Me todos Computacionais em Fı sica I

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Integraç ão Trap ézio Simpson

M ´etodos Computacionais em F´ısica I

Jos ´e Helder Lopes

Instituto de F´ısica

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Aula Remota Semestre Especial 2020-2

baseado nas aulas remotas da Profa_{. Sandra Amato para o}

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C ´alculo de Integrais

Ü Uma grande quantidade de problemas de f´ısica exige o c ´alculo de integrais

Ü Em muitos casos, precisamos calcular integrais sem soluc¸ ˜ao anal´ıtica

Ü Por exemplo, o per´ıodo de um p êndulo abandonado de um ângulo θ0com a vertical é dado por

T = 2 s L 2g Z θ₀ −θ0 dθ0 (cos θ0− cos θ0)1/2

Ü Existem v ários m étodos num éricos para c álculo de integrais Ü Em todos eles, usamos a pr ópria definiç ão de integral: ela é a

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C ´alculo de Integrais

I = Z b a f (x )dx = lim N→∞ N X i=1 f (x_i)∆x_i onde ∆xi = b − a N Ex . : I ' 4 X i=1 f (mi)∆x

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C ´alculo de Integrais

Ü Aumentando o n úmero de divis ões do intervalo, melhoramos nossa aproximaç ão.

Ü Ou podemos melhorar a descric¸ ˜ao da curva nos intervalos ∆xi

m valor constante (f (mi)): ret ˆangulo

m reta: M étodo dos Trap ézios m par ábola: M étodo de Simpson

Ü C álculo da área sob uma curva : aproximado pela soma das áreas de

trap ´ezios de largura ∆xi.

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C ´alculo de Integrais

Ü Aumentando o n úmero de divis ões do intervalo, melhoramos nossa aproximaç ão.

Ü Ou podemos melhorar a descric¸ ˜ao da curva nos intervalos ∆xi

m valor constante (f (mi)): ret ˆangulo

m reta:M étodo dos Trap ézios m par ábola: M étodo de Simpson

Ü C álculo da área sob uma curva : aproximado pela soma das áreas de

trap ´ezios de largura ∆xi.

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M ´etodo dos Trap ´ezios

Ü Em ordem 0, aproximamos por 1 trap ´ezio (0 divis ˜oes)

I = Z b a f (x )dx ≈ T0 T0= 1 2[f (a) + f (b)] (b − a)_| _{z _} ∆x0

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M ´etodo dos Trap ´ezios

Ü Em ordem 1, aproximamos por 2 trap ´ezios (1 divis ˜ao)

I = Z b a f (x )dx ≈ T1 T1= 1 2[f (a) + f1] ∆x1 + 1 2[f1+f (b)] ∆x1

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M ´etodo dos Trap ´ezios

Ü Em ordem 1, aproximamos por 2 trap ´ezios (1 divis ˜ao) I = Z b a f (x )dx T1= 1 2[f (a) + f1] ∆x1 + 1 2[f1+f (b)] ∆x1 T1= 1 2[f (a) + 2f1+f (b)] (b − a) 2 | {z } ∆x1

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M ´etodo dos Trap ´ezios

I = Z b a f (x )dx T1= 1 2[f (a) + 2f1+f (b)] (b − a) 2 | {z } ∆x1

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M ´etodo dos Trap ´ezios

I = Z b a f (x )dx ≈ T1 T1= 1 2[f (a) + 2f1+f (b)] (b − a) 2 | {z } ∆x1 T1= ∆x1 2 [f (a) + 2f1+f (b)]

(11)

M ´etodo dos Trap ´ezios

Ü Em ordem 2, aproximamos por 4 trap ´ezios (2 divis ˜oes)

I = Z b a f (x )dx ≈ T2 T2= ∆x2 2  f (a) + 2 3 X j=1 fj +f (b)  

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M ´etodo dos Trap ´ezios

Ü Em ordem 2, aproximamos por 4 trap ´ezios (2 divis ˜oes) T0= ∆x0 2 [f (a) + f (b)] T1= ∆x1 2 [f (a) + 2f1+f (b)] T2= ∆x2 2  f (a) + 2 3 X j=1 fj +f (b)   Tk = ?

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M ´etodo dos Trap ´ezios

Ü Em ordem 2, aproximamos por 4 trap ´ezios (2 divis ˜oes)

Ü Em ordem k , aproximamos por 2k trap ´ezios (k divis ˜oes) I = Z b a f (x )dx ≈ Tk Tk = ∆xk 2  f (a) + 2 2k₋₁ X j=1 fj +f (b)   ∆xk = b − a 2k fj =f (a + j∆xk)

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M étodo dos Trap ézios - Converg ência

Como escolher k ?

A primeira vista, quanto maior k , mais preciso ser ´a o c ´alculo. Cuidado com arredondamentos ...

Tk = ∆xk 2  f (a) + 2 2k₋₁ X j=1 fj+f (b)  

Utilizamos um crit ´erio de converg ˆencia:

Partindo de T0, calculamos consecutivamente T1,T2, . . . at ´e que a

pr óxima substituiç ão n ão traga mais uma melhoria significativa: |Tk − Tk −1|/|Tk| <

Para implementarmos este procedimento, o ideal é calcular cada ordem em funç ão da anterior, aproveitando o que j á foi calculado.

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M étodo dos Trap ézios - Converg ência

Como escolher k ? A primeira vista, quanto maior k , mais preciso ser ´a o c ´alculo.

Cuidado com arredondamentos ...

Tk = ∆xk 2  f (a) + 2 2k₋₁ X j=1 fj+f (b)  

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M étodo dos Trap ézios - Converg ência

Como escolher k ? A primeira vista, quanto maior k , mais preciso ser ´a o c ´alculo. Cuidado com arredondamentos ...

Tk = ∆xk 2  f (a) + 2 2k₋₁ X j=1 fj+f (b)  

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M étodo dos Trap ézios - Converg ência

Tk = ∆xk 2  f (a) + 2 2k₋₁ X j=1 fj+f (b)   Utilizamos um crit ´erio de converg ˆencia:

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M étodo dos Trap ézios - Converg ência

Tk = ∆xk 2  f (a) + 2 2k₋₁ X j=1 fj+f (b)   Utilizamos um crit ´erio de converg ˆencia:

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M étodo dos Trap ézios - Converg ência

T0= 1 2∆x0[f (a) + f (b)] T1= 1 2∆x1[f (a)+2f1+f (b)] ∆x1= ∆x0 2 T1= 1 2 ∆x0 2 [f (a) + f (b)] + f1∆x1 T1= T0 2 + ∆x1f1

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M étodo dos Trap ézios - Converg ência

Tk= ∆xk 2  f (a) + 2 2k−1 X j=1 fj+f (b)  

para k = 2 (n = 2k₌_{4 pain ´eis)}

T2= ∆x2 2 [f (a) + 2(f1+f2+f3) +f (b)] Lembrando que ∆x2= ∆x1/2 T2= 1 2 ∆x1 2 [f (a)+2(f1+f2+f3) +f (b)] T2= T1 2 + ∆x1 2 (f1+f3) generalizando: Tk = Tk −1₂ + ∆xkPn−1_{j(impar )=1}f (a + j∆xk)

(21)

M étodo dos Trap ézios - Converg ência

E temos a f ´ormula iterativa Z b a f (x )dx ≈ Tk = Tk −1 2 + ∆xk 2k₋₁ X j(impar)=1 f (a + j∆xk) m Com T0= 1 2∆x0[f (a) + f (b)] e ∆xk = b − a 2k

m Itera-se at ´e que

T_k − Tk −1<

m Atenc¸ ˜ao:

k = 20 → ∆xk = b − a

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M ´etodo dos Trap ´ezios - Resumo

Temos duas express ões equivalentes para o m étodo dos trap ézios: Z b a f (x )dx ≈ T_k = ∆xk 2  f (a) + 2 2k₋₁ X j=1 f_j+f (b)   ∆x_k = b − a 2k e fj =f (a + j∆xk) e Z b a f (x )dx ≈ Tk = Tk −1 2 + ∆xk 2k₋₁ X j(impar)=1 f (a + j∆xk) Com T0= 1 ∆x0[f (a) + f (b)] e ∆xk = b − a

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Exerc´ıcios

ÜEscolha uma das duas express ões para o m étodo dos trap ézios e escreva um algoritmo para calcular uma integral usando esse m étodo para uma ordem k .

ÜEscreva uma func¸ ˜ao (trapezio) em python que implemente o

algoritmo de integraç ão. Os argumentos dessa funç ão devem ser a funç ão a ser integrada, os limites da integral e k

ÜEscreva um programa que utilize a funç ão do item anterior. A ordem k deve ser solicitada ao usu ário.

ÜCalcule a integral abaixo usando o m ´etodo dos trap ´ezios. I =

Z π

0

sin(x )dx

ÜRode o seu programa para diferentes valores de k e note a

(24)

C ´alculo de Integrais: M ´etodo de Simpson

(25)

C ´alculo de Integrais: M ´etodo de Simpson

M étodo dos Trap ézios Uma curva pode ser aproximada por trap ézios (polin ômio do primeiro grau).

(26)

C ´alculo de Integrais: M ´etodo de Simpson

M étodo de SimpsonUma curva pode ser aproximada por par ábolas (polin ômio do segundo grau).

(27)

´

Area sob uma Par ´abola

y (x ) = c0 + c1x + c2x2

A ´area sob a par ´abola, entreaebvale I = Z b a y (x )dx = c0(b − a) + c1 b2_{− a}2 2 + c2 b3_{− a}3 3

(28)

´

Area sob uma Par ´abola

y (x ) = c0 + c1x + c2x2

A ´area sob a par ´abola, entreaebvale I = Z b a y (x )dx = c0(b − a) + c1 b2_{− a}2 2 + c2 b3_{− a}3 3

(29)

´

Area sob uma Par ´abola

y (x ) = c0 + c1x + c2x2

A ´area sob a par ´abola, entreaebvale I = Z b a y (x )dx = c0(b − a) + c1 b2− a2 2 + c2 b3− a3 3 = b − a 6 n 6c0+3c1(a + b) + 2c2(a2+ab + b2) o

(30)

´

Area sob uma Par ´abola

I = b − a 6 n 6c0+3c1(a + b) + 2c2(a2+ab + b2) o = 1 3 b − a 2 n c0+c1a + c2a2 +4 " c0+c1 a + b 2 +c2 a + b 2 2# +c0+c1b + c2b2 o

(31)

´

Area sob uma Par ´abola

I = b − a 6 n 6c0+3c1(a + b) + 2c2(a2+ab + b2) o = 1 3 b − a 2 n c0+c1a + c2a2 +4 " c0+c1 a + b 2 +c2 a + b 2 2# +c0+c1b + c2b2 o I = 1 3 b − a 2 y (a)+4y a + b 2 +y (b)

(32)

´

Area sob uma Par ´abola

I = 1 3 b − a 2 y (a)+4y a + b 2 +y (b)

A área sob uma par ábola gen érica pode ser escrita em termos do valor da par ábola nos extremos e no centro do intervalo.

(33)

´

Area sob uma Par ´abola

I = 1 3 b − a 2 y (a)+4y a + b 2 +y (b)

Chamando b−a₂ = ∆x1temos:

I = Z b a f (x )dx ≈ S1= ∆x1 3 [f (a) + 4f1+f (b)] onde f1=f (x1) =f a+b 2

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´

Area sob uma Par ´abola

I = 1 3 b − a 2 y (a)+4y a + b 2 +y (b)

Chamando b−a₂ = ∆x1temos:

I = Z b a f (x )dx ≈ S1= ∆x1 3 [f (a) + 4f1+f (b)] onde f1=f (x1) =f a+b 2

(35)

M ´etodo de Simpson

I = Z b a f (x )dx

(36)

M ´etodo de Simpson

S1= ∆x1 3 [f (a) + 4f1+f (b)] ∆x1= b − a 21

(37)

M ´etodo de Simpson

S2= ∆x2 3 [f (a) + 4f1+f2] +∆x2 3 [f2+4f3+f (b)]

(38)

M ´etodo de Simpson

S2= ∆x2 3 [f (a) + 4f1+f2] +∆x2 3 [f2+4f3+f (b)] S2= ∆x2 3 [f (a) + 4 (f1+f3) +2f2+f (b)]

(39)

M ´etodo de Simpson

S2= ∆x2 3 [f (a) + 4 (f1+f3) +2f2+f (b)] Sk = ∆xk 3  f (a) +4 2k₋₁ X iimpar=1 fi +2 2k₋₂ X ipar=2 fi+f (b)   ∆xk = b − a 2k fi =f (a + i∆xk)

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Exerc´ıcio - opcional

ÜEscreva um algoritmo para calcular uma integral usando o m ´etodo de Simpson em ordem k (qual o primeiro valor de k ?)

ÜEscreva uma func¸ ˜ao (simpson) em python que implemente o

algoritmo de integraç ão da quest ão anterior. Quais devem ser os argumentos da funç ão simpson ?

ÜCalcule a integral abaixo usando o m ´etodo de Simpson. O valor de k deve ser solicitado ao usu ´ario

I = Z π

0

sin(x )dx

(41)

F ´

ormula de Simpson

I = Z b a f (x )dx ≈ Sk Sk = ∆xk 3  f (a) + 4 2k₋₁ X iimpar=1 fi+2 2k₋₂ X ipar=2 fi +f (b)   ∆xk = b − a 2k fi =f (a + i∆xk)

Esta é a f órmula do M étodo de Simpson.

Veremos que ela n ão precisa ser implementada dessa forma. Ela pode ser escrita em funç ão do m étodo dos trap ézios:

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F ´

ormula de Simpson

Sk = ∆xk 3  f (a) + 4 2k₋₁ X iimpar=1 fi+2 2k₋₂ X ipar=2 fi +f (b)   Lembrando que Tk = ∆xk 2  f (a) + 2 2k₋₁ X i=1 fi+f (b)  

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F ´

ormula de Simpson

S_k = ∆xk 3  f (a) + 4 2k₋₁ X iimpar=1 f_i+2 2k₋₂ X ipar=2 f_i +f (b)   Lembrando que Tk = ∆xk 2  f (a) + 2 2k₋₁ X i=1 fi+f (b)   Podemos escrever Z b a f (x )dx ≈ Sk =Tk+ Tk− Tk −1 3

(44)

Trabalho

ÜVeja os detalhes do trabalho no arquivo Tarefa7.pdf

ÜFac¸a um programa integral.py que calcula a integral para

valores de k crescentes, at ´e que |Tk − Tk −1|/|Tk| (para o m ´etodo dos

trap ´ezios) e |Sk− Sk −1|/|Sk| (para o m ´etodo de Simpson) seja menor

que 10−6.

ÜCalcule a integral da funç ão Gaussiana, com precis ão de 10−6, no intervalo ±2σ I = Z x0+2σ x0−2σ 1 √ 2πσ exp −(x − x0)2 2σ2 dx Observe que I = √1 2π Z +2 −2 exp −y 2 2 dy