Otimização robusta de estruturas utilizando o método da base reduzida

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(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL. OTIMIZAÇÃO ROBUSTA DE ESTRUTURAS UTILIZANDO O MÉTODO DA BASE REDUZIDA. Renato de Siqueira Motta. Dissertação submetida ao Corpo Docente do Curso de Pós-Graduação da Universidade Federal de Pernambuco, como parte dos requisitos necessários à obtenção do Grau de Mestre em Ciências em Engenharia Civil.. Orientador: Silvana Maria Bastos Afonso da Silva Co-orientador: Paulo Roberto Maciel Lyra. Recife, Pernambuco – Brasil Novembro de 2009..

(2) OTIMIZAÇÃO ROBUSTA DE ESTRUTURAS UTILIZANDO O MÉTODO DA BASE REDUZIDA. Renato de Siqueira Motta. Dissertação submetida ao Corpo Docente do Curso de Pós-Graduação da Universidade Federal de Pernambuco, como parte dos requisitos necessários à obtenção do Grau de Mestre em Ciências em Engenharia Civil.. Aprovada por: _____________________________________________ Prof. Silvana Maria Bastos Afonso da Silva, Ph.D. Orientador - UFPE _____________________________________________ Prof. Paulo Roberto Maciel Lyra, Ph.D. Co-orientador - UFPE _____________________________________________ Prof. Bernardo Horowitz, Ph.D. Examinador Interno - UFPE _____________________________________________ Prof. Ramiro Brito Willmersdorf, Ph.D. Examinador Externo - UFPE _____________________________________________ Prof. Luis Eloy Vaz, Dr.-Ing. Examinador Externo - UFRJ. Recife, Pernambuco – Brasil Novembro de 2009..

(3) M921o. Motta, Renato de Siqueira Otimização robusta de estruturas utilizando o método da base reduzida / Renato de Siqueira Motta. - Recife: O Autor, 2009. xiii, 121 f.; il., gráfs., tabs. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 2009. Inclui Referências bibliográficas. 1. Engenharia civil. 2. Otimização Robusta. 3. Método da Colocação Probabilística. 4. Otimização Multiobjetivo. 5. Método da Base Reduzida. I. Título. UFPE 624 CDD (22. ed.). BCTG/2010-043.

(4) “No processo de evolução das espécies, somos um ótimo local” iv .

(5) OTIMIZAÇÃO ROBUSTA DE ESTRUTURAS UTILIZANDO O MÉTODO DA BASE REDUZIDA Renato de Siqueira Motta Resumo Com o rápido aumento da capacidade computacional, o tema otimização avançou de maneira notável nos últimos anos. Atualmente inúmeras aplicações de projetos ótimos em diferentes especialidades, como mecânica estrutural, custos de produção, escoamento de fluidos, acústica, etc. têm sido descritas na literatura. Entretanto, na maioria das aplicações da engenharia, a abordagem tradicional é considerar modelos e parâmetros determinísticos. Infelizmente a abordagem determinística pode levar a soluções cujo desempenho pode cair significativamente devido às perturbações decorrentes das incertezas. Nestas circunstâncias, um objetivo melhor seria um projeto ótimo que tenha um alto grau de robustez. O processo de encontrar este ótimo é chamado Otimização Robusta (OR). Aqui, abordaremos duas técnicas para a análise de propagação de incerteza, não intrusivas, que utiliza modelos computacionais determinísticos: o método de Monte Carlo (MC) e o método da Colocação Probabilística (“Probabilistic Collocation Method”) (PCM). A análise de propagação de incerteza essencialmente envolve o cálculo de momentos estatísticos da função de interesse. Várias medidas de robustez têm sido propostas na literatura, em particular, o valor médio e o desvio padrão da função envolvida no problema de otimização serão considerados aqui. Quando estas medidas de robustez são usadas combinadas, a procura de projetos ótimos robustos surge como um problema de Otimização Multiobjetivo Robusta (OMR). Técnicas de Otimização Multiobjetiva permitem o projetista modelar um problema específico considerando um comportamento mais realista, o qual comumente envolve o atendimento de vários objetivos simultaneamente. O procedimento adequado, quando um problema multiobjetivo precisa ser resolvido, é determinar a fronteira de Pareto. Nos últimos 15 anos, distribuições eficientes de pontos de Pareto têm sido obtidas através de novos algoritmos como o NBI (Normal-Boundary Intersection) e o NNC (Normalized Normal-Constraint). Estas estratégias são implementadas aqui, junto com outras abordagens comumente utilizadas na literatura, como o método da soma ponderada e o método Min-Max. Como a geração de pontos de Pareto e a análise de incerteza podem ser muito custosas, técnicas de aproximação, baseada no uso do Método da Base Reduzida (MBR), são incorporadas ao nosso procedimento. O propósito do método é obter um modelo de alta fidelidade com custo computacional aceitável. Além disto, uma estratégia de separabilidade com uma decomposição afim, permite o desenvolvimento de uma estratégia eficiente de cálculo “off-line/on-line”, para a implementação computacional do MBR. Problemas contínuos em duas dimensões submetidos a carregamentos estáticos e térmicos são as aplicações consideradas neste trabalho, os desempenhos das diferentes estratégias examinadas são comparadas. A combinação das várias técnicas de aproximação descritas permitiu a obtenção das soluções OMR em pouco tempo computacional. Palavras chaves: Otimização robusta, método da Colocação Probabilística, Otimização Multiobjetivo, Método da base reduzida. v .

(6) STRUCTURAL ROBUST OPTIMIZATION CONSIDERING REDUCED-BASIS METHOD Renato de Siqueira Motta Abstract The topic of optimization has advanced in a remarkable manner in recent years, with the rapid growth of computational power. Nowadays a number of applications on design optimization from different disciplines such as structural mechanics, acoustics, etc. have been already reported in literature. However, in most engineering applications, the traditional approach is to consider deterministic models and parameters. Unfortunately, the deterministic approach generally leads to a final design whose performance may degrade significantly because of perturbations arising from uncertainties. In this scenario a better target that provides an optimal design is one that gives a high degree of robustness. The process to find such optimal is referred to as robust optimization (RO). Here, we discuss two nonintrusive uncertainty propagation analysis techniques that exploit deterministic computer models: Monte Carlo (MC) method and Probabilistic Collocation Method (PCM). The uncertainty propagation analysis essentially involves computing the statistical moments of the output. Several robustness measures have been proposed in the literature, in particular, the expected value and standard deviation of the function involved in the optimization problem are considered here. When using these robustness measures combined the search of optimal robust design appears as a robust multiobjetive optimization (RMO) problem. Multiobjective optimization techniques allow a designer to model a specific problem considering a more realistic behavior, which commonly involves the satisfaction of several targets simultaneously. The computation of the Pareto front solutions is the adequate procedure when a multiobjective problem has to be solved. In the last 15 years efficient Pareto point distribution has been obtained through the use of new algorithms such as NBI (Normal-Boundary Intersection), and NNC (Normalized Normal-Constraint). These two strategies are implemented in this work together with other commonly considered approaches in literature such as weighted sum method and min-max method. As the generation of Pareto points and the uncertainty analysis could be very costly, approximation techniques based on the use of Reduced Basis Method (RBM) are also incorporated in our procedure. The purpose of such scheme is to get high fidelity model information with acceptable computational expense. Moreover, a parameter separability strategy together with the affine decomposition allows the development of an efficient off-line/on-line calculation strategy for the computational implementation of the RBM. Two dimensional continua problems under static loads are the applications addressed in this work and the performance of the different strategies discussed are compared. The combination of all the approximate methodologies described in this work allows the computations of RMO solutions, with very low computational time. Keywords: Robust optimization, Probabilistic Collocation Method, Multiobjetive optimization, Reduced basis method vi .

(7) SUMÁRIO LISTA DE SÍMBOLOS 1. INTRODUÇÃO. ix 1. 1.1. MOTIVAÇÃO E CONSIDERAÇÕES INICIAIS. 1. 1.2. OBJETIVOS. 3. 1.3. ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO. 5. 1.4. REFERÊNCIAS. 5. 2. PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS 2.1. FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS TÉRMICOS 2.1.1. Método dos Elementos Finitos aplicado à problemas térmicos 2.2. FORMULAÇÕES DOS PROBLEMAS ELÁSTICOS. 8 8 9 11. 2.2.1. Método dos Elementos Finitos aplicado à elasticidade bidimensional 13 2.2.2. Acoplamento termo-elástico 2.3. MAPEAMENTO DAS EQUAÇÕES DO MEF. 14 15. 2.3.1. Mapeamento da equação térmica. 16. 2.3.2. Mapeamento da equação elástica. 18. 2.4. MÉTODO DA BASE REDUZIDA 2.4.1. Procedimento Computacional Off-Line/On-Line 2.5. EXEMPLOS. 20 23 24. 2.5.1. Placa quadrada com orifício central. 24. 2.5.2. Exemplo termo-elástico acoplado. 28. 2.6. REFERÊNCIAS 3. OTIMIZAÇÃO ESCALAR E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE. 32. 34. 3.1. INTRODUÇÃO. 34. 3.2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA. 35. 3.3. PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA. 35. 3.3.1. Condições de ótimo para problemas com restrições. 36. 3.3.2. Programação Quadrática Sequencial - SQP. 38. 3.4. ANÁLISE DE SENSIBILIDADES. 40.

(8) 3.4.1. Método das diferenças finitas globais. 41. 3.4.2. Método direto. 41. 3.5. INTEGRAÇÃO ANÁLISE/OTIMIZAÇÃO 3.5.1. O método da base reduzida no procedimento de otimização (a) Análise de sensibilidade através do RBM. 42 43 43. 3.6. EXEMPLOS. 45. 3.7. REFERÊNCIAS. 48. 4. OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO. 52. 4.1. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA. 52. 4.2. CONCEITO DE ÓTIMO DE PARETO. 53. 4.3. MÉTODOS PARA GERAÇÃO DE PONTOS DE PARETO. 54. 4.3.1. Método da Soma Ponderada dos Objetivos. 54. 4.3.2. Método Min-Max. 56. 4.3.3. Método da Interseção Contorno-Normal (NBI). 56. 4.3.4. Método da Restrição Normal Normalizada (NNC). 59. 4.3.5. Diferenças entre o NBI e o NNC. 61. 4.4. EXEMPLOS. 62. 4.4.1. Treliça de 3 barras. 62. 4.4.2. Placa quadrada com um orifício central. 63. 4.4.3. Placa engastada - problema aclopado. 66. 4.5. PROBLEMAS COM MAIS DE DUAS FUNÇÕES OBJETIVO. 68. 4.5.1. Exemplo geométrico com 3 funções objetivo. 72. 4.5.2. Exemplo analítico com 3 funções objetivo. 73. 4.5.3. Placa sob ação termo-estrutural acoplada com 3 funções objetivo. 75. 4.6. REFERÊNCIAS 5. OTIMIZAÇÃO CONSIDERANDO INCERTEZAS. 77. 80. 5.1. INTRODUÇÃO. 80. 5.2. TEORIA PROBABILÍSTICA E ESTATÍSTICA. 81. 5.2.1. Variáveis Aleatórias. 82. 5.2.2. Distribuições de probabilidade. 83. 5.3. CÁLCULO DAS ESTATÍSTICAS. 85. 5.3.1. Método de Monte Carlo. 86. 5.3.2. Técnicas de amostragem. 89.

(9) (a) Exemplo - MC por diferentes amostragens. 90. 5.3.3. Método da Colocação Probabilística (PCM). 92. (a) Polinômios ortogonais. 92. (b) Quadratura de Gauss. 93. (c) Aplicando Quadratura de Gauss à estatística - PCM. 95. (d) Implementação Computacional. 99. 5.3.4. Exemplos. 101. (a) Verificação - PCM. 101. (b) Função Periódica. 103. (c) Função com singularidade. 104. 5.4. OTIMIZAÇÃO ROBUSTA. 109. 5.4.1. Medidas de Robustez. 109. 5.4.2. Exemplo: Placa quadrada com orifício central. 112. (a) Determinação das amostras. 112. (b) Resultado da otimização. 114. 5.5. REFERÊNCIAS 6. CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS. 115. 118. 6.1. PRINCIPAIS DESENVOLVIMENTOS. 118. 6.2. CONCLUSÕES DOS RESULTADOS OBTIDOS. 118. 6.3. TRABALHOS FUTUROS. 120.

(10) LISTA DE SÍMBOLOS ABREVIATURAS E SIGLAS Capítulo 2 MEF. Método dos Elementos Finitos.. EF. Elementos Finitos.. Q4. Elemento retangular isoparamétrico linear de quatro nós.. T3. Elemento triangular linear de três nós (vide CST).. CST. “Constant Strain Triangle” – Elemento triangular de deformação constante.. MBR. Método da Base Reduzida.. NGL. Número de Graus de Liberdade. Le. Tamanho médio dos elementos. Capítulo 3 SSO. “Structural Shape Optimization” - Otimização estrutural de forma.. SQP. “Sequential Quadratic Programming” - Programação sequencial quadrática.. KKT. Karush-Kuhn-Tucker – Relativo às condições de ótimo.. BFGS. Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shann - Métodos para aproximação da matriz Hessiana. MDF. Método das Diferenças Finitas. Capítulo 4 OM. Otimização Multiobjetivo. POM. Problema de Otimização Multiobjetivo. WS. “Weight Sum” – Método da soma ponderada. NBI. “Normal-Boundary Intersection” - Interseção Contorno-Normal. NBIm. NBI modificado (vide NBI). ECMI. Envoltória Convexa de Mínimos Individuais. NNC. “Normalized Normal Constraint” - Método da Restrição Normal Normalizada. NC. “Normal Constraint” - Restrição Normal x . .

(11) NU. Normal à linha utópica. Capítulo 5 OMR. Otimização Multiobjetivo Robusta. OR. Otimização Robusta. PDF. “Probability Density Function” - Função densidade de probabilidade. CDF. “Cumulative Distribution Function” - Função de distribuição acumulada. MC. Método de Monte Carlo. DoE. “Design of experiments” – Plano de amostragem. LHS. “Latin Hipercube Sampling” - Método para gerar amostras aleatórias. MT. “Mersenne Twister” - método para a geração de amostras pseudo-aleatória. PCM. “Probabilistic Collocation Method” - Método da colocação probabilística. ME-PCM “Multi-Element Probabilistic Collocation Method”. LISTA DE SÍMBOLOS ROMANOS . Escalares c1. Constante de Lamé. c2. Constante de Lamé. Dijkl. Componente do tensor de elasticidade. E Fobj(x) gi(x) hi(x) kij N. Módulo de elasticidade do material Função objetiva Restrição de desigualdade Restrição de igualdade Termos do tensor de condutividade térmica Tamanho da Base. Ni. Função de forma do nó i. f (μ ). Flexibilidade. f N (μ). Flexibilidade aproximada. L(x,α,β,λ) ti Ti. xri x kl. Função Lagrangeana Largura da região Temperatura no nó i Coordenada de um nó i na sub-região r Limite inferior da variável de projeto xi . .

(12) x ku. Limite superior da variável de projeto. Vetores b br(μ). de ε fn ft. Forças de volume agindo sobre o domínio V* Forças de volume agindo sobre o domínio computacional para uma subregião r Vetor de deslocamentos nodais de um elemento Vetor de deformação Forças normais aplicadas no contorno Γ* Forças tangenciais e tangentes aplicadas no contorno Γ*. r n. f (μ). Forças normais aplicadas no contorno Γ para uma sub-região r. f tr (μ). Forças tangenciais aplicadas no contorno Γ para uma sub-região r. r FTE. Carregamento devido à deformação térmica. F F*. Vetor de forças, Vetor das funções objetivo Vetor do mínimo individual das funções objetivo. F N (μ). Vetor de carregamentos transformado. *r. F F jr. Vetor de carregamentos do domínio real de uma sub-região r. Fˆ. Vetor de Pseudo-força Fluxo de calor no contorno Calor interno gerado sobre o domínio V*,. q qv. S TN. Vetor de carregamento independente de μ para uma sub-região r. Vetor da direção de busca. u. Vetor de temperaturas aproximado Vetor de deslocamento. u N (μ ). Deslocamento aproximado. T0. Temperatura inicial. Matrizes B *e. C(μ) D D* G Gr. Matriz que relaciona as componentes da derivada de deslocamento com deslocamentos Operador simétrico usado para relaxação Matriz de elasticidade Pseudo-matriz de elasticidade no domínio real Matriz de transformação. H I. Matriz de transformação de uma sub-região r Hessiana da função Lagrangeana Matriz identidade. Ks. Matriz de rigidez. K *s. Matriz de rigidez no domínio real xii . .

(13) K *s N K. *r s. Matriz de rigidez no domínio real no espaço reduzido Matriz de rigidez do domínio real de uma sub-região r. K rs j. Matriz de rigidez independente de μ para uma sub-região r. KT. Matriz de “rigidez térmica” ou condutividade térmica generalizada. K *T. Matriz de “rigidez térmica” transformada. K. *N T. Matriz de “rigidez térmica” transformada no espaço reduzido. K rk j. Matriz de condutividade independente de μ. K Γr c. Matriz de convecção no contorno de referência. K. Nr Γc. Matriz de convecção no contorno de referência no espaço reduzido. K Ωr c. Matriz de convecção no domínio de referência. K ΩNrc. Matriz de convecção no domínio de referência no espaço reduzido. Kk N. Matriz de condutividade térmica Matriz de função de forma Conjunto de amostras para campo de solução Espaço da Base Reduzida Matriz compostas por soluções base do espaço reduzido. SN WN. Z. GREGOS Escalares α. Passo da busca linear. αΩ. Coeficiente de convecção no domínio. αΩ. Coeficiente de convecção no contorno. βi. Componentes do vetor com os pesos para os problemas multiobjetivo. β sr ( μ ) j βTr ( μ ) j. Termos que dependem do parâmetro μ da transformação da Matriz de rigidez Termos que dependem do parâmetro μ da transformação da Matriz de condutividade térmica. Δxi. Pertubação da variável. λ, β, φ Γ μ. Multiplicadores de Lagrange Contorno Parâmetros variáveis. μ low. Limite inferior do espaço de projeto. μ. Limite superior do espaço de projeto. up. (μ ) ϕ (μ ) ϕ. r Ω. Termos da transformação no domínio que dependem de μ. r Γ. Termos da transformação no contorno que dependem de μ xiii . .

(14) Ω Ω*. Domínio Domínio real (transformado). σ ij ν γ. Tensão Coeficiente de Poisson Coeficiente de expansão térmica. Vetores α(μ). ε. * 0. Coeficiente linear da aproximação no espaço reduzido Deformações iniciais (térmicas). μ. Vetor dos Multiplicadores de Lagrange das funções restrições para um x qualquer Vetor dos Multiplicadores de Lagrange das funções restrições para x* ótimo Vetor de parâmetros variáveis. ζi. Conjunto de soluções do espaço. ∇N i. Derivadas da função de forma para um nó i. ϕ, λ ϕ *, λ*. Matrizes Φ. σ. Matriz auxiliar na definição dos pontos que compõem a ECMI *. Tensor de tensões. xiv .

(15) CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1 INTRODUÇÃO. 1.1 MOTIVAÇÃO E CONSIDERAÇÕES INICIAIS Técnicas de otimização têm sido extensivamente usadas para obter projetos viáveis e econômicos nos mais variados campos das Engenharias. Atualmente as abordagens têm se tornado cada vez mais realistas, tendo sido comumente empregadas na solução de problemas não triviais da engenharia prática, incluindo o projeto de estruturas ótimas através de simulação computacional. No entanto, dois pontos apenas recentemente têm sido abordados de forma mais incisiva. A primeira questão diz respeito a atender simultaneamente várias metas (funções objetivo) em geral conflitantes, além das várias restrições a serem satisfeitas, quase sempre envolvidas no desenvolvimento de projetos ótimos de problemas reais. Otimizadores de propósito geral não resolvem tais problemas. Uma classe de estratégias baseadas no denominado conceito de Pareto (ARORA et al., 2007), constitui a abordagem adequada quando problemas de otimização multiobjetivo (OM) devem ser resolvidos. Nos últimos 15 anos distribuições eficientes de pontos de Pareto têm sido obtidas graças ao desenvolvimento de algoritmos eficientes tais como o NBI (“NormalBoundary Intersection”) (DAS e DENNIS, 1996) e o NNC (“Normalized Normal Constraint”) (MESSAC et al, 2003). Essas estratégias juntamente com outras abordagens de mais fácil implementação (Método da soma ponderada e Método min-max) (ARORA et al., 2007) são aqui implementados e analisadas. Outra questão importante, são as incertezas embutidas de várias formas no problema de otimização. Na maioria das aplicações na engenharia, a abordagem tradicional é considerar modelos determinísticos. Porém, algum grau de incerteza ou variação nas características de qualquer sistema estrutural é inevitável. Infelizmente, a abordagem determinística pode levar a soluções cujo desempenho pode cair significativamente devido às perturbações decorrentes de incertezas. A Otimização Robusta (OR) leva em consideração as variáveis incertas (aleatórias) e suas probabilidades de ocorrência, de modo a encontrar um ótimo menos vulnerável a variação dos parâmetros incertos. Nesta dissertação, serão examinadas algumas abordagens para a consideração das incertezas no processo de otimização e assim obter projetos robustos. As medidas de robustez utilizadas aqui foram: a esperança e a variância da função de interesse. Quando usa-se estas medidas, a busca por um projeto robusto ótimo, surge com um problema de decisão com múltiplos critérios (otimização multi-objetivo robusta - OMR). 1 .

(16) Neste trabalho, uma ferramenta para obter projetos ótimos robustos, sobre vários critérios, é descrita, implementada e aplicada no âmbito estrutural. Para o cálculo dos parâmetros estatísticos serão empregadas duas técnicas não intrusivas de análise de propagação de incerteza, o método de Monte Carlo (MC) e o método da colocação probabilística (“Probabilistic Collocation Method” - PCM) (RAMAMURTHY, 2005). O MC é um dos métodos mais tradicionais para este tipo de análise, porém é inviável para ser aplicado diretamente em modelos complexos de alta fidelidade, devido ao grande número de análises necessárias. O PCM é uma ferramenta desenvolvida visando uma análise de incerteza eficiente, mesmo em modelos complexos e computacionalmente custosos. A idéia básica do PCM é aproximar a resposta do modelo em função das variáveis aleatórias, por funções polinomiais, e estimar os parâmetros estatísticos por integração numérica. Foi ainda estudado o comportamento do MC para o cálculo das estatísticas de funções especificas, através do uso de diferentes técnicas de amostragem. Os problemas de otimização estrutural aqui considerados, abordam modelos elásticos lineares e/ou térmicos bidimensionais, além de treliças planas. Para sua solução, foi utilizado um algoritmo padrão de otimização de forma (“Structural Shape Optimization” - SSO) integrando aos procedimentos de otimização, a modelagem geométrica, a análise estrutural (ou térmica) e a análise de sensibilidade, para o cálculo dos gradientes requeridos pelo otimizador. Este algoritmo usa a programação sequencial quadrática (“Sequential Quadratic Programming” - SQP) (VANDERPLAATS, 2004) como otimizador e na versão inicial do algoritmo SSO, cada análise estrutural (e/ou térmica) é calculada através de simulação computacional utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF) (COOK et al, 2003). O algoritmo SSO será aproveitado e adaptado para os métodos de obtenção de pontos de Pareto, e nele também serão introduzidos os procedimentos para os cálculos dos parâmetros estatísticos das funções de interesse. A depender da aplicação, o custo das análises dos modelos, bem como da análise de sensibilidade via MEF, pode ser elevado. No entanto, as obtenções dos pontos de Pareto para os problemas de OM e principalmente nos problemas de OMR estão associados a um grande número de avaliações de funções e cálculos de gradientes, assim sendo o tempo total de CPU no procedimento de otimização pode ser bastante elevado. Para amenizar esta dificuldade, técnicas de aproximação baseadas no método das bases reduzidas (MBR) (AFONSO, 2003; ALBUQUERQUE, 2005; AFONSO et al., 2009) são inseridas na metodologia, para as etapas de análise e de análise de sensibilidade requeridas pelo algoritmo, durante o processo de otimização, produzindo um grande ganho computacional, sem grande perda de fidelidade do modelo. O MBR aqui implementado, é uma projeção do tipo Galerkin em um espaço de aproximação de baixa ordem, formado por soluções do modelo de alta fidelidade, para o problema de interesse em pontos selecionados do espaço de projeto. O procedimento combina dois aspectos, a saber: uma aproximação com precisão e uma melhoria na eficiência computacional. No MBR utiliza-se do mapeamento da geometria das regiões do modelo para aplicar uma estratégia de separabilidade de parâmetros (variáveis aleatórias, variáveis de projeto). Todos os cálculos são conduzidos em um domínio fixo denominado domínio 2 .

(17) de referência. Transformações geométricas entre o domínio real e computacional são conduzidas e inseridas nas equações governantes de cada problema específico. Isto, junto com a decomposição dos termos da rigidez e de força permite o desenvolvimento de um algoritmo para implementação computacional do método dividido em dois estágios denominados “off-line” e “on-line”. Os cálculos “off-line” são conduzidos somente uma vez e usados subseqüentemente no estágio “on-line” para cada novo parâmetro desejado. Com isso, para cada novo projeto, funções e gradientes são obtidos muito rapidamente. A conseqüência de avaliações de funções (e seus gradientes) precisas e de baixo custo computacional torna este procedimento bem atrativo para propósitos de OMR. Vários exemplos utilizando as várias estratégias serão investigados com o objetivo de se verificar a efetividade e robustez dos procedimentos desenvolvidos. Será demonstrado que a união de estratégias eficientes de OM e OMR e procedimentos de aproximação constitui uma ferramenta efetiva e confiável para se obter os pontos de Pareto nos problemas aqui estudados e por seguinte dá indícios de sucesso para outros problemas mais complexos.. 1.2 OBJETIVOS O objetivo final desta dissertação é investigar, desenvolver e implementar procedimentos gerais para a otimização multiobjetivo convencional e robusta, incorporando um procedimento de aproximação (MBR), aplicado na análise estrutural e/ou térmica e análise de sensibilidade. Na Figura 1.1 é apresentado o fluxograma do processo de otimização para as diferentes configurações possíveis implementadas. Os principais aspectos relacionados ao desenvolvimento deste trabalho são: •. Adaptar e implementar rotinas para análise estrutural e/ou térmica e análise de sensibilidade via Método dos Elementos Finitos (aqui denominado modelo real);. •. Automatizar, desenvolver e implementar os procedimentos para análise estrutural e/ou térmica e o cálculo das sensibilidades no contexto do MBR (aqui denominado modelo aproximado);. •. Realizar um estudo comparativo dos dois procedimentos descritos nos itens anteriores, através de exemplos envolvendo análise estrutural e/ou térmica;. •. Desenvolver e implementar rotinas que solucionem o problema OM para ambos os modelos (real e aproximado) a fim de obter os pontos de Pareto;. •. Acoplar aos algoritmos de otimização multiobjetivo, as rotinas de otimização estrutural;. •. Realizar um estudo comparativo através exemplos envolvendo otimização multiobjetivo;. 3 .

(18) •. Implementar rotina para o cálculo dos parâmetros estatísticos da resposta de interesse, além de seus gradientes, através do método de MC, com diferentes técnicas de amostragem;. •. Implementar o procedimento para o desenvolvimento e aplicação do PCM para variáveis aleatórias considerando as distribuições de probabilidade;. •. Incorporar o PCM, na rotina para o cálculo dos parâmetros estatísticos e seus gradientes;. •. Realizar um estudo comparativo entre o MC e o PCM;. •. Adaptar o MBR para considerar as variáveis aleatórias no espaço da base reduzida;. •. Considerar os parâmetros estatísticos no processo de otimização uni e multiobjetivo, tanto utilizando apenas o MEF como via MBR;. •. Obter resultados finais, considerando as diferentes metodologias para a otimização multiobjetivo, para a análise, e para o cálculo dos parâmetros estatísticos.. 4 .

(19) Início. Caso Estocástico: Definir variáveis aleatórias e suas distribuições. Definir: • Geometria do problema • Condições de contorno • Variáveis de projeto • Funções objetivo e restrição. Caso MBR: Definir amostras . Caso MBR: Gerar soluções via MEF e a estruturas de dados off-line Geração do projeto inicial . Análise Estrutural/Térmica . . Análise de Sensibilidade. Otimização Escalar. . . MEF. Determinístico. ou. ou. MBR. Estocástico. Otimizador SQP. ou Otimização Multiobjetivo (neste caso, repetir o processo para cada ponto de Pareto). . Geração do novo projeto Não. Convergiu?. Sim Fim. Figura 1.1 Algoritmo para as diferentes opções de otimização consideradas.. 5 .

(20) 1.3 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO Esta dissertação consiste de seis capítulos organizados conforme será descrito a seguir. Após este breve capítulo introdutório, é apresentado no segundo capítulo a formulação do problema bidimensional térmico e estrutural, o MEF aplicado a estes, a separabilidade das variáveis do problema e a aproximação pelo MBR. Este capítulo é uma continuação da dissertação de (ALBUQUERQUE, 2005), com a inclusão do uso do elemento retangular bilinear (Q4) para o cálculo via MEF (o elemento triangular linear (CST) já havia sido considerado). No terceiro capítulo, é explanado o problema de otimização escalar, seus procedimentos de solução e as diferentes técnicas para a análise de sensibilidade, aplicadas via o MEF e o MBR. Em seguida são confrontados os resultados obtidos por ambas as abordagens. No capítulo quarto é apresentada a formulação do problema de otimização multiobjetivo, o conceito de pontos de Pareto e os métodos para encontrá-los. Alguns exemplos são resolvidos para a comparação das técnicas. Este capítulo é baseado na dissertação de (MACEDO, 2002) aplicado para otimização de treliças planas. As extensões aqui conduzidas, foram a incorporação de ferramentas para a solução de problemas 2D contínuos, a inclusão do método NNC (MESSAC et al., 2003) e de uma modificação da estratégia NBI (DAS e DENNIS, 1996), proposta neste trabalho, para problemas com mais de duas funções objetivo. O capítulo cinco é onde as incertezas passam a ser consideradas no problema de otimização. Nele é feita uma breve introdução sobre probabilidade e conceitos estatísticos para, a seguir, serem apresentados e investigados os métodos MC e o PCM para o cálculo das estatísticas de interesse. Posteriormente, é feita uma introdução à otimização robusta, para só então, serem apresentados os exemplos utilizando este conceito de otimização. No sexto capítulo serão feitas algumas conclusões e sugestões de trabalhos futuros. 1.4 REFERÊNCIAS AFONSO, S.M.B, LYRA, P.R.M, ALBUQUERQUE, T.M. M., R. S., MOTTA. “Structural Analysis and Optimization in the Framework of Reduced-Basis Method”. Structural and Multidisciplinary Optimization, Springer Berlin / Heidelberg, DOI: 10.1007/s00158-008-0350-4, Published online, January 2009. AFONSO, S. M. B. e PATERA, A. T. “Structural Optimization in Framework of Reduced Basis Method”. in XXIV CILAMCE, Congresso Ibero Latino Americano de Métodos Computacionais na Engenharia, 2003. ARORA J. S.; MESSAC, A.; MULLUR, A. A. “OPTIMIZATION OF STRUCTURAL AND MECHANICAL SYSTEMS. Chapter 4 - Multiobjective Optimization: Concepts and Methods”. Jasbir S Arora, University of Iowa, USA, 2007. 6 .

(21) ALBUQUERQUE T. M. M.. “Análise e Otimização de Problemas Térmicos e Estruturais Bidimensionais Através do Método das Bases Reduzidas”. Dissertação de mestrado, Dept. de Engenharia Civil, Universidade Federal de Pernambuco, Recife-PE, Brasil, 2005. COOK, R. D., MALKUS, D. S., PLESHA, M. E. e WITT R. J. “Concepts and Applications of Finite Element Analysis”. Fourth edition, Wiley, 2003. DAS, I. e DENNIS, J.E. “Normal Boundary Intersection: A New Method for Generating Pareto Surface in Nonlinear Multicriteria Optimization Problems”. SIAM J. Otimization, Vol. 8, No. 3, pp. 631-657, 1996. MACEDO, C. M. H. “Otimização de Treliças Planas sob Várias Solicitações com Ênfase a Problemas Multiobjetivos”. Dissertação de Mestrado, Dept. de Engenharia Civil, Universidade Federal de Pernambuco. Recife-PE, Brasil, 2002. MESSAC, A., ISMAIL-YAHAYA A. e MATTSON C. A. “The Normalized Normal Constraint Method for Generating the Pareto Frontier”. Structural Optimization, Vol. 25, No. 2, pp. 86-98, 2003. RAMAMURTHY, D. “Smart simulation techniques for the evaluation of parametric uncertainties in black box systems”. Thesis (M.S. in computer science). Washington State University. 2005. VANDERPLAATS, G. N. “Numerical Optimization Techniques for Engineering Design - with Applications”. 4rt Edition, Vanderplaats Research & Development, Inc., Colorado Springs, CO, 2004.. 7 .

(22) CAPÍTULO 2 PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS 2 PROBLEMAS BIDIMENSIONAIS 2.1 FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS TÉRMICOS Nesta seção estão apresentadas as equações governantes dos problemas térmicos no regime estacionário (ou permanente). Inicialmente deve-se levar em conta que as equações governantes são descritas para um material homogêneo e ortotrópico, onde este corpo Ω possui contorno Γ. A variável T, que representa neste caso a temperatura, satisfaz a equação diferencial parcial nd. (2.1) ∑ i =1. ∂qi = Q − α Ω (T − T0 ) em Ω ∂xi. (2.1). onde qi representa a componente i do vetor de fluxo de calor, nd é o número de dimensões do problema, Q representa o termo de fonte (ou sumidouro) de calor no domínio, α Ω é o coeficiente de convecção no domínio, T0 é a temperatura ambiente e Ω representa o domínio do problema. O fluxo de calor se relaciona com o gradiente de temperatura através da lei de Fourier da condução, nd. (2.2) qi = ∑ −kij j =1. ∂T ∂x j. (2.2). onde kij representa os termos do tensor da condutividade térmica. A Equação (2.1) pode então ser expressa como nd. (2.3) −∑ i =1. ∂ ∂xi. ⎛ nd ∂T ⎞ ⎜⎜ ∑ kij ⎟⎟ + α Ω (T − T0 ) = Q em Ω ⎝ j =1 ∂x j ⎠. (2.3). Além disso, as seguintes condições de contorno são consideradas. (2.4). T =T. em ΓT. q n = q n − α Γ (T − T0. ). em Γ q. (2.4). 8.

(23) onde ΓT representa a porção de contorno com temperaturas prescritas T (condição de contorno de Dirichlet), Γ q representa a parcela do contorno sujeita a fluxo e/ou a convecção (condição de contorno de Cauchy), q n é o fluxo na direção n ortogonal à Γ q ,. α Γ é o coeficiente de convecção no contorno e T0 é a temperatura ambiente. As expressões foram escritas até então, utilizando notação indicial. Na forma matricial, as equações governantes no domínio Ω (2.3) e no contorno Γ q (2.4) podem ser expressas como. (2.5). −∇T k∇T + α ΩT = α ΩT0 + Q em Ω k∇Tn + α ΓT = α ΓT0 + q n. (2.5). em Γ eq. Para o caso bidimensional ortotrópico, ∇ = [ ∂ /∂x, ∂ /∂y ] e k é a matriz constitutiva T. que contém as condutividades térmicas do material nas direções x e y, dado por ⎡kx (2.6) k = ⎢ ⎣0. 0⎤ k y ⎥⎦. (2.6). 2.1.1 Método dos Elementos Finitos aplicado à problemas térmicos. Na aproximação via elementos finitos é feita uma discretização do domínio em subdomínios chamados de elementos, onde serão efetuadas as aproximações. Para os problemas térmicos em regime estacionário, onde todos os graus de liberdade estão associados à temperatura em determinado nó, a temperatura Te(ξ,η) no elemento “e”, em qualquer ponto (ξ,η) deste elemento, é aproximada da seguinte forma (2.7) T e (ξ ,η ). n. ∑ N (ξ ,η ) T i =1. e i. e. i. = N e Te. (2.7). onde Ti e é a temperatura no nó i e N ie é a função de forma associado ao nó i. Considerando (ξ j ,η j ) as coordenadas locais do nó j as funções de forma são definidas de tal. forma que (ZIEKIEWICZ e TAYLOR, 2000) ⎧1, para j = i (2.8) N i (ξ j ,η j ) = ⎨ ⎩0, para j ≠ i. i, j = 1...n. (2.8). 9.

(24) Definimos, então, os vetores N e e Te , onde N e = ⎡⎣ N1e ,… , N ie ,… , N ne ⎤⎦ é o vetor das T. funções de forma do elemento “e”, Te = ⎡⎣T1e ,… , Ti e ,… , Tne ⎤⎦ é o vetor das temperaturas nodais deste mesmo elemento e n é o número de nós do elemento. Utilizando a aproximação dada em (2.7), as equações governantes (2.5) para o domínio Ω e para o contorno Γ q , podem ser aproximadas como. ( −∇ k∇N + α N ) T = α (2.9) T. Ω. T + Q em Ω. Ω 0. ( k∇Nn + α Γ N ) T = α ΓT0 + qn. em Γ q. (2.9). onde N é o vetor contendo as funções de formas relacionadas aos nós, e T é o vetor contendo as temperaturas nodais dos nós. Para a solução do sistema de equações diferenciais (2.9), será usado o Método dos Resíduos Ponderados. A partir da parametrização da aproximação da solução do problema, este método consiste em encontrar os parâmetros referentes à aproximação considerada (no nosso caso T), que anule a integral em todo o domínio, do resíduo das equações ponderado por diferentes funções peso Wl , para l =1..nl, onde nl é o número de funções de peso utilizadas. As equações do problema estacionário de condução de calor devem satisfazer, então, a seguinte equação ⎡ ⎤ ⎢ ∫ ( −∇T k∇N + α Ω N )Wl d Ω + ∫ ( k∇Nn + α Γ N ) Wl d Γ q ⎥ × T = ⎢ ⎥ Γq ⎦ (2.10) ⎣ Ω. ∫ (α. Ω. T0 + Q ) Wl d Ω +. Ω. ∫ (α. Γ. T0 + q n ) Wl d Γ q. (2.10). Γq. para l =1..nl Considerando uma discretização em elementos finitos do domínio em estudo, aplicando a aproximação de Galerkin do Método dos Resíduos Ponderados, onde as funções de peso são as próprias funções de forma (utilizadas para a aproximação da solução), e integrando por partes o termo com derivada de maior ordem, chega-se a forma fraca do problema estacionário de condução de calor (ALMEIDA, 2001) ⎡ ⎤ ⎢ ∫ ( ∇NT k∇N + α Ω NT N ) d Ω + ∫ α Γ NT Nd Γ q ⎥ × T = ⎢ ⎥ Γq ⎦ (2.11) ⎣ Ω. ∫ (α. Ω. T0 + Q ) N d Ω + T. Ω. ∫ (α. T0 + q n ) N d Γ q. (2.11). T. Γ. Γq. As integrais que aparecem na Equação (2.11), podem ser avaliadas, somando as contribuições de cada elemento. A equação governante do problema térmico na forma discreta, pode ser expressa como 10.

(25) (2.12) K T T = FT. (2.12). onde KT é a matriz de “rigidez térmica”, FT é o vetor com termos de cargas térmicas total e T é o vetor das temperaturas nodais incógnitos. O vetor FT é dado por (2.13) FT = FΩ + FΓ. (2.13). onde FΩ representa as cargas no domínio e FΓ as cargas no contorno, dado por (2.14) FΩ = ∫ (α Ω T0 + Q ) NT d Ω ;. FΓ =. Ω. ∫ (α T Γ. 0. + q n ) NT dΓ q. (2.14). Γq. Para o problema descrito na Equação (2.12) a matriz de “rigidez térmica” apresenta a contribuição das parcelas relativas à condutividade térmica Kk, convecção no domínio K Ωc e convecção contorno K Γc , i.e. (2.15) K T = K k + K Ωc + K Γc. (2.15). onde (2.16) K k = ∫ ∇NT k∇Nd Ω; Ω. K Ωc = ∫ α Ω NT Nd Ω; Ω. K Γc = ∫ α Γ NT Nd Γ q. (2.16). Γq. 2.2 FORMULAÇÕES DOS PROBLEMAS ELÁSTICOS Nesta seção serão apresentadas as equações governantes da elasticidade linear nas formas forte. Para tornar mais prática a apresentação da formulação, considera-se a deformação de um corpo homogêneo Ω com contorno Γ sujeito à forças volumétricas e carregamentos distribuídos. Além disso, considera-se que o gradiente do deslocamento é suficientemente pequeno, de forma que o modelo de elasticidade linear descreva adequadamente a deformação. Desta forma as equações de equilíbrio são satisfeitas na forma nd ⎛ ∂σ ij (2.17) ∑ ⎜ ⎜ i =1 ⎝ ∂x j. ⎞ ⎟⎟ + b j = 0 em Ω ⎠. (2.17). onde bj é a força volumétrica agindo sobre o domínio Ω na direção j e o tensor de tensões σ ij está relacionado linearmente com o vetor de deformação. Na forma matricial, as equações de equilíbrio para o caso bidimensional, podem ser expressas da seguinte forma. 11.

(26) (2.18) ∇ σ + b = 0 T. (2.18). onde ∇ é um operador diferencial, σ é o vetor das tensões e b o vetor das forças de volume, definidos respectivamente por ⎡∂ ⎢ ∂x (2.19) ∇T = ⎢ ⎢ ⎢0 ⎣. 0 ∂ ∂y. ∂ ∂y 0. ⎤ 0⎥ ⎥, ∂⎥ ∂x ⎥⎦. ⎡σ xx ⎤ ⎢σ ⎥ σ = ⎢⎢σ yy ⎥⎥ , xy ⎢ ⎥ ⎢⎣σ yx ⎥⎦. ⎡ bx ⎤ b=⎢ ⎥ ⎣ by ⎦. (2.19). A equação constitutiva, para a elasticidade linear na forma matricial, é apresentada através da seguinte relação (2.20) σ = Dε. (2.20). onde ε o vetor de deformações dado por ε = ∇u onde u é o vetor dos deslocamentos, que no caso de problemas de elasticidade plana é dado por. ⎡u ( x, y ) ⎤ (2.21) u = ⎢ ⎥ ⎣ v ( x, y ) ⎦. (2.21). Para materiais isotrópicos com módulo de elasticidade E e coeficiente de Poisson υ , a matriz de elasticidade D (Equação (2.20)) para o estado plano de deformação é dada por (VILLAÇA e GARCIA, 2000). ⎡ 2c2 + c1 ⎢ c1 (2.22) D = ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 0. c1 2c2 + c1 0 0. 0 0 c2 c2. 0⎤ ⎥ 0⎥ c2 ⎥ ⎥ c2 ⎥⎦. (2.22). onde, c1 e c2 são as constantes de Lamé definidas por (2.23) c1 =. Eυ E , c2 = (1 + υ )(1 − 2υ ) 2(1 + υ ). (2.23). A equação de equilíbrio para elasticidade plana pode então ser expressa, em função dos deslocamentos, da seguinte forma 12.

(27) T (2.24) ∇ D∇u + b = 0. (2.24). Além das equações no domínio, têm-se as condições de contorno de deslocamento em Γ D e de tensão prescrita em Γ N , ou seja,. (2.25). u = u em Γ D. (2.25). σ = σ em Γ N. 2.2.1 Método dos Elementos Finitos aplicado à elasticidade bidimensional Na aproximação via elementos finitos para os problemas bi-dimensionais onde todos os graus de liberdade estão associados aos deslocamentos nodais. Os deslocamentos ue(ξ,η) e ve (ξ,η) em qualquer ponto (ξ,η) no elemento “e”, onde u e v são, respectivamente, as componentes horizontais e verticais do deslocamento, são aproximados da seguinte forma u e ( ξ ,η ). (2.26). n. ∑ N (ξ ,η ) u i =1. v (ξ ,η ) e. n. e i. e i. (2.26). ∑ N (ξ ,η ) v i =1. e i. e i. onde uie e vie são as componentes do deslocamento no nó i do elemento e e N i é a função de forma associado ao nó i, da mesma forma como foi definido para o caso térmico na seção 2.1.1. Com isso pode-se reescrever a equação que relaciona deformação e deslocamento para um elemento genérico e da seguinte maneira (2.27) ε e. n. B ed e = ∑ Biedie. (2.27). i=1. onde Be é matriz que relaciona as deformações com deslocamentos, die = [uie. T. vie ] e n é. o número de nós por elemento. Para um nó específico i, Bie pode ser escrita como (2.28) Bie = ∇N ie. (2.28). Partindo da formulação forte e aplicando a aproximação de Galerkin em Elementos Finitos (ZIEKIEWICZ e TAYLOR, 2000) a equação diferencial governante para problemas de elasticidade pode ser escrita como. 13.

(28) ⎡ ⎤ (2.29) ⎢ ∫ BT DBd Ω ⎥ u = ∫ NT bd Ω + ∫ NT f n d Γ + ∫ NT ft d Γ ⎣Ω ⎦ Ω Γn Γt. (2.29). Na Equação (2.29) b é o vetor das forças de volume agindo sobre o domínio Ω , f n e ft são respectivamente os vetores das forças normais e tangentes aplicadas no contorno Γ n e Γt respectivamente, N é a matriz relacionada com as funções de forma utilizadas pelo Método dos Elementos Finitos em modelos bi-dimensional e B a matriz que relaciona as componentes das deformações com deslocamentos, apresentadas anteriormente. A Equação (2.29), pode ser reescrita como (2.30) K s u = Fs. (2.30). onde Ks é a matriz de rigidez da estrutura e Fs é o vetor com termos de carregamento e condições de contorno.. 2.2.2 Acoplamento termo-elástico A equação governante para problemas termo-elásticos constitui uma extensão da apresentada na Equação (2.29) com a inclusão de um termo de carregamento adicional relacionado com as deformações térmicas. Assim, tem-se ⎡ ⎤ (2.31) ⎢ ∫ BT DBd Ω ⎥ u = ∫ NT bd Ω + ∫ NT f n d Γ + ∫ NT ft d Γ + ∫ BT Dε 0 d Ω Ω Γ Γ Ω ⎣Ω ⎦. (2.31). Na equação anterior, ε 0 é o vetor das deformações iniciais devido à variação térmica. Assim, o último termo da Equação (2.31) é o responsável pelo acoplamento entre os problemas térmico e estrutural. As deformações iniciais são causadas por variação térmica do material em uma estrutura e devido a restrições oriundas das condições de apoio. Considerando um material isotrópico com coeficiente de expansão térmica γ, coeficiente de Poisson υ e uma variação da temperatura em relação a uma temperatura de referência ΔT, tem-se para as condições de Estado Plano de Deformação que. ⎡(1 + ν ) γ ΔT ⎤ ⎢ ⎥ 1 + ν ) γ ΔT ⎥ (2.32) ε 0 = ⎢( ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ 0 ⎣ ⎦. (2.32). 14.

(29) As deformações térmicas produzem apenas uma variação no volume da estrutura, sem variar sua forma. Por isso, as componentes da deformação de cisalhamento são iguais à zero. Como se pode observar, o efeito dos carregamentos térmicos é introduzido na análise estrutural transferindo-se o campo de temperaturas do modelo térmico para o modelo elástico. Este campo de temperaturas é utilizado para computar as deformações iniciais térmicas, que introduzem carregamentos mecânicos na estruturas através do último termo da Equação (2.31).. 2.3 MAPEAMENTO DAS EQUAÇÕES DO MEF Os elementos utilizados neste trabalho serão: o quadrilateral isoparamétrico bilinear de quatro nós (Q4) e o triângular linear de três nós (T3) conhecido como CST – “Constant Strain Triangle”, pois como suas funções de forma são lineares, a deformação é constante no elemento. A fim de evitar a necessidade de uma nova discretização, bem como reduzir o custo computacional relativo ao processamento da solução via MEF a cada mudança de parâmetro que altere a geometria da estrutura, pode-se realizar os cálculos sobre um domínio de referência Ω mantido constante durante todo o procedimento e aplicar transformações a fim de obter as equações em outro domínio Ω *, chamado domínio real. Para tal utiliza-se inicialmente o conceito de separabilidade (ALBUQUERQUE, 2005), escrevendo os termos da matriz de rigidez e vetor de carga em forma decomposta. Assim, os domínios bidimensionais serão divididos em várias regiões r = 1… R , de acordo com a dependência dos parâmetros variáveis para o problema em particular. Considerando a contribuição de cada sub-região Ω r a matriz de rigidez e o vetor dos termos de carregamento definidos nas Equações (2.12) e (2.30) podem ser reescritos como R. (2.33) K = ∑ K r r =1. R. F = ∑ Fr. (2.33). r =1. Separando os termos (regiões) que dependem do parâmetro variável, um novo conjunto de parâmetros constituirá somente um novo dado a ser ajustado na forma decomposta, não se tornando necessário outro processo de discretização de um novo domínio, por conseguinte, contribuindo para a melhoria da eficiência computacional. Este procedimento se mostrará ainda mais interessante mais adiante, ao se utilizar o MBR (Método da Base Reduzida) (AFONSO e PATERA, 2003). Cada novo domínio real Ω* bidimensional é dividido em um número de regiões R, onde cada região r possui uma transformação diferente, entre o domínio real Ω*r e o domínio de referência Ω r , a depender dos parâmetros ajustáveis de cada região. Isto significa que para cada região, há uma associação linear entre os domínios de referência e o real, definido da seguinte forma (2.34) xi*r = G ijr x rj. ou x*r = G r xr. com i, j = 1, 2, e r = 1,..., R. (2.34). 15.

(30) onde x1 e x2 correspondem às coordenadas nas direções x e y respectivamente, e a matriz de mapeamento (ou transformação) G é dada por ⎡∂ x1* ⎢ ∂x r (2.35) G (μ) = ⎢ 1* ⎢∂ x2 ⎢ ⎣∂ x1. ∂ x1* ⎤ ⎥ ∂ x2 ⎥ ∂ x2* ⎥ ⎥ ∂ x2 ⎦. (2.35). Esta matriz jacobiana (2.35) é escrita em função dos parâmetros variáveis μ , para maiores informações vide (ALBUQUERQUE, 2005). O mapeamento desta transformação permitirá obter as equações para novos domínios, sem a necessidade de gerar nova malha nem construir as matrizes ou vetores do novo sistema de equação. Considerando a transformação apresentada, pode-se então obter as equações governantes para um novo domínio qualquer Ω*r em função dos parâmetros μ , a partir das equações no domínio de referência Ω r . Para uma região específica r, as transformações dos infinitesimais do domínio e do contorno podem ser escritas como (2.36) d Ω*r = ϕΩr (μ)d Ω r e d Γ*r = ϕΓr (μ)d Γ r. (2.36). onde (2.37) ϕΩr (μ) = det[G r (μ)]−1 e ϕΓr (μ) = [G r (μ)]−1 n r t onde n*r t é o vetor unitário tangente ao contorno Γr de uma região particular r e. (2.37) sig-. nifica a norma euclidiana do vetor.. 2.3.1 Mapeamento da equação térmica Aplicando os conceitos de separabilidade, juntamente com as transformações aplicada á matriz ∇N e aos infinitesimais d Ω e d Γ , tem-se que as matrizes de “rigidez térmica” e o vetor de carregamento térmico decompostos, podem ser transformados do domínio de referência para o domínio real como K *kr ( μ ) =. ∫ ∇N. Ωr. (2.38) K *Ωrc ( μ ) =. ∫α. Ω. r Ω. T. ⎡⎣G rT (μ)k r G r (μ) ⎤⎦ ∇N det[G r (μ)]−1 d Ω r. NT N det[G r (μ )]−1 d Ω r. (2.38). r. K *Γrc ( μ ) = ∫ α Γr NT N [G r (μ)]−1 n r t d Γ rq Γ rq. 16.

(31) ∫ (α. FΩ*r = (2.39). r Ω. T0 + Q r ) NT det[G r (μ )]−1 d Ω r. Ωr. FΓ*r =. ∫ (α T r Γ. 0. − q rn ) NT [G r (μ)]−1 n r t d Γ rq. (2.39). Γ rq. Na presente aplicação, o único termo dependente de μ é G r (μ) . Estas transformações, nas aplicações aqui analisadas, são constantes no domínio de cada região, sendo possível “retirá-las” das integrais e desta forma reescrever as matrizes e vetores decompostos apresentados nas Equações (2.38) e (2.39) com o auxilio da Equação (2.37), da seguinte maneira nt. (2.40) K *kr ( μ ) = ∑ βTr ( μ ) j K rk j ; K *Ωrc ( μ ) = ϕΩr (μ)K Ωr c ; K *Γrc ( μ ) = ϕΓr (μ)K Γr c. (2.40). (2.41) FT*r ( μ ) = ϕΩr (μ)FΩr + ϕΓr (μ)FΓr. (2.41). j =1. onde os termos independentes do parâmetro µ são dados pelas Equações (2.14) e (2.16) aplicada a cada região. As matrizes K rk j são formadas a partir da sub-decomposição da matriz K *kr de condutividade térmica. Nesta decomposição nt e βTr ( μ ) j variam de acordo com a transformação específica da região. As matrizes K rk j são calculadas da seguinte forma (2.42) K rk j =. ∫ ∇N k ∇Nd Ω T. Ω. r j. r. ,. j = 1...nt. (2.42). r. onde as sub-matrizes constitutivas k rj são obtidas através da decomposição de k *r (μ) , que é definida a partir do seu valor de referência como (2.43) k *r (μ) = ⎡⎣G rT (μ)k r G r (μ) ⎤⎦ det[G r (μ )]−1. (2.43). A partir desta transformação (Equação (2.43)) são retiradas não só as matrizes k rj como também o parâmetro β kr ( μ ) j que contêm os fatores de dependência da variável µ, de tal modo que nt. (2.44) k *r (μ) = ∑ βTr ( μ ) j k rj. (2.44). j =1. Para maiores detalhes vide (ALBUQUERQUE, 2005).. 17.

(32) A partir da Equação (2.33) e das matrizes e vetores decompostos mostrados nas Equações (2.40) e (2.41), respectivamente, obtém-se as equações governantes, no domínio real, para valores de μ quaisquer, da mesma forma como foi feito nas Equações (2.15) e (2.16). Temos assim (2.45) K *T T* = FT*. (2.45). Resolve-se este novo sistema para se obter as temperaturas atualizadas T* .. 2.3.2 Mapeamento da equação elástica Utilizando as transformações de coordenadas das Equações (2.34) e (2.35), aplicadas à matriz B, as relações infinitesimais da Equação (2.36) e o conceito da separabilidade, tem-se as novas sub-matrizes de rigidez K *er e os termos de carregamento Fe*r no domínio real de cada região (Equações (2.29) e (2.30)), da seguinte forma (2.46) K *s r ( μ ) =. ∫ (G ( μ ) B rT. T. )Dr (G r ( μ ) B) det[G r (μ)]−1 d Ω r. (2.46). Ωr. Fs*r ( μ ) =. ∫N b T. r. det[G r (μ)]−1 d Ω r +. Ωr. (2.47). ∫. +. ∫Nf T. r n. [G r (μ)]−1 n nr t d Γ nr. Γ nr. (2.47). NT ftr [G r (μ)]−1 ntr t d Γtr. Γtr. Assim como para o caso térmico, as componentes que dependem de μ podem ser retirados das integrais e desta forma obter nt. (2.48) K *s r ( μ ) = ∑ β sr ( μ ) j K rj. (2.48). (2.49) Fs*r ( μ ) = ϕΩr (μ)Fbr + ϕΓr (μ)F fr. (2.49). j =1. onde. ∫B. (2.50) K rj =. T. Drj BdV r. (2.50). Vr. (2.51) Fbr =. ∫ N b dV T. V. r. r. r. , F fr =. ∫Nf T. Γ. nr. r n. d Γr +. ∫N f T. Γ. r t. d Γr. (2.51). tr. 18.

(33) Nas equações anteriores, cada componente das sub-matrizes de elasticidade Drj e. β sr ( μ ) j são definidos de maneira análoga à decomposição da matriz de condutividade térmica k *r (Equação (2.43) e (2.44)), de tal modo que nt. (2.52) D*r (μ) = ∑ β sr ( μ ) j Drj = ⎡⎣G rT (μ) Dr G r (μ) ⎤⎦ det[G r (μ)]−1. (2.52). j =1. Como se pode verificar na Equação (2.52), dependendo da transformação a ser aplicada em cada região, a pseudo-matriz de elasticidade D*r depende diretamente de Gr e, portanto, da geometria/transformação da região. O vetor que acopla os efeitos térmicos ao carregamento elástico é calculado novamente para cada variação do parâmetro μ (estagio on-line do MBR que será tratado mais adiante), pois os valores das deformações variam em função da temperatura, que não pode ser mapeada no domínio da região r. Desta forma, para cada valor de μ se tem *r (2.53) FTE (μ ) =. ∫B. *T. Dε*o (μ)dV *r. (2.53). V *r. O vetor carregamento que acopla os efeitos térmicos, pode ser decomposto de forma linear em relação às temperaturas, porém tal decomposição não foi aplicada. O vetor de carregamento total considerando os efeitos térmicos nas deformações iniciais de uma região r para um valor de μ qualquer, pode ser calculado como *r (2.54) Fs*r ( μ ) = ϕΩr (μ)Fbr + ϕΓr (μ)F fr + FTE (μ ). (2.54). A partir da Equação (2.33) as equações governantes são obtidas para valores de μ quaisquer. Para se obter os deslocamentos atualizados u* , no domínio real, resolve-se o novo sistema. (2.55) K *s u* = Fs*. (2.55). 2.4 MÉTODO DA BASE REDUZIDA O MBR consiste numa projeção do tipo Galerkin em um espaço de ordem reduzida que contém soluções (base) para o problema de interesse em pontos selecionados do espaço de projeto. O campo de soluções u(μ) (onde, no presente trabalho, u pode representar deslocamentos ou temperaturas) faz parte do espaço de solução de dimensões infinitas Y , e claramente os possíveis valores de u(μ) não cobrem inteiramente o espaço Y . Considerando Y como um espaço tri-dimensional, observa-se que u em função de μ pode ser representado por uma curva ou superfície conforme a Figura 2.1 (a). A partir disto, po19.

(34) de-se afirmar que o espaço das soluções não se trata de um espaço de dimensão infinita N Y e sim um espaço de dimensão reduzida Y , onde é observado a dependência do parâmetro variável μ (PRUD` HOMME et al, 2002), como ilustrado na Figura 2.1 (b).. u(μnovo) u(μ) u(μ1). u(μN) u(μ2) Y. (a). (b). Figura 2.1 Redução de dimensões do espaço solução - (a) Variação da solução com o parâmetro μ; e (b) aproximação da solução μnovo através de uma combinação linear de soluções u(μi) pré-calculadas. Conforme comentado acima, não é mais preciso representar todas as possíveis funções em Y para aproximar u(μ), tornando-se necessário aproximar somente aquelas funções no espaço reduzido YN. Com isso, pode-se simplesmente calcular a solução u em vários pontos do conjunto correspondente a diferentes valores de μ e para qualquer novo parâmetro μnovo pode-se aproximar u(μnovo) através de uma combinação linear de soluções conhecidas u(μi). A ilustração desta combinação linear encontra-se na Figura 2.1 (b). Para se construir uma aproximação para o campo de solução, inicialmente deve-se construir a amostra de pontos sob a qual a base será montada. Desta forma tem-se a definição do conjunto de amostras representada da seguinte forma. {. (2.56) S N = (μ1 ,…, μ R ) ,…, (μ1 ,…, μ R ) 1. N. }. (2.56). onde cada (μ 1 , … , μ R ) está contido no espaço Dμ, isto significa que i. (2.57) μ low ≤ μ ri ≤ μ up. (2.57). 20.

(35) no qual μ low e μ up são os limites inferior e superior, respectivamente, do espaço de projeto Dμ e N é o número de amostras. Para cada componente de SN calcula-se a solução u(μ) através do Método dos Elementos Finitos, utilizando as Equações (2.12) e/ou (2.30). Isto nos permite construir um espaço de Base Reduzida WN tal que (2.58) W N = span{u[ (μ1 ,…, μ R ) ],…,u[ (μ1 , …, μ R ) 1. N. ]}. (2.58). Para simplificar a notação defini-se ζ i ∈ R n como. (. (2.59) ζ i = u (μ1 ,..., μ R ). i. ). (2.59). e assim WN pode ser escrito como (2.60) W N = span{ζ i } com i = 1,…, N. (2.60). A equação acima significa que qualquer vetor do espaço reduzido WN pode ser expresso como uma combinação linear das soluções ζ i . Vale salientar que as soluções nos pontos amostrais devem ser linearmente independentes, para que ζ seja base de WN. Caso haja soluções redundantes elas devem ser desconsideradas. Isto nos leva à definição da aproximação do MBR para a solução como N. (2.61) u N (μ) = ∑ α ( μ ) ζ j j. α j ∈ Rn. (2.61). j =1. ou na forma matricial (2.62) u N (μ) = Zα (μ ). (2.62). no qual (2.63) Z = [ζ1 ,..., ζ N ] ; αT ( μ ) = [α ( μ ) ,..., α ( μ ) ] 1. N. (2.63). Partindo da equação fundamental do MEF (Equações (2.12) e (2.30)) e substituindo o vetor solução u (ou T) por uN tem-se (2.64) K (μ )Zα (μ ) = F (μ ). (2.64). Pre-multiplicando ambos os lados de (2.64) por ZT , ou alternativamente, aplicando mínimos quadrados em (2.62), obtemos 21.

(36) (2.65) Z T K (μ )Zα(μ ) = Z T F(μ ). (2.65). Com isso, os coeficientes lineares α(μ) são obtidos resolvendo o problema no espaço WN dado da seguinte forma (2.66) K N (μ)α (μ) = F N (μ). (2.66). no qual (2.67) K N (μ ) = Z T K (μ)Z ∈ R N × N , F N (μ) = Z T F(μ) ∈ R N. (2.67). Para ganhar ainda mais agilidade, pode-se utilizar o conceito da separabilidade, já discutido, onde a matriz de rigidez e o vetor de carregamento no espaço WN podem ser escrito como R. R. (2.68) K = ∑ K , F = ∑ F Nr N. Nr. N. r =1. (2.68). r =1. com K Nr e F Nr representando, respectivamente, a contribuição de cada sub-região na matriz de rigidez e no vetor de carregamento no espaço WN, i.e. (2.69) K N r (μ ) = Z T K r (μ)Z , F N r (μ) = Z T F r (μ). (2.69). Nas equações acima os termos K r (μ ) e F r (μ) podem ser mapeados como foi visto nas seções 2.3.1 e 2.3.2, e assim reescrevê-los, para se obter os mesmos correspondentes ao domínio real de cada região r . Por exemplo, para o caso elástico, resulta em nt. (2.70) K *s Nr ( μ ) = ∑ βsr ( μ ) j K sNr j ; Fs* Nr ( μ ) = ϕΩr (μ)FbNr + ϕΓr (μ )F fNr. (2.70). j =1. r. onde apenas os termos βs j , ϕbr , ϕnr e ϕtr dependem do parâmetro variável, K sNr j e F jNr são constantes, calculados para o domínio de referência e projetados no espaço de base reduzida. Além disso, nt é o número de termos da matriz e tal como anteriormente mencionado varia com a transformação específica da região correspondente r. Vale salientar que estes parâmetros foram discutidos com mais profundidade na seção 2.3. Para o caso térmico, as matrizes e vetores de cada região podem ser escritos da seguinte forma nt. r Nr (2.71) K *k Nr ( μ ) = ∑ βTr ( μ ) j K kNr j ; K *ΩNrc ( μ ) = ϕΩr (μ )K ΩNrc ; K *ΓNr c ( μ ) = ϕ Γ (μ )K Γc. (2.71). j =1. 22.

(37) (2.72) F* Nr ( μ ) = ϕdr (μ)FdNr + ϕcr (μ)FcNr. (2.72). 2.4.1 Procedimento Computacional Off-Line/On-Line No mapeamento das equações governantes da base reduzida, os termos que são dependentes/não dependentes do parâmetro μ são claramente distinguidos. Como uma conseqüência desta subdivisão, a implementação computacional para cálculo das grandezas pelo Método da Base Reduzida é conduzida por um algoritmo “off-line” (independente de μ)/ “on-line” (dependente de μ). A idéia deste algoritmo consiste no fato que a parte “off-line” só é executado uma vez, gerando variáveis contendo as matrizes K iNr e vetores de força FiNr . Consequentemente, no estágio on-line utiliza-se estes dados gerados anteriormente para executar uma resposta em tempo real para um novo μ. No caso de problemas de termo-elasticidade, o procedimento do Método da Base Reduzida é implementado de acordo com o algoritmo mencionado na Tabela 2.1. Para os problemas térmicos o algoritmo é bastante similar. Para mais detalhes sobre o procedimentos do MBR utilizado, bem como suas aplicações e resultados, vide (AFONSO e PATERA, 2003; ALBUQUERQUE, 2005; MOTTA et al., 2007; AFONSO et al., 2009) Tabela 2.1 Algoritmo do Método da Base Reduzida: OFF-LINE/ON-LINE. (Problemas acoplados) OFF-LINE - μ independent: 1- Problema Térmico 1.1 Escolher a amostra: S N =. {( μ ,..., μ ) ,..., ( μ ,..., μ ) } ; 1. 1. R. N. 1. R. 1.2 Construir a matriz de soluções térmicas via MEF: ΖT = [ζ T1 ,..., ζ TN ] ; 1.3 Construir as componentes matrizes de “rigidez térmica” no espaço reduzido: K kNr j = ZTT K rk j ZT ; K ΩNrc = ZTT K Ωr c ZT ; K ΓNrc = ZTT K Γr c ZT ;. 1.4 Constrói as componentes dos vetores de cargas térmicas no espaço reduzido: FΩNr = ZTT FΩr ; FΓNr = ZTT FΓr . 2- Elástico Acoplado 2.1 Construir a matriz de soluções dos deslocamentos via MEF (a partir da amostra e das soluções térmicas): Ζ s = [ζ s1 ,..., ζ sN ] ; 2.3 Construir as componentes da matriz de rigidez no espaço reduzido:. K sNr j = ZTs K rs j Z s ;. 2.4 Construir as componentes dos vetores de carga estrutural no espaço reduzido: FbNr = ZTs Fbr ; F fNr = ZTs F fr .. 23.