1. Conjuntos Numéricos 1.1 Números Naturais = {0,1,2,3,4,5,...} 1.2 Números Inteiros = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} 1.3 Números Racionais = { | } Obs.: Toda dízima periódica é um
número racional
1.4 Números Irracionais
Números com representação decimal infinita e não-periódica
são chamados números irracionais. EX.: = 3,14159265...
1.5 Números Reais
= { | }
2. Múltiplos e Divisores
2.1 Múltiplos de um número natural
Múltiplo de um número natural é o produto desse número por um número natural qualquer.
Ex.: 0, 7, 14, 21, 28, 35, ... são múltiplos de 7.
2.2 Divisores de um número natural
Se a divisão de um número natural por outro, não-nulo, for exata, podemos afirmar que o segundo é divisor do primeiro.
Ex. 15 é divisor de 135.
2.3 Critérios de divisibilidade
Divisibilidade por 2 – um número é divisível por 2 quando é par, ou seja, quando o último algarismo for par (0, 2, 4, 6, 8)
152 é divisível por 2, porque é par
(termina por 2) Divisibilidade por 3 – um número é divisível por 3 quando a
soma dos valores absolutos dos seus algarismos é divisível por 3.
207 é divisível por 3, pois a soma é 9 (2+0+7), e 9 é divisível por 3.
Divisibilidade por 4 – um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita é divisível por 4.
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
2032 é divisível por 4, pois 32 é divisível por 4.
Divisibilidade por 5 – um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades é zero ou 5.
405 é divisível por 5, porque o algarismo das unidade é 5.
Divisibilidade por 6 – um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (3+1+2 = 6) Divisibilidade por 8 – um número é divisível por 8 quando
termina em 000 ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita é divisível por 8.
7000 é divisível por 8, pois termina em 000. Divisibilidade por 9 – um número é divisível por 9 quando a
soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 9.
6435 é divisível por 9, pois a soma é 18, e 18 é divisível por 9.
Divisibilidade por 10 – um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero).
70 é divisível por 10, porque termina em 0.
2.4 Máximo Divisor Comum (mdc)
Como encontrar o MDC:
1º) Decompomos os números em fatores primos
2º) Multiplicamos os fatores primos comuns, cada um deles elevado ao menor expoente. O produto obtido é o maior divisor comum. ( ) ( )
2.5 Mínimo Múltiplo Comum (mmc)
1º)Decompomos os números em fatores primos.
2º) Multiplicamos os fatores primos comuns e não comuns, cada um deles elevado ao seu maior expoente. O produto obtido é o menor múltiplo comum.
( ) ( )
3. Potenciação e Radiciação
3.1 Potência de um número real com expoente inteiro
Produto de potências de mesma base: Quociente de potências de mesma base: Potência de uma potência: ( ) ( ) ( ) Potência de um produto ou de um
quociente:
( ) ( )
( ) Notação científica: , em que | | e . ⏟
3.2 Raiz de um número real
1ª Propriedade: √ √ 2ª Propriedade: √ √ √ , com e √ √ √ 3ª Propriedade: √ √ √ √ √ √ 4ª Propriedade: √ √ √ √ e é divisor de e . √ √ √ √ 5ª Propriedade: √ √ √ com √√ √ Obs.: Verificadas as devidas condições de existência.
3.3 Simplificação de Radicais
1º Caso: O índice do radical e os expoentes do radicando têm fator comum √ √ √
2º Caso: Um ou mais fatores do radicando têm expoentes iguais ao índice do radical √ √
3.4 Adição e Subtração de Radicais
1º Caso: todos os radicais são semelhantes
√ √ √ ( )√ √
2º caso: todos os radicais podem ser transformados em radicais semelhantes √ √ √ √ √ √ √
3º caso: apenas alguns radicais são semelhantes
√ √ √ √ √ √
3.5 Divisão de Radicais
1o Caso: o denominador é um radical de índice 2.
√ √ √ √ √ √ √ √
2o Caso: o denominador é um radical de índice diferente de 2.
√ √ √ √ √ √ √
3o Caso: o denominador é uma adição ou subtração de dois termos, em que pelo menos um deles é um radical. √ √ √ √ (√ ) √ (√ ) (√ ) 4. Cálculo algébrico
4.1 Expressões algébricas ou literais
As expressões algébricas classificam-se em racionais e irracionais: Racionais – quando não contem variável no radical.
Racionais Inteiras – quando não contêm variável ou variáveis no denominador. Exemplo:
Racionais Fracionárias – quando contêm variável ou variáveis no denominador. Exemplo:
Irracionais – quando contêm variável ou variáveis no radical. Exemplo:
√
4.2 Adição algébrica de monômios
Uma expressão algébrica em que todos os monômios são semelhantes pode ser simplificada somando-se algebricamente os coeficientes numéricos e conservando-se a parte literal.
( )
4.3 Multiplicação de monômios
O produto de dois ou mais monômios pode ser obtido multiplicando-se os coeficientes numéricos e as partes literais.
( ) ( )
4.4 Divisão de monômios
O quociente de dois monômios pode ser obtido dividindo-se os coeficientes numéricos e as partes literais entre si.
( ) ( )
4.5 Potenciação de monômios
A potência de monômio pode ser obtida elevando-se o coeficiente numérico e a parte literal à potência indicada.
4.6 Raiz quadrada de um monômio
A raiz quadrada de um monômio pode ser obtida extraindo-se a raiz quadrada do coeficiente numérico e dividindo-se por 2 o expoente de cada variável da parte literal.
√ | | | |
5. Produtos Notáveis e Fatoração
Quadrado da soma de dois termos ( ) Quadrado da diferença de dois termos ( ) Produto da soma pela diferença de dois
termos ( )( )
Cubo da soma de dois termos ( ) Cubo da diferença de dois termos ( )
Quadrado da soma de três números ( )
Soma de cubos ( )( )
Diferença de cubos ( )( )
Fator comum em evidência ( )
Agrupamento ( ) ( )=( )( )
6. Frações algébricas, Equações fracionárias e literais 6.1 Frações algébricas
O quociente de dois polinômios escritos na forma fracionária com uma ou mais variáveis ou incógnitas no denominador (diferente de zero) ou no numerador, chama-se fração algébrica.
6.2 Equações fracionárias
Quando a equação possui, pelo menos, um termo que é uma fração algébrica, é denominada
equação fracionária. Essas equações possuem condições para incógnita, pois esta não
poderá ser zero.
6.3 Equações literais
As equações literais possuem outras letras além da variável. Essas letras representam valores reais e, em geral, fazem parte da solução da equação.
7. Equação do Grau Equação
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. Exemplo:
Equação do 1º Grau, na incógnita x, é toda equação que pode ser escrita na forma ax = b, sendo a e b números racionais, com a 0.
Exemplo:
Equações equivalentes
Princípio aditivo das igualdades
Quando o mesmo número é adicionado aos dois membros de uma equação, obtém-se uma equação equivalente à equação dada.
( ( ) )
Princípio multiplicativo das igualdades
Multiplicando os membros de uma equação por um mesmo número diferente de zero, obtemos uma equação equivalente à equação dada.
8. Equações do Grau com duas incógnitas 8.1 Par ordenado
Indicamos por ( ) o par ordenado formado pelos elementos e , em que é o primeiro elemento e é o segundo elemento.
Exemplo:
( )
8.2 Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos e , não-vazios, denominamos produto cartesiano o conjunto de todos os pares ordenados ( ), em que e .
{( ) | }
8.3 Equações do Grau com duas incógnitas
Denominamos equação do grau com duas incógnitas ( e ) aquela que pode ser reduzida à forma , sendo e números racionais, ambos diferentes de zero e real.
Exemplo:
Um par ordenado ( ) é solução de uma equação ( e reais não-nulos), se para e a sentença é verdadeira
( ) é solução da equação acima.
8.4 Sistemas de Equações do Grau com duas incógnitas
A resolução de um sistema de duas equações com duas incógnitas consiste em determinar o par ordenado que, ao mesmo tempo, torne verdadeiras essas equações.
Métodos de resolução de sistemas: método da substituição;
método da adição; método da comparação; método gráfico.
8.5 Resolução de Problemas
Ler atentamente o problema; Escrever as equações do problema; Resolver o sistema;
Verificar se a solução satisfaz as condições do problema; Apresentar a resposta.
8.6 Módulo de um número real
Denominamos módulo de um número racional a distância desse número até a origem da reta numerada.
O módulo de é e indica-se | | . O módulo de é e indica-se | | . Para qualquer número real , tem-se
| | {
9. Equação do Grau
Chama-se equação do 2º grau com uma variável toda equação que pode ser colocada na forma:
, onde e
9.1 Resolução das equações do Grau
Para solucionar equações completas do 2o grau, utiliza-se a fórmula:
√
Denominamos discriminante o radicando , que é representado pela letra grega (delta).
De acordo com o valor de , temos:
1o Caso: o discriminante é positivo ( ) A equação tem duas raízes reais e diferentes.
√ √
2o Caso: o discriminante é nulo ( )
A equação tem duas raízes reais iguais.
3o caso: o discriminante é negativo ( )
O valor de √ não existe em . Não há, portanto, raízes reais. { }
9.2 Relação entre os coeficientes e as raízes
Soma das raízes( ): Produto das raízes ( ):
Quando conhecemos a soma e o produto das raízes da equação do grau, podemos reescrever o trinômio da seguinte forma:
Quando conhecemos as raízes da equação do grau, podemos reescrever o trinômio da seguinte forma:
( )( )
9.3 Equações Biquadradas
São equações do tipo:
, com e . Exemplo:
Composição da equação biquadrada:
Propriedades das equações biquadradas:
1a propriedade: A soma das raízes reais da equação biquadrada é nula.
2a propriedade: A soma dos quadrados das raízes da equação biquadrada é . 3a propriedade: O produto das raízes reais e não nulas da equação biquadrada é .
9.4 Equações Irracionais
Equação irracional é toda aquela que tem a incógnita no radicando. Exemplos:
√ √ √ √
Resolução de uma equação irracional:
1o – isolamos o radical em um dos membros da igualdade;
2o – elevamos ambos os membros da equação a uma potência conveniente; 3o – resolvemos a equação racional encontrada;
4o – verificamos se as raízes obtidas da equação racional podem ou não ser aceitas como raízes da equação irracional dada. (verificar a igualdade)
Cuidado!
A verificação é necessária, pois ao elevarmos os dois membros de uma equação a uma potência, podem aparecer na equação obtida raízes que não tornam verdadeira a equação dada.
9.5 Sistemas de Equações do grau
Para resolver um sistema de equações do 2ograu usamos o método da substituição. {
9.6 Problemas envolvendo equações do grau
Resolução de problemas envolvendo equações do 2o grau:
1o – Estabelecer a equação ou sistema de equações que traduzam o problema para a linguagem matemática;
2o – Resolver a equação ou o sistema de equações;
3o – Interpretar as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.
10. Inequações do grau com uma incógnita 10.1 Inequações
Denominamos inequação toda sentença matemática aberta expressa por uma desigualdade. Exemplo:
10.1 Inequações
Em uma inequação, o que vem antes do sinal da desigualdade chama-se primeiro membro e o que vem depois, segundo membro.
⏟
⏟
10.2 Inequação do grau com uma incógnita
Uma inequação com uma incógnita é considerada do 1º grau quando pode ser escrita das seguintes formas:
Exemplo:
11. Razão
Denominamos razão entre dois números e (b 0) o quociente ou a : b. Os termos dessa razão são a e b. O número a é denominado antecedente, e o número b, consequente.
11.1 Algumas razões importantes
Consumo Médio – é a razão entre a distância percorrida e o combustível consumido.
Densidade Demográfica – é a razão entre o número de indivíduos e a área ocupada.
Velocidade Média – é a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto.
Densidade Absoluta ou Massa Específica – é a razão entre a massa e o volume desse corpo.
12. Proporção
Dados quatro números racionais a, b, c, d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do primeiro para o segundo for igual à razão do terceiro para o quarto.
Exemplo: Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36
Lê-se: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. 12.1 Propriedade Fundamental das Proporções
De modo geral, concluímos que:
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Exemplo:
Transformação de uma proporção Dada a proporção
são equivalentes a ela as seguintes proporções:
Dados três números racionais a, b e c não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que
Exemplo:
Proporção contínua
Terceira Proporcional
Dados dois números racionais a e b não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números um número x tal que:
Exemplo: Calcular a terceira proporcional de :
Média Geométrica ou Média Proporcional
Dada uma proporção contínua,
o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c.
8 é média geométrica entre 16 e 4.
12.4 Propriedade das Proporções
Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o segundo (ou primeiro) termo assim como a soma dos dois últimos termos está para o quarto (ou terceiro) termo.
Exemplo:
Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o segundo (ou primeiro) termo assim como a diferença dos dois últimos está para o quarto (ou terceiro) termo.
Exemplo:
Em uma proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada antecedente está para seu consequente.
Exemplo:
Em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes assim como cada antecedente está para o seu consequente.
Exemplo:
Em uma proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes assim como o quadrado de cada antecedente está para o quadrado do seu consequente.
Exemplo: 12.3 Proporção Múltipla
Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Exemplo:
Dada a série de razões iguais
De acordo com as propriedades vistas podemos escrever:
13. Grandezas proporcionais e regra de três 13.1 Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual à razão entre os valores da segunda.
13.2 Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda.
13.3 Regra de três
1º) construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo, na mesma linha, as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais 3º) montar a proporção e resolver a equação.
14. Funções e inequações do grau 14.1 Função
Dados dois conjuntos A e B, chama-se função de A em B qualquer relação entre os elementos desses conjuntos, de modo que a cada elemento de A se associe um único elemento de B.
Dada a relação Dada a relação
A relação é uma função, pois para cada elemento do conjunto , está associado um
único elemento do conjunto .
A relação não é função, pois o elemento 3 do conjunto A não está associado a nenhum
14.2 Domínio, contradomínio, conjunto imagem e valor de uma função
Tendo A = {0,1,3} B= {1,3,5,7,8} e a função f representada no diagrama abaixo.
Temos:
Domínio (ou conjunto de partida) é o conjunto , indicado por ( ).
Contradomínio (ou conjunto de chegada) é o conjunto , indicado por ( ).
Conjunto imagem é o subconjunto do contradomínio e corresponde ao conjunto constituído de elementos de que estão associados a elementos de , indicado por ( ).
14.3 Função Afim
Chamamos de função afim toda a função, de R em R, que pode ser indicada por
Exemplo:
( )
Função do grau
Toda a função de R em R que pode ser escrita na forma , com , é uma função do 1o grau.
Exemplo:
Função linear
Função linear, um caso particular do 1o grau, é toda função de em que pode ser escrita na forma:
Exemplo:
Função constante
Função constante é toda função de R em R que pode ser escrita na forma . Exemplo:
Gráfico da função afim:
O gráfico de uma função afim é uma reta.
Função do grau Função Linear Função Constante
15. Funções quadráticas
Denomina-se função polinomial do grau ou função quadrática toda função de em definida por .
Exemplo:
15.1 Gráfico da função quadrática
O gráfico de uma função quadrática ( ) , é uma parábola, onde a concavidade é definida pelo coeficiente e o corte no eixo ⃗⃗⃗⃗ é definido pelo discriminante . Observe a tabela:
15.2 Estudo do sinal da função quadrática Estudo do sinal: Para ou Para ou Para Estudo do sinal: Para Para Estudo do sinal:
será positivo para qualquer valor real de . Estudo do sinal: Para ou Para Para ou Estudo do sinal: Para Para Estudo do sinal:
será negativo para qualquer valor de .
15.3 Coordenadas do vértice
Quando , a função tem um ponto de mínimo.
Quando , a função tem um ponto de máximo. ( )
16. Segmentos proporcionais e semelhança 16.1 Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas determina em duas transversais segmentos proporcionais.
Se a//b//c, então ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
16.2 Teorema de Tales nos triângulos
Toda paralela a um lado de um triângulo determina, sobre os outros lados, segmentos proporcionais.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅
16.3 Teorema da Bissetriz
A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ 16.4 Semelhança
P1. Se dois polígonos são semelhantes, a razão entre seus perímetros é igual à razão entre as medidas de dois lados homólogos quaisquer dos polígonos.
P2. Se dois polígonos são semelhantes, então a razão entre suas áreas é igual ao quadrado da razão de semelhança entre eles.
16.5 Triângulos semelhantes
Dois triângulos são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais.
16.6 Teorema fundamental da semelhança
Toda paralela a um lado de um triângulo que intercepta os outros dois lados em pontos distintos determina, com esses lados, um triângulo semelhante ao primeiro.
16.7 Casos de semelhança 1o Caso: AA (Ângulo – Ângulo)
Se dois triângulos possuem dois ângulos congruentes, eles são semelhantes.
2o Caso: L.A.L (Lado – Ângulo – Lado)
Se dois triângulos possuem dois lados correspondentes proporcionais e os ângulos compreendidos congruentes, eles são semelhantes.
3o Caso L.L.L (Lado – Lado – Lado)
17. Relações métricas e razões trigonométricas em um triângulo retângulo 17.1 Elementos de um triângulo retângulo
medida da hipotenusa e medida dos catetos
medida da altura relativa à hipotenusa medida da projeção de AC sobre a hipotenusa
medida da projeção de AB sobre a hipotenusa
17.2 Relações métricas em um triângulo retângulo
Em todo triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa determina dois outros triângulos retângulos semelhantes entre si e também ao triângulo dado.
( )
17.3 Aplicações do Teorema de Pitágoras Diagonal de um quadrado de lado :
√
Altura do triângulo equilátero √
17.4 Seno, cosseno e tangente
Seno do ângulo
Cosseno do ângulo
Tangente do ângulo
17.5 As razões trigonométricas dos ângulos notáveis no primeiro quadrante
Ângulo 0° 30° 45° 60° 90°
Seno 0 √ √ 1
Cosseno 1 √ √ 0
tangente 0 √ 1 √
17.6 Relações trigonométricas em um triângulo qualquer
Para qualquer triângulo ABC:
LEI DOS SENOS
LEI DOS COSSENOS
18. Relações métricas na circunferência 18.1 Relação entre as cordas
Na circunferência ao lado, temos duas cordas, e , que se cortam em um certo ponto , distinto do centro dessa circunferência. Vale sempre a seguinte relação:
18.2 Relação entre secantes
Na circunferência ao lado, temos duas secantes traçadas de um mesmo ponto exterior .
é um segmento de reta secante e é a parte externa desse segmento.
é um segmento de reta secante e é a parte externa desse segmento.
18.3 Relação entre secante e tangente
é um segmento de reta secante e é a parte externa desse segmento.
é um segmento de reta tangente. 19. Polígonos Regulares 19.1 Polígonos
P1. Todo triângulo inscrito em uma semicircunferência é retângulo.
P2. Os ângulos opostos de um quadrilátero inscrito em uma circunferência são suplementares.
19.2 Polígonos regulares
Polígonos regulares são aqueles cujos lados têm a mesma medida e cujos ângulos internos têm a mesma medida
Ângulo central: Ângulo interno: ( ) Ângulo externo:
19.3 Relações métricas nos polígonos regulares
TRIÂNGULO REGULAR
INSCRITO QUADRADO INSCRITO
HEXÁGONO REGULAR INSCRITO Po lígo nos Regula re s Apótema √ √ Lado √ √ APÓTEMA
Apótema é o segmento que une o centro do polígono regular ao ponto médio de qualquer um de seus lados.
O apótema é igual ao raio da circunferência inscrita no polígono regular.
Em todo polígono regular, o centro da circunferência inscrita e o centro
da circunferência circunscrita coincide e são chamados de centro do
polígono regular.
Circunferência circunscrita Circunferência inscrita Centro do polígono regular
CALCULANDO O COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA Comprimento da circunferência:
O comprimento de uma semicircunferência, cujo ângulo central associado mede 180°, é igual à metade do comprimento da circunferência.
O comprimento do arco, cujo ângulo central mede 90°, é igual a do comprimento da circunferência.
O comprimento do arco, cujo ângulo central mede β: (β em radianos)
Área do círculo =
Quadro de Unidades de área
Múltiplos Unidade Fundamental Submúltiplos Quilômetro quadrado Hectômetro quadrado Decâmetro quadrado Metro quadrado Decímetro quadrado Centímetro quadrado Milímetro quadrado km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 Medidas Agrárias hectare – are – centiare –
20. Áreas de algumas figuras geométricas planas RETÂNGULO Área ( ): Perímetro ( ): ( ) QUADRADO Área ( ): Perímetro( ): TRIÂNGULO Área ( ): PARALELOGRAMO Área ( ): LOSANGO Área ( ): TRAPÉZIO Área ( ): ( )
ÁREA DE UM POLÍGONO REGULAR = medida do lado
= medida do apótema = número de lados
A área ( ) pode ser calculada das seguintes maneiras:
Sendo que é o semiperímetro do polígono, então:
Quadro de unidades de volume
Múltiplos Unidade fundamental Submúltiplos
Quilômetro cúbico Hectômetro cúbico Decâmetro cúbico Metro cúbico Decímetro cúbico Centímetro cúbico Milímetro cúbico km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
21. Volume do cubo, do paralelepípedo e de prismas CUBO PARALELEPÍPEDO PRISMAS
Ângulos: agudo, obtuso e reto Ângulo agudo é o ângulo
cuja medida é menor que 90º.
Ângulo obtuso é o ângulo
cuja medida é maior que 90º e menor que 180º.
Ângulo reto é o ângulo cuja
medida é 90º.
Duas retas concorrentes que formam ângulos retos entre si são chamadas de
perpendiculares.
Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de
oblíquas.
Ângulos Complementares
Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.
Para calcular a medida do complemento de um ângulo, devemos determinar a diferença entre 90º e a medida do ângulo dado.
Medida do
ângulo Complemento
Ângulos suplementares
Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º. Para calcular a medida do
suplemento de um ângulo, devemos determinar a
diferença entre 180º e a medida do ângulo dado.
Medida do
ângulo Suplemento
.
Ângulos opostos pelo vértice
Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semi-retas opostas aos lados do outro. Esses ângulos têm a mesma medida.
22. Matemática Comercial e Financeira
22.1 Calculando aumento ou redução com porcentagem
Determinação de lucro, crescimento, rendimento e outros
Nas operações comerciais, o preço de venda de um produto deve ser igual ao seu preço de custo mais o lucro desejado. Assim:
preço de venda preço de custo lucro na operação comercial
Fator de multiplicação = 1 + taxa percentual de lucro (escrita na forma decimal)
Acréscimo 10% 15% 18% 25% 38% 85% 90% 100% 350% Fator de
Determinação de prejuízo, desconto e redução
Fator de multiplicação = 1 – taxa percentual de desconto (escrita na forma decimal)
Desconto 10% 15% 18% 25% 38% 64% 76% 85% 90%
Fator de
multiplicação 0,90 0,85 0,82 0,75 0,62 0,36 0,24 0,15 0,10
22.2 Juros Simples
Quando o valor a ser pago pelo empréstimo é calculado apenas sobre o capital inicial, mantendo-se constante durante todo o período da transação, trabalha-se com juros simples.
Capital ( ) – dinheiro que se empresta ou se toma emprestado
taxa ( ) – percentual que representa os juros recebidos ou pagos, ao final de um período.
tempo ( ) – período utilizado na transação.
Um capital emprestado a uma taxa mensal ( ) durante meses, gera um total de juros .
Montante ( ) corresponde ao capital mais o total de juros.
23. Estatística e Probabilidade 23.1 Estatística
Chama-se rol, toda sequência de dados numéricos dispostos em ordem crescente ou decrescente, podendo ocorrer números iguais.
(10 , 8 , 8 , 8 , 7 , 6 , 3 e 1)
Para interpretar uma grande quantidade de dados, montamos uma tabela e indicamos a quantidade de vezes que os dados são repetidos, o que chamamos de frequência. Obtemos, assim, a tabela de
distribuição de frequência.
Nota 4 5 6 7 8 9
Medidas Estatísticas
Média Aritmética de dois ou mais números é o
quociente da soma desses números pelo número de parcelas.
Média Aritmética Ponderada de dois ou mais valores é
o valor obtido somando-se os produtos de cada valor pelo seu respectivo peso, dividindo-se, a seguir, o resultado pela soma dos pesos.
Mediana é o valor que ocupa exatamente o meio de um
rol, quando seus valores estão dispostos em ordem crescente ou decrescente. ⏟ ⏟ ⏟
Moda é o valor que mais se repete em uma série
estatística.
1,2,2,3,3,3,5,7 Moda = 3
23.2 Probabilidade
Seja E evento de experimento aleatório com um espaço amostral equiprovável S. Para encontrar as chances da ocorrência desse evento, calculamos a sua probabilidade.
E = {1,2,3,4,5,6}, n(E) = 6 O evento que queremos é
A = {1,2,3}, n(A) = 3
Logo P(A) = ( ) ( ) ou P(A) = 50%
“As raízes do estudo são amargas, mas seus frutos são doces.” Aristóteles
