de Sorocaba, visto que não ocorreu nenhuma diferença maior do que 20,17% entre o preço estimado e o preço observado. Os resultados, no entanto, mostram também a necessidade de se disponibilizarem mais informações a respeito do imóvel, tais como idade, estado de conser-vação, entre outras, como já citado anteriormente, a fim de se avaliar de maneira mais eficiente o imóvel e consequentemente estimar o preço de forma mais precisa.
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A partir do modelo desenvolvido para estimação de preços de venda de casas na cidade de Sorocaba, percebe-se a grande importância da prática de testes de seleção de variáveis antes da construção efetiva de um modelo. Isso se deve ao fato de que em alguns casos, a utilização de uma variável a mais no modelo traz um aumento de qualidade tão ínfimo no resultado final, que não justifica a utilização da variável em questão, pelo simples fato do objetivo principal, ao se trabalhar com regressão linear múltipla, ser a busca por um modelo eficaz e eficiente, ou seja, um modelo que cumpra com os objetivos propostos e ao mesmo tempo seja desenvolvido com utilização mí-nima de recursos.
Outra vantagem dos testes de seleção de variáveis, que pode ser vista no presente estudo, ocorre quando são identificadas variáveis que não precisam fazer parte do modelo, pois são expli-cadas por alguma outra variável já presente. É o caso das variáveis “número de quartos” e “número de vagas na garagem”, que foram retiradas do modelo, pois eram desnecessárias, dado que as vari-áveis “área útil” e “área do terreno” estavam no modelo. A aplicação dos diversos testes de seleção de variáveis indicou a irrelevância das variáveis que foram descartadas para o estudo proposto, porém, é importante haver uma interpretação do motivo pelo qual as variáveis estatisticamente não devem compor o modelo, o que não ocorre comumente. No presente caso, entende-se que em geral, uma casa com grande área construída possui maior número de dormitórios do que uma de menor área construída. Do mesmo modo, quanto maior a área do terreno de uma casa, maior a possibilidade desta possuir mais vagas na garagem. Assim, resultados estatísticos são interpreta-dos de maneira mais eficiente e torna-se mais fácil a exposição interpreta-dos mesmos para público em geral.
Com relação ao modelo final, é nítida a contribuição que este pode oferecer no mercado imo-biliário, pelo fato de o preço da casa ser estimado com base em suas características e ser semelhante ao preço de venda das casas dos bairros de características semelhantes. Desta forma, situações de casas superestimadas ou subestimadas seriam evitadas e, ao mesmo tempo, ocorreria grande facilidade da geração do preço do imóvel demandando pouquíssimo tempo e recursos, bastando apenas a utilização de um computador.
Como sugestão para futuros estudos, seria interessante a utilização de uma gama maior de variáveis relativas às casas, de modo a buscar um modelo de regressão ainda mais realista. Seria, também, interessante cogitar a possibilidade do desenvolvimento de um modelo de regressão line-ar que contemplasse não só casas, mas apline-artamentos e imóveis comercias, o que ampliline-aria a gama de utilização do modelo e traria muitos benefícios para o mercado imobiliário, podendo inclusive ser utilizado em imobiliárias na estimação dos preços de imóveis à venda. Além disso, pelo fato do grande crescimento da população universitária da cidade de Sorocaba, seria de suma importância a criação de um modelo que envolvesse preços de aluguéis de imóveis na cidade, os quais vêm ten-do demanda crescente nos últimos anos, e que com o crescimento ten-do ensino universitário público na cidade, tende a crescer ainda mais.
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