1. Espaços Vetoriais

1

Professora Bruna Rodrigues Disciplina: Álgebra Linear

Tema 5 – Espaço Vetorial

1. Espaços Vetoriais

1.1. Espaço Vetorial Real

Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é:

∀ u, v ∈ V, u +v ∈ V;

∀ α ∈ ℝ, ∀ u ∈ V, α.u ∈ V.

O conjunto V com estas duas operações é chamado de Espaço vetorial real se forem identificados os seguintes axiomas:

A) Em relação à adição:

- A1) (u + v) + w = u + (v + w), ∀ u, v, w ∈ V (associativa);

- A2) u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V (comutativa);

- A₃) 0 ∈ V, ∀ u ∈ V, u + 0 = u (elemento neutro);

- A4) ∀ u ∈ V, (-u) ∈ V, u + (-u) = 0 (simétrico).

M) Em relação à multiplicação por escalar:

∀ u, v ∈ V e ∀ α, β ∈ ℝ:

- M1) (αβ)u = α(βu) (associativa);

- M2) (α + β)u = αu + βu (distributiva);

- M3) α (u + v) = αu + αv (distributiva);

- M4) 1u = u (elemento neutro)

A definição genérica dada é conveniente para tratar como espaços vetoriais diversos conjuntos.

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPOGRANDENSES (FIC)

Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450, Site: www.feuc.br

2

Dentre eles, citamos:

 ℝ² (plano);

 ℝ³ (espaço);

 M (m. n) que representa o conjunto de todas as matrizes com m linhas e n colunas.

Exemplo:

1) Verifique, com as operações usuais, se o conjunto A = {(x, 2x, 3x); x ∈ ℝ} é espaço vetorial.

2) Verifique se o conjunto B = {(x, y) ∈ ℝ²| (x, y) + (x’, y’) = (x+x’, y) e α(x, y) = (αx, αy), ∀ α ∈ ℝ} é espaço vetorial:

1.2.Exercícios

1) Verifique se o conjunto A = {(x, y) ∈ ℝ²| y = 5x} é espaço vetorial.

2) Verifique, com as operações usuais, se o conjunto A = {(x, y) ∈ ℝ²| (x, y) + (x’, y’) = (x, y) e α(x, y) = (αx, αy), ∀ α ∈ ℝ} é espaço vetorial:

3) Verifique se o conjunto B = {(x, y) ∈ ℝ²| (x, y) + (x’, y’) = (x+x’, y+y’) e α(x, y) = (αx, 0), ∀ α ∈ ℝ} é espaço vetorial:

4) No espaço vetorial real M (3,2), considere os vetores: A = ( 1 1 0 0 0 0

), B = ( 0 1 2 1 1 1

) e C =

( 1 2 1 0 0 −1

) para calcular:

a) 2A + B – C;

b) X ∈ M (3,2) tal que (A + X)/2 – (X – B)/2 = C;

c) t₁ e t₂ tais que A= t₁. B + t₂.C, sendo t₁ e t₂ números reais.

2. Dependência Linear

Seja V um espaço vetorial sobre ℝ. Em V, o conjunto A = {u1, u2, ..., un} é linearmente independente (L.I) se, e somente se, a igualdade α1. u1 + α2. u2+ ...+ αn. un = 0 com α ∈ ℝ só for possível para α1 = α2 = ... = αn = 0.

Caso contrário, esse conjunto será linearmente dependente (L.D).

3

Exemplo:

Verifique se o conjunto A={(1, 1, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, 0, 0, 3)} ℝ⁴ é LI ou LD.

2.1.Exercícios

1) Verifique se o conjunto B={(2,- 1, 0), (-1, 3, 0), (3, -4, 0)} ℝ³ é LI ou LD.

2) Mostre que, no espaço vetorial ℝ³, os vetores v1 = (6, 2, 3) e v2 = (0, 5, 3) são L.I.

3) Mostre que em ℝ², os vetores c1 = (1,0), c2 = (0,1) e w = (7, 4) são L.D.

4) Determine α ℝ de modo que o conjunto {(1, 0, α), (1, 1, α), (1, 1, 2²)}, de vetores ℝ³, seja L.I.

5) Verifique se os vetores 

u = (1, 8, 2), 

v = (2, 1, 5) e 

w = (1, 2, 4) são linearmente dependentes (LD) ou independentes (LI).

6) Determine k para que os vetores 

u = (3, 6) e 

v = (2, k + 1) sejam linearmente independentes (LI).

3. Subespaços vetoriais

Seja V um espaço vetorial e S um subconjunto não vazio de V. O subconjunto S é um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em V.

Exemplos:

1) Sejam V = ℝ³ e S = {(x, y, 0); x, y ∈ ℝ}. Mostre que S é subespaço vetorial de ℝ³. 2) Sejam V = ℝ² e S = {(x, y) ∈ ℝ²| y = 4 – 2x}. Verifique se S é subespaço vetorial de

ℝ².

3) Sejam V = ℝ³ e S = {(x, y, z) ∈ ℝ³| ax + by + cz = 0}. Verifique se S é subespaço vetorial de ℝ².

3.1.Exercícios

1) Verifiq ue se os seguintes subconjuntos de ℝ² são subespaços:

a) S = {(x, y) ∈ ℝ²| x = y}.

b) U = {(x, y) ∈ ℝ²| x = 0}.

c) W = {(x, y) ∈ ℝ²| y = -x}.

d) V = {(x, y) ∈ ℝ²| y = x²}.

4

2) Verifiq ue se os seguintes subconjuntos de ℝ² são subespaços:

a) S = {(x, y, z) ∈ ℝ³| x = 4y e z = 0}.

b) U = {(x, y, z) ∈ ℝ³| z = 2x - y}.

3) Mostre que os seguintes subconjuntos de ℝ⁴ são subespaços:

a) W = {(x, y, z, t) ∈ ℝ⁴| x + y = 0 e z – t = 0}.

b) U = {(x, y, z, t) ∈ ℝ⁴| 2x + y – t = 0 e z = 0}.

4. Subespaços gerados

Quando um conjunto A = {u1, u2, ..., un} pode gerar, através de combinações lineares, qualquer elemento do subespaço S, com A S, então diz-se que S é subespaço gerado por A ou S = G(A).

Exemplo:

1) O conjunto A = {(1, 0), (0, 1)} gera o ℝ², pois qualquer vetor v = (x,y) do plano pode ser gerado pela combinação linear x.(1, 0) + y.(0,1) = (x, 0) + (0, y) = (x, y).

Porém, o conjunto A = {(1, 0), (0, 1), (1,1)} não gera o ℝ³. Veja:

x.(1, 0) + y.(0,1) + z.(1, 1) ≠ (x, y, z)

2) Verifique se u = (1, 0) e v = (0, 1) e w = (7, 4) geram o ℝ³.

3) Verifique se u = (2,-1,3) e v = (0,-1,2) geram o ℝ³.

4.1.Exercícios

1) Verifique se os vetores u = (2, 2) e v = (-3, 2) geram o ℝ².

2) Mostre que os vetores u = (2, 1) e v = (1,1) geram o ℝ².

3) Determine os subespaços do ℝ³ gerados pelos conjuntos:

a) A = {(-1, 3, 2), (2, -2, 1)}

b) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (-1, 1, 0)}

4) Dado o subconjunto A = {v1 = (-1, 3, 1), v2 = (1, 2, 4)} ℝ³, r o subespaço G(A).

5. Base de um espaço vetorial

Um conjunto B, contido em um espaço vetorial V é uma base de V quando:

i) B é L.I.

ii) B gera V.

Exemplos:

 B = {(1,1,1), (1,1,0), (1,0,0)} é base do ℝ³.

5

 Mostre que B = {(6, -9), (-4, 6)} não é base do ℝ².

5.1.Exercícios

1) Verifique se o conjunto A = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} gera o ℝ³. 2) Verifique se:

a) B = {(3, -1), (2, 3)} é base do ℝ².

b) B’ = {(1,0,1), (0,-1,2), (-2,1,-4)} é base do ℝ³.

3) Verifique se o conjunto B = {(1, 3); (6, 2)} é uma a base o R².

4) (CPII – 2007). Dos conjuntos de vetores abaixo, o que não forma uma base para o espaço vetorial R² é:

a) {(2, 1), (3, 0)} b) {(3, 9), (-4, -12)}

c) {(4, 1), (-7, -8)} d) {(-3, 7), (5, 5)}

5) (IFMG – 2015). Dados os vetores (1,1,1) , (0,0,1) e (0,1,1) é correto afirmar que a) Os vetores não formam uma base de ℝ³ pois são linearmente independentes.

b) Os vetores são linearmente dependentes

c) A condição de independência ou dependência linear não se constitui, por si só, um requisito para que dado conjunto de vetores formem uma base visto que é necessário ainda que 𝑉 = {𝑜}.

d) Se os vetores (1,1,1), (0,0,1) e (0,1,1) constituírem uma base é possível escrever as coordenadas de (1,2,0) em relação a esta base.

e) Os vetores possuem dimensões diferentes e, portanto, não podem constituir uma base

6. Funções Vetoriais

Dados dois espaços vetoriais V e W, diz-se que f é uma função de V em W ou transformação de V em W se, e somente se, cada vetor v ∈ V tem uma única imagem w ∈ W, que será indicado como w = f(v).

Exemplo:

Se f de ℝ² em ℝ³ é definida por f(x, y) = (3x, - 2y, x-y). Determine:

a) f(-1, 5); b) para que se tenha f(v) = (6, -2, 1).