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Ensino Superior: Glossário de Álgebra Linear
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"O temor do Senhor é o princípio sabedoria; e o conhecimento do Santo é o entendimento."
Provérbios 9:10 A Bíblia Sagrada
autoespaço O autoespaço associado ao autovalor c de uma matriz A é o núcleo da matriz A-cI. O autoespaço é um subespaço vetorial de Rn.
autovalor Um autovalor de uma matriz quadrada A é um escalar c tal que Av=cv é verdadeiro para algum vetor v não nulo.
autovetor Um autovetor de uma matriz quadrada A é um vetor não nulo V tal que Av=cv é verdadeiro para algum escalar c.
base Um conjunto de vetores {v1,...,vk} contido em um subespaço W é uma base para W, se:
{v1,...,vk} é linearmente independente a.
{v1,...,vk} gera W. b.
combinação linear Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, ..., vk se existem escalares a1, ..., ak tal que
v = a1v1 +...+ akvk
complemento ortogonal O complemento ortogonal de um subespaço S de Rn é o conjunto de todos os vetores v Rn que são ortogonais a todos os vetores de S.
conjunto ortogonal Um conjunto de vetores em Rn é ortogonal se o produto escalar de quaisquer dois vetores deste conjunto é zero.
conjunto ortonormal Um conjunto de vetores em Rn é ortonormal se é um conjunto ortogonal de vetores e cada vetor tem comprimento 1.
consistente Um sistema de equações lineares é consistente se tem pelo menos uma solução. Ver: inconsistente.
coordenadas relativas a uma base Se u Rn pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de uma base {v1,...,vn} de Rn
u = a1v1 +...+ anvn
os coeficientes a1,...,an são as coordenadas do vetor u relativo a esta base {v1,...,vn}.
dependência linear Uma relação de dependência linear para um conjunto de vetores {v1,...,vk} é uma equação da forma
a1v1 +...+ akvk = Ö em que nem todos os escalares a1,..., ak são nulos.
diagonalizável Uma matriz é diagonalizável se ela é semelhante a uma matriz diagonal.
dimensão A dimensão de um subespaço W é o número de vetores em qualquer base de W. Se W é o subespaço nulo, dizemos que a sua dimensão é 0.
espaço coluna O espaço coluna de uma matriz é o subespaço gerado pelas colunas da matriz considerada como um conjunto de vetores.
espaço linha o espaço linha de uma matriz é o subespaço gerado pelas linhas da matriz considerada como um conjunto de vetores.
espaço vetorial Espaço vetorial sobre um corpo K é um conjunto V de objetos (denominados vetores), munido de duas operações binárias: adição e multiplicação por escalar, satisfazendo às seguintes propriedades:
Associativa Quaisquer que sejam u V, v V e w V, tem-se que
(u + v) + w = u + (v + w) a.
Comutativa Quaisquer que sejam u V, v V e w V, tem-se que
u + v = v + u b.
Elemento neutro Existe um elemento Ö V tal que para todo v V Ö + v = v
c.
Elemento oposto Para cada v V, existe -v V tal que
v + (-v) = Ö d.
Produto pelo escalar 1 Para todo v V, tem-se que
1.v = v e.
Distributiva da adição pelo escalar Para todo escalar c K e para todos v
V e w V, vale:
c.(v+w) = c.v + c.w f.
Distributiva dos escalares pelo vetor Para todos os escalares c K e d K
e para todo v V, vale:
(c+d).v = c.v + d.v g.
Associatividade mista Para todos os escalares c K e d K e para todo v
V, vale:
(c.d).v = (d.c).v = c.(dv) h.
forma escalonada por linhas Uma matriz está na forma escalonada por linhas, se:
Linhas nulas: Todas as linhas que são totalmente nulas são colocadas
juntas na parte de baixo da matriz; 1.
Pivot: O primeiro elemento não nulo (contado da esquerda para a
direita) em cada linha não nula aparece em uma coluna à direita da primeiro elemento não nulo da linha anterior (se existir algum na linha anterior).
2.
forma reduzida escalonada por linhas Uma matriz está na forma reduzida escalonada por linhas se:
Forma da matriz: escalonada por linhas;
1.
Unitário: o primeiro elemento não nulo em cada linha não nula é o
número 1, isto é, o pivot é , e
Unicidade do pivot: o primeiro elemento não nulo em cada linha não
nula é o único elemento não nulo nesta coluna. 3.
gera Um conjunto de vetores {v1,...,vk} gera um subespaço S se todo vetor de S pode ser escrito como combinação linear de v1,...,vk.
gerado O subespaço gerado por um conjunto de vetores {v1,...,vk} é o subespaço S de todas as combinações lineares de v1, ..., vk. Afirmamos que este subespaço S é gerado pelo conjunto de vetores {v1,...,vk} e que este conjunto de vetores gera S.
homogêneo Um sistema de equações lineares Ax=b é homogêneo se b=Ö. Se b é diferente de Ö, o sistema é denominado não-homogêneo.
identidade Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros elementos da matriz são iguais a zero. Ver matriz identidade.
imagem de uma transformação linear A imagem da transformação linear T é o conjunto de todos os vetores T(v), onde v dom(T) = domínio de T.
inconsistente Um sistema de equações lineares é inconsistente se ele não possui qualquer solução. Ver: consistente.
inversa Uma matriz B é uma inversa para uma matriz A se A B = B A = I
inversível Uma matriz é inversível se ela tem uma inversa. Uma palavra sinônima é não-singular.
linearmente dependente Um conjunto de vetores {v1,...,vk} é linearmente dependente se a equação
a1v1 +...+ akvk = Ö
tem uma solução, sendo que nem todos os escalares a1,...,ak podem ser nulos, isto é, se {v1,...,vk} satisfaz uma relação de dependência linear.
independente se, a única solução para a equação a1v1 +...+ akvk = Ö
é a solução onde todos os escalares a1,...,ak são nulos, isto é, se {v1,..., vk} não satisfaz qualquer relação de dependência linear.
matriz elementar É uma matriz que pode ser obtida por operações elementares por linhas sobre a matriz identidade.
matriz identidade Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros escalares são nulos.
matriz ortogonal Uma matriz A é ortogonal se A é inversível e sua inversa é igual à sua transposta, isto é:
A-1 = At
matriz simétrica Uma matriz A é simétrica se ela é igual à sua transposta, isto é:
A = At
matrizes linha equivalentes Duas matrizes são linha equivalentes se uma pode ser obtida da outra por uma sequência de operações elementares por linhas.
multiplicidade algébrica A multiplicidade algébrica do autovalor c de uma matriz A é o número de vezes que o fator (t-c) ocorre no polinômio característico de A.
multiplicidade geométrica A multiplicidade geométrica de um autovalor c de uma matriz A é a dimensão do autoespaço de c.
não-singular Uma matriz quadrada A é não-singular se a única solução para a equação Ax=Ö é x=Ö. Uma palavra sinônima é inversível. Ver: singular. núcleo de uma matriz O núcleo de uma matriz A de ordem m×n é o conjunto de todos os vetores x Rn tal que Ax=Ö.
núcleo de uma transformação linear O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores v do domínio de T tal que T(v) = Ö.
nulidade de uma matriz Nulidade de uma matriz é a dimensão do núcleo dessa matriz.
nulidade de uma transformação linear Nulidade de uma transformação linear é a dimensão do núcleo dessa transformação.
operações elementares por linhas Operações elementares por linhas realizadas sobre uma matriz são:
Trocar duas linhas; a.
Multiplicar linha por escalar não nulo; b.
Somar múltiplo de linha com outra linha. c.
polinômio característico Polinômio característico de uma matriz quadrada A de ordem n é o polinômio na variável t definido por
p(t) = det(A - t In)
posto de uma matriz É o número de linhas não nulas quando a mesma está escrita na forma reduzida escalonada por linhas. O posto de uma matriz coincide com a dimensão do espaço linha da matriz.
posto de uma transformação linear O posto de uma transformação linear (e também de uma matriz pensada como uma transformação linear) é a dimensão da imagem da transformação linear. Observação: Há um teorema que afirma que as duas definições de posto de uma matriz são equivalentes. semelhante As matrizes A e B são semelhantes se existe uma matriz quadrada inversível P tal que
P-1A P = B
solução por mínimos quadrados Uma solução por mínimos quadrados para um sistema de equações lineares Ax=b é um vetor x que minimiza o comprimento do vetor Ax-b.
singular Uma matriz quadrada A é singular se a equação Ax=Ö tem uma solução não nula para x. Ver: não-singular.
são equivalentes se, eles têm o mesmo conjunto de soluções.
subespaço vetorial Um subconjunto W de Rn é um subespaço de Rn: se x W e y W implica que x+y W e
a.
se x W e k K (corpo de escalares), implica que kx W. b.
O vetor nulo (Ö) sempre pertence a todo subespaço vetorial.
transformação linear Uma transformação linear T:V W é uma aplicação T que associa a cada vetor de V um vetor no espaço vetorial W, tal que:
para todos os vetores u V e v V
T(u+v) = T(u) + T(v) a.
para todo vetor v V e todo k no corpo K T(kv) = k T(v) b.
transformação linear ortogonal Uma transformação linear T:V W é ortogonal se T(v) têm o mesmo comprimento que v, para todo v V, isto é:
|T(v)|=|v|
vetor nulo Vetor nulo ou vetor zero de um espaço vetorial, denotado neste trabalho por Ö.
Construída por Ulysses Sodré com alterações a partir de um glossário sob a permissão de Eugene Herman
