UNIME – União Metropolitana de Educação e Cultura S/C Ltda
CURSO: Engenharia Elétrica - Disciplina Álgebra Linear
Professora: Sonia Ferreira
1ª
Lista de Exercícios
Questão 2.
Questão 3.
Questão 4.
Questão 5.
Em cada item, determine a matriz Bi linha equivalente à matriz Airealizando sobre as linhas de i
A a seqüência de operações elementares dadas.
a) 0 0 1 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 3 1 A1 ;L2 L4; L1L13L2; L3 31L3 b) 4 0 1 0 0 0 6 2 A2 ; 1 L1 2 1 L ; L1L13L2 c) 1 2 0 1 2 0 0 3 0 A3 ; 1 L1 3 1 L ; L2 L2 2L1; L3 L32L1;L3 L3 L2
Em cada item a seguir, verifique se a matriz Ai está na forma linha reduzida à
forma escada (LRFE) e em caso negativo, justifique a sua resposta. a) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 A1 b) 0 0 0 0 A2 c) 2 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 0 1 A3 d) 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 A4 e) 1 0 0 0 2 0 0 0 1 A5 f) 1 0 0 3 1 0 0 0 1 A6 g) 0 0 0 4 1 0 0 0 1 A7
Determine a matriz Bi que está na forma LRFE e que é linha equivalente à
matriz Ai, para i = 1, 2, 3, 4. a) 0 1 0 5 0 0 0 4 2 A1 b) 2 2 0 0 0 1 0 4 1 0 0 0 2 1 1 A2 c) 0 2 0 5 0 0 6 2 A3 d) 4 2 3 2 5 0 0 0 A4
I - Determine as matrizes elementares associadas as operações elementares realizadas para escalonar as matrizes A1 da questão 3.
II - Calcule o posto e a nulidade das matrizes Ai da questão 3.
Classifique em verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações: a) Se A é uma matriz linha equivalente a uma matriz B ( A ~ B ) então B ~A. b) Matrizes linha equivalentes possuem a mesma ordem.
Questão 6. Questão 7. Questão 8. Questão 9. Questão Questão
c) Qualquer que seja a matriz A, existe uma matriz M tal que A ~ M e M está na forma LRFE. d) Toda matriz na forma LRFE é quadrada.
e) Toda matriz quadrada está na forma LRFE.
f) Uma matriz M está na forma LRFE se, e somente se, M é a identidade.
Descreva todas as possíveis matrizes 2 x 2 que estão na forma LRFE.
Dê exemplos de matrizes satisfazendo as condições dadas a seguir, se possível. Caso seja impossível explique por quê.
a) F2x3, p(F)=2 b) G3x2; p(G) = 3 c) H2x4, p(H) = 3 d) R3; p ( R ) = 2
e) J2x3; n(J) = 2 f) L4x3; n(L) = 0 g) M3; n(M) = 0 h)N4x3; n(N) = 1
Classifique em verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações:
a) O posto de uma matriz é um número natural menor ou igual ao número de linhas e menor ou igual ao número de colunas.
b) Se nulidade(A) = 2 e A2x3, então a matriz B2x3 linha equivalente a A (A B) e que está na forma LRFE tem duas linhas nulas.
c) Se C é uma matriz quadrada de ordem 3 e possui uma linha nula, então p( C ) = 2. d) Se p(D) = 3 e D4xn então n 3.
Considere o sistema dado a seguir e determine:
0
w
z2
y
4
z2
y
6
x
2
a) A matriz ampliada.b) O posto da matriz ampliada.
c) A matriz dos coeficientes e o seu posto.
O sistema é possível?
d) A nulidade da matriz dos coeficientes.
Quantas variáveis livres possui o sistema?
e) O conjunto solução desse sistema.
Considere que as matrizes
Ai, dadas a seguir, são matrizes ampliadas de sistemas
de equações lineares. Verifique se esses sistemas são possíveis e determine o conjunto solução S
idos mesmos.
0 2 1 0 3 1 0 1 A1,
0 0 0 0 0 1 1 0 0 2 0 1 A2,
0 0 0 0 3 0 2 1 0 0 0 1 A3,
1 1 0 0 1 0 1 0 0 2 0 2 A4Questão 13.
Questão 14. Questão 12.
Questão 15.
Considere as matrizes M e N dadas a seguir e, em cada item, determine o conjunto solução dos sistemas. 1 0 0 0 0 1 1 0 0 2 0 1 M 0 2 1 N
a) M é a matriz dos coeficientes do sistema linear homogêneo S1: MX 0. b) M é matriz ampliada do sistema S2.
c) M é matriz dos coeficientes do sistema linear S3: MX N.
Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
a)
4
3
4
5
1
2
2
3
10
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
b)
5
7
7
3
2
5
2
4
z
y
x
z
y
x
z
y
x
c)
2
4
4
0
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
t
z
y
x
Numa equação química balanceada o número de cada átomo nos reagentes deve ser igual nos produtos. Por exemplo, 2H2O2 2H2O. Um dos métodos para encontrar uma reação balanceada é por tentativa e erro. Usando os métodos de resolução de sistemas lineares podemos resolver essa questão facilmente. Assim em cada caso a seguir, encontre a equação química balanceada (mínima).
(a) NH3O2 N2H2O.
(b) C5H11OHO2 H2OCO2
(c) C4H10 O2 CO2 H2O.
Observação. NH3 amônia, O2 oxigênio, N2 nitrogênio, H2O água,
carbono de
dióxido
CO2 , C6H12O6 glicose e C4H10 gásbutano.
Análise de redes. Uma rede é constituída por um
número finito de nós, em que fluem os fluxos, entrando e/ou saindo. E em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao de saída.Observe o exemplo ao lado.
Com estas considerações, determine os possíveis
fluxos da rede de encanamento de água, em cada item a seguir, onde o fluxo é medido em litros por minuto.
a) b) 10 20 10 5 4 f 30 A B C D 3 f 1 f 5 2 f
Questão 17.
Questão 18.
Questão 19.
Questão 20. Questão 16.
Calcule o determinante das matrizes dadas a seguir utilizando o desenvolvimento de Laplace.
a) 3 1 2 0 1 0 3 2 2 0 1 3 0 2 3 1 A b) 3 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 1 2 1 0 1 2 4 B c) 0 3 0 1 0 6 0 2 3 C
Calcule o determinante das matrizes dadas a seguir utilizando matrizes elementares. a) 0 1 0 0 21 14 1 7 1 0 0 0 6 4 0 2 A
b)
3 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 1 2 1 0 1 2 4 B .Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer.
a)
1
2
5
3
1
2
4
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x
b)
0
z
y
x
0
z
2
y
2
0
z
y
3
x
c)
1
3
1
2
0
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Utilizando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a sua inversa.
a) A 1 3 2 7 b) 0 3 0 1 0 6 0 2 3 B c) C 1 1 2 3 2 4 0 1 2 Resolva o sistema
9
y
3
3
z
x
6
6
y
2
x
3
, usando inversão de matrizes.
Em cada item a seguir, dê exemplos que satisfaz as condições dadas, se possível.
a) Uma matriz R4, tal que posto de R seja quatro e det(R4) .5 b) Uma matriz T4, tal que posto de T4 seja dois e det(T4) .0 c) Uma matriz N2 inversível linha equivalente a matriz
0 0 1 0 .
Respostas
1. a) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 B1 ; b) 4 0 1 0 12 0 0 1 A2 ; c) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 A3 .
2. As matrizes A1, A2, A3 e A7 estão na forma LRFE.
Na matriz A4, o primeiro elemento não nulo da linha dois está na coluna 3, ou seja, k 2 = 3 e, o primeiro elemento não nulo da linha três está na coluna 2, k3 = 2. Assim, k2 > k3 e, portanto a matriz A4 não está na forma LRFE.
Na matriz A5 o primeiro elemento não nulo da linha dois é diferente de um, logo A5 não está na forma LRFE.
Na matriz A6 o primeiro elemento não nulo da linha três está na coluna três e outros elementos dessa coluna não são todos zeros. Por isso A6 não está na forma LRFE.
3. a) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 B1 b) 1 1 0 0 0 1 0 4 1 0 1 0 6 0 1 B2 c) 0 15 / 2 1 0 0 5 / 2 0 1 B3 d) 0 0 0 0 1 0 0 1 B4 4. I - Operação elementar Matriz Elementar associada 1 1 21L L 1 0 0 0 1 0 0 0 2 / 1 E1 2 2 51L L 1 0 0 0 5 / 1 0 0 0 1 E2 3 2 L L 0 1 0 1 0 0 0 0 1 E3 2 1 1 L 2L L 1 0 0 0 1 0 0 2 1 B1
II – Posto(A1) = 3 ; Nulidade (A1) = 0. Posto (A2) = 3; Nulidade (A2) = 2. Posto (A3) = 2; Nulidade (A3) = 2. Posto (A4) = 2; Nulidade (A4) = 0.
5. a) V b) V c) V d) F e) F f) F. 6. 0 0 0 0 ; ,a R 0 0 a 1 ; 0 0 1 0 ; 1 0 0 1 . 7. a) 1 0 0 0 0 1
F ; b) Impossível, pois o posto é menor ou igual ao número de colunas.
d) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 R3 e) 0 0 0 1 0 1 J f) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L g) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 M h) 0 0 0 0 0 0 2 1 0 3 0 1 N 8. a) V b) F c) F d) V 9. a) 0 1 2 1 0 4 0 2 6 2 A ; b) posto(A) = 2 ; c) 1 2 1 0 0 2 6 2
C , posto(C) = 2. Como o posto(A) = posto(C) podemos concluir que o
sistema S é possível.
d) Nulidade(C) = 2. O número de variáveis livres é igual a nulidade da matriz dos coeficientes, daí o sistema S possui duas variáveis livres e portanto é uma sistema possível e indeterminado.
e) Escalonando a matriz A obtemos a matriz
0 1 2 1 0 2 3 5 0 1 B , que corresponde ao
sistema S’ equivalente ao sistema dado:
0
w
z2
y
2
w3
z5
x
:'S
w
z2
y
2
w
3
z5
x
Daí, o conjunto solução do sistema S =
5z3w2,2zw,z,w
;z,wR
.10. a)
0
z2
y
3
z
x
0
21
0
3
1
01
A
1
,
S1
3z,2z,z
;zR
. b)
z
y
z2
x
0
0
0
0
0
1
1
0
0
2
0
1
A
2
,
S2
2z,z,z
;zR
. c) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 6 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 2 1 0 0 0 1 A 3 3 2 3 6L3 L2 L2 2L3 1 L L 3 L L 3 Observe que posto da matriz dos coeficientes é dois e o posto da matriz ampliada é três. Desse modo o sistema é impossível e, portanto o conjunto solução S2 = .
d) 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 2 0 2 A 1 2L1 L1 L1 L3 1 L 4
,
S3
1,1,1
.
11. a)
0
w
0
z
y
0
z2
x
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
2
0
1
2z, z,z,0;z R
S1 b)
1
0
0
z
y
0
z2
x
1
0
0
0
0
1
1
0
0
2
0
1
M
Observe que posto da matriz dos coeficientes é dois e o posto da matriz ampliada é três. Desse modo o sistema é impossível e, portanto o conjunto solução S2 = .
c)
0
w
2
z
y
1
z2
x
0
1
0
0
0
2
0
1
1
0
1
0
2
0
1
. S3
12z,2z,z,0
;zR
. 12. a)
x,y,z
1,2,3
b) S2 = . c)
x,y,z,t
1,1,2,2
. 13. a) 4NH3 3O2 2N2 6H2O b) 2C5H11OH15O2 12H2O10CO2 c) 2C4H10 13O2 8CO210H2O.14. a) Os fluxos nessa rede pertencem ao conjunto S =
(
15
f
4,
5
f
4,
20
f
4,
f
4);
f
4
R
,
0
f
4
5
.b) Os fluxos nessa rede pertencem ao conjunto S =
(
5
,
1
5
f
4,
f
4
10
);
f
4
R
,
10
f
4
15
.15. a) 48 b) 48 c) 9. 16. a) 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 3 2 0 1 0 1 0 0 21 14 1 7 1 0 0 0 3 2 0 1 0 1 0 0 21 14 1 7 1 0 0 0 6 4 0 2 A L1 12L1 (E1) L2 L2 7L1 (E2)
' A 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 3 2 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 3 2 0 1 ) (E L L ) (E L L2 3 3 3 4 4
.
2 ) 1 ( ) 1 ( 1 2 1 1 ) E det( ) E det( ) E det( ) E det( ) ' A det( ) A det( 4 3 2 1 b) B' 3 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 1 0 0 2 / 1 1 2 / 1 2 0 1 0 1 2 4 3 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 0 1 2 1 0 1 2 4 B L2 L2 1/2L1 (E) . 48 1 48 ) E det( ) ' B det( ) B det( . 17. a) S
5,2,2
b) S
0,0,0
c) 8 3 , 8 1 , 4 1 S . 18. a) A 1 7 3 2 1 b) 3 4 1 2 3 1 0 0 9 2 0 3 1 B 1 c) C não é inversível. 19. S
0,3,3
. 20. a) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 R L4 (1/5)L4 4b) Impossível, pois para que uma matriz T de ordem quatro possua posto dois a matriz T’ LRFE linha equivalente a matriz T terá duas linhas nulas e, daí o det(T')0. Consequentemente, o det(T)0.
