O método da base reduzida no procedimento de otimização

Nesta seção serão descritas algumas peculiaridades relacionadas ao MBR no proce- dimento de otimização. No algoritmo SSO apresentado na Tabela 3.1, esta técnica se insere no módulo de análise (avaliação de funções) e no módulo de análise de sensibili- dades (avaliação dos gradientes das funções). O procedimento aplicado para análise via MBR foram discutidos nos capítulo 2. No que se segue, apresenta-se a análise de sensi- bilidades via MBR, onde as equações foram particularizadas para problemas de elastici- dade.

(a) Análise de sensibilidade através do MBR

O uso das matrizes decompostas para as matrizes de rigidez e vetores de carrega- mento de cada região, além do mapeamento e projeção das grandezas, permite que o Método da Base Reduzida aplique o Método Direto Analítico na análise de sensibilida- de, de forma simplificada. Estas matrizes e vetores são independentes do valor da variá- vel de projeto vide Equações (3.36) e (3.37). Com isso, para cada novo parâmetro μ executamos a análise de sensibilidade com um menor custo computacional que os mé- todos baseados nas equações tradicionais provenientes do MEF.

No caso do cálculo das sensibilidades utilizando o método das diferenças finitas, o MBR também é vantajoso pois as análises são obtidas de maneira mais rápida que o método convencional (totalmente via MEF).

No caso de problemas de elasticidade por exemplo, a análise de sensibilidade via o método direto é conduzida conforme descrito a seguir (CHOI et al, 2005).

Utilizando a equação dos deslocamentos aproximados Equação (2.62), e aplicando diferenciação direta tem-se

(3.39) N N k k μ μ ∂ ₌ ∂ ∂ ∂ u α Z (3.38)

onde a derivada dos coeficientes lineares α, pode ser obtida derivando-se diretamente a Equação (2.66), (3.40) N N N N 1 N k k k k k μ μ μ μ μ μ − ⎛ ⎞ ∂ ₊ ∂ ₌∂ _⇒ ∂ _{=⎡ ⎤} ∂ ₋∂ ⎜ N k ⎣ ⎦ ∂ ∂ ∂ ∂ _⎝ ∂ _⎠ K α F α F K α K K _⎟ ∂ α (3.39)

ou na forma compacta (KEULEN et al, 2005)

(3.41) N −1_FˆN k μ ∂ _{⎡ ⎤} = ⎣ ⎦ ∂ α K (3.40)

onde _FˆN é o pseudo vetor de força da base reduzida, definido como

(3.42)ˆ N N N k k μ μ ⎛∂ ∂ ⎞ =_⎜ − _⎟ F α ∂ ∂ ⎝ ⎠ F K (3.41)

De forma análoga à diferenciação no MEF, através da decomposição por região, do mapeamento aplicado ao domínio de referencia abordado no seção 2.3.2, e aplicando as projeções na base reduzida (seção 2.4), pode-se então derivar as Equações (2.70) em relação a k-esima variável de projeto, para se obter, no domínio real, as derivadas das matriz de rigidez e vetor carregamento de cada região no espaço de base reduzida WN. Somando-se as contribuição de cada região, os gradientes no domínio real, das matriz de rigidez e vetor carregamento totais, na base reduzida, são obtidos através de

(3.43)

( )

( )

( )

* 1 1 * 1 ( ) ( ) r N nr nt s _j s Nr s j r j k k N nr r r s Nr Nr b f r k k k β μ μ ϕ ϕ μ μ μ = = Ω Γ = ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ₌ ⎡∂ ₊∂ ⎤ ⎢ ⎥ ∂ _⎣ ∂ ∂ _⎦

∑∑

∑

μ K μ K F μ μ μ F F (3.42) 44

As Equações (3.38), (3.40), (3.41) e (3.42) são desenvolvidas para cada nova variá- vel de projeto ( μ ).

O algoritmo completo para a implementação computacional via o Método da Base Reduzida Tabela 2.1, ficará acrescido de um item na etapa “on-line” para a análise de sensibilidade, após o cálculo do vetor uN , o cálculo do gradiente de uN através da Equa- ção (3.38).

Para comprovar a eficácia do método, são apresentados na seção seguinte alguns exemplos envolvendo análise de sensibilidade e otimização.

3.6 EXEMPLOS

Neste exemplo iremos realizar via Método dos Elementos Finitos e Método da Base Reduzida a análise de sensibilidade e otimização do problema apresentado na seção 2.5.1 e que se refere à análise do estado plano de tensões em uma placa quadrada com um orifício central.

Neste exemplo prático as dimensões do orifício são as variáveis do projeto selecio- nadas para a otimização. Os valores iniciais das variáveis de projeto são μ1 = 60 mm e

μ2 = 43 mm, e os limites inferior e superior impostos são 25mm e 75mm, respectiva-

mente.

O objetivo considerado é minimizar a flexibilidade. Ao volume, é imposto ser infe- rior ou igual ao seu valor inicial.

O problema de otimização pode ser formulado como: Minimizar: ( )f μ sujeito a

( )

0 25mm _k 75mm 1,... _d V V k n μ μ ≤ ≤ ≤ = _v

Onde f( )μ é a flexibilidade, V

( )

μ o volume da estrutura, o volume inicial e ndv o número de variáveis de projeto.

0

V

Serão considerados vários modelos de elementos finitos, onde o número de graus de liberdade será variado através da alteração na dimensão média dos elementos, na configuração de referência onde μ1 = μ2 = 50mm.

Uma análise de sensibilidade foi realizada, considerando as malhas utilizadas para o estudo do comportamento do MBR para o cálculo da flexibilidade, definidas na seção 2.5.1. O gradiente da flexibilidade foi calculado via MEF e via MBR, o número de a- mostras utilizada neste caso foi 8 e os resultados obtidos estão ilustrados na Tabela 3.2. Pode-se notar que para poucas reavaliações da sensibilidade, o tempo total via MEF superara o tempo total via MBR, pois as reavaliações via MBR são feitas todas no esta- gio on-line (o tempo da avaliação é o tempo “on-line”).

Tabela 3.2 Resultados da análise de sensibilidade.

( )

1 f μ ∂ ∂ μ

( )

2 f μ ∂ ∂ μ _{Tempo (s) da} avaliação Tempo (s) “off-line” MEF – T3 -0.0085236 -0.015176 17.05 - MBR – T3 -0.0085230 -0.015177 0.064 75.5 MEF – Q4 -0.0085210 -0.015172 8.75 - MBR – Q4 -0.0085206 -0.015174 0.054 45.1

Para o processo de otimização via MEF, o valor da dimensão média dos elementos foi variada de 10 mm à 1 mm, resultando em modelos de EF (Elementos Finitos) que variam de malhas grosseiras até as mais refinadas. Para cada refinamento de malha será feita uma otimização. Analisou-se a função objetivo e as variáveis de projeto ótimas resultantes das otimizações.

A Figura 3.1 ilustra o resultado de cada otimização variando com o número de graus de liberdade da malha utilizada para a otimização. Na Figura 3.1 (a) é apresentado a convergência do valor ótimo de X1 (X1 ótimo), onde X1=50− se refere à primeira μ₁ variável de projeto, com a variação do número de graus de liberdade (NGL). Já na Figura 3.1 (b), vemos o gráfico da função objetivo (flexibilidade) no ponto ótimo versus o NGL.

a) variável X1 b) função objetivo f

Figura 3.1 Um quarto da placa quadrada – Variação do ótimo com a variação do núme- ro de graus de liberdade: a) valor da primeira variável no ponto ótimo, b) valor da fun-

ção objetivo.

Esses gráficos ilustram a influência da aproximação do MEF no resultado final da otimização, ressaltando a importância de uma boa modelagem. Também se pode imagi- nar um processo mais eficiente, utilizando recursivamente como ponto inicial, um ponto ótimo obtido com uma malha mais grosseira, para obter um ponto de ótimo de um mo- delo mais refinado, porém este procedimento não foi testado aqui.

Foi examinado o procedimento de otimização, realizando a etapa das análises via MBR. Para tal, as malhas de elementos finitos consideradas foram a que apresentaram resultados satisfatórios para a função objetivo no ponto ótimo, são elas:

• Para o elemento Q4 adotou-se elementos de dimensão média de 10/3 mm. O modelo possui 1.472 graus de liberdade.

• Para o elemento T3 adotou-se elementos de dimensão média de 2 mm. O modelo possui 3.952 graus de liberdade.

A base foi construída no espaço das variáveis de projeto, D ={[25, 75]²}. Foram re- alizados vários processos de otimização para o problema considerado, variando o núme- ro de pontos amostrados para a base reduzida N de 5 à 16. Para verificar a convergência do MBR, construímos o gráfico apresentado na Figura 3.2 (a) do valor referente à pri- meira variável no ponto ótimo (X1 ótimo) variando com número de pontos amostrados N, e o gráfico do objetivo (flexibilidade) ótimo variando com N, Figura 3.2 (b). No grá- fico podemos verificar a convergência para poucas soluções base.

A Figura 3.3 ilustra os tempos de CPU para o procedimento “off-line” e para o pro- cesso de otimização (“on-line”) via MBR.

a) variável X1 b) função objetivo f

Figura 3.2 Um quarto da placa quadrada – Convergência do ponto ótimo com o tama- nho da base.

a) Tempo “off-line” b) Tempo “on-line”

Figura 3.3 Um quarto da placa quadrada: a) Tempo “off-line”, b) tempo de otimização “on-line”.

A Tabela 3.3 resume o desempenho de otimizações via MEF e via MBR, onde X1 e X2 são respectivamente 50− e μ₁ 50−μ₂. As malhas utilizada foram as mesmas consi- deradas para o estudo da otimização via MBR e o número de pontos amostrados para a aproximação do MBR foi 11.

Tabela 3.3 Comparativo dos resultados das otimizações: MEF x MBR

X1 X2 Flexibilidade Tempo “on-line”(s) Tempo “off-line” (s) Tempo Total MEF – T3 -21.5248 13.9286 0.37320 - - 67.3 MBR – T3 -21.5410 13.9368 0.37317 0.6 14.7 15.3 MEF – Q4 -21.5051 13.9187 0.37360 - - 118.6 MBR – Q4 -21.5149 13.9236 0.37356 0.3 25.7 26.0

Os resultados comprovam a eficiência do método, principalmente para problemas de otimização complexos onde são exigidos muitos cálculos das funções de interesse. Além disso, o estágio “off-line” pode ser facilmente paralelizável diminuindo significa- tivamente o tempo “off-line”, consequentemente o tempo total da otimização.

3.7 REFERÊNCIAS

AFONSO, S. M. B. “Shape Optimization of Shells Under Static and Free Vibrations Conditions”. Tese de Doutorado, University of Swansea, Wales, U.K. 1995.

AFONSO, S. M. B.; MACEDO, C. M. H.; OLIVEIRA, D. A. P. “Structural Shape Op- timization under Multicriteria Conditions In: V World Congress on Computational Me- chanics, Viena. 2002.

ALBUQUERQUE T. M. M. “Análise e Otimização de Problemas Térmicos e Estrutu- rais Bidimensionais Através do Método das Bases Reduzidas”. Msc. Thesis ( in Portu- guese), Dept. de Engenharia Civil, Universidade Federal de Pernambuco, Recife-PE, Brasil, 2005.

BATES, S. “Development of Robust Simulation, Design and Optimization Techniques for Engineering Applications”. PhD Thesis. School of Engineering, University of Wales, Swansea. 2003.

CHOI K.K.; KIM N. H. “Structural Sensitivity Analysis and Optimization 1 – Linear Systems”. Springer Mechanical Engineering Series, Springer New York, 2005.

CHONG, E. K. P.; ZAK, S. H. “An Introduction to Optimization”, Second edition, John Wiley & Sons, 2001.

HAFTKA, R.T.; GURDAL, Z. “Elements of Structural Optimization”. Third Revised and Expanded Edition, Kluwer Academic Publishers, 1993.

KARUSH, W. “Minima of Functions of Several Variables with Inequalities as Side Constraints”. M.Sc. Dissertation. Dept. of Mathematics, Univ. of Chicago, Chicago, Illinois, 1939.

KEULEN F. V.; HAFTKA, R. T.; KIM N. H. “Review of options for structural design sensitivity analysis. Part 1: Linear systems”. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 194, pp. 3213–3243, 2005.

KIRSCH, U. “Structural Optimization Fundamentals and Applications”. Springer Ver- lag, 1993.

KLEIBER M. “Parameter Sensitivity in Nonlinear Mechanics – Theory and Finite Ele- ment Computations”. John Wiley & Sons, 1997.

KUHN, H. W.; TUCKER, A. W. “Nonlinear Programming”. In: Procedeering 2nd Berkeley Symposium Mathematics Statistics and Probability, 481, 1950.

MACEDO, C. M. H. “Otimização de Treliças Planas sob Várias Solicitações com Ênfa- se a Problemas Multiobjetivos”. dissertação de Mestrado, Universidade Federal de Per- nambuco. Recife-PE, Brasil, 2002.

MATHWORKS. “MATLAB User’s Guide”. Mathworks Inc., Natacki, 2007.

POWEL, M. J. D. “Algorithms for Nonlinear Constraints that use Lagrangian Func- tion”. Math. Programming, vol 14, pp. 224-248, 1978.

ROCKAFELLAR, R. T. “LAGRANGE MULTIPLIERS AND OPTIMALITY”. Vol. 35, No. 2, pp. 183-238, June 1993.

VANDERPLAATS, G. N. “Numerical Optimization Techniques for Engineering De- sign - with Applications”. 4rt Edition, Vanderplaats Research & Development, Inc., Colorado Springs, CO, 2004.

50 VANDERPLAATS, G. N. “Structural Optimization for Statics, Dynamics, and Beyond”. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. vol. 28, no.3, p.316-322. ISSN 1678-5878, September 2006.

VENKATARAMAN, S.; HAFTKA, R.T. “Structural optimization complexity: what has Moore’s law done for us?”. Structural and Multidisciplinary Optimization, 28(6), pp. 375-387, 2004.

CAPÍTULO 4

No documento Otimização robusta de estruturas utilizando o método da base reduzida (páginas 57-66)