Tableau e conjuntos verdade revisitados

Tableau analítico

■

Fórmulas etiquetadas: uma expressão formada por uma

fórmula X qualquer precedida de um dos dois símbolos,

o V ou o F;

■

Definição:

■

VX é chamada de

verdadeira

,

SE

X é verdadeira;

VX é chamada de

falsa

,

SE

X é falsa;

■

FX é chamada de

verdadeira

,

SE

X é falsa;

FX é chamada de

falsa

,

SE

X é verdadeira;

■

Conclusão:

■

Conjugada de uma fórmula etiquetada: trocar

o símbolo “V” por “F” ou “F” por “V”;

■

a conjugada de VX é FX;

■

a conjugada de FX é VX;

O tableau pode ser usado para

mostrar que uma fórmula é uma

conseqüência vero-funcional de um

conjunto finito de fórmulas

▪

Se

Γ

╞

X, então podemos:

▪

Provar que [

Γ

→

X] é uma tautologia;

p

→

(q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(q

→

p)

p

→

(q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(q

→

p)

q

p

p

→

(q

→

p)

¬p

_(q

_→

_p)

p

→

(q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(q

→

p)

q

p

p

→

(q

→

p)

¬p

_(q

_→

_p)

p

→

(q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(q

→

p)

q

p

p

→

(q

→

p)

¬p

_(q

_→

_p)

p

→

(q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(q

→

p)

q

p

p

→

(q

→

p)

¬p

_(q

_→

_p)

p

→

(q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(q

→

p)

q

p

p

→

(q

→

p)

¬p

_(q

_→

_p)

p

→

(q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(q

→

p)

q

p

p

→

(q

→

p)

¬p

_(q

_→

_p)

p

¬q

p

→

(

q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(

q

→

p)

¬

q

p

p

→

(q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(q

→

p)

q

p

p

→

(q

→

p)

¬p

_(q

_→

_p)

p

¬q

p

→

(

q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(

q

→

p)

¬

q

p

p

→

(

q

→

p)

¬

p

₍

_q

_→

_p)

p

¬¬

q

p

→

(q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(q

→

p)

q

p

p

→

(q

→

p)

¬p

_(q

_→

_p)

p

¬q

p

→

(

q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(

q

→

p)

¬

q

p

p

→

(

q

→

p)

¬

p

₍

_q

_→

_p)

p

¬¬

q

p

→

(q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(q

→

p)

q

p

p

→

(q

→

p)

¬p

_(q

_→

_p)

p

¬q

p

→

(

q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(

q

→

p)

¬

q

p

p

→

(

q

→

p)

¬

p

₍

_q

_→

_p)

p

¬¬

q

p

→

(q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(q

→

p)

q

p

p

→

(q

→

p)

¬p

_(q

_→

_p)

p

¬q

p

→

(

q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(

q

→

p)

¬

q

p

p

→

(

q

→

p)

¬

p

₍

_q

_→

_p)

p

¬¬

q

p

→

(q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(q

→

p)

q

p

p

→

(q

→

p)

¬p

_(q

_→

_p)

p

¬q

p

→

(

q

→

p)

v

v

v

p

f

f

(

q

→

p)

¬

q

p

p

→

(

q

→

p)

¬

p

₍

_q

_→

_p)

p

¬¬

q

V ¬X F X

1) F ¬X

V X 1) _FV ¬X _{X V}F ¬X _X

V (X & Y) V X V Y

2) F (X & Y) F X | F Y

V (X V Y) V X | V Y

3) F (X V Y) F X F Y

V (X → Y) F X | V Y

4) F (X → Y) V X F Y

(X & Y) X Y

2) ¬ (X & Y) ¬ X | ¬ Y

(X V Y) X | Y

3) ¬ (X V Y) ¬ X ¬ Y

(X → Y) ¬ X | Y

4) ¬ (X → Y) X ¬ Y

Regras para fórmulas

etiquetadas

V ¬X F X

1) F ¬X

V X 1) _F ¬X _X F ¬X _X

V (X & Y) V X V Y

2) F (X & Y) F X | F Y

V (X V Y) V X | V Y

3) F (X V Y) F X F Y

V (X → Y) F X | V Y

4) F (X → Y) V X F Y

(X & Y) X Y

2) ¬ (X & Y) ¬ X | ¬ Y

(X V Y) X | Y

3) ¬ (X V Y) ¬ X ¬ Y

(X → Y) ¬ X | Y

4) ¬ (X → Y) X ¬ Y

Regras para fórmulas

etiquetadas

V ¬X F X

1) F ¬X

V X 1) ¬X _X¬ ¬ ¬X _X

V (X & Y) V X V Y

2) F (X & Y) F X | F Y

V (X V Y) V X | V Y

3) F (X V Y) F X F Y

V (X → Y) F X | V Y

4) F (X → Y) V X F Y

(X & Y) X Y

2) ¬ (X & Y) ¬ X | ¬ Y

(X V Y) X | Y

3) ¬ (X V Y) ¬ X ¬ Y

(X → Y) ¬ X | Y

4) ¬ (X → Y) X ¬ Y

Regras para fórmulas

etiquetadas

V ¬X F X

1) F ¬X

V X 1) ¬ ¬X _X

V (X & Y) V X V Y

2) F (X & Y) F X | F Y

V (X V Y) V X | V Y

3) F (X V Y) F X F Y

V (X → Y) F X | V Y

4) F (X → Y) V X F Y

(X & Y) X Y

2) ¬ (X & Y) ¬ X | ¬ Y

(X V Y) X | Y

3) ¬ (X V Y) ¬ X ¬ Y

(X → Y) ¬ X | Y

4) ¬ (X → Y) X ¬ Y

Regras para fórmulas

etiquetadas

1) _{1) ¬X} X ¬

V (X & Y) V X V Y

2) F (X & Y) F X | F Y

V (X V Y) V X | V Y

3) F (X V Y) F X F Y

V (X → Y) F X | V Y

4) F (X → Y) V X F Y

(X & Y) X Y

2) ¬ (X & Y) ¬ X | ¬ Y

(X V Y) X | Y

3) ¬ (X V Y) ¬ X ¬ Y

(X → Y) ¬ X | Y

4) ¬ (X → Y) X ¬ Y

Regras para fórmulas

etiquetadas

1) _{1) ¬X} X ¬

V (X & Y) V X V Y

2) F (X & Y) F X | F Y

V (X V Y) V X | V Y

3) F (X V Y) F X F Y

V (X → Y) F X | V Y

4) F (X → Y) V X F Y

(X & Y) X Y

2) ¬ (X & Y) ¬ X | ¬ Y

(X V Y) X | Y

3) ¬ (X V Y) ¬ X ¬ Y

(X → Y) ¬ X | Y

4) ¬ (X → Y) X ¬ Y

Regras para fórmulas

etiquetadas

Regras para fórmulas

não etiquetadas

V ¬X_ FX|FX

_

α

_

α

α

Regra A -

__

β

__

β

β

Regra B -

α α α

V(X & Y) VX VY

F(X V Y) FX FY

F(X VX FY

V ~X FX FX

F ~X VX VX

β β β

F(X & Y) FX FY

V(X V Y) VX VY

V(X FX VY

α α α

V(X & Y) VX VY

F(X V Y) FX FY

F(X VX FY

V ~X FX FX

F ~X VX VX

β β β

F(X & Y) FX FY

V(X V Y) VX VY

V(X FX VY

V ~X FX FX

F ~X VX VX

α α α

(X & Y) X Y

~(X V Y) ~X ~Y

~(X X ~Y

~ ~X X X

β β β

~(X & Y) ~X ~Y

(X V Y) X Y

(X ~X Y

α α α

(X & Y) X Y

~(X V Y) ~X ~Y

~(X X ~Y

~ ~X X X

β β β

~(X & Y) ~X ~Y

(X V Y) X Y

(X ~X Y

? ? ?

α = ¬(X → Y)

α₂ = ¬Y

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X C(α₁) = ¬X

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X

C(α₂) = Y C(α₁) = ¬X

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X

LOGO (j₂):

C(α₂) = Y C(α₁) = ¬X

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X

LOGO (j₂):

C(α₂) = Y C(α₁) = ¬X

C(α₁) = (Cα)₁

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X

LOGO (j₂):

C(α₂) = Y C(α₁) = ¬X

C(α₁) = (Cα)₁ C(α₂) = (Cα)₂

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X

LOGO (j₂):

C(α₂) = Y C(α₁) = ¬X

C(α₁) = (Cα)₁ C(α₂) = (Cα)₂

C(β₁) = (Cβ)₁

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X

LOGO (j₂):

C(α₂) = Y C(α₁) = ¬X

C(α₁) = (Cα)₁ C(α₂) = (Cα)₂

C(β₁) = (Cβ)₁ C(β₂) = (Cβ)₂

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X

LOGO (j₂):

C(α₂) = Y C(α₁) = ¬X

C(α₁) = (Cα)₁ C(α₂) = (Cα)₂

C(β₁) = (Cβ)₁ C(β₂) = (Cβ)₂

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X

LOGO (j₂):

C(α₂) = Y C(α₁) = ¬X

C(α₁) = (Cα)₁ C(α₂) = (Cα)₂

C(β₁) = (Cβ)₁ C(β₂) = (Cβ)₂

α₁ = C(β₁)

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X

LOGO (j₂):

C(α₂) = Y C(α₁) = ¬X

C(α₁) = (Cα)₁ C(α₂) = (Cα)₂

C(β₁) = (Cβ)₁ C(β₂) = (Cβ)₂

α₁ = C(β₁)

α₂ = C(β₂)

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X

LOGO (j₂):

C(α₂) = Y C(α₁) = ¬X

C(α₁) = (Cα)₁ C(α₂) = (Cα)₂

C(β₁) = (Cβ)₁ C(β₂) = (Cβ)₂

α₁ = C(β₁)

α₂ = C(β₂)

α = Cβ _{Cα = β}

α = ¬(X → Y) α = (X → Y)

α₂ = ¬Y

α₁ = X _(Cα)

2 = Y

(Cα)₁ = ¬X

LOGO (j₂):

C(α₂) = Y C(α₁) = ¬X

C(α₁) = (Cα)₁ C(α₂) = (Cα)₂

C(β₁) = (Cβ)₁ C(β₂) = (Cβ)₂

α₁ = C(β₁)

α₂ = C(β₂)

α = Cβ _{Cα = β}

β₁ = C(α₁)

J

: A conjugada de algum

α

é um

β

e

vice-versa, i.e., C

α

=

β

e C

β

=

α

J

: Se

α

é a conjugada de

β

, então

α

é a

conjugada de

β

e

α

é a conjugada de

β

J

: (a) CX é diferente de X

(b) CCX = X

Conjuntos verdade revisitados

■

Consideremos fórmulas não etiquetadas;

S: conjunto de fórmulas não etiquetadas;

■

S é um conjunto verdade ou conjunto valorado,

sse

:

(0)

P

ara qualquer X, exatamente uma dentre X e

¬

X pertence a S;

a)

Para qualquer

α

,

α

∈

S

↔

(

α

∈

S &

α

∈

S);

Conjuntos verdade revisitados

■

Se S é conjunto de fórmulas etiquetadas; então S é

um conjunto verdade ou conjunto valorado,

sse

:

(0)

P

ara qualquer X, exatamente uma dentre X e

CX pertence a S;

a)

Para qualquer

α

,

α

∈

S

↔

(

α

∈

S &

α

∈

S);

Prova de que (b) se segue de (0) e (a)

Prova de que (b) se segue de (0) e (a)

Assuma um conjunto S que satisfaça as condições (0) e (a). Então temos de mostrar que:

β pertença a S

⇒

Caso I:

Prova de que (b) se segue de (0) e (a)

Assuma um conjunto S que satisfaça as condições (0) e (a). Então temos de mostrar que:

β pertença a S

⇒

Se nem β₁ nem β₂ pertencessem a S, então Cβ₁ e Cβ₂

pertenceriam a S

por (0)

Caso I:

Prova de que (b) se segue de (0) e (a)

Assuma um conjunto S que satisfaça as condições (0) e (a). Então temos de mostrar que:

β pertença a S

⇒

Se nem β₁ nem β₂ pertencessem a S, então Cβ₁ e Cβ₂

pertenceriam a S

por (0)

Caso I:

β pertence a S

⇔

Se Cβ₁ = α₁ e Cβ₂ = α₂, então α₁ e α₂ pertenceriam a S

Prova de que (b) se segue de (0) e (a)

Assuma um conjunto S que satisfaça as condições (0) e (a). Então temos de mostrar que:

β pertença a S

⇒

Se nem β₁ nem β₂ pertencessem a S, então Cβ₁ e Cβ₂

pertenceriam a S

por (0)

por (a) Se α₁ e α₂ pertencerem a S, então α pertencerá a S

Caso I:

β pertence a S

⇔

Se Cβ₁ = α₁ e Cβ₂ = α₂, então α₁ e α₂ pertenceriam a S

Prova de que (b) se segue de (0) e (a)

Assuma um conjunto S que satisfaça as condições (0) e (a). Então temos de mostrar que:

β pertença a S

⇒

Se nem β₁ nem β₂ pertencessem a S, então Cβ₁ e Cβ₂

pertenceriam a S

α = Cβ, logo Cβ pertenceria a S

por (0)

por (j₁)

por (a) Se α₁ e α₂ pertencerem a S, então α pertencerá a S

Caso I:

β pertence a S

⇔

Se Cβ₁ = α₁ e Cβ₂ = α₂, então α₁ e α₂ pertenceriam a S

Prova de que (b) se segue de (0) e (a)

Assuma um conjunto S que satisfaça as condições (0) e (a). Então temos de mostrar que:

β pertença a S

⇒

Se nem β₁ nem β₂ pertencessem a S, então Cβ₁ e Cβ₂

pertenceriam a S

α = Cβ, logo Cβ pertenceria a S

por (0)

por (j₁)

por (a) Se α₁ e α₂ pertencerem a S, então α pertencerá a S

Mas Isso significaria que β, Cβ pertenceriam a S, o que contrariaria a condição (0)

Caso I:

β pertence a S

⇔

Se Cβ₁ = α₁ e Cβ₂ = α₂, então α₁ e α₂ pertenceriam a S

Prova de que (b) se segue de (0) e (a)

Assuma um conjunto S que satisfaça as condições (0) e (a). Então temos de mostrar que:

β pertença a S

⇒

Se nem β₁ nem β₂ pertencessem a S, então Cβ₁ e Cβ₂

pertenceriam a S

α = Cβ, logo Cβ pertenceria a S

por (0)

por (j₁)

por (a) Se α₁ e α₂ pertencerem a S, então α pertencerá a S

Mas Isso significaria que β, Cβ pertenceriam a S, o que contrariaria a condição (0)

Caso I:

Logo Se β pertencer a S, então Não poderia ser o caso que

nem β₁ nem β₂ pertencessem a S, ao menos um dos dois teria de pertencer!

β pertence a S

⇔

Se Cβ₁ = α₁ e Cβ₂ = α₂, então α₁ e α₂ pertenceriam a S

Suponha que β₁ ou β₂ pertencessem a S (vamos escolher β₁)

Se β não pertencer a S, então Cβ pertence a S por (0)

Suponha que β₁ ou β₂ pertencessem a S (vamos escolher β₁)

Se β não pertencer a S, então Cβ pertence a S

Cβ é algum α

por (0)

por (j₁)

Suponha que β₁ ou β₂ pertencessem a S (vamos escolher β₁)

Se β não pertencer a S, então Cβ pertence a S

Cβ é algum α

por (0)

por (j₁)

por (a) α₁ e α₂ pertencem a S

Suponha que β₁ ou β₂ pertencessem a S (vamos escolher β₁)

Se β não pertencer a S, então Cβ pertence a S

Cβ é algum α

por (0)

por (j₁)

por (a) α₁ e α₂ pertencem a S

Suponha que β₁ ou β₂ pertencessem a S (vamos escolher β₁)

α₁ = C(β₁) e α₂ = C(β₂) por (j₂)

Se β não pertencer a S, então Cβ pertence a S

Cβ é algum α

por (0)

por (j₁)

por (a) α₁ e α₂ pertencem a S

Suponha que β₁ ou β₂ pertencessem a S (vamos escolher β₁)

α₁ = C(β₁) e α₂ = C(β₂) por (j₂)

C(β₁) e C(β₂) pertencem a S Logo

Se β não pertencer a S, então Cβ pertence a S

Cβ é algum α

por (0)

por (j₁)

por (a) α₁ e α₂ pertencem a S

Mas Isso significaria que β₁, Cβ₁ pertenceriam a S, o que contrariaria a condição (0)

Suponha que β₁ ou β₂ pertencessem a S (vamos escolher β₁)

α₁ = C(β₁) e α₂ = C(β₂) por (j₂)

C(β₁) e C(β₂) pertencem a S Logo

Se β não pertencer a S, então Cβ pertence a S

Cβ é algum α

por (0)

por (j₁)

por (a) α₁ e α₂ pertencem a S

Mas Isso significaria que β₁, Cβ₁ pertenceriam a S, o que contrariaria a condição (0)

Suponha que β₁ ou β₂ pertencessem a S (vamos escolher β₁)

α₁ = C(β₁) e α₂ = C(β₂) por (j₂)

C(β₁) e C(β₂) pertencem a S Logo

Logo Se β₁ pertencer a S, Não pode ser o caso que β

não pertença, ele tem de pertencer!

Fórmulas etiquetadas

■

Se S for um conjunto de fórmulas etiquetadas,

S será um conjunto verdade ou conjunto

valorado, ou ainda conjunto saturado, se no

lugar de:

■

(0) para qualquer X, exatamente uma dentre X e

¬

X pertence a S;

■

tivermos:

Conjuntos saturados para cima e para

baixo

■

Conjunto fechado para baixo: se, para cada

α

e

β

,

(1) se

α

está em S, então

α

,

α

estão ambos em S;

(2) se

β

está em S, então ao menos um dentre

β

ou

β

está em S.

■

Conjunto fechado para cima: se, para cada

α

e

β

, (1)

ALGUMAS DEFINIÇÕES

!

■

Diferença entre completude simples e

completude estendida:

■

Completude simples:

■

╞

s

⇔

|

s,

s é uma

sentença

.

■

Completude estendida:

■

╞

Γ

⇔

⊢

Γ

,

Γ

é um

conjunto de sentenças

(possivelmente