O primeiro exemplo prático a ser considerado o problema apresentado na seção 2.5.1 e que se refere à análise do estado plano de tensões em uma placa quadrada com um orifício central.
O Módulo de elasticidade da região 3 é uma variável aleatória com distribuição lognormal de média 5x104 MPa e desvio padrão 104 MPa.
As dimensões do orifício são as variáveis do projeto selecionadas para a otimiza- ção. Os valores iniciais das variáveis de projeto são μ1 = μ2 = 50mm, e os limites inferior
e superior impostos são 25mm e 75mm, respectivamente.
Tal como definido, dois objetivos estocásticos são considerados são eles: minimizar a média e o desvio padrão da flexibilidade. Ao volume, é imposto ser inferior ou igual ao seu valor inicial. Além desta restrição, a média da tensão mais três vezes seu desvio padrão é restrito a magnitude de 7.0 N/mm². As soluções OMR serão obtidas conside- rando 15 pontos de Pareto.
O problema de otimização pode ser formulado como:
Minimizar: ⎡⎣E f
(
( , E ) ,μ 3)
σ(
f( , E )μ 3)
⎤⎦ sujeito à(
)
(
)
(
(
))
( )
( ) 3 ( ) 3 0 , E 3 , E 7 MPa 1,... eq i eq i el E i V V τ μ σ τ μ μ + ≤ ≤ n = v 25mm≤μk ≤75mm k =1,...ndOnde f( , E )μ 3 é a flexibilidade, τeq i( )
(
μ, E3)
é a tensão Von Misses no elemento i,( )
V μ o volume da estrutura, o volume inicial, nel é o número de elementos e ndv o
número de variáveis de projeto. 0
V
O modelo de elementos finitos considerado possui 3900 graus de liberdade com e- lementos de dimensão média de 2mm, na configuração de referência onde μ1 = μ2 =
50mm.
Para a aproximação via MBR, 3 regiões (indicadas na figura) são definidas. A base reduzida será construída no espaço viável das variáveis de projeto, bem como das variá- veis aleatórias, D ={ [1, 9]x104,[25, 75]²} e o número de amostras analisadas foi N = 16.
(a) Determinação das amostras
Para o cálculo das estatísticas do problema, serão usados os dois métodos já men- cionados o MC e o PCM. Para definir o número de pontos (tamanho da amostras) utili-
zados por cada método, foi realizado um teste de convergência apresentado na Figura 5.13, Tabela 5.3 e Tabela 5.4.
Os resultados do MC apresentam uma variabilidade, devido à aleatoriedade das amostras. Para quantificar esta flutuação nos resultados do MC todo o processo de cál- culo das estatísticas da flexibilidade, foi repetido 100 vezes, para cada tamanho de a- mostra. E a partir destes dados foi calculado o desvio padrão dos resultados (“D. P.”), o que permite quantificar de modo aproximado a variação dos parâmetros calculados pelo MC para cada tamanho de amostra.
A Figura 5.13 apresenta os resultados do MC para a média (Figura 5.13(a)) e o des- vio padrão (Figura 5.13 (b)), da flexibilidade. O tamanho das amostras (“Número de pontos”) criadas por LHS foram variadas exponencialmente de 127 à 16255. As linhas pretas indicam o intervalo de flutuação dos resultados do MC, ou seja os resultados do MC variaram entre a linha preta superior e a linha preta inferior com uma certa freqüên- cia. Considerando que um parâmetro estatístico calculado via MC segue uma distribui- ção normal, o intervalo entre as linhas pretas (μ σ± ) compreende aproximadamente 58% das ocorrências da aproximação. Vale salientar que este estudo só foi possível gra- ças ao desempenho computacional conseguido através do MBR.
Também foram analisados, para cada tamanho da amostra (“Número de pontos”), os resultados das estatísticas com uma amostra selecionada, indicado pela curva azul, amostra esta, utilizada no processo de otimização com MC utilizando uma amostra de 5000 pontos.
a) Média de f b) Desvio padrão de f
Figura 5.13 Placa quadrada com um orifício central – Convergência do MC para o cál- culo das estatísticas da flexibilidade: a) média e b) desvio padrão.
A Tabela 5.3 mostra os resultados do MC com amostra LHS selecionada, ilustrado no gráfico da Figura 5.13 com a linha azul, para alguns tamanhos de amostras.
Tabela 5.3 Placa quadrada com um orifício central – Cálculo via MC com amostra LHS selecionada, para a média e desvio padrão.
Tamanho
da amostra Média Desvio Padrão
202 403 806 1613 3225 6451 12902 0.308530959713673 0.308550213518812 0.308556674596121 0.308558482597648 0.308559106575475 0.308559457041847 0.308559963766802 0.035326555620201 0.035410907482470 0.035455905892811 0.035455246318295 0.035453460837231 0.035451940103915 0.035455220139521
A Tabela 5.4 mostra os resultados da média e do desvio padrão calculados pelo PCM, para diferentes números de pontos de colocação. Observa-se a convergência a- centuada para poucos pontos, devido à suavidade da função flexibilidade em função do módulo de elasticidade.
Tabela 5.4 Placa quadrada com um orifício central – Resultados do PCM Tamanho
da amostra Média Desvio Padrão
2 3 4 5 6 7 8 0.308541286854411 0.308559984101546 0.308560062653515 0.308560062770421 0.308560062772797 0.308560062777446 0.308560062777447 0.034854261923426 0.035445314900078 0.035455152887810 0.035455264870394 0.035455265822598 0.035455265989171 0.035455265989205 (b) Resultado da otimização
A Figura 5.14 apresenta as distribuições dos pontos Paretos obtidos para os méto- dos aqui considerados para a otimização multiobjetiva, comparando os métodos de Monte Carlo (MC) e o Método da Colocação Probabilística (PCM). Tendo em vista os resultados obtidos na seção anterior, para o cálculo das estatísticas foram utilizados 5000 pontos para o MC e 5 pontos de colocação para o PCM. As curvas de Pareto via MC e PC estão de acordo, mesmo com a grande diferença no número de pontos calcula-
dos. Como pode ser observado, soluções pelos métodos NBI e NNC são as que conse- guem obter pontos uniformemente espaçados em todas as partes da fronteira de Pareto.
a)WS b)Min-Max
c)NBI d)NNC
Figura 5.14 Placa quadrada com um orifício central – Pontos de Pareto: a) WS, b) Min- Max, c) NBI, d) NNC.
A Tabela 5.5 sumariza os desempenhos de cada método investigado em segundos. Soluções via PC são três ordens de magnitude mais rápidos em comparação com os re- sultados obtidos via MC.
Tabela 5.5 Placa quadrada com um orifício central – desempenhos dos algoritmos.
(segundos) WS Min-Max NBI NNC
MC 5000 pontos 38 623 26 486 19 480 18 633 PC 5 pontos 60 43 31 28
REFERÊNCIAS
APOSTOL T. M. “Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra”. 2nd Edition, John Wiley & Sons, 1967.
PAPOULIS, A. “Probability, Random Variables, and Stochastic Processes”. McGraw– Hill Kogakusha. 1965.
MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística, 2a edição, Rio de Janeiro, LTC. 1983.
MARCZYK, J. “Stochastic multidisciplinary improvement: beyond optimization, American Institute of Aeronautics and Astronautics”, AIAA-2000-4929, 2000.
BEYER, H. G.; SENDHOFF, B., “Robust optimization – A comprehensive survey”. Computational Methods and Applications in Mechanical Engineering. 196 (2007).
SCHUËLLER, G.I.; JENSEN, H.A. Computational methods in optimization consider- ing uncertainties – An overview. Computational Methods and Applications in Mechani- cal Engineering, 2008.
MATSUMOTO, M.; NISHIMURA, T. “Mersenne Twister: A 623-Dimensionally Equidistributed Uniform Pseudorandom Number Generator”. ACM Transactions on Modeling and Computer Simulation, (1998), 8(1):3-30.
ANDRADÓTTIR, S. “A review of simulation optimization techniques”. in: D. Medei- ros, E. Watson, J. Carson, M. Manivannan (Eds.), Proceedings of the 30th Conference on Winter simulation, IEEE, Piscataway, NJ, pp. 151– 158, 1998.
DOLTSINIS, I.; KANG, Z. Robust design of structures using optimization methods. Computational Methods and Applications in Mechanical Engineering, 194. 2004
KEANE, A. J.; NAIR P. B. Computational Approaches for Aerospace Design: The Pur- suit of Excellence. John-Wiley and Sons. 602 p., August 2005.
NIST/SEMATECH, e-Handbook of Statistical Methods. Disponível em: http://www.itl.nist.gov/div898/handbook, acessado em: set. 2009.
BARÓN, J.H.; MAC NÚÑEZ LEOD, J.E. “SCALABILITY ON LHS SAMPLES FOR USE IN UNCERTAINTY ANALYSIS OF LARGE NUMERICAL MODELS”. Inter- national Conference on Safety and Reliability – ESREL ´99, Munich, Alemanha, 1999.
117 GAUTSCHI, W. “Orthogonal polynomials (in Matlab)”. Journal of Computational and Applied Mathematics, Vol. 178, 2005, pp. 215-234, 2005.
MATHWORKS. “MATLAB User’s Guide”. Mathworks Inc., Natacki, 2007.
STOER, J.; BULIRSCH, R. “Introduction to Numerical Analysis - Second Edition”. Springer-Verlag, Heidelberg, Berlin. p. 150-166, 1991.
WEBSTER, M.; TATANG, M. A.; MCRAE, G. J. “Application of the Probabilistic Collocation Method for an Uncertainty Analysis of a Simple Ocean Model”. MIT Joint Program on the Science and Policy of Global Change, 1996.
HEISS, F.; WINSCHEL, V., “Likelihood approximation by numerical integration on sparse grids”, Jornal of Econometrics, 144, p. 62-80. 2008.
GREENWOOD, R. E.; MILLER, J. J. “Zeros of the Hermite Polynomials and Weights for Gauss' Mechanical Quadrature Formula”. THE UNIVERSITY OF TEXAS. Bull. Amer. Math. Soc. 54, MathSciNet, 1948.
LAGAROS, N., PLEVRIS, V., PAPADRAKAKIS, M. “Multi-objective design optimi- zation using cascade evolutionary computation”, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 194 (2005) 3496–3515.
FOO, J., WAN, X., KARNIADAKIS, G. E. “The multi-element probabilistic colloca- tion method (ME-PCM): Error analysis and applications”. Journal of Computational Physics 227. 2008.
BARROS, M., 2009. “Teoria da Decisao: NEYMAN-PEARSON e BAYES”, disponível em, http://www.mbarros.com/sitebuildercontent/sitebuilderfiles/Teoria_Decisao.pdf. Acesso em: 09 de set. de 2009.
STEIN, M. “Large Sample Properties of Simulations Using Latin. Hypercube Sam- pling”. Technometrics, vol 29, no.2, May 1987.
WAN, X.; KARNIADAKIS, G. E. “Multi-Element generalized Polynomial Chaos for arbitrary probability measures”, SIAM J. Sci. Comput. 28 (3) (2006) 901–928.
RAMAMURTHY, D. “Smart simulation techniques for the evaluation of parametric un- certainties in black box systems”. Thesis (M.S. in computer science). Washington State University. 2005.
118