n. 20 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

n. 20 – DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Seja V um espaço vetorial e v1, v2, ..., vn ∈ V.

Diz-se que o conjunto {v1, v2, ..., vn} é linearmente independente (LI)

quando: a1 v1 + a2 v2 + ... + an vn = 0

⇒ a1 = a2 = ... = an = 0

Isto significa que toda combinação linear nula, implicará que os

coeficientes de tal combinação linear deverão ser todos iguais a zero, ou seja, essa combinação é linearmente independente (LI).

Exemplo: Temos os vetores 𝑢⃗ = (1, 2) e 𝑣 = (4, 3) de ℝ2 e

verificamos que eles são Linearmente Independentes pois: 𝑎 𝑢⃗ + 𝑏 𝑣 = (0, 0) 𝑎(1, 2) + 𝑏(4, 3) = (0, 0) Logo, { 𝑎 + 4𝑏 = 0 2𝑎 + 3𝑏 = 0 {𝑎 + 4𝑏 = 0 (−2) 2𝑎 + 3𝑏 = 0 {−2𝑎 − 8𝑏 = 0 2𝑎 + 3𝑏 = 0 {−5𝑏 = 0 → 𝑏 = 0 ∴ 𝑎 = 0

Geometricamente, quando observamos dois vetores LI, percebemos que eles não estão na mesma reta, ou seja, não pertencem a mesma reta.

Entretanto, para Vetores Linearmente Dependentes temos:

se a1 v1 + a2 v2 + ... + aj vj + ... + an vn = 0

e ∃ aj ≠ 0 para algum j, dizemos que {v1, v2, ..., vn} é um conjunto linearmente dependente (LD).

Exemplo: Temos os vetores 𝑢⃗ = (1, 2) e 𝑤⃗⃗ = (3, 6) de ℝ2 _e

verificamos que eles são Linearmente Dependentes pois: 𝑎 𝑢⃗ + 𝑏 𝑤⃗⃗ = (0, 0) 𝑎(1, 2) + 𝑏(3, 6) = (0, 0) Logo, { 𝑎 + 3𝑏 = 0 2𝑎 + 6𝑏 = 0 {𝑎 + 3𝑏 = 0 (−2) 2𝑎 + 6𝑏 = 0 {−2𝑎 − 6𝑏 = 0 2𝑎 + 6𝑏 = 0 {0 = 0 → 𝑏 = 0 ∴ 𝑎 = 0 O que significa que é uma combinação linear, pois:

3(1, 2) − 1(3, 6) = (0, 0)

Ou seja, um é múltiplo do outro, portanto são linearmente dependentes.

Geometricamente, dois vetores Linearmente Dependentes, estão na mesma reta,

 Três vetores u, v e w do ℝ3_{, são linearmente dependentes quando}

são coplanares. Sendo u = (x1 , y1, z1), v = (x2 , y2, z2) e w = (x3 , y3, z3) temos: u, v e w linearmente dependentes ⟺ [ 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑧₁ 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑧₂ 𝑥₃ 𝑦₃ 𝑧₃] = 0 u, v e w linearmente independentes ⟺ [ 𝑥₁ 𝑦₁ 𝑧₁ 𝑥₂ 𝑦₂ 𝑧₂ 𝑥₃ 𝑦₃ 𝑧₃] ≠ 0 RETOMANDO: LI  a1 = a2 = ... = an = 0 ; Δ ≠ 0 ;

Vetores LI não são múltiplos escalares uns dos outros.

LD  Ǝ a ≠ 0 ; Δ = 0

Quando podemos construir combinações lineares nulas, sem que os coeficientes sejam todos nulos temos vetores LD.

1. Seja V = R2 _{e o conjunto formado pelos vetores v1 e v2, sendo} v1 = (2, -1) e v2 = (4, -2). O conjunto {v1 , v2,} é LI ou LD ? (0, 0) = a (2, -1) + b (4, -2) {0 = 2 𝑎 + 4 𝑏 0 = − 𝑎 − 2 𝑏 a = - 2 b (0, 0) = - 2 b (2, -1) + b (4, -2) {0 = −4𝑏 + 4 𝑏 0 = 2𝑏 − 2 𝑏

É LD, pois para qualquer b ≠ 0 teremos combinações lineares nulas. Ou ainda, os vetores v1 e v2 são múltiplos escalares.

Por exemplo, se b = -1

2 v1 + (- 1) v2 = 0, isto é: 2 (2, - 1) + (- 1) (4, - 2) = (0, 0).

R: É LD, pois podemos construir combinações lineares nulas, sem que os coeficientes sejam todos nulos.

2. Seja V = R2 _{e o conjunto formado pelos vetores v1 e v2, sendo}

v1 = (1, 0) e v2 = (0, 1). Este conjunto {v1 , v2,} é LI ou LD ?

a1 v1+ a2 v2 = (0, 0)

(a1 , 0) + (0 , a2 ) = (0, 0) (a1 , a2) = (0, 0)

⇒ a1 = 0 e a2 = 0

R: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que os coeficientes deverão ser iguais à zero.

3. Seja V = R3 e o conjunto formado pelos vetores v₁, v₂ e v₃, sendo

v1 = (1, 0, 2) , v2 = (3, 4, 1) e v3 = (5, 4, 5). Este conjunto {v1, v2, v3} é LI ou LD? Basta fazer: 𝑎₁𝑣₁ + 𝑎₂𝑣₂ + 𝑎₃𝑣₃ = 0 𝑎₁(1, 0 , 2) + 𝑎₂(3, 4 , 1) + 𝑎₃(5, 4, 5) = (0, 0, 0) { 𝑎₁ + 3𝑎₂ + 5𝑎₃ = 0 0𝑎₁ + 4𝑎₂ + 4𝑎₃ = 0 2𝑎₁ + 𝑎₂ + 5𝑎₃ = 0 [ 1 3 5 | 0 0 4 4 | 0 2 1 5 | 0 ] → 𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿1 [ 1 3 5 | 0 0 4 4 | 0 0 −5 −5 | 0 ] = [ 1 3 5 | 0 0 4 4 | 0 0 −5 −5 | 0 ] → 𝐿3 = 4𝐿3 + 5𝐿2 [ 1 3 5 | 0 0 4 4 | 0 0 0 0 | 0 ] Portanto, {𝑎1 + 3𝑎2 + 5𝑎3 = 0 4𝑎₂ + 4𝑎₃ = 0

𝑎₂ = −𝑎₃ 𝑒 𝑎₁ = −2𝑎₃

Com 𝑎₁ 𝑒 𝑎₂ dependem de 𝑎₃ este sistema é SPI. Logo o referido conjunto é realmente LD.

Poderíamos chegar à mesma conclusão observando que: 2 v1 + v2 – v3 = 0 2 (1, 0, 2) + 1 (3, 4, 1) – 1 (5, 4, 5) = (0, 0, 0) (2, 0, 4) + (3, 4, 1) + (-5, - 4, -5) = (0, 0, 0) { 2 + 3 − 5 = 0 0 + 4 − 4 = 0 4 + 1 − 5 = 0

Logo, podemos construir combinações lineares nulas, sem que os coeficientes sejam todos nulos.

Ou ainda, podemos resolver esta questão calculando o determinante: [ 1 0 2 3 4 1 5 4 5 ] → 𝑑𝑒𝑡 = [ 1 0 2 1 0 3 4 1 3 4 5 4 5 5 4 ] = 20 + 24 − 40 − 4 = 0 Det = 0 implica que o conjunto de vetores é LD.

R: É LD, pois uma combinação linear nula não implicará necessariamente que os coeficientes sejam nulos.

4. Seja V = R3 _{e o conjunto formado pelos vetores v1, v2 e v3, sendo}

v1= (1, 0, 0) , v2 = (0, 1, 0) e v3 = (0, 0, 1). Este conjunto {v1, v2, v3} é LI ou LD ? 𝑎𝑣₁ + 𝑏𝑣₂ + 𝑐𝑣₃ = 0 𝑎(1, 0, 0) + 𝑏(0, 1, 0) + 𝑐(0, 0, 1) = (0, 0, 0) { 𝑎 = 0 𝑏 = 0 𝑐 = 0

R: É LI, pois toda combinação linear nula destes vetores, implica que os coeficientes deverão ser iguais à zero.

Proposição:

}

,

,

,

{

v

v



v

combinação linear dos outros.

Demonstração:

}

,

,

,

{

v

v



v

podemos isolar o vetor vj (o vetor que tem coeficiente aj 0), obtendo aj vj = – a1 v1 – a2 v2 – ... – an vn vj = – 𝑎1 𝑎𝑗 v1 – 𝑎2 𝑎𝑗 v2 – ... – 𝑎𝑛 𝑎𝑗 vn n j n j j j v a a v a a v a a v _                              2 ₂  1 1 

um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.

Exercícios sobre dependência e independência linear

1. Determinar os valores de m e de n, nos exercícios a seguir, para que

os seguintes conjuntos de vetores do R3 _{sejam LI.}

a. {(3, 5 m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)} R: m ≠ 0

b. {(1, 3, 5), (2, m +1, 10)} R: m ≠ 5 c. {(6, 2, n), (3, m + n, m – 1)} R: m ≠ 1 ou n ≠ 0

d. 𝑢⃗ = (𝑚 , 1, 𝑚) 𝑣 = (1 , 𝑚, 1) m = + - 1

e. 𝑢⃗ = (1 − 𝑚2 , 1 − 𝑚, 0) 𝑣 = (𝑚 , 𝑚, 𝑚) m = 0 e 1

2. Verifique se os vetores do ℝ3 _{são linearmente dependentes ou não:}

(Lipschutz, p. 115)

a. (1, - 2, 1), ( 2, 1, -1 ), (7 , -4, 1) R: LD

b. (2, - 3, 7), ( 0, 0, 0), (3, - 1, - 4) R: LD c. ( 1, 2, -3 ), ( 1, -3, 2), ( 2, -1 , 5) R: LI

3. Verifique se a matriz formada pelos vetores u, v e w é LI ou LD.

4. Verifique se os vetores do ℝ2 _{são linearmente dependentes ou não.}

Sendo u = (1, 0), v = (0, 1) e w = (7, 4). (Steinbruch/Winterle – p. 22) R: LD

5. Verifique se os seguintes conjuntos ⊂ R4 _{são LI ou LD:}

a. {(1, 1, 0, 0); (0, 2, 1, 0); (0, 0, 0, 3)} R: LI b. {(1, 1, 0, 0); (0, 1, 0, 0); (2, 1, 0, 0)} R: LD - SPI

Exercícios resolvidos

5. Determinar os valores de m e de n, nos exercícios a seguir, para que os seguintes conjuntos de vetores do R3 _{sejam LI.}

a. { (3, 5 m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)}

Para ser LI, a1 , a2, ..., an = 0

modo 1

Como são 3 vetores do R3, é possível calcularmos o determinante: | 3 5𝑚 1 2 0 4 1 𝑚 3 | 3 5𝑚 2 0 1 𝑚 = 0 + 20 m + 2 m – 12 m – 30 m 22 m – 42 m = 0 - 20 m = 0 ⟺ m = 0

Como com m = 0 temos Δ = 0 os vetores são coplanares, logo, são LD. Logo, para ser LI m deve ser diferente de zero: m ≠ 0

modo 2 a1 (3, 5 m, 1 ) + a2 (2, 0 , 4) + a3 (1, m, 3) = (0, 0, 0) { 3 𝑎1 + 2 𝑎2 + 1𝑎3 = 0 (1) 5 𝑚 𝑎₁ + 𝑎₂ (0) + 𝑚 𝑎₃ = 0 (2) 𝑎₁ + 4 𝑎₂ + 3 𝑎₃ = 0 (3) De (3): a1 = - 4 a2 - 3 a3 (4) De (1) : 2 a2 = - a3 – 3 a1 𝑎₂ = − 𝑎3− 3 𝑎1 2 (5) (5) em (4): a1 = - 4 (− 𝑎3− 3 𝑎1 2 ) - 3 a3 a1 = - 2 (- a3 - 3 a1) - 3 a3 a1 = + 2 a3 + 6 a1 - 3 a3 a1 - 6 a1 = - a3 a3 = - 5 a1 (6) (6) em (2): 5 𝑚 𝑎₁ + 𝑚 𝑎₃ = 0 5 𝑚 𝑎₁ + 𝑚 (− 5 𝑎₁) = 0 5 𝑚 𝑎₁ − 5 𝑚 𝑎₁ = 0 𝑎₁ (5 𝑚 − 5𝑚) = 0

Logo, para ser LI: a1 = a2 = a3 = 0 , portanto, para que o sistema seja SPD devemos ter: m ≠ 0. Com m ≠ 0, o determinante é ≠ 0.

Para ser LI, a1 , a2, ..., an = 0 a1 (1, 3, 5 ) + a2 (2, m + 1 , 10) = (0, 0, 0) { 1 𝑎₁ + 2 𝑎₂ = 0 (1) 3 𝑎₁ + 𝑎₂ (𝑚 + 1) = 0 (2) 5 𝑎₁ + 10 𝑎₂ = 0 (3) De (1): a1 = - 2 a2 (4) (4) em (2): 3 (- 2 a2) + m a2 + a2 = 0 - 6 a2 + a2 + m a2 = 0 m a2 = 5 a2 𝑚 = 5 𝑎2 𝑎2 m = 5 Logo, para ser LI, m ≠ 5.

c) { (6, 2, n), (3, m + n, m – 1)} R: m ≠ 1 ou n ≠ 0 Para ser LI, a1 , a2, ..., an = 0

a1 (6, 2, n ) + a2 (3, m + n , m - 1) = (0, 0, 0) { 6 𝑎₁ + 3 𝑎₂ = 0 (1) 2 𝑎₁ + 𝑎₂ (𝑚 + 𝑛) = 0 (2) 𝑛 𝑎₁ + 𝑎₂ (𝑚 − 1) = 0 (3) De (1): 𝑎₁ = − 3 𝑎2 6 𝑎1 = − 1 𝑎₂ 2 (4) (4) em (2): 2 ( − 1 𝑎2 2 ) + a2 (m + n) = 0 - a2 + m a2 + n a2 = 0 a2 ( m + n) = a2

𝑚 + 𝑛 = 𝑎2

𝑎2

m + n = 1

n = 1 – m

Logo: m ≠ 1 caso contrário, se m = 1 implica que n = 0 e n ≠ 0, pois caso contrário se n = 0 implica que m = 1

m e n não podem zerar, pois caso contrário teremos vetores LD, assim, com m ≠ 1 e n ≠ 0 para ser LI a1 = a2 = 0

LIVRO DO Bolous p.46 d. 𝑢⃗ = (𝑚 , 1, 𝑚) 𝑣 = (1 , 𝑚, 1) m = + - 1 (0, 0, 0) = a (m, 1 , m) + b (1, m, 1) { 0 = 𝑎 𝑚 + 𝑏 (1) 0 = 𝑎 + 𝑏𝑚 (2) 0 = 𝑎𝑚 + 𝑏 De (1): 𝑎 = − 𝑏 𝑚 De (2): a = - bm Logo, − 𝑏 𝑚 = −𝑏𝑚 − 𝑏 − 𝑏 = 𝑚. 𝑚 m2 = 1

m = √1 m = ± 1 e. 𝑢⃗ = (1 − 𝑚2 _{, 1 − 𝑚, 0) 𝑣 = (𝑚 , 𝑚, 𝑚) m = 0 e 1} (0, 0, 0) = a (1 – m2_{, 1 – m , 0) + b ( m, m, m)} { 0 = 𝑎 – 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚 0 = 𝑎 − 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 0 = 𝑏𝑚

Como b não pode ser zero, pois caso o fosse, eles seriam LI, então: m = 0

Como bm = 0, então na segunda equação: 0 = a – am

0 = a (1 – m) Logo, m = 1

Portanto, m= 0 e m = 1 para que o vetor seja LD.

2. Verifique se os vetores do ℝ3 _{são linearmente dependentes ou}

não: (Lipschutz, p. 115)

a) (1, - 2, 1), ( 2, 1, -1 ), (7 , -4, 1) modo 1

| 1 −2 1 2 1 −1 7 −4 1 | 1 −2 2 1 7 −4 = 1 + 14 – 8 – 7 – 4 + 4 = 0 Como Δ = 0 os vetores são coplanares, logo, são LD.

modo 2

a1 (1, - 2, 1) + a2 (2, 1, - 1) + a3 (7, - 4, 1) = (0, 0, 0)

(a1, - 2 a1, a1) + (2 a2, a2 , - a2 ) + (7 a3, - 4 a3, a3) = (0, 0, 0) { 𝑎₁ + 2 𝑎₂ + 7 𝑎₃ = 0 (1) −2 𝑎₁ + 𝑎₂ − 4 𝑎₃ = 0 (2) 𝑎₁ − 𝑎₂ + 𝑎₃ = 0 (3) De (1): a1 = – 2 a2 – 7 a3 (4) (4) em (2): - 2 (– 2 a2 – 7 a3 ) + a2 – 4 a3 = 0 4 a2 + 14 a3 + a2 – 4 a3 = 0 5 a2 + 10 a3 = 0 a2 = − 10 5 a3 a2 = - 2 a3 (5) (5) em (4): a1 = – 2 (- 2 a3 ) – 7 a3 a1 = 4 a3 – 7 a3 a1 = – 3 a3 (6) (5) e (6) em (3): a1 – a2 + a3 = 0 – 3 a3 - (- 2 a3 ) + a3 = 0

– 3 a3 + 2 a3 + a3 = 0

– 3 a3 + 3 a3 = 0 Logo, a3 (- 3 + 3) = 0

a3 (0) = 0

Para qualquer a3 teremos zero, portanto os vetores são LD.

b) (2, - 3, 7), ( 0, 0, 0), (3, - 1, - 4) modo 1

Como são 3 vetores do R3, é possível calcularmos o determinante: | 2 −3 7 0 0 0 3 −1 −4 | 2 −3 0 0 3 −1 = 0

Pois temos uma linha toda composta por zeros Como Δ = 0 os vetores são coplanares, logo, são LD.

modo 2 a1 (2, - 3, 7) + a2 (0, 0, 0) + a3 (3, - 1, - 4) = (0, 0, 0) ... c) ( 1, 2, -3 ), ( 1, -3, 2), ( 2, -1 , 5) modo 1

Como são 3 vetores do R3, é possível calcularmos o determinante: | 1 2 −3 1 −3 2 2 −1 5 | 1 2 1 −3 2 −1 = - 15 + 8 + 3 – 18 + 2 – 10 = 13 – 43 = - 30 Como Δ ≠ 0 os vetores são LI.

modo 2

a1 (1, 2, - 3) + a2 (1, - 3, 2) + a3 (2, - 1, 5) = (0, 0, 0) ...

3. Verifique se a matriz formada pelos vetores u, v e w é LI ou LD. (LCTE – p. 60)

u = (1, 2, 1) v = (2, 1, 0) w = (3, 3, 1)

modo 1

Como são 3 vetores do R3, é possível calcularmos o determinante: | 1 2 1 2 1 0 3 3 1 | 1 2 2 1 3 3 = 1 + 0 + 6 – 3 – 0 – 4 = 0 Como Δ = 0 os vetores são coplanares, logo, são LD.

modo 2

4. Verifique se os vetores do ℝ2 _{são linearmente dependentes ou}

não. (Steinbruch/Winterle – p. 22)

u = (1, 0) v = (0, 1) w = (7, 4)

a1 u + a2 v + a3 w = (0, 0)

a1 (1, 0) + a2 (0, 1) + a3 (7, 4) = (0, 0) (a1 , 0) + (0, a2) + (7 a3, 4 a3) = (0, 0)

a1 + 7 a3 = 0 (1) a2 + 4 a3 = 0 (2) De (1): a1 = - 7 a3 (3) De (2): a2 = - 4 a3 (4)

Logo, como temos um sistema possível e indeterminado, o conjunto de vetores é LD.

5. Verifique se os seguintes conjuntos ⊂ R4 _{são LI ou LD.}

a. 𝐿 = {(1, 1, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, 0, 0, 3)} ⊂ 𝑅4_. 𝑥(1, 1, 0, 0) + 𝑦 (0, 2, 1, 0) + 𝑧 (0, 0, 0, 3) = (0, 0, 0, 0) { 𝑥 = 0 𝑥 + 2𝑦 = 0 𝑦 = 0 3𝑧 = 0 → 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0 R: LI

b. 𝐿 = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (2, 1, 0, 0)} ⊂ 𝑅4_{. R: LD} 𝑥(1, 1, 0, 0) + 𝑦 (0, 1, 0, 0) + 𝑧 (2, 1, 0, 0) = (0, 0, 0, 0) { 𝑥 + 2𝑧 = 0 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 → 𝐿2 − 𝐿1 { 𝑥 + 2𝑧 = 0 𝑦 − 𝑧 = 0 → { 𝑥 = −2𝑧 𝑦 = 𝑧 R: LD Referências Bibliográficas

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980.

BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.

ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008.

KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1998.

LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.

NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR.