6 CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS
6.1 PRINCIPAIS DESENVOLVIMENTOS
Nesta dissertação procedimentos para a solução das diversas configurações de oti- mização apresentadas, foram desenvolvidos, implementados e verificados. Foram con- siderados incertezas e/ou múltiplos objetivos, permitindo a utilização de dois métodos para a avaliação dos parâmetro estatísticos e diversos esquemas para a obtenção da fren- te de Pareto, bem como diferentes formas para avaliação das funções relacionadas com a análise estrutural e/ou térmica e análise de sensibilidade. Todas as opções desenvol- vidas foram incorporadas para análise de estruturas, considerando modelos elásticos lineares e térmicos, bidimensionais.
Na etapa de análise, foi incluído a opção do uso do elemento quadrilateral bilinear (Q4) para o cálculo via MEF (o elemento triangular linear (CST) já havia sido imple- mentado) e um gerador de malhas estruturadas uniformes. Além da implementação do MBR para o elemento quadrilateral, todo o procedimento de atualização para as diver- sas formas de mapeamento consideradas foi automatizado.
Foram implementados os métodos para a obtenção de pontos de Pareto para pro- blemas OM para a solução de problemas 2D contínuos. Os esquemas considerados fo- ram: WS, Min-Max, NBI e o NNC. Também foi proposto uma modificação da estraté- gia NBI para problemas com mais de duas funções objetivo.
Foram introduzidas as incertezas no problema de otimização, através dos métodos MC e o PCM, implementados e investigados para o cálculo das estatísticas de interesse, e assim obter resultados ótimos robustos sob múltiplos critérios. E por fim, foram apre- sentados os exemplos utilizando este conceito, para problemas de otimização estrutural multiobjetivo robusto.
Os aspectos desenvolvidos que destacamos são:
• Foram adaptadas e implementadas rotinas para análise estrutural e/ou térmica e análise de sensibilidade via Método dos Elementos Finitos, para a consideração do elemento Q4, além do CST já implementado;
• Foram automatizados, desenvolvidos e implementados os procedimentos para análise estrutural e/ou térmica e o cálculo das sensibilidades utilizando o Método da Base Reduzida;
• Foi realizado um estudo comparativo dos métodos através de exemplos envol- vendo análise estrutural e/ou térmica.
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• Foram implementados os métodos: WS, Min-Max, NBI e NNC, além de uma modificação no NBI para problemas com mais de duas funções objetivo, a fim de obter os pontos de Pareto para problemas de otimização multiobjetivo, e seus resultados mostraram concordância com os da literatura;
• Foram acoplados aos algoritmos de otimização multiobjetivo, as rotinas de oti- mização estrutural através de ambos os modelos (real e aproximado);
• Uma rotina para o cálculo dos parâmetros estatísticos da resposta de interesse, além de seus gradientes, através do método de MC, foi implementada, com dife- rentes técnicas de amostragem (totalmente aleatória e LHS);
• Foi implementado um procedimento para o desenvolvimento e aplicação do PCM para variáveis aleatórias de distribuições de probabilidade específica; • Foram feitos estudos em funções analíticas, com o objetivo de avaliar o com-
portamento do método MC e PCM para algumas situações específicas.
• O MBR foi adaptado para considerar as variáveis aleatórias no espaço da base reduzida;
• Além do MC, o PCM foi incorporado na rotina para o cálculo dos parâmetros es- tatísticos e seus gradientes, para o processo de otimização estrutural através de ambos os modelos (real e aproximado);
• Soluções robustas e/ou multiobjetivo foram obtidas para problemas contínuos 2D. Diferentes esquemas para a obtenção dos parâmetros estatísticos de interes- se, bem como, para a obtenção da frente de Pareto, foram incorporados em um algoritmo de SSO, de modo eficiente.
6.2 CONCLUSÕES DOS RESULTADOS OBTIDOS
As principais conclusões extraídas, através dos resultados dos exemplos analisados, foram:
• Os resultados da análise comparativa entre os elementos Q4 e o CST não indi- cam claramente o mais eficaz. Os testes de convergência indicam que a imple- mentação do elemento quadrilateral foi adequada.
• Do estudo comparativo realizado, entre o procedimento de análise via MBR e via MEF, foi mostrada uma convergência do MBR para poucos pontos amostra- dos, em relação ao número de variáveis de projeto. Devido à própria metodolo- gia do MBR, o método não é indicado para problemas onde o número de variá- veis de projeto se aproxima do número de graus de liberdade do modelo à ser a- proximado.
• As técnicas NBI and NNC demonstraram ser as mais eficientes para problemas com duas funções objetivo.
• Foram confrontados os resultados de problemas com mais de duas funções obje- tivo, obtidos através das quatro técnicas, bem como pela modificação proposta do NBI, que mostrou ser eficaz para os exemplos estudados.
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• A importância de se incorporar técnicas de aproximação no procedimento de OM e OMR foi destacada.
• Os resultados foram comparados com aqueles obtidos quando do uso de solu- ções que se baseiam integralmente no MEF. Conforme esperado, as soluções via o MBR foram acompanhadas por uma grande redução de tempo computacional, sem comprometimento substancial dos resultados das análises dos modelos. • Duas metodologias para o cálculo das estatísticas de várias respostas foram em-
pregadas de modo satisfatório: o método de Monte Carlo (MC) e o método da colocação probabilística (PCM). Para a maioria dos casos, o número de ponto de integração necessários para uma aproximação com erros de mesma magnitude, foi mais de três ordens de grandeza menor via PCM, quando comparado ao MC. No entanto o PCM pode requerer um número elevado de pontos de colocação, em casos em que a função de interesse apresentar muitas variáveis aleatórias. Além disso, foi observado que o PCM pode não obter soluções satisfatórias em casos de funções com pontos de singularidades ou comportamento multimodal. • Os resultados obtidos mostram a grande vantagem em usar o PCM para os pro-
blemas de otimização na engenharia aqui considerados, i.e. para funções suaves e com poucas variáveis aleatórias.
• A combinação das várias técnicas de aproximação descritas, além de métodos e- ficientes para lidar com problemas multiobjetivo, permitiram a obtenção das so- luções OMR em pouco tempo computacional. Em alguns casos a eficiência al- cançada pelo uso do modelo aproximado foi de um tempo computacional 100 vezes menor que sem o seu uso.
6.3 TRABALHOS FUTUROS
Baseado nos estudos/implementações aqui conduzidos e resultados obtidos, apre- senta-se as seguintes sugestões de continuidade do presente trabalho:
• Abordar outros tipos de problemas, como problemas dinâmicos transiente e/ou interação fluido-estrutura e/ou escoamentos em meios porosos, etc.
• Incorporar processos de adaptação de malhas, para, não apenas garantir a acurá- cia da solução e diminuir o tempo da análise via MEF, como o tempo do estágio “off-line” no MBR e o tempo do procedimento “on-line” para variáveis de proje- to não mapeáveis. Lembrando que o procedimento “on-line” do MBR independe da malha de EF considerada.
• Adicionar a opção de elementos de maior ordem, lembrando que o procedimento “on-line” do MBR também independe tipo de elemento considerado.
• Adaptar o MBR para análises que considerem as não linearidades físicas e geo- métricas do problema.
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• Implementar o NNC com a expansão do Plano Utópico, para encontrar frentes de Pareto com mais de dois objetivos.
• Investigar problemas com mais de 3 objetivos.
• Aplicar o PCM para variáveis aleatórias com pdfs diferentes.
• Implementar o ME-PCM (“Multi-Element Probabilistic Collocation Method”), objetivando tratar os casos de funções multimodal ou com singularidades.
• Implementar a integração do PCM por grades esparsas (“sparse grids”) para di- minuir o número de pontos de integração em problemas com muitas variáveis aleatórias.
• Explorar novos problemas de OMR. Considerando outras estruturas, funções ob- jetivo, restrições, etc.
• Considerar restrições probabilísticas pela probabilidade de falha, através de aná- lise de confiabilidade estrutural.
• Utilizar paradigmas da computação paralela, que pode ser eficientemente incor- porada em várias etapas do processo, como: para conduzir o estágio “off-line” do MBR, para a geração dos pontos de Pareto e para o cálculo das grandezas es- tatísticas.
• Automatizar, por meio de análise de erro, o cálculo do tamanho das amostras pa- ra a base do MBR, bem como o número de pontos de integração para o cálculo das estatísticas via MC e PCM.
• Investigar procedimento para determinar o número adequado de pontos de Pare- to, necessários para a definição da fronteira de Pareto.