Álgebra Linear
SANTA INÊS 26 de setembro de 2016
1 Espaços Vetoriais 4
1.1 Vetores . . . 4
1.1.1 Operações com vetores . . . 5
1.1.2 Multiplicação de um Número Real por um Vetor . . . 6
1.1.3 Propriedades da Multiplicação por um Número Real . . . 7
1.2 Vetores no Espaço . . . 7
1.3 Espaços Vetoriais . . . 9
1.4 Subespaços Vetoriais . . . 11
1.4.1 Interseção de dois Subespaços Vetoriais . . . 14
1.4.2 Soma de dois Subespaços Vetoriais . . . 15
1.4.3 Soma direta de dois Subespaços Vetoriais . . . 16
1.5 Combinação Linear . . . 16
1.6 Subespaços Gerados . . . 18
1.7 Dependência e Independência Linear . . . 21
1.7.1 Propriedades da Dependência e Independência Linear . . . 24
1.8 Base e Dimensão . . . 24
1.8.1 Base de um Espaço Vetorial . . . 24
1.8.2 Dimensão de um Espaço Vetorial . . . 25
1.9 Exercícios Propostos . . . 30
2 Espaços Vetoriais Euclidianos 36 2.1 Produto Interno em Espaços Vetoriais . . . 36
2.2 Módulo de um Vetor . . . 40
2.2.1 Propriedades do Módulo de um Vetor . . . 42
2.3 Ângulo de dois Vetores . . . 42
2.4 Vetores Ortogonais . . . 44
2.5 Conjunto Ortogonal de Vetores . . . 45
2.5.1 Base Ortogonal . . . 45
2.5.2 Base Ortonormal . . . 45
2.5.3 Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt . . . 47
3 48 3.0.4 . . . 48
4 49 4.1 . . . 49
Espaços Vetoriais
A noção de espaço vetorial é a base do estudo que faremos; é o terreno onde se desenvolve toda a Álgebra Linear.
1.1
Vetores
Aqui faremos uma revisão quanto a noção de vetor no ℜ2 e no ℜ3 e suas propriedades, as quais já devem ser do conhecimento dos alunos deste curso.
Sabe-se que vetores do plano ou do espaço são representados por segmentos orientados. Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento são
representantes de um mesmo vetor. Por exemplo, na figura 1.1 temos;
Figura 1.1: Exemplo 1 −→
𝑃 𝑄, 𝐾𝐿, e−−→ −→𝑅𝑆 tem a mesma direção; −→𝑅𝑇 e 𝐾𝐿 tem o mesmo comprimento;−−→ −→𝑃 𝑄, −→𝑅𝑆 e −−→𝑍𝑊
tem o mesmo comprimento, mas os únicos segmentos com orientações equivalentes são −→𝑃 𝑄 e −→𝑅𝑆.
Assim, podemos dizer que−→𝑃 𝑄 = −→𝑅𝑆. Para qualquer segmento orientado no plano existe um outro
equivalente a este último cujo ponto inicial é a origem. Por exemplo,
Figura 1.2: Exemplo 2
Vamos passar a considerar agora, apenas os segmentos orientados com ponto inicial na origem, denominados vetores no plano. É importante notar que vetores no plano são determinados exclu-sivamente pelo seu ponto final, pois o ponto inicial é fixo na origem. Assim, para cada ponto do plano 𝑃 (𝑎, 𝑏), está associado um único vetor 𝑣 =−→𝑂𝑃 e, reciprocamente, dado um vetor, associamos
um único ponto do plano, que é seu ponto final. Isto é, a correspondência entre os pontos do plano e vetores é biunívoca.
Usando esta correspondência entre vetores e pontos do plano, costumamos representar um vetor 𝑣 = −→𝑂𝑃 pelas coordenadas do seu ponto final 𝑃 (𝑎, 𝑏). Usamos a notação da matriz-coluna 𝑣 =
[︃
𝑎 𝑏
]︃
, ou mesmo a identificação 𝑣 = (𝑎, 𝑏). Por exemplo, 𝑣 =
[︃
1 3
]︃
ou 𝑣 = (1, 3). Observe que, deste modo, à origem do plano ficará associado um outro vetor que tem os pontos inicial e final coincidentes com esta. Denominaremos tal vetor (que só é um ponto) de vetor nulo, e este será representado por (0,0).
O comprimento ou o módulo, a direção e o sentido de um vetor 𝑣 é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes. Indica-se o módulo de 𝑣 por |a|. Devemos observar que, um vetor 𝑣 é unitário se |v|= 1.
O oposto de um vetor 𝑣 = −→𝑂𝑃 é o vetor 𝑤 = −→𝑂𝑄, que tem o mesmo comprimento e direção
oposta. Em termos de coordenadas, se 𝑣 = (𝑎, 𝑏), então 𝑤 = (−𝑎, −𝑏) e, por essa razão, denotamos
𝑤 = −𝑣
1.1.1
Operações com vetores
Adição de Vetores
Sejam os vetores 𝑎 e 𝑏, podemos verificar como calcular a sua soma através da figura a seguir;
Propriedades da adição
1. Associativa: (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) 2. Comutativa: 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
3. Vetor nulo: 𝑣 + 0 = 0 + 𝑣 = 𝑣
4. Vetor oposto: ∀ vetor 𝑣, existe um só vetor −𝑣 tal que 𝑣 + (−𝑣) = −𝑣 + 𝑣 = 0 OBSERVAÇÕES:
1. A diferença de dois vetores 𝑢 e 𝑣 quaisquer é o vetor 𝑢 + (−𝑣). Sejam os vetores 𝑎 e 𝑏, podemos verificar a diferença entre eles;
Figura 1.4: Diferença de Vetores
2. Quando os vetores 𝑢 e 𝑣 estão aplicados no mesmo ponto, verifica-se que: a) a soma 𝑢 + 𝑣 (ou 𝑣 + 𝑢) tem origem no referido ponto;
b) a diferença 𝑢 − 𝑣 tem origem na extremidade de 𝑣 (e, por conseguinte, a diferença 𝑣 − 𝑢 tem origem na extremidade de 𝑢)
1.1.2
Multiplicação de um Número Real por um Vetor
Dado um vetor 𝑣 ̸= 0 e um número real 𝑘 ̸= 0 , chama-se produto do número real 𝑘 pelo vetor
𝑣 o vetor 𝑝 = 𝑘𝑣, tal que:
a) módulo: |𝑝|= |𝑘𝑣|= |𝑘||𝑣|; b) direção: a mesma de 𝑣
c) sentido: o mesmo de 𝑣 se 𝑘 > 0; e o contrário de 𝑣 se 𝑘 < 0.
1.1.3
Propriedades da Multiplicação por um Número Real
Se 𝑢 e 𝑣 são vetores quaisquer e 𝑎 e 𝑏 números reais, temos: I) 𝑎(𝑏𝑢) = (𝑎𝑏)𝑢
II) (𝑎 + 𝑏)𝑢 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑢 III) 𝑎(𝑢 + 𝑣) = 𝑎𝑢 + 𝑎𝑣 IV) 1𝑢 = 𝑢
1.2
Vetores no Espaço
Da mesma forma que fizemos no plano, podemos considerar vetores no espaço. Teremos então um sistema de coordenadas dado por três retas orientadas, perpendiculares duas a duas, e, uma vez fixada uma unidade de comprimento, cada ponto 𝑃 do espaço estará identificado com a terna de número reais (𝑥, 𝑦, 𝑧), que dá suas coordenadas.
Figura 1.6: Vetores no espaço
Também aqui os vetores são dados por segmentos orientados, com ponto inicial na origem, e existe uma correspondência biunívoca entre vetores e pontos do espaço que a cada vetor 𝑂𝑃 associa seu ponto final 𝑃 = (𝑎, 𝑏, 𝑐). Deste modo, o vetor 𝑣 = 𝑂𝑃 costuma ser denotado pelas coordenadas de 𝑃 . ⎡ ⎢ ⎣ 𝑎 𝑏 𝑐 ⎤ ⎥ ⎦ ou 𝑣 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) Exemplo
A origem fixada para o espaço representará o vetor nulo (0,0,0).
Assim, se chamarmos de 𝑉 o conjunto de vetores no espaço, podemos identificar
𝑉 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3); 𝑥𝑖 ∈ ℜ}
= ℜ𝑥ℜ𝑥ℜ = ℜ3
Operações com Vetores no Espaço
A soma de dois vetores e o produto de um vetor por um número (escalar) também são definidos da mesma forma que no plano. Se 𝑢 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) e 𝑣 = (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3), então
𝑢 + 𝑣 = (𝑥1+ 𝑦1, 𝑥2+ 𝑦2, 𝑥3+ 𝑦3)
𝑘𝑢 = (𝑘𝑥1, 𝑘𝑥2, 𝑘𝑥3)
Exemplo: Dados 𝑢 = (2, -3, 5) e 𝑣 = (1,2,0), calcule: a) 𝑢 + 𝑣
b) 2𝑢
Propriedades
1. (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤) 2. 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
3. ∃ 0 ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + 0 = 𝑢 (0 é chamado vetor nulo) 4. ∃ − 𝑢 ∈ 𝑉 tal que 𝑢 + (−𝑢) = 0
5. 𝛼(𝑢 + 𝑣) = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 6. (𝑎 + 𝑏)𝑣 = 𝑎𝑣 + 𝑏𝑣 7. (𝑎𝑏)𝑣 = 𝑎(𝑏𝑣) 8. 1𝑢 = 𝑢
Estas propriedades servirão para caracterizar certos conjuntos que, apesar de terem natureza diferente dos vetores no espaço, "comportam-se"como eles. Estes conjuntos receberão o nome de espaços vetoriais.
1.3
Espaços Vetoriais
Definição 1.3.1. Seja um conjunto 𝑉 não-vazio, sobre o qual estão definidas as operações adição e multiplicação por escalar, isto é:
∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑉 ∀ 𝛼 ∈ ℜ, ∀ 𝑢 ∈ 𝑉, 𝛼𝑢 ∈ 𝑉
O conjunto 𝑉 com essas duas operações é chamado espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre ℜ) se forem verificados os seguintes axiomas:
A) Em relação à adição:
𝐴1) (𝑢 + 𝑣) + 𝑤 = 𝑢 + (𝑣 + 𝑤), ∀𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉
𝐴2) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢, ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉
𝐴3) ∃ 0 ∈ 𝑉 / ∀ 𝑢 ∈ 𝑉, 𝑢 + 0 = 𝑢
𝐴4) ∀ 𝑢 ∈ 𝑉, ∃ (−𝑢) ∈ 𝑉, 𝑢 + (−𝑢) = 0
B) Em relação à multiplicação por escalar:
𝑀1) (𝛼𝛽)𝑢 = 𝛼(𝛽𝑢) 𝑀2) (𝛼 + 𝛽)𝑢 = 𝛼𝑢 + 𝛽𝑢 𝑀3) 𝛼(𝑢 + 𝑣) = 𝛼𝑢 + 𝛼𝑣 𝑀4) 1𝑢 = 𝑢 para ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 𝑒∀ 𝛼, 𝛽 ∈ ℜ. Observações
1) Os elementos do espaço vetorial V serão chamados vetores, independente de sua natureza. Pode parecer estranho, e à primeira vista não deixa de ser, o fato de se chamar de vetores os
polinômios (quando V for constituído de polinômios), as matrizes (quando V for constituído por
matrizes) os números (quando V for um conjunto numérico), e assim por diante. A justificativa está no fato de as operações de adição e multiplicação por escalar realizadas com esses elementos de natureza tão distinta se comportarem de forma idêntica, como se estivéssemos trabalhando com os próprios vetores do ℜ2 ou do ℜ3. Assim, a familiaridade que temos com os vetores do ℜ2 e do ℜ3 terá continuidade nesses conjuntos, chamando seus elementos também de vetores.
2) Se na definição acima tivéssemos tomado para escalares o conjunto C dos números complexos, V seria um espaço vetorial complexo. Daqui por diante, salvo referência expressa em contrário, serão considerados somente espaços vetoriais reais. Assim, quando se disser que V é um espaço vetorial, deve ficar subentendido que V é um espaço vetorial sobre o conjunto ℜ, dos números reais.
Exercícios Resolvidos
1. Mostre que o conjunto V = ℜ2 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥, 𝑦 ∈ ℜ} é um espaço vetorial real, considerando
que:
(𝑥1, 𝑦1) + (𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1+ 𝑥2, 𝑦1+ 𝑦2)
𝛼(𝑥, 𝑦) = (𝛼𝑥, 𝛼𝑦)
são as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 2. Dadas as matrizes A = [︃ 1 −1 2 3 2 −1 ]︃ , B = [︃ 2 3 0 −2 −3 1 ]︃ e C = [︃ −4 −8 4 12 13 1 ]︃ : a) Calcule a matriz 3A - 3B + C.
b) Ache números 𝛼 e 𝛽, ambos diferentes de zero, tais que 𝛼A + 𝛽B + C tenha a primeira coluna nula.
1.4
Subespaços Vetoriais
Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos W que sejam eles próprios espaços vetoriais "menores". Tais conjuntos serão chamados subespaços de V. Isto acontece, por exemplo, em: V = ℜ2, o plano, onde W é uma reta deste plano, que passa pela
origem.
Figura 1.8: Subespaço W
Veja que a reta W funciona sozinha como espaço vetorial pois, ao somarmos dois vetores de W, obtemos um outro vetor em W. Da mesma forma, se multiplicarmos um vetor de W por um número, o vetor resultante ainda estará em W. Isto é, o conjunto W é "fechado"em relação à soma de vetores e à multiplicação destes por escalar. Estas são as condições exigidas para que um subconjunto W de um espaço vetorial V seja um subespaço.
Definição 1.4.1. Um subconjunto 𝑆, não-vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se estiverem satisfeitas as condições:
I) 0 ∈ 𝑆:
II) Se 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑆, então 𝑢 + 𝑣 ∈ 𝑆 II) Se 𝛼 ∈ ℜ, 𝑢 ∈ 𝑆, então 𝛼𝑢 ∈ 𝑆 Podemos fazer três observações:
a) As condições de definição acima garantem que ao operarmos em S (soma e multiplicação por escalar), não obteremos um vetor fora de S. Isto é suficiente para afirmar que S é ele próprio um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas e, além disso, não precisamos verificar as propriedades de 𝐴1 a 𝑀4 de espaço vetorial, porque elas são válidas em V, que contém S.
b) Todo espaço vetorial admite pelo menos dois espaços (que são chamados subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.
Exercícios Resolvidos
1. Sejam 𝑉 = ℜ2 e 𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℜ2/𝑦 = 2𝑥} ou 𝑆 = {(𝑥, 2𝑥); 𝑥 ∈ ℜ}, isto é, 𝑆 é o conjunto
dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira, mostre S é um subespaço vetorial de ℜ2.
2. Sejam 𝑉 = ℜ3 e 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℜ3/𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0}, mostre que S é um subespaço vetorial
3. Sejam 𝑉 = 𝑀 (2, 2) = { [︃ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ]︃ a, b, c, d ∈ ℜ} e 𝑆 = { [︃ 𝑎 𝑏 0 0 ]︃ a, b ∈ ℜ}, isto é, 𝑆 é o conjunto das matrizes quadradas, de ordem 2, cujos elementos da segunda linha são nulos. Mostre que 𝑆 é um subespaço vetorial.
1.4.1
Interseção de dois Subespaços Vetoriais
Sejam 𝑆1 e 𝑆2 dois subespaços vetoriais de 𝑉 . A interseção 𝑆 de 𝑆1 e 𝑆2, que se representa por
𝑆 = 𝑆1∩ 𝑆2, é o conjunto de todos os vetores 𝑣 ∈ 𝑉 tais que 𝑣 ∈ 𝑆1 e 𝑣 ∈ 𝑆2.
Teorema 1. A interseção 𝑆 de dois subespaços vetoriais 𝑆1 e 𝑆2 de 𝑉 é um subespaço vetorial de
𝑉
Exercícios Resolvidos
1. Seja 𝑉 o espaço das matrizes quadradas de ordem 2, 𝑉 = {
[︃ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ]︃ a, b, c, d ∈ ℜ}, e sejam 𝑆1 = { [︃ 𝑎 𝑏 0 0 ]︃ a, b ∈ ℜ} e 𝑆2 = { [︃ 𝑎 0 0 0 ]︃ a ∈ ℜ}, determine a interseção 𝑆 = 𝑆1∩ 𝑆2.
2. Sejam os subespaços vetoriais 𝑆1 = {(𝑎, 𝑏, 0); 𝑎, 𝑏 ∈ ℜ} e 𝑆2 = {(0, 0, 𝑐); 𝑐 ∈ ℜ} do espaço
vetorial ℜ3 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐); 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℜ}, determine a interseção de 𝑆 1 e 𝑆2.
1.4.2
Soma de dois Subespaços Vetoriais
Sejam 𝑆1 e 𝑆2 dois subespaços vetoriais de 𝑉 . A soma 𝑆 de 𝑆1 e 𝑆2, que se representa por
𝑆 = 𝑆1+ 𝑆2, é o conjunto de todos os vetores 𝑢 + 𝑣 de 𝑉 tais que 𝑢 ∈ 𝑆1 e 𝑣 ∈ 𝑆2.
Teorema 2. A soma 𝑆 de dois subespaços vetoriais 𝑆1 e 𝑆2 de 𝑉 é um subespaço vetorial de 𝑉
Exercícios Resolvidos
1. Seja 𝑉 o espaço das matrizes quadradas de ordem 2, 𝑉 = {
[︃ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ]︃ a, b, c, d ∈ ℜ}, e sejam 𝑆1 = { [︃ 𝑎 𝑏 0 0 ]︃ a, b ∈ ℜ} e 𝑆2 = { [︃ 𝑎 0 0 0 ]︃ a ∈ ℜ}, determine a soma 𝑆 = 𝑆1+ 𝑆2.
2. Sejam os subespaços vetoriais 𝑆1 = {(𝑎, 𝑏, 0); 𝑎, 𝑏 ∈ ℜ} e 𝑆2 = {(0, 0, 𝑐); 𝑐 ∈ ℜ} do espaço
1.4.3
Soma direta de dois Subespaços Vetoriais
Sejam 𝑆1 e 𝑆2 dois subespaços vetoriais de 𝑉 . Diz-se que 𝑉 é a soma direta de 𝑆1 e 𝑆2, e se
representa por 𝑉 = 𝑆1⊕ 𝑆2, se 𝑉 = 𝑆1+ 𝑆2 e 𝑆1 ∩ 𝑆2 = {0}.
Teorema 3. Se 𝑉 é a soma de 𝑆1 e 𝑆2, todo vetor 𝑣 ∈ 𝑉 se escreve, de modo único, na forma:
𝑣 = 𝑢 + 𝑤
onde:
𝑢 ∈ 𝑆1 e 𝑤 ∈ 𝑆2.
Exercício Resolvido
1. Sejam os subespaços vetoriais 𝑆1 = {(𝑎, 𝑏, 0); 𝑎, 𝑏 ∈ ℜ} e 𝑆2 = {(0, 0, 𝑐); 𝑐 ∈ ℜ} do espaço
vetorial ℜ3 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐); 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℜ}, determine a soma direta 𝑆
1⊕ 𝑆2.
1.5
Combinação Linear
Sejam os vetores 𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛 do espaço vetorial 𝑉 e os escalares 𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎𝑛. Qualquer vetor
𝑣 ∈ 𝑉 da forma:
𝑣 = 𝑎1𝑣1+ 𝑎2𝑣2+ ... + 𝑎𝑛𝑣𝑛
é uma combinação linear dos vetores 𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛.
Exercícios Resolvidos
1. No espaço vetorial 𝑃2 dos polinômios de grau ≤ 2, mostre que o polinômio 𝑣 = 7𝑥2+ 11𝑥 − 26
é uma combinação linear na forma 𝑣 = 3𝑣1 + 4𝑣2 dos vetores 𝑣1 = 5𝑥2 − 3𝑥 + 2 e 𝑣2 =
2. Considerando os vetores 𝑣1 = (1, −3, 2) e 𝑣2 = (2, 4, −1) de ℜ3:
a) Escreva o vetor 𝑣 = (−4, −18, 7) como combinação linear dos vetores 𝑣1 e 𝑣2.
b) Mostre que o vetor 𝑣 = (4, 3, −6) não é combinação linear de 𝑣1 e 𝑣2.
d) Determine a condição para 𝑥, 𝑦 e 𝑧 de modo que (𝑥, 𝑦, 𝑧) seja combinação linear dos vetores
𝑣1 e 𝑣2.
3. Mostre que o vetor 𝑣 = (3, 4) ∈ ℜ2 pode ser escrito de infinitas maneiras como combinação linear dos vetores 𝑣1 = (1, 0), 𝑣2 = (0, 1) e 𝑣3 = (2, −1).
1.6
Subespaços Gerados
Seja 𝑉 um espaço vetorial . Consideremos um subconjunto 𝐴 = {𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛} ⊂ 𝑉 , 𝐴 ̸= 0.
O conjunto 𝑆 de todos os vetores de 𝑉 que são combinações lineares dos vetores de 𝐴 é um subespaço vetorial de 𝑉 .
Observações:
1. O subespaço 𝑆 diz-se gerado pelos vetores 𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛, ou gerado pelo conjunto 𝐴 e
𝑆 = [𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛] ou 𝑆 = 𝐺(𝐴)
Os vetores 𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛 são chamados geradores do subespaço 𝑆, enquanto 𝐴 é o conjunto
gerador de 𝑆.
2. Para o caso particular de 𝐴 = 𝜑, define-se: [𝜑] = {0} 3. 𝐴 ⊂ 𝐺(𝐴), ou seja, {𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛} ⊂ [𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛].
4. Todo conjunto 𝐴 ⊂ 𝑉 gera um subconjunto vetorial de 𝑉 , podendo ocorrer 𝐺(𝐴) = 𝑉 . Nesse caso, 𝐴 é um conjunto gerador de 𝑉 .
Exercícios Resolvidos
1. Mostre que os vetores 𝑖 = (1, 0) e 𝑗 = (0, 1) geram o espaço vetorial ℜ2.
2. Seja 𝑉 = ℜ3. Determine o subespaço gerado pelo vetor 𝑣
3. Seja 𝑉 = ℜ3. Determine o subespaço gerado pelo conjunto 𝐴 = {𝑣
1, 𝑣2}, sendo 𝑣1 =
(1, −2, −1) e 𝑣2 = (2, 1, 1).
4. Seja 𝑉 = ℜ3. Determine o subespaço gerado pelo conjunto 𝐴 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3}, sendo 𝑣1 =
(1, 1, 1), 𝑣2 = (1, 1, 0) e 𝑣3 = (1, 0, 0).
6. Sejam 𝑉 = 𝑀 (2, 2) e o subconjunto 𝐴 = { [︃ −1 2 −2 3 ]︃ , [︃ 3 −1 1 1 ]︃ }. Determine o subespaço 𝐺(𝐴).
1.7
Dependência e Independência Linear
Definição 1.7.1. Sejam 𝑉 um espaço vetorial e 𝐴 = {𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛} ⊂ 𝑉 . Consideremos a equação
𝑎1𝑣1 + ... + 𝑎𝑛𝑣𝑛 = 0 (1.7.1)
. Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução:
𝑎1 = 0, 𝑎2 = 0, ... , 𝑎𝑛 = 0
chamada solução trivial.
O conjunto 𝐴 diz-se Linearmente Independente (LI), ou os vetores 𝑣1, ..., 𝑣𝑛 são LI, caso
a equação (1.7.1) admita apenas a solução trivial.
Se existirem soluções 𝑎𝑖 ̸= 0, diz-se que o conjunto 𝐴 é Linearmente Dependente (LD),
ou que os vetores 𝑣1, ..., 𝑣𝑛 são LD.
Teorema 4. {𝑣1, ..., 𝑣𝑛} é LD se, e somente se um destes vetores for uma combinação linear dos
outros.
Observação: Para o caso particular de dois vetores, temos: "Dois vetores 𝑣1 e 𝑣2 são LD se, e
Exercícios Resolvidos
1. Dados o espaço vetorial 𝑉 = ℜ3, mostre que os vetores 𝑣
1 = (2, −1, 3), 𝑣2 = (−1, 0, 2) e
𝑣3 = (2, −3, 1) formam um conjunto linearmente dependente.
2. Dados o espaço vetorial 𝑉 = ℜ4, mostre que os vetores 𝑣1 = (2, 2, 3, 4), 𝑣2 = (0, 5, −3, 1) e
3. No espaço vetorial 𝑀 (2, 2), mostre que o conjunto 𝐴 = { [︃ −1 2 −3 1 ]︃ , [︃ 2 −3 3 0 ]︃ , [︃ 3 −4 3 1 ]︃ } é LD.
1.7.1
Propriedades da Dependência e Independência Linear
Seja 𝑉 um espaço vetorial
I Se 𝐴 = {𝑣} ⊂ 𝑉 e 𝑣 ̸= 0, então 𝐴 é LI
II Se um conjunto 𝐴 ⊂ 𝑉 contém o vetor nulo, então 𝐴 é LD.
III Se uma parte de um conjunto 𝐴 ⊂ 𝑉 é LD, então 𝐴 é também LD. IV Se um conjunto 𝐴 ⊂ 𝑉 é LI, qualquer parte 𝐴1 de 𝐴 é também LI.
V Se 𝐴 = {𝑣1, ..., 𝑣𝑛} ⊂ 𝑉 é LI e 𝐵 = {𝑣1, ..., 𝑣𝑛, 𝑤} ⊂ 𝑉 é LD, então 𝑤 é combinação linear
de 𝑣1, ..., 𝑣𝑛.
1.8
Base e Dimensão
1.8.1
Base de um Espaço Vetorial
Um conjunto 𝐵 = {𝑣1, ..., 𝑣𝑛} ⊂ 𝑉 é uma base do espaço vetorial 𝑉 se:
I) 𝐵 é LI; II) 𝐵 gera 𝑉 .
Exercícios Resolvidos
1. Mostre que o conjunto 𝐵 = {(1, 1), (−1, 0)} é base do ℜ2.
3. Mostre que o conjunto 𝐵 = {(2, −1)} não é uma base do ℜ2
Observações:
a) 𝐵 = {(1, 0), (0, 1)} é uma base do ℜ2, denominada base canônica
b) 𝐵 = { [︃ 1 0 1 0 ]︃ , [︃ 0 1 0 0 ]︃ , [︃ 0 0 1 0 ]︃ , [︃ 0 0 0 1 ]︃ } é a base canônica de 𝑀 (2, 2). c) O conjunto 𝐵 = {1, 𝑥, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛} é uma base do espaço vetorial 𝑃
𝑛. Logo, essa á a base
canônica de 𝑃𝑛 e tem 𝑛 + 1 vetores.
d) "Todo conjunto LI de um espaço vetorial 𝑉 é base do subespaço por ele gerado".
Teorema 5. Se 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛} for uma base de um espaço vetorial 𝑉 , então todo conjunto
com mais de 𝑛 vetores será linearmente dependente.
Corolário 1.8.1. Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores. Exemplos:
1. A base canônica do ℜ3 tem três vetores. Logo, qualquer outra base do ℜ3 terá também três vetores.
2. A base canônica de 𝑀 (2, 2) tem quatro vetores. Portanto, toda base de 𝑀 (2, 2) terá quatro vetores.
1.8.2
Dimensão de um Espaço Vetorial
Seja 𝑉 um espaço vetorial
a) Se 𝑉 possui uma base com 𝑛 vetores, então 𝑉 tem dimensão 𝑛 e anota-se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛. b) Se 𝑉 não possui base, 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 0
c) Se 𝑉 tem uma base com infinitos vetores, então a dimensão de 𝑉 é infinita e anota-se
Exemplos:
1. 𝑑𝑖𝑚ℜ2 = 2, pois toda base do ℜ2 tem dois vetores. 2. 𝑑𝑖𝑚ℜ𝑛 = 𝑛 3. 𝑑𝑖𝑚𝑀 (2, 2) = 4 4. 𝑑𝑖𝑚𝑀 (𝑚, 𝑛) = 𝑚𝑥𝑛 5. 𝑑𝑖𝑚𝑃𝑛= 𝑛 + 1 6. 𝑑𝑖𝑚{0} = 0 Observações:
1. Seja 𝑉 um espaço vetorial tal que 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛.
Se 𝑆 é um subespaço de 𝑉 , então 𝑑𝑖𝑚𝑆 ≤ 𝑛. No caso de 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 𝑛, tem-se 𝑆 = 𝑉 .
Para permitir uma interpretação geométrica, consideremos o espaço tridimensional ℜ3 (𝑑𝑖𝑚ℜ3 =
3).
A dimensão de qualquer subespaço 𝑆 do ℜ3 só poderá ser 0,1,2 ou 3. Portanto temos os seguintes casos:
I) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 0, então 𝑆 = {0} é a origem.
II) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 1, então 𝑆 é uma reta que passa pela origem. III) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 2, então 𝑆 é um plano que passa pela origem. IV) 𝑑𝑖𝑚𝑆 = 3, então 𝑆 é o próprio ℜ3.
2. Seja 𝑉 um espaço vetorial de dimensão 𝑛. Então, qualquer subconjunto de 𝑉 com mais de
𝑛 vetores é LD.
3. Sabemos que um conjunto 𝐵 é a base de um espaço vetorial 𝑉 se 𝐵 for LI e se 𝐵 gera 𝑉 . No entanto, se soubermos que 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, para obtermos uma das base de 𝑉 basta que apenas uma das condições de base seja satisfeita. A outra condição ocorre automaticamente. Assim: I) Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, qualquer subconjunto de 𝑉 com 𝑛 vetores LI é uma base de 𝑉 .
II) Se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, qualquer subconjunto de 𝑉 com 𝑛 vetores geradores de 𝑉 é uma base de
𝑉 .
Teorema 6. Seja 𝑉 um espaço vetorial de dimensão 𝑛. Qualquer conjunto de vetores LI em 𝑉 é parte de uma base, isto é, pode ser completado até formar uma base de 𝑉 .
Teorema 7. Seja 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛} uma base de um espaço vetorial 𝑉 . Então, todo vetor 𝑣 ∈ 𝑉
se exprime de maneira única como combinação linear dos vetores de 𝐵.
Exercícios Resolvidos
1. Sejam os vetores 𝑣1 = (1, 2, 3), 𝑉2 = (0, 1, 2) e 𝑣3 = (0, 0, 1). Mostre que que o conjunto
𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3} é uma base do ℜ3.
2. Dado o problema anterior, determine:
a) O vetor-coordenada e a matriz-coordenada de 𝑣 = (5, 4, 2) em relação a 𝐵. b) O vetor 𝑣 ∈ ℜ3 cujo vetor-coordenada em relação a 𝐵 é 𝑣
3. Consideremos os seguintes subespaços do ℜ4: 𝑆1 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)/𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0} (1.8.1) 𝑆2 = {(𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑)/𝑎 − 2𝑏 = 0 𝑒 𝑐 = 3𝑑} Determine: a) 𝑑𝑖𝑚𝑆1 e uma base de 𝑆1 b) 𝑑𝑖𝑚𝑆2 e uma base de 𝑆2
4. Seja 𝑆 o subespaço de 𝑃2 = {𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐/𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℜ} gerado pelos vetores 𝑣1 = 𝑡2− 2𝑡 + 1,
𝑣2 = 𝑡 + 2 e 𝑣3 = 𝑡2− 3𝑡 − 1. Determine:
a) Uma base de 𝑆 e 𝑑𝑖𝑚𝑆.
5. Determine uma base e a dimensão do espaço-solução do sistema homegêneo ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 + 3𝑡 = 0 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 2𝑡 = 0 2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 + 3𝑡 = 0
1.9
Exercícios Propostos
1. Dadas as operações expressas em cada alternativa, verifique quais conjuntos são espaços vetoriais:
a) ℜ3, (𝑥, 𝑦, 𝑧) + (𝑥
1, 𝑦1, 𝑧1) = (𝑥 + 𝑥1, 𝑦 + 𝑦1, 𝑧 + 𝑧1) e 𝑘(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0, 0, 0)
b) {(𝑥, 2𝑥, 3𝑥); 𝑥 ∈ ℜ} com as operações usuais c) ℜ2, (𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎, 𝑏) e 𝛼(𝑎, 𝑏) = (𝛼𝑎, 𝛼𝑏)
d) ℜ2, (𝑥, 𝑦) + (𝑥
1, 𝑦1) = (𝑥 + 𝑥1, 𝑦 + 𝑦1) e 𝛼(𝑥, 𝑦) = (𝛼2𝑥, 𝛼2𝑦)
e) ℜ2, (𝑥, 𝑦) + (𝑥
1, 𝑦1) = (𝑥 + 𝑥1, 𝑦 + 𝑦1) e 𝛼(𝑥, 𝑦) = (𝛼𝑥, 0)
f) 𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℜ2/𝑦 = 5𝑥} com as operações usuais
g) 𝐴 = {
[︃
0 𝑎
𝑏 0
]︃
2. Verifique quais dos conjuntos de ℜ2 dados são subespaços vetoriais do ℜ2 relativamente às
operações de adição e multiplicação por escalar usuais. a) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦)/𝑦 = −𝑥} b) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦); 𝑥 ∈ ℜ} c) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 + 3𝑦 = 0} d) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦); 𝑦 ∈ ℜ} e) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦)/𝑦 = 𝑥 + 1} f) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦)𝑥 ≥ 0}
3. Dados os subconjuntos de ℜ3, verifique quais são subespaços vetoriais em relação as operações
usuais. a) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/𝑥 = 4𝑦𝑒𝑧 = 0} b) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/𝑧 = 2𝑥 − 𝑦} c) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/𝑥 = 𝑧2} d) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/𝑦 = 𝑥 + 2; 𝑧 = 0} e) 𝑆 = {(𝑥, 𝑥, 𝑥); 𝑥 ∈ ℜ} f) 𝑆 = {(𝑥, 𝑥, 0)/𝑥 ∈ ℜ} g) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦𝑧)/𝑥𝑦 = 0} h) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/𝑥 = 0; 𝑦 = |𝑧|} i) 𝑆 = {(𝑥, −3𝑥, 4𝑥); 𝑥 ∈ ℜ} j) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/𝑥 ≥ 0} k) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧)/𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0} l) 𝑆 = {(4𝑡, 2𝑡, −𝑡); 𝑡 ∈ ℜ}
4. Verifique se os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de 𝑀 (2, 2): a) 𝑆 = { [︃ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ]︃ ∈ 𝑀 (2, 2)/𝑐 = 𝑎 + 𝑏; 𝑑 = 0} b) 𝑆 = { [︃ 𝑎 𝑏 0 𝑐 ]︃
∈ 𝑀 (2, 2)/𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℜ} (matrizes triangulares superiores)
c) 𝑆 = { [︃ 𝑎 𝑏 𝑏 𝑐 ]︃ ∈ 𝑀 (2, 2)/𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℜ} (matrizes simétricas) d) 𝑆 = { [︃ 𝑎 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 𝑏 ]︃ ∈ 𝑀 (2, 2)/𝑎, 𝑏 ∈ ℜ} e) 𝑆 = { [︃ 𝑎 1 𝑎 𝑏 ]︃ ∈ 𝑀 (2, 2)/𝑎, 𝑏 ∈ ℜ}
f) 𝑆 = {
[︃
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
]︃
∈ 𝑀 (2, 2)/𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ̸= 0} (Conjunto das matrizes inversíveis)
5. Sejam os vetores 𝑢 = (2, −3, 2) e 𝑣 = (−1, 2, 4) em ℜ3.
a) Escreva o vetor 𝑤 = (7, −11, 2) como combinação linear 𝑢 𝑣.
b) Para que valor de 𝑘 o vetor (−8, 14, 𝑘) é combinação linear de 𝑢 e 𝑣?
c) Determine uma solução entre 𝑎, 𝑏 e 𝑐 para que o vetor (𝑎, 𝑏, 𝑐) seja uma combinação linear de 𝑢 e 𝑣.
6. Consideremos no espaço 𝑃2 = {𝑎𝑡2+ 𝑏𝑡 + 𝑐/𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℜ} os vetores 𝑝1 = 𝑡2− 2𝑡 + 1, 𝑝2 = 𝑡 + 2
e 𝑝3 = 2𝑡2− 𝑡.
a) Escreva o vetor 𝑝 = 5𝑡2− 5𝑡 + 7 como combinação linear de 𝑝
1, 𝑝2 e 𝑝3.
b) Escreva o vetor 𝑝 = 5𝑡2− 5𝑡 + 7 como combinação linear de 𝑝 1 e 𝑝2.
c) Determine uma condição para 𝑎, 𝑏 e 𝑐 de modo que o vetor 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝑐 seja combinação
linear de 𝑝2 e 𝑝3.
d) É possível escrever 𝑝1 como combinação linear de 𝑝2 e 𝑝3?
7. Seja o espaço vetorial 𝑀 (2, 2) e os vetores
𝑉1 = [︃ 1 0 1 1 ]︃ , 𝑉2 = [︃ −1 2 0 1 ]︃ e 𝑉3 = [︃ 0 −1 2 1 ]︃ Escreva o vetor 𝑉 = [︃ 1 8 0 5 ]︃
como combinação linear dos vetores 𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3.
8. Escreva o vetor 0 ∈ ℜ2 como combinação linear dos vetores:
a) 𝑣1 = (1, 3) e 𝑣2 = (2, 6)
b) 𝑣1 = (1, 3) e 𝑣2 = (2, 5)
9. Sejam os vetores 𝑣1 = (−1, 2, 1), 𝑣2 = (1, 0, 2) e 𝑣3 = (−2, −1, 0). Expresse cada um dos
vetores 𝑢 = (−8, 4, 1), 𝑣 = (0, 2, 3) e 𝑤 = (0, 0, 0) como combinação linear de 𝑣1, 𝑣2 e 𝑣3.
10. Expresse o vetor 𝑢 = (−1, 4, −4, 6) ∈ ℜ4como combinação linear dos vetores 𝑣1 = (3, −3, 1, 0), 𝑣2 =
(0, 1, −1, 2) e 𝑣3 = (1, −1, 0, 0).
11. Seja 𝑆 o subespaço do ℜ4 definido por 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℜ4/𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0; 𝑡 = 0},
pergunta-se:
a) (−1, 2, 3, 0) ∈ 𝑆? b) (3, 1, 4, 0) ∈ 𝑆? c) (−1, 1, 1, 1) ∈ 𝑆?
12. Seja 𝑆 o subespaço de 𝑀 (2, 2); 𝑆 = { [︃ 𝑎 − 𝑏 2𝑎 𝑎 + 𝑏 −𝑏 ]︃ ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℜ}, pergunta-se: a) [︃ 5 6 1 2 ]︃ ∈ 𝑆?
b) Qual deve ser o valor de 𝑘 para que o vetor
[︃
−4 𝑘
2 −3
]︃
pertença a 𝑆?
13. Verifique se são LI oi LD os seguintes conjuntos: a) { [︃ 1 2 −4 −3 ]︃ , [︃ 3 6 −12 −9 ]︃ ⊂ 𝑀 (2, 2)} b) {(2, −1), (1, 3)} ⊂ ℜ2 c) {(−1, −2, 0, 3), (2, −1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)} ⊂ ℜ4 d) {1 + 2𝑥 − 𝑥2, 2 − 𝑥 + 3𝑥2, 3 − 4𝑥 + 7𝑥2} ⊂ 𝑃 2
14. Mostre que os seguintes subconjuntos de ℜ4 são subespaços. a) 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℜ4/𝑥 + 𝑦 = 0 e 𝑧 − 𝑡 = 0}
b) 𝑈 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℜ4/2𝑥 + 𝑦 − 𝑡 = 0 e 𝑧 = 0}
15. Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de 𝑀 (2, 2). Em caso afirmativo exiba os vetores geradores. a) 𝑉 = {︃[︃ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ]︃ 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℜ 𝑒 𝑏 = 𝑐 }︃ b) 𝑉 = {︃[︃ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ]︃ 𝑐𝑜𝑚 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℜ 𝑒 𝑏 = 𝑐 + 1 }︃
16. Considere dois vetores (𝑎, 𝑣) e (𝑐, 𝑑) no plano. Se 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 0, mostre que eles são 𝐿𝐷. Se
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ̸= 0, mostre que eles são 𝐿𝐼.
17. Considere o subespaço de ℜ4 𝑆 = [(1, 1, −2, 4), (1, 1, −1, 2), (1, 4, −4, 8)]
a) O vetor (23, 1, −1, 2) pertence a 𝑆?
b) O vetor (0, 0, 1, 1) pertence a 𝑆?
18. Seja 𝑊 o subespaço de 𝑀 (2, 2) definido por 𝑊 =
{︃[︃ 2𝑎 𝑎 + 2𝑏 0 𝑎 − 𝑏 ]︃ : 𝑎, 𝑏 ∈ ℜ }︃ a) [︃ 0 −2 0 1 ]︃ ∈ 𝑊 ? b) [︃ 0 2 3 1 ]︃ ∈ 𝑊 ?
19. Seja 𝑊 o subespaço de 𝑀 (3, 2) gerado por ⎡ ⎢ ⎣ 0 0 1 1 0 0 ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 0 −1 1 0 ⎤ ⎥ ⎦e ⎡ ⎢ ⎣ 0 1 0 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎦. O vetor ⎡ ⎢ ⎣ 0 2 3 4 5 0 ⎤ ⎥ ⎦ pertence a 𝑊 ? 20. Mostre que {︃[︃ 1 0 0 0 ]︃ , [︃ 0 1 0 0 ]︃ , [︃ 0 0 1 0 ]︃ , [︃ 0 0 0 1 ]︃}︃ é base de 𝑀 (2, 2).
21. Mostre que os polinômios 1 − 𝑡3, (1 − 𝑡)2, 1 − 𝑡 e 1 geram o espaço dos polinômios de grau
≤ 3.
22. Seja 𝑉 o espaço das matrizes 2𝑋2 sobre ℜ, e seja 𝑊 o subespaço gerado por
{︃[︃ 1 −5 −4 2 ]︃ , [︃ 1 1 −1 5 ]︃ , [︃ 2 −4 −5 7 ]︃ , [︃ 1 −7 −5 1 ]︃}︃ . Encontre uma base, e a dimensão de 𝑊 .
23. Considere o subespaço de ℜ4 gerado pelos vetores 𝑣
1 = (1, −1, 0, 0), 𝑣2 = (0, 0, 1, 1), 𝑣3 =
(−2, 2, 1, 1), 𝑣4 = (1, 0, 0, 0).
a) O vetor (2, −3, 2, 2) ∈ [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4]? Justifique.
b) Exiba uma base para [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4]. Qual é a dimensão?
c) [𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4] = ℜ4? Por quê?
24. Considere o subespaço de ℜ3gerado pelos vetores 𝑣
1 = (1, 1, 0), 𝑣2 = (0, −1, 1) e 𝑣3 = (1, 1, 1).
[𝑣1, 𝑣2, 𝑣3] = ℜ3? Por que?
25. Considere o sistema linear (𝜚)
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 2𝑥1+ 4𝑥2− 6𝑥3 = 𝑎 𝑥1 − 𝑥2 + 4𝑥3 = 𝑏 6𝑥2− 14𝑥3 = 𝑐
Seja 𝑊 = {(𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∈ ℜ3 : (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) é solução de (𝜚)}. Isto é, 𝑊 é o conjunto-solução
do sistema.
a) Que condições devemos impor a 𝑎, 𝑏 e 𝑐 para que 𝑊 seja subespaço vetorial de ℜ3?
b) Nas condições determinadas em a) encontre uma base para 𝑊 .
c) Que relação existe entre dimensão de 𝑊 e o grau de liberdade do sistema? Seria este resultado válido para quaisquer sistemas homogêneos?
26. Seja 𝑈 o subespaço de ℜ3, gerado por (1,0,0) e 𝑊 o subespaço de ℜ3, gerado por (1,1,0) e (0,1,1). Mostre que ℜ3 = 𝑈 ⊕ 𝑊 .
27. Sejam 𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℜ/𝑥 + 𝑦 = 0 e 𝑧 − 𝑡 = 0} e 𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) ∈ ℜ/𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0}
subespaços de ℜ4. a) Determine 𝑊1∩ 𝑊2.
c) Determine 𝑊1+ 𝑊2. d) 𝑊1+ 𝑊2 é soma direta? e) 𝑊1+ 𝑊2 = ℜ4? 28. Sejam 𝑊1 = {︃[︃ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ]︃ 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 𝑑 𝑒 𝑏 = 𝑐 }︃ e 𝑊2 = {︃[︃ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 ]︃ 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 = 𝑐 𝑒 𝑏 = 𝑑 }︃ subespaços de 𝑀 (2, 2).
a) Determine 𝑊1∩ 𝑊2 e exiba uma base.
Espaços Vetoriais Euclidianos
2.1
Produto Interno em Espaços Vetoriais
Definição 2.1.1. Chama-se Produto Interno no espaço vetorial 𝑉 uma função de 𝑉 x 𝑉 em ℜ que a todo par de vetores (𝑢, 𝑣) ∈ 𝑉 x 𝑉 associa um número real, indicado por 𝑢.𝑣 ou < 𝑢, 𝑣 >, tal que os seguintes axiomas sejam verificados:
𝑃1) 𝑢.𝑣 = 𝑣.𝑢 ou < 𝑢, 𝑣 > = < 𝑣, 𝑢 >
𝑃2) 𝑢.(𝑣 + 𝑤) = 𝑢.𝑣 + 𝑢.𝑤 ou < 𝑢, (𝑣 + 𝑤) > = < 𝑢, 𝑣 > + < 𝑢, 𝑤 >
𝑃3) (𝛼𝑢).𝑣 = 𝛼(𝑢.𝑣) ou < (𝛼𝑢), 𝑣 > = 𝛼 < 𝑢, 𝑣 >, ∀ 𝛼 ∈ ℜ
𝑃4) 𝑢.𝑢 ≥ 0 e 𝑢.𝑣 = 0 ↔ 𝑢 = 0 ou < 𝑢, 𝑢 > ≥ 0 e < 𝑢, 𝑣 > = 0 ↔ 𝑢 = 0
Obs:
a) O número real 𝑢.𝑣 é chamado Produto Interno dos vetores 𝑢 e 𝑣. b) Dos quatro axiomas da definição acima decorrem as propriedades: I) 0.𝑢 = 𝑢.0 = 0, ∀ 𝑢 ∈ 𝑉
II) (𝑢 + 𝑣).𝑤 = 𝑢.𝑤 + 𝑣.𝑤 III) 𝑢.(𝛼𝑣) = 𝛼(𝑢.𝑣)
IV) 𝑢.(𝑣1+ 𝑣2+ ... + 𝑣𝑛) = 𝑢.𝑣1+ 𝑢.𝑣2+ ... + 𝑢.𝑣𝑛
Exercícios Resolvidos
1. Mostre que, no espaço vetorial 𝑉 = ℜ2, a função que associa a cada par de vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1)
e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2) o número real 𝑢.𝑣 = 3𝑥1𝑥2+ 4𝑦1𝑦2, chamado de Produto Interno Ponderado
OBs Este produto que acabamos de apresentar é diferente do produto interno usual no ℜ2. Este seria definido por:
𝑢.𝑣 = 𝑥1𝑥2+ 𝑦1𝑦2
donde se depreende ser possível a existência de mais de um produto interno num mesmo espaço vetorial.
Vejamos alguns exemplos de produtos internos, chamados de Pridutos Internos Arbitrários 1. Se 𝑢 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2) são vetores quaisquer do ℜ3, o número real
𝑢.𝑣 = 𝑥1𝑥2+ 𝑦1𝑦2+ 𝑧1𝑧2
define o produto interno usual no ℜ3
2. De forma análoga, dados 𝑢 = (𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, ..., 𝑧𝑛) vetores quaisquer do ℜ𝑛, o
número real
𝑢.𝑣 = 𝑥1𝑥2+ 𝑦1𝑦2+ ...𝑥𝑛𝑦𝑛
define o produto interno usual do ℜ𝑛
3. Sejam 𝑉 = 𝑃2, 𝑝 = 𝑎2𝑥2+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 e 𝑞 = 𝑏2𝑥2+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0 vetores quaisquer de 𝑃2, a fórmula
𝑝.𝑞 = 𝑎2𝑏2+ 𝑎1𝑏1+ 𝑎0𝑏0
define um produto interno em 𝑃2
4. Seja 𝑉 o espaço das funções reais contínuas no intervalo [a,b], se 𝑓 e 𝑔 pertencem a 𝑉 ,
𝑓.𝑔 =∫︀𝑏
𝑎𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥
Exercícios Resolvidos
1. Em relação aos produto interno usual do ℜ2, calcule 𝑢.𝑣 sendo dados:
a) 𝑢 = (−3, 4) e 𝑣 = (5, −2)
b) 𝑢 = (6, −1) e 𝑣 = (12, −4)
c) 𝑢 = (2, 3) e 𝑣 = (0, 0)
2. Para os mesmos vetores do exercício anterior, calcule 𝑢.𝑣 em relação ao produto interno ponderado 𝑢.𝑣 = 3𝑥1𝑥2+ 4𝑦1𝑦2.
3. Considerando o ℜ3 munido do produto interno usual, sendo 𝑣
1 = (1, 2, −3), 𝑣2 = (3, −1, −1)
e 𝑣3 = (2, −2, 0) de ℜ3, determine o vetor 𝑢 tal que 𝑢.𝑣1 = 4, 𝑢.𝑣2 = 6 e 𝑢.𝑣3 = 2.
4. Seja 𝑉 = {𝑓 : [0, 1] ↦→ ℜ; 𝑓 é contínua} o espaço vetorial munido do produto interno
𝑓.𝑔 =∫︀𝑏
2.2
Módulo de um Vetor
Estaremos interessados agora em formalizar os conceitos de Comprimento ou Módulo de um
vetor e de Ângulo entre dois vetores. Com isto teremos processos para que se possa "medir"num
espaço vetorial, da mesma forma pela qual se mede no plano ou no espaço. E é a noção de medida que nos leva a precisar de conceitos como o de aproximação, área, volume etc.
Consideremos inicialmente o plano ℜ2, munido de um referencial cartesiano ortogonal (eixos
perpendiculares) e um ponto P de coordenada (𝑥, 𝑦). Vamos calcular a distância 𝑑 deste ponto P à origem.
Figura 2.1: Comprimento de um vetor
Observando a figura 2.1 e utilizando o teorema de Pitágoras, temos que 𝑑 =√𝑥2+ 𝑦2. Podemos
também interpretar este resultado dizendo que o comprimento (que passaremos a chamar também de norma) do vetor (𝑥, 𝑦) é √𝑥2+ 𝑦2. Denotaremos isto por ‖ (𝑥, 𝑦) ‖=√𝑥2+ 𝑦2. Analogamente,
a distância 𝑑 entre os pontos (𝑥1, 𝑦1) e (𝑥2, 𝑦2) é a norma do vetor diferença, isto é,
𝑑 =√︁(𝑥1 − 𝑥2)2+ (𝑦1 − 𝑦2)2
Observemos que a norma, módulo ou comprimento de um vetor pode também ser dada por um produto interno usual.
Dado 𝑢 = (𝑥1, 𝑥2), temos; ‖ 𝑢 ‖ = ‖ (𝑥1, 𝑥2) ‖ = √︁(𝑥1− 0)2+ (𝑦1− 0)2 = √︁(𝑥1)2+ (𝑦1)2 = √𝑥1.𝑥1 + 𝑥2.𝑥2 = √𝑢.𝑢
Obs 1) Se ‖ 𝑣 ‖= 1, isto é, 𝑣.𝑣 = 1, o vetor 𝑣 é chamado de vetor unitário ou Versor. Diz-se ainda, nesse caso, que 𝑣 está Normalizado.
Obs 2) Todo vetor não-nulo 𝑣 ∈ 𝑉 pode ser normalizado, fazendo: 𝑢 = 𝑣 ‖ 𝑣 ‖ Observemos que: 𝑣 ‖𝑣‖. 𝑣 ‖𝑣‖ = 𝑣.𝑣 (‖𝑣‖)2 = (‖𝑣‖)2 (‖𝑣‖)2 = 1 e portanto, ‖𝑣‖𝑣 é unitário. Exercícios Resolvidos
1. Dado o espaço vetorial 𝑉 = ℜ3 e considerando o vetor 𝑣 = (−2, 1, 2) ∈ ℜ3, normalize o vetor
𝑣 em relação aos produtos internos dados:
a) 𝑣1.𝑣2 = 3𝑥1𝑥2+ 2𝑦1𝑦2+ 𝑧1𝑧2
b) O produto interno usual
É importante observar que o módulo depende do produto interno utilizado. Se o produto interno muda, o módulo também se modifica.
Assim, fica claro que os dois vetores ‖𝑣‖𝑣 acima, obtidos a partir de 𝑣, são unitários, cada um em relação ao respectivo produto interno.
2.2.1
Propriedades do Módulo de um Vetor
Seja 𝑉 um espaço vetorial euclidiano.
I) ‖ 𝑣 ‖≥ 0, ∀𝑣 ∈ 𝑉 e ‖ 𝑣 ‖= 0, se, e somente se, 𝑣 = 0. II) ‖ 𝛼𝑣 ‖= |𝛼| ‖ 𝑣 ‖, ∀𝑣 ∈ 𝑉 , ∀𝛼 ∈ ℜ
III) ‖ 𝑢.𝑣 ‖≤‖ 𝑢 ‖‖ 𝑣 ‖, ∀𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 .
Esta desigualdade é conhecida com o nome de Desigualdade de Schwarz ou Inequação de
Cauchy-Schwarz.
IV) ‖ 𝑢 + 𝑣 ‖≤‖ 𝑢 ‖ + ‖ 𝑣 ‖, ∀𝑢𝑣 ∈ 𝑉
Essa desigualdade, denominada desigualdade triangular, vista no ℜ2 ou ℜ3 confirma a propri-edade geométrica de que, num triângulo, a soma dos comprimentos de dois lados é maior que o comprimento do terceiro lado.
A igualdade somente ocorre quando os dois vetores 𝑢 e 𝑣 são colineares.
2.3
Ângulo de dois Vetores
Sejam 𝑢 e 𝑣 vetores não nulos de um espaço vetorial euclidiano 𝑉 . A desigualdade de Schwarz
‖ 𝑢.𝑣 ‖≤‖ 𝑢 ‖‖ 𝑣 ‖ pode ser escrita assim:
‖𝑢.𝑣‖ ‖𝑢‖‖𝑣‖ ≤ 1 ou ‖ 𝑢.𝑣 ‖𝑢‖‖𝑣‖ ‖≤ 1 o que implica: −1 ≤ 𝑢.𝑣 ‖𝑢‖‖𝑣‖ ≤ 1
Por esse motivo, pode-se dizer que a fração
𝑢.𝑣 ‖𝑢‖‖𝑣‖
é igual ao cosseno de um ângulo 𝜃, denominado Ângulo dos vetores 𝑢 e 𝑣: cos 𝜃 = ‖𝑢‖‖𝑣‖𝑢.𝑣 , 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
Exercícios Resolvidos
1. Considerando o ℜ3 com o produto interno usual. Determine a componente 𝑐 do vetor 𝑣 =
(6, −3, 𝑐) tal que ‖ 𝑣 ‖ = 7.
2. Seja o produto interno usual no ℜ3 e ℜ4. Determine o ângulo entre os seguintes pares de
vetores.
a) 𝑢 = (2, 1, −5) e 𝑣 = (5, 0, 2)
b) 𝑢 = (1, −1, 2, 3) e 𝑣 = (2, 1, 0, −2)
3. Seja 𝑉 um espaço vetorial euclidiano e 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉 . Determine o cosseno do ângulo entre os vetores 𝑢 e 𝑣, sabendo que ‖ 𝑢 ‖= 3, ‖ 𝑣 ‖= 7 e ‖ 𝑢 + 𝑣 ‖= 4√5
4. Consideremos, no ℜ2, o produto interno definido por 𝑣
1.𝑣2 = 3𝑥1𝑥2+ 𝑦1𝑦2, sendo 𝑣1 = (𝑥1, 𝑦1)
e 𝑣2 = (𝑥2, 𝑦2). Em relação a esse produto interno, determine um vetor 𝑣 tal que:
‖ 𝑣 ‖= 4, 𝑣.𝑢 = 10 e 𝑢 = (1, −2).
2.4
Vetores Ortogonais
Definição 2.4.1. Seja 𝑉 um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que dois vetores 𝑢 e 𝑣 de 𝑉 são
ortogonais, e se representa por 𝑢 ⊥ 𝑣, se, e somente se, 𝑢.𝑣 = 0
Exemplo: Seja 𝑉 = ℜ2um espaço vetorial euclidiano em relação ao produto interno (𝑥1, 𝑦1).(𝑥2, 𝑦2) =
𝑥1𝑥2+ 2𝑦1𝑦2. Em relação a este produto interno, verifique que os vetores 𝑢 = (−3, 1) e 𝑣 = (4, 3)
são ortogonais.
2.5
Conjunto Ortogonal de Vetores
Definição 2.5.1. Seja 𝑉 um espaço vetorial euclidiano. Diz-se que um conjunto de vetores {𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛} ⊂ 𝑉 é ortogonal se dois vetores quaisquer, distintos, são ortogonais, isto é, 𝑣𝑖.𝑣𝑗 = 0
para 𝑖 ̸= 𝑗.
Exemplo: Verifique que, no ℜ3, o conjunto 𝐴 = {(1, 2, 3), (3, 0, 1), (1, −5, −3)} é ortogonal em relação ao produto interno usual.
Teorema 8. Um conjunto ortogonal de vetores não-nulos 𝐴 = {𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛} é linearmente
inde-pendente (LI).
2.5.1
Base Ortogonal
Diz-se que uma base 𝑣1, ..., 𝑣2 de 𝑉 é ortogonal se os seus vetores são dois a dois ortogonais.
Assim, levando em conta o teorema 8, se 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, qualquer conjunto de 𝑛 vetores não-nulos e dois a dois ortogonais, constitui uma base ortogonal. Por exemplo, o conjunto apresentado no exemplo anterior
{(1, 2, 3), (3, 0, 1), (1, −5, −3)} é uma base ortogonal do ℜ3.
2.5.2
Base Ortonormal
Definição 2.5.2. Uma base 𝐵 = {𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛} de um espaço vetorial euclidiano 𝑉 é ortonormal
se 𝐵 pe ortogonal e todos os seus vetores são unitários, isto é:
𝑣𝑖.𝑣𝑗 = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0 para 𝑖 ̸= 𝑗 1 para 𝑖 = 𝑗
1. 𝐵 = {(1, 0), (0, 1)} é uma base ortonormal do ℜ2 (é a base canônica); 2. 𝐵 = {( √ 3 2 ), 1 2, (− 1 2, √ 3
2 )} é também base ortonormal do ℜ
2 (Verifique!);
3. 𝐵 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base ortonormal do ℜ3 (é a base canônica);
4. 𝐵 = {𝑢1, 𝑢2, 𝑢3}, sendo 𝑢1 = (√13,√13,√13), 𝑢2 = (−√26,√16,√16) e 𝑢3 = (0, −√12,√12), é também
As bases ortonormais são particularmente importantes, como ainda veremos.
Obs: Já vimos que se 𝑣 é um vetor não nulo, o vetor ‖𝑣‖𝑣 é unitário. Diz-se, nesse caso, que 𝑣 é normalizado. O processo que transforma 𝑣 em ‖𝑣‖𝑣 chama-se normalização de 𝑣.
Assim, uma base ortonormal sempre pode ser obtida de uma base ortogonal normalizando cada vetor.
Exemplo: Dado a base 𝐵 = {𝑣1 = (1, 1, 1), 𝑣2 = (−2, 1, 1), 𝑣3 = (0, −1, 1)} que é ortogonal em
relação ao produto interno usual. Normalize cada vetor e encontre uma base ortonormal do ℜ3.
3.0.4
Capítulo 4
4.1
Respostas dos Exercícios Propostos
Exercícios Propostos 1.7
1)
a) Não é espaço vetorial. Falha o axioma 𝑀4
b) O conjunto é um espaço vetorial
c) Não é espaço vetorial. Falham os axiomas 𝐴3, 𝐴3 e 𝐴4
d) Não é espaço vetorial. Falha o axioma 𝑀2
e) Não é espaço vetorial. Falha o axioma 𝑀4
f) O conjunto é um espaço vetorial g) O conjunto é um espaço vetorial 2) a) 𝑆 é subespaço b) 𝑆 não é subespaço c) 𝑆 é subespaço d) 𝑆 é subespaço e) 𝑆 não é subespaço f) 𝑆 não é subespaço 3) a) 𝑆 é subespaço b) 𝑆 é subespaço c) 𝑆 não é subespaço d) 𝑆 não é subespaço e) 𝑆 é subespaço f) 𝑆 é subespaço g) 𝑆 não é subespaço h) 𝑆 não é subespaço i) 𝑆 é subespaço j) 𝑆 não é subespaço k) 𝑆 é subespaço 50
l) 𝑆 é subespaço
4) São subespaços: a), b), c), d) 5) a) 𝑤 = 3𝑢 − 𝑣 b) 𝑘 = 12 c) 16𝑎 + 10𝑏 − 𝑐 = 0 6) a) 𝑝 = 3𝑝1+ 2𝑝2+ 𝑝3 b) impossível c) 𝑎 + 2𝑏 − 𝑐 = 0 d) não é possível 7) 𝑣 = 4𝑣1+ 3𝑣2− 2𝑣3 8) a) 0 = −2𝑣1 + 𝑣2 b) 0 = 0𝑣1 + 0𝑣2 9) 𝑢 = 3𝑣1− 𝑣2+ 2𝑣3, 𝑣 = 𝑣1+ 𝑣2, 𝑤 = 0𝑤1+ 0𝑣2+ 0𝑣3 10) 𝑣 = −𝑣1+ 3𝑣2+ 2𝑣3 11) a) sim b) não c) não 12) a) sim b) 𝑘 = −2 13) a) LD b) LI c) LI d) LD 15) a) 𝑉 é subespaço de 𝑀 (2, 2) b) 𝑊 não é subespaço de 𝑀 (2, 2) 18) a) Pertence b) Não-Pertence 23) a) Sim pertence b) [𝑤1 = (1, 0, 0, 0), 𝑤2 = (0, 1, 0, 0), 𝑤3 = (0, 0, 1, 1)]. A dimensão é 3. c) Não 25) a) 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 0
b) Resolva o sistema e vefifique o grau de liberdade e quais são as variáveis livres.Atribua valor 1 para uma delas e 0 para as outras até obter a solução básica. Cada solução básica fornecerá um vetor da base de 𝑊 .
c) A dimensão de 𝑊 é exatamente o grau de liberdade, pois cada grau determina uma solução básica do sistema. O resultado é valido para qualquer sistema homogêneo.
27)
a) 𝑊1∩ 𝑊2 = [(0, 0, 1, 1)]
b) Uma base para 𝑊1∩ 𝑊2 é {(0, 0, 1, 1)}
c) 𝑊1 + 𝑊2 = [(−1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (−1, 0, 0, 1)]
d) 𝑊1+ 𝑊2 não é soma direta
Bibliografia
b1 [1] STEINCBRUCH, A., WINTERLE, P., Álgebra Linear, 2. ed. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987
b2 [2] BOLDRINI, J. L. Álgebra Linear, 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980 b3 [3] LIMA. E. L. Álgebra Linear, 8. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2012
