MODELAGEM DO CONVERSOR CC-CC BUCK-BOOST VIA FUZZY TAKAGI-SUGENO: SISTEMA DE CONTROLE E SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL

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MODELAGEM DO CONVERSOR CC-CC BUCK-BOOST VIA FUZZY TAKAGI-SUGENO: SISTEMA DE CONTROLE E SIMULAC¸ ˜AO COMPUTACIONAL

CRISTIANOQUEVEDOANDREA∗, EDSONANTONIOBATISTA∗, LUCIANACAMBRAIALEITE∗, JOAO˜ ONOFRE

PEREIRAPINTO∗, MURILOALEXANDRECOELHO† ∗_{UFMS - Universidade Federal de Mato Grosso do Sul,}

FAENG - Faculdade de Engenharias, Arquitetura e Urbanismo e Geografia Caixa Postal 549, 79070-900, Campo Grande, MS, Brasil

†_{UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná} Departamento Acadêmico de Eletrotécnica

80230-901, Curitiba, Paran´a, Brasil.

Emails: cristiano.andrea@ufms.br, edson.ucdb@gmail.com,

luciana.cambraia@ufms.br, joaonofre@gmail.com, muriloelt@hotmail.com

Abstract— The research in this work approaches to obtaining a precise modeling for the Buck-Boost converter. The step-down converter of voltage in continuous current Buck-Boost presents non-linearities due to switch’s commutation. Thus, we describe the DC-DC converter by Takagi-Sugeno fuzzy formulation, and we use the exact modeling Taniguchi in order to consider the nonlinearities in the design of the control system, instead of the linearization model of the converter to obtain controllers, which may have performance loss in output signal if the system operates far from the operating point. The proposed model of the Buck-Boost converter can operate in closed loop as performance criteria (settling time, peak time, overshoot potential), defined in the design of Takagi-Sugeno fuzzy control, in different operating points. With the obtained model, a comparison of with the real Buck-Boost system was performed, analyzing its accuracy. Finally, are designed fuzzy controllers using the obtained model with established theories in the literature, and compared the performance with the use of a PI controller. Thereafter, through computer simulation, it is shown the potentiality of the proposed modeling methodology.

Keywords— Buck-Boost, Fuzzy Takagi-Sugeno, Exact Modeling.

Resumo— A pesquisa realizada neste trabalho aborda a obtenção de uma modelagem exata para o conversor Buck-Boost. O conversor abaixador-elevador de tensão em corrente cont´ınua, Buck-Boost, apresenta não-linearidades dada a comutação de chaves no funcionamento. Desta forma, descreve-se o conversor CC-CC por meio da formulação fuzzy Takagi-Sugeno, e utiliza-se a modelagem exata de Taniguchi com o objetivo de considerar as não-linearidades em projetos de sistema de controle, ao invés da linearização do modelo do conversor para obtenção de controladores, o qual pode ter perda de desempenho no sinal de sa´ıda, caso o sistema opere distante do ponto de operação. O modelo proposto do conversor Buck-Boost pode operar em malha fechada, conforme critérios de desempenho (tempo de estabelecimento, tempo de pico, potencial de overshoot), definidos no projeto de controle fuzzy Takagi-Sugeno, em diferentes pontos de operação. Com o modelo obtido, foi realizada uma comparação com o sistema real do Buck-Boost, analisando a sua exatidão. Por fim, projetam-se controladores fuzzy utilizando o modelo obtido, com teorias já consolidadas na literatura e, compara-se o desempenho com a utilização de um controlador PI. Posteriormente, por meio de simulação computacional, é demonstrado a potencialidade da metodologia de modelagem proposta.

Palavras-chave— Buck-Boost, Fuzzy Takagi-Sugeno, Modelagem Exata 1 Introduc¸˜ao

O conversor abaixador-elevador de tensão, também conhecido como Buck-Boost, produz uma tensão de sa´ıda com valores variando de zero até nove vezes sua tensão de entrada (limitando a razão c´ıclica em 0,9), e pelo princ´ıpio da conservação de energia, produz uma corrente de sa´ıda variando conforme a carga. Teorica-mente esse tipo de conversor é concebido para possi-bilitar uma variação cont´ınua de tensão na carga, vari-ando desde zero até o valor de tensão de alimentação (Barbi, 2000).

O Buck-Boost, apesar de possuir uma topologia simples, é um dos mais utilizados na eletrônica de potência, apresentando diversas funções para a En-genharia Elétrica. Na transformação de energia para alimentação de aparelhos eletrônicos, tais como celu-lares, notebooks, home-theater, o Buck-Boost é am-plamente utilizado, por ter uma topologia mais sim-ples ao trabalhar isolado (Fly-Back) e operar bem com grandes variações de tensão, possibilitando fontes iso-ladas universais (110-220 V ) a um menor custo e

ta-manho reduzido.

O funcionamento do Buck-Boost é dividido em duas etapas em condição cont´ınua, de acordo com a posição da chave, controlada por um circuito auxiliar. Cria-se então uma relação na qual a chave opera reali-zando a comutação: permanece fechada (conduzindo) durante um determinado intervalo de tempo e aberta (bloqueada) durante outro. Assim, a relação entre o tempo de condução da chave e o per´ıodo de comutação define a razão c´ıclica e pode assumir valores entre zero e um (Muhammad, 1999).

O processo de comutação ao qual o conversor é submetido apresenta traços de não-linearidades. Para este sistema, geralmente utilizam-se técnicas de con-trole linear, que consistem em descrever sua função de transferência em um ponto de atuação. A este pro-cesso se dá o nome de linearização. Na linearização do modelo médio não-linear do conversor Buck-Boost deve-se fixar a razão c´ıclica ou ponto de operação do sistema. Porém, em intervalos em que os estados do sistema de controle apresentam-se afastados do ponto

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de operação, o conversor tem seu desempenho com-prometido, principalmente nos transitórios, em que os requisitos de projetos não são atendidos. Em situações na qual necessita-se de um sistema de controle mais preciso, é viável a utilização de uma metodologia de controle que considere essas não-linearidades.

Pode-se observar a utilização dos modelos fuzzy Takagi-Sugeno em várias áreas, no qual objetiva-se obter um modelo mais próximo do modelo real, e deste modo, projetar controladores que possibilitam respostas com critério de desempenho especificado em projeto, mesmo em situações na qual a resposta do sistema se afasta de um ponto de operação dese-jado. Em (Andrea et al., 2009) e (Carniato, 2009) é proposto um modelo exato para o conversor Bo-ost, o qual pode ser utilizado para projeto de con-troladores aplicados a eletrônica de potência, e em (Galhardo et al., 2003) determinou-se um sistema neuro-fuzzy para modelagem de cargas não-lineares em sistemas elétricos de potência. Ainda, em (Lin and Shen, 2011) modelou-se um boiler usando os mo-delos fuzzy Takagi-Sugeno, entre outras aplicações (Machado, 2003), (Mozelli, 2008).

Neste trabalho utilizou-se o modelo fuzzy Takagi-Sugeno (TS) para descrever o conversor CC-CC Buck-Boost e por meio de simulação computacional, analisou-se a exatidão do modelo obtido. Posteri-ormente, foram projetados controladores para o mo-delo obtido utilizando teorias de controle já consoli-dadas na literatura acadêmica e comparou-se o desem-penho com a utilização de um controlador PI. Pos-teriormente, por meio de simulação computacional demonstra-se-á potencialidade da metodologia de mo-delagem proposta em malha-fechada.

2 Definic¸˜ao do Problema

Considere a estrutura simplificada do conversor Buck-Boost ilustrado na Figura 1,

Figura 1: Representac¸˜ao de um conversor Buck-Boost.

O modelo instantâneo e não-linear do conversor Buck-Boost pode ser obtido por meio das leis de Kir-choff de corrente e tensão. Assim, as equações dife-renciais deste conversor são dadas a seguir:

V_in(t)S(t) − L di_L(t) dt − (1 − S(t))V 0(t) = 0, (S(t) − 1)iL(t) = C dV0(t) dt + V0(t) R . (1)

sendo S(t) o estado da chave S ilustrado na Figura 1. Neste caso, para S = 0 a chave estar´a aberta e para S= 1 a chave estar´a fechada.

Considerando a raz˜ao c´ıclica m´edia,

d(t) = 1 T

Z T

t−T

S(t)dt, (2)

no sistema descrito em (1), pode-se obter o modelo médio não-linear do conversor CC-CC abordado neste trabalho conforme observa-se na equação (3) (Singh and Purwar, 2012): ˙ IL(t) ˙ V0(t) = " 0 (1−d(t))_L (_d(t)−1) C − 1 RC # IL(t) V0(t) + Vin(t) L 0 d(t), y(t) = 0 1 IL(t) V0(t) . (3)

O conversor Buck-Boost considerado neste traba-lho apresenta os seguintes parˆametros: R = 100 Ω, C= 50 µF , L = 2 mH e V_in(t) = 12 V .

Na Figura 2 ilustra-se a resposta do sistema des-crito em (3) considerando uma entrada de raz˜ao c´ıclica variando de 0 a 0,8 e a resposta deste sistema lineari-zado para d(t) = 0, 5 para a mesma entrada adotada.

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 10 Tempo (s) V olts linearizado n˜ao-linear

Figura 2: Resposta do sistema n˜ao-linear e do sistema linearizado para uma entrada degrau.

Analisando-se a Figura 2 observa-se que, quando o sistema opera distante do ponto de operação uti-lizando a linearização de (3), a resposta do mesmo torna-se diferente da resposta do sistema não-linear, nas mesmas condições. Assim, pode-se esperar que o desempenho de um sistema de controle que utiliza o modelo médio linearizado, quando operando distante do ponto de operação, torna-se comprometido. Desta forma, é proposto neste trabalho um modelo para o conversor Buck-Boost que opere de maneira similar ao sistema não-linear real. Para isso, foi utilizado os modelos fuzzy Takagi-Sugeno, vide (Takagi and Su-geno, 1985) para maiores detalhes.

No processo de determinação do modelo via TS, utiliza-se o método denominado de forma generali-zada, o qual não considera particularidades do com-portamento das funções não-lineares, apenas valores extremos (Taniguchi et al., 2001). Os modelos locais são criados a partir da região de operação e corres-pondem aos valores máximos e m´ınimos das funções

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não-lineares do sistema. Como o número de modelos está relacionado ao número de funções não-lineares é poss´ıvel modelar, dentro do intervalo de operações, uma grande variedade de sistemas.

3 Modelagem Exata do Conversor Buck-Boost

Considere o conversor CC-CC descrito em (3). Isolando-se d(t) em (3), tem-se, _˙ IL(t) ˙ V0(t) = " 0 1 L −1 C − 1 RC # IL(t) V0(t) + " Vin(t) L − V0(t) L IL(t) C # d(t), y(t) = 0 1 IL(t) V0(t) . (4)

Definindo assim as equações que contém as não-linearidades do sistema: e g11(x(t)) = V_in(t) L − V0(t) L , e g21(x(t)) = I_L(t) C . (5)

e os limites para os estados do Buck-Boost, tem-se, 0 ≤ IL(t) ≤ 10, 8 e − 108 ≤ V0(t) ≤ 0. (6)

Assim, pode-se reescrever (4) da seguinte ma-neira, _˙ IL(t) ˙ V0(t) = A z }| { " 0 1 L −1 C − 1 RC # IL(t) V0(t) + B z }| { e g11(x(t)) e g21(x(t)) d(t), y(t) = Ca z }| { 0 1 IL(t) V0(t) . (7)

Através das funções _eg11(x(t)) e _eg21(x(t))

determina-se os m´aximos e m´ınimos destas, respei-tando os limites definidos em (6).

b111 = max x(t) {e g11(x(t))} = 60000, b112 = min x(t){e g11(x(t))} = 6000, (8) b211 = max x(t) {e g21(x(t))} = 216000, b212 = min x(t){e g21(x(t))} = 0.

Aplicando o método proposto por (Taniguchi et al., 2001), as funções não-lineares _eg11(x(t)) e

e

g21(x(t)), podem ser representadas de forma exata,

atrav´es de modelo fuzzy TS, considerando os valores m´aximos: b111, b211e m´ınimos: b112, b212. Portanto

estas func¸˜oes podem ser descritas como: e g11(x(t)) = σ111(x(t))b111+ σ112(x(t))b112, 0 ≤ σ111(x(t)), σ112(x(t)) ≤ 1, (9) σ111(x(t)) + σ112(x(t)) = 1. e e g21(x(t)) = ζ211(x(t))b211+ ζ212(x(t))b212, 0 ≤ ζ211(x(t)), ζ212(x(t)) ≤ 1, (10) ζ211(x(t)) + ζ212(x(t)) = 1.

Utilizando as informações descritas em (9) e (10), podemos reescrever as funções não-lineares como, e g11(x(t)) = k1[σ111(x(t))b111+ σ112(x(t))b112], (11) sendo k1= ζ211(x(t)) + ζ212(x(t)). E, e g21(x(t)) = k2[ζ211(x(t))b211+ ζ212(x(t))b212], (12) sendo k2= σ111(x(t)) + σ112(x(t)).

Definindo-se as funções de pertinência como, α1(x(t)) = ζ211(x(t))σ111(x(t)), α2(x(t)) = ζ211(x(t))σ112(x(t)), α3(x(t)) = ζ212(x(t))σ111(x(t)), (13) α4(x(t)) = ζ212(x(t))σ112(x(t)). e, α1(x(t)) + α2(x(t)) + α3(x(t)) + α4(x(t)) = 1. (14)

Multiplicando-se as expressões dada em (11) e (12), e considerando as funções de pertinência descri-tas em (13) pode-se descrever as funções não-lineares da seguinte maneira, e g11(x(t)) = α1(x(t))b111+ α2(x(t))b112+ · · · · · · + α3(x(t))b111+ α4(x(t))b112. (15) e e g21(x(t)) = α1(x(t))b211+ α3(x(t))b212+ · · · · · · + α2(x(t))b211+ α4(x(t))b212. (16) Substituindo (15) e (16) em (7) pode-se obter uma representação exata do sistema Buck-Boost com mo-delos fuzzy TS como,

˙x(t) = 4 X i=1 αi(x(t))Ai ! x(t) + 4 X i=1 αi(x(t))Bi ! u(t), y(t) = 4 X i=1 αi(x(t))Ci ! x(t). (17)

Neste caso podem-se obter os modelos locais li-neares por meio das seguintes manipulac¸˜oes:

• B1 Aplicando α1(x(t)) = 1, α2(x(t)) = 0, α3(x(t)) = 0, e α4(x(t)) = 0 na equações (15) e (16) e substituindo em (7), obtém-se. B1= 60000 216000 . (18) de forma similar, B2= 6000 216000 , B3= 60000 0 , B4= 6000 0 . • Aie Ci

Como as matrizes A e Ca n˜ao possuem termos n˜ao-lineares, conforme pode ser observado em (7), tem-se, A_i = 0 500 −20000 −200 , C_ai= 0 1 , i = 1, 2, 3, 4.

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Na Figura 3 apresenta-se a resposta do sistema descrito em (7) considerando uma entrada de razão c´ıclica variando de 0 a 0,8 e a resposta deste sistema descrito pela modelagem exata dado em (17) para a mesma entrada adotada. Observa-se também que a sa´ıda do sistema real do conversor Buck-Boost está praticamente sobreposta a sa´ıda do sistema descrito pela modelagem exata desenvolvida neste trabalho.

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 −60 −50 −40 −30 −20 −10 0 Tempo (s) V olts

Figura 3: Resposta do sistema n˜ao-linear e do sistema descrito pela modelagem exata.

4 Resultados de Simulac¸˜ao

Considerando o conversor Buck-Boost descrito na Seção 2, foi proposto neste trabalho uma modelagem exata para o mesmo. Nesta seção utilizou-se a mode-lagem desenvolvida para projeto de sistemas de con-trole, e foi analisado o resultado para controladores que utilizam o modelo proposto e controladores que não utilizam a modelagem proposta. Inicialmente, utilizou-se uma metodologia de controle que é com-posta por realimentação dos estados com uma malha de controle adaptativo para correção do erro em re-gime permanente, conforme ilustrado na Figura 4.

Figura 4: Controle fuzzy com realimentac¸˜ao dos esta-dos.

O projeto do controlador Kede realimentac¸˜ao de

estado, segundo a lei de controle u(t) = −Ke(α)x(t)

baseou-se em (Assunc¸˜ao and Teixeira, 2001), con-forme descrito no Teorema 1.

Teorema 1 O ponto de equil´ıbrio x = 0 do sistema de controle fuzzy cont´ınuo com realimentação dos esta-dos considerando o parâmetro α fixo, é estável

glo-balmente, com alocação de pólos dos modelos locais lineares na região ilustrada na Figura 5, se existe uma matriz simétrica positiva definida comum P tal que,

G′ iiP + P Gii+ 2αP < 0 para todoi = 1, 2, · · · , r e Gij+ Gji 2 ′ P + P Gij+ Gji 2 + 2αP < 0, i < j, para todoi, j = 1, ..., r. sendo Gij= Ai+ BiK_eje K_ei= Y_iP−1. α Imag Real

Figura 5: Região para alocação dos pólos de malha fechada para os modelos locais lineares do conversor Buck-Boost limitada por um reta vertical em −α.

Prova: Vide (Assunc¸˜ao and Teixeira, 2001). _✷

O sistema de controle projetado consiste em uma ma-lha de controle que realiza a interpolação de todos os modelos locais do sistema. Neste caso foi utilizado α= 90 para o projeto de K(α) via o Teorema 1. O controlador de realimentação projetado foi,

K_e(α) = α1K_e1+ α2K_e2+ α3K_e3+ α4K_e4, K_e1 = 0, 018 _{−3, 311 × 10}−5 , K_e2 = 0, 012 _{−4, 191 × 10}−5 , K_e3 = 0, 087 _{−0, 00075} , K_e4 = 0, 084 0, 000630 .

Conclu´ıda a obtenção do projeto de controle uti-lizando controladores fuzzy, projeta-se um novo sis-tema de controle utilizando um PI para comparar o comportamento entre ambos. Para ser poss´ıvel com-parar o controlador fuzzy desenvolvido na seção ante-rior foi realizado um projeto de um controlador PI com realimentação das malhas de corrente e tensão para a planta do Buck-Boost, como ilustrado na Figura 6.

Este controlador foi definido apenas para corri-gir o erro de regime e sintonizado para Vin(t) = 12

V e V0(t) = −24 V (tempo de estabelecimento:

0,25 segundos, e porcentagem de overshoot: 13%), vide (Nise, 2002). Entretanto, se variarmos os si-nais de referência de sa´ıda, será imposto ao controle mudanças no ponto de operação e este fator proporci-onará mudanças nos transitórios das respostas.

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Figura 6: Controle PI de duas malhas.

Posteriormente, aplica-se sinais de referência de tensão de sa´ıda para os sistema de controle do pro-jeto e aplicado ao conversor Buck-Boost, seguindo V_ref = −12, −24, −36, −48 V , e na Tabela 1 são apresentados os resultados obtidos.

Tabela 1: Comparação entre os controladores, Te é o tempo de estabelecimento.

Vref (Volts) Dados PI Fuzzy

-12 Te (s) 0,25 0,015 Overshoot 18% 0% -24 Te (s) 0,25 0,02 Overshoot 13% 0% -36 Te (s) 0,2 0,025 Overshoot 6% 0% -48 Te (s) 0,25 0,035 Overshoot 2% 0%

Verifica-se, na Tabela 1, que os resultados obtidos utilizando os controladores fuzzy, apresentaram uma pequena variação no tempo de estabelecimento e no overshoot para diferentes tensões de referência, ten-dendo a manter sempre o mesmo valor, respeitando os limites definidos no projeto de controle.

Entretanto, as respostas obtidas para o projeto de controle utilizando teorias de controles convencio-nais apresentaram tempo de estabelecimento com va-lores próximos, mas o overshoot variou para diferen-tes tensões de referência. Observa-se que, somente nas condições de projeto do PI (Vin(t) = 12 V e

V0(t) = −24 V ), a sa´ıda manteve os crit´erios de

de-sempenho especificados na sintonia.

Observe que a comparação entre os sistemas de controle não está relacionada com a velocidade que ambos entram em regime de estado estacionário ou qual possui oscilação mais adequada durante o regime transitório. Neste caso, a comparação realizada está relacionada com modificações no transitório por meio da alteração dos pontos de operação.

Utilizando teorias mais avançadas de controlado-res fuzzy para novos projetos, nos quais podem ser usados os modelos definido neste trabalho, pode-se obter um controlador que opere com o mesmo tran-sitório para diferentes faixas de operações, o qual não seria poss´ıvel com o controlador PI. Apesar do tra-balho ter realizado a comparação de desempenho em malha fechada com o PI, qualquer outro controlador: avanço, atraso, realimentação dos estados, entre ou-tros, que utilize a modelagem linearizada em torno de

um ponto de operação em seu projeto, poderá ter o desempenho do sinal de sa´ıda comprometido caso o sistema opera distante do ponto de operação previsto em projeto.

5 Conclus˜ao

Este trabalho tem como foco o desenvolvimento da modelagem exata fuzzy utilizando os modelos fuzzy Takagi-Sugeno do conversor CC Buck-Boost. Por se tratar de um circuito elétrico chaveado, possui comportamento não-linear. E, em projetos de fontes em malha fechada utiliza-se o modelo linearizado do mesmo devido à simplicidade de obtenção e facilidade de projetos de controladores tradicionais.

A desvantagem do modelo linearizado em malha fechada é que o mesmo apresenta resposta confiável para projeto de controle apenas para o ponto ao qual foi linearizado. Quando o ponto de operação do con-versor está distante do linearizado, o comportamento do conversor não é o mesmo definido em projeto. Desta forma, foi proposto um modelo capaz de repre-sentar o conversor em todos os pontos de operação. Para isso utilizou-se o modelo fuzzy Takagi-Sugeno e a forma generalizada de Tanigushi, que tem por definição descrever a planta representando suas não-linearidades.

As simulações mostraram que o modelo exato aprestou resultados satisfatórios para diferentes razões c´ıclicas, aproximando-se da planta real, diferente-mente do modelo linearizado que representa o com-portamento real apenas no ponto de linearização.

Na análise comparativa, projetou-se dois contro-ladores: controle proporcional-integral utilizado em duas malhas de realimentação e um controle utilizando controladores fuzzy de realimentação dos estados. Os resultados de simulação entre os dois controladores demonstram a qualidade do modelo exato proposto mantendo o tempo de estabelecimento e o overshoot para diversas tensões de referência, diferente do mo-delo linearizado geralmente utilizado.

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