Precificação de Opções sobre o Futuro do DI com o Modelo Black, Derman & Toy
Marcos Eugênio da Silva 1
1. Introdução
Um dos modelos de precificação de derivativos de instrumentos que rendem juros mais popular atualmente é o modelo desenvolvido por BlacK, Derman & Toy, a partir de agora indicado por BDT. 2 O propósito deste artigo é adaptar o modelo de BDT para precficar opções de DI da BM&F, mostrando que os resultados previstos pelo modelo estão bem próximos dos prêmios de opções negociados na prática.
As principais características do modelo são:
i) trata-se de um modelo de um fator, no qual toda a estrutura a termo da taxa de juros é explicada pela evolução da taxa de juros spot. Isto significa supor que todas as taxas de juros estão perfeitamente correlacionadas com a taxa de juros spot e têm a mesma distribuição de probabilidade. No caso brasileiro, considerar-se-á como taxa spot a taxa de juros mensal implícita no PU futuro de vencimento mais próximo. ii) ele reflete a estrutura a termo de taxas de juros bem como a estrutura de
volatilidade da taxa de juros para diferentes prazos de maturação dos contratos futuros.
iii) apresenta reversão à média, ou seja, a evolução das taxas de juros spot tem de considerar que o PU no vencimento de qualquer contrato futuro de DI é igual a 100.000.
iv) infelizmente não existe forma fechada para as equações de preços das opções, sendo necessário o uso de métodos numéricos.
v) a estrutura do modelo é binomial e recombinante (por construção), o que o torna computacionalmente simples.
vi) supõe que a taxa de juros spot siga uma distribuição lognormal, o que implica a não negatividade das taxas de juros. Em razão desta hipótese, a variável chave a ser modelada é a taxa de crescimento da taxa de juros, o que equivale ao “retorno” da taxa de juros. 3
1
Professor do Departamento de Economia da FEA-USP.
2
BLACK,F, DERMAN,E., TOY,W. “A One Factor Model of Interest Rates and Its Application to Treasury Bond Options.” Financial Analysts Journal, Jan/Feb 1990. Os autores chamam de short rate a taxa que denominamos aqui de taxa de juros spot.
3
Apesar de a expressão “retorno da taxa de juros” ser um pouco confusa, a lógica do argumento fica clara se a compararmos com a de outro modelo lognormal: o Black & Scholes. Assim como no modelo Black & Scholes modelamos a taxa de crescimento do preço da ação, isto é, o seu retorno, no modelo BDT modelamos a taxa de crescimento da taxa de juros (o que equivaleria ao “retorno” da taxa de juros).
vii) a equação de difusão do modelo tem a forma: d r t t t r dt t dz log ( ) '( ) ( ) .log . ( ). =θ +σ + σ σ
que é obtida aplicando-se o lema de Itô no logaritmo da função de t e z(t) que descreve a evolução da taxa de juros:
r(t) = eµ(t)+ σ(t).z(t) , onde z(t) é o processo de Wiener padrão
A taxa de juros spot mensal, bem como todas as outras taxas internas de retorno implícitas nos PUs para diferentes vencimentos pode ser obtida através da fórmula: PU y N y PU N = 100 000+ ⇒ = − 1 100 000 1 1 . ( ) . onde
N = número de meses para o vencimento do contrato futuro
y= taxa interna de retorno (yield to maturity) para aquele vencimento
PU = preço unitário corrente do contrato futuro para o N-ésimo vencimento4
A partir dos dados de PUs, que são os divulgados pela BM&F, podemos calcular as taxas internas de retorno, suas volatilidades e as taxas de juros a termo (obtidas pela divisão de um PU pelo anterior). A tabela 1 apresenta um exemplo desses valores.
Tabela 1
Volatilidade y (TIR) Termo PU * Venc. σ(0,1)=0.0367 r0=0.0134 f1=0.0134 P(0,1)=98678 Out6 σ(0,2)=0.0275 r1=0.0160 f2=0.0186 P(0,2)=96876 Nov6 σ(0,3)=0.0229 r2=0.0167 f3=0.0182 P(0,3)=95148 Dez6 σ(0,4)=0.0321 r3=0.0170 f4=0.0178 P(0,4)=93482 Jan7 σ(0,5)=0.0275 r4=0.0171 f5=0.0176 P(0,5)=91869 Fev7 σ(0,6)=0.0367 r5=0.0171 f6=0.0171 P(0,6)=90321 Mar7 σ(0,7)=0.0367 r6=0.0170 f7=0.0167 P(0,7)=88840 Abr7
* PUs de fechamento em 13.9.96 trazidos a valores de 1.9.96 pela taxa efetiva do DI observada entre 1.9.96 e 12.9.96 (ver abaixo a razão deste ajuste).
4
Neste artigo, os PUs correntes foram transformados em PUs para o primeiro dia do mês corrente a fim de podermos sempre falar em taxas de juros mensais. O procedimento para o
A estratégia para precificar as opções de DI futuro será a seguinte:
i) gerar uma árvore binomial de taxas de juros spot que seja compatível com as taxas internas de retorno e volatilidades atuais, caminhando-se do presente para o futuro.
ii) usando-se como critério a valoração neutra em relação ao risco, gerar uma árvore binomial para os PUs de diferentes maturidades a partir da árvore binomial gerada para a taxa de juros spot, caminhando-se no sentido inverso do tempo cronológico, ou seja, do futuro para o presente.
iii) a partir da árvore de PUs, gerar a árvore de preços das opções sob a hipótese de valoração neutra ao risco, mais uma vez no sentido do futuro para o presente.
iv) o preço da opção obtido no nó inicial da árvore será o seu preço justo (livre de ganhos de arbitragem).
2. Derivação da Árvore de Taxas de Juros Spot a) Passo 1
A taxa de juros spot inicial é facilmente obtida a partir do PU para o primeiro vencimento: r P 0 100 000 0 1 1 = . − ( , ) onde
r0 = taxa de juros spot no momento 0
P(0,1) = PU do contrato futuro para o primeiro vencimento (que, como todo PU do DI Futuro termina com o valor de 100.000 pontos).
Como a taxa de juros obtida refere-se apenas ao período entre o dia de negociação do PU (inclusive) e o último dia útil do mês corrente (inclusive), é conveniente fazer-se um ajuste no PU para que ele reflita a taxa de juros desde o início do mês, “emagrecendo-o” pela taxa efetiva do DI que prevaleceu entre o primeiro dia do mês (inclusive) e o dia anterior ao de negociação (inclusive). O mesmo procedimento será feito para todos os outros PUs. Assim, todas as taxas de juros a serem utilizadas neste artigo referir-se-ão a taxas efetivas mensais. b) Passo 2
A pergunta seguinte é: quais são os possíveis valores da taxa de juros spot no momento seguinte (momento 1)?
O BDT supõe uma estrutura binomial para a evolução da taxa spot, com probatilidades iguais de alta ou de baixa. Isto quer dizer que os seus possíveis valores têm de ser compatíveis com o fato de que o PU para o segundo vencimento termina com o valor 100.000 no momento 2. Este PU deve evoluir da seguinte maneira:
P(0,2) Pu 100.000
Pd 100.000
tempo:
0 1 2
Pu e Pd são os valores do PU para segundo vencimento no momento 0, quando estivermos no momento 1, nos dois estados da natureza que o modelo binomial permite existir: estado de alta (u) e estado de baixa (d). Eles devem refletir o valor de 100.000 descontado pelas taxas de juros spot possíveis nestes dois estados da natureza:
Pu ru Pd rd = + = + 100000 1 100000 1 . ; .
Por sua vez, a média entre Pu e Pd trazida para o momento 0 usando-se a taxa de juros spot r0 tem de refletir o PU corrente para o segundo vencimento (lembrando sempre que todos os nossos PUs referem-se a preços no início do mês, em virtude do “emagrecimento” que sofreram):
P Pu Pd r P ru rd r ( , ) , . , . ( , ) , . . , . . ( ) 0 2 0 5 0 5 1 0 0 2 0 5100 000 1 0 5 100 000 1 1 0 1 = + + ⇒ = + + + +
Trata-se de uma equação com duas incógnitas, ru e rd, haja vista que conhecemos o valor corrente do PU para o segundo vencimento P(0,2) e a taxa de juros spot r0 (obtida no passo 1). Para resolver o nosso problema precisamos de mais uma equação, que será dada pela volatilidade do PU que vence no momento 2, P(0,2).
A estrutura binomial e a hipótese de lognormalidade para a taxa de juros implicam que os valores ru e rd têm de satisfazer as seguintes equações:
ru = r0.e µ + σ(0,2) rd = r0.eµ - σ(0,2) onde
σ(0,2) = desvio padrão da taxa de crescimento da taxa de juros spot entre os momentos 0 e 1 Portanto, ru rd e e e ru rd e = µ σµ σ+− = σ ⇒ = σ ( ) ( ) . ( ) . ( ) . 0,2 0,2 2 0,2 2 0,2 (2)
Substituindo a equação (2) na equação (1):
P rd e rd r ( , ) , . . . , . . . ( ) 0 2 0 5 100 000 1 0 5 100 000 1 1 0 2 0,2 = + + + + σ
Trata-se de uma equação com uma incógnita. Infelizmente não existe uma maneira de se isolar rd, em virtude da não linearidade da equação. Para resolvê -la, é necessário o uso de métodos numéricos, tais como o Newton-Raphson ou o método da bissecção. As rotinas computacionais que implementaram os exemplos abaixo usaram o método da bissecção, por ser mais estável que o Newton-Raphson.
Achado o valor de rd, ru é facilmente obtido a partir da equação (2), gerando-se então a seguinte árvore de taxas de juros de curto prazo:
r0 ru
rd tempo:
0 1
c) Passo 3
Para o cálculo das possíveis taxas de juros spot no momento 2, usaremos um procedimento similar ao do passo 2. Só que agora levaremos em conta o PU que vence no momento 3 e a sua volatilidade. A árvore de PUs que queremos obter é: P(0,3) Pu Puu 100.000 Pd Pud 100.000 Pdd 100.000 tempo: 0 1 2 3
As equações que os preços acima têm de satisfazer são:
Puu
ruu Pud rud Pdd rdd a
= + = + = + 100 000 1 100 000 1 100 000 1 3 . ; . ; . ( ) Pu Puu Pud ru b = 0 5 ++0 5 1 3 , . , . ( ) Pd Pud Pdd rd c = 0 5 ++0 5 1 3 , . , . ( ) P Pu Pd r d ( , ) , . , . ( , ) ( ) 0 3 0 5 0 5 1 0 1 3 = + +
Este conjunto de equações pode ser transformado em uma única que depende de três incógnitas: ruu, rud, rdd. Para determiná-las, lançaremos mão novamente da estrutura de volatilidade e das relações que o modelo lognormal com árvore recombinante permite que sejam feitas:
ruu = ru.e µ + σ(0,3) rud = ru.eµ - σ(0,3) rdu = rd.e µ + σ(0,3) rdd = rd.eµ - σ(0,3)
Como rud = rdu por hipótese, as quatro equações acima podem ser resumidas a duas:
ruu = rud.e 2.σ(0,3)
rud = rdd.e 2.σ(0,3) (4a)
⇒ ruu = rdd. e 2.σ(0,3) . e 2.σ(0,3) ⇒ ruu = rdd. e 4.σ(0,3) (4b)
Assim, as incógnitas ruu e rud mostraram ser funções de rdd. Da mesma maneira que fizemos no passo 2, agora podemos reescrever as equações (3) como uma só e em função de uma única incógnita, rdd:
P ru rdd e rdd e rd rdd e rdd r ( , ) , . , . . . , . . . , . , . . . , . . . ( , ) . ( , ) . ( , ) 0 3 0 5 1 0 5 100 000 1 0 5 100 000 1 0 5 1 0 5 100 000 1 0 5 100 000 1 1 0 4 0 3 2 0 3 2 0 3 = + + + + + + + + + + σ σ σ
A solução desta equação mais uma vez é obtida pelo método da bissecção. Dado rdd, as equações (4a) e (4b) permitem achar rud e ruu. Temos então a árvore de taxas de juro spot até o momento 2:
r0 ru ruu rd rud rdd tempo: 0 1 2 d) Passo 4 em diante
O processo continua de maneira igual para qualquer nível de expansão da árvore binomial, gerando-se trajetórias de evolução do PU que vence no (N+1)-ésimo mês e as taxas de juros spot possíveis até o N-(N+1)-ésimo mês. As árvores abaixo ilustram como devem evoluir estas variáveis:
Árvore da taxa de juros spot:
r(0,1) ru ruu ruuu ruuuu ...
rd rud ruud ruuud ...
rdd rdud ruudd ...
rddd rdudd ... rdddd ... tempo:
0 1 2 3 4 ...
Árvore do PU que vence no momento 5:
P(0,5) Pu Puu Puuu Puuuu 100.000
Pd Pud Puud Puuud 100.000
Pdd Pdud Puudd 100.000 Pddd Pdudd 100.000 Pdddd 100.000 tempo: 0 1 2 3 4 5
As incógnitas em cada passo são as taxas de juros spot no N-ésimo momento, que podem ser colocadas como função da taxa de juros possível na folha mais baixa da árvore expandida até aquele momento. Por exemplo, as taxas de juros spot no momento 4 são todas funções de rdddd:
ruuuu=rdddd . e 8.σ(0,5) ruuud=rdddd . e 6.σ(0,5) ruudd=rdddd . e 4.σ(0,5) rdudd=rdddd . e 2.σ(0,5)
3. Exemplo de Árvore de Taxas de Juros Spot e Árvore de PUs
Com base nos dados da tabela 1, podemos obter a árvore para a taxa de juros spot mostrada na tabela 2.
Tabela 2
Árvore de Taxas de Juros Spot
0,0134 0,0191 0,0190 0,0196 0,0196 0,0205 0,0207 0,0181 0,0182 0,0184 0,0185 0,0191 0,0192 0,0173 0,0172 0,0175 0,0177 0,0179 0,0162 0,0166 0,0165 0,0166 0,0157 0,0153 0,0154 0,0142 0,0143 0,0133
Set6 Out6 Nov6 Dez6 Jan7 Fev7 Mar7
Como conseqüência da evolução acima da taxa spot, o PU que vence em abril de 1997, por exemplo, terá a evolução mostrada na tabela 3.
Tabela 3
Árvore de preços do Contrato DI Futuro para Abril de 1997
88840 89745 91210 92719 94359 96070 97972 100000 90315 91712 93166 94712 96340 98112 100000 92186 93587 95044 96593 98244 100000 93982 95355 96828 98366 100000 95647 97047 98479 100000 97251 98585 100000 98684 100000
Set6 Out6 Nov6 Dez6 Jan7 Fev7 Mar7 Abr7
Podemos gerar uma árvore semelhante para cada um dos PUs até o seu vencimento. Todas estas árvores refletirão a estrutura de volatilidade atual para os
contratos de diferentes vencimentos bem como a estrutura atual de taxas internas de retorno.
4. Precificação de Opções
Para acharmos o preço de uma call européia neste contexto basta trazermos a valor presente o ganho esperado no vencimento, usando-se como taxa de desconto em cada período a taxa de juros spot possível em cada nó da árvore de juros. Trata-se de um procedimento similar ao usado para precificar uma call européia pelo modelo binomial tradicional.
A partir do vencimento da opção, e de volta para o presente, calculamos o valor da call em cada nó, ou seja, o máximo entre:
a) a média dos preços da call nos nós descendentes descontada pela taxa de juros spot no nó em questão e
b) zero
Repetimos este procedimento até voltarmos ao período zero. O preço da opção será aquele obtido no nó inicial da árvore de preços da call.
A tabela 5 mostra a árvore de uma call européia com vencimento em Jan7, com preço de exercício de 98250 pontos, sobre o DI 30 dias (DI vence em Fev7). Usamos a árvore de PUs da tabela 4 e a árvore de juros da tabela 2. Uma put européia pode ser precificada da mesma maneira. 5
Tabela 4
Árvore de Preços do Contrato DI Futuro para Fevereiro de 1997
91869 92919 94555 96246 98081 100000
93281 94836 96457 98181 100000
95102 96657 98277 100000
96846 98368 100000
98454 100000
Set6 Out6 Nov6 Dez6 Jan6 Fev6
Tabela 5
Árvore de Preço da Call Européia sobre o DI 30 (em pontos de PU) *
5
Caso a BM&F negociasse opções americanas, o procedimento seria semelhante, apenas que em cada nó da árvore haveria uma decisão de exercer a opção ou não. A rotina computacional montada pelo autor gera também estes preços. Naturalmente, o preço da call americanna coincide com o preço da call européia.
48,99 23,56 6,52 0 0
75,74 41,49 13,29 0
112,74 71,19 27,08
158,20 117,76
203,75
Set6 Out6 Nov6 Dez6 Jan7
Preço de Exercício = 98250 pontos
O preço livre de arbitragem da call no início do mês de setembro de 1996 seria então de 48,99 pontos de PU. Como o nosso exemplo foi montado a partir de preços do dia 13.9.96, é preciso “engordar” o preço da call pela variação do CDI até o dia 12.9.96. O preço final será então de:
Call = 48,99 x 1,00242 = 49,20
Este resultado está bem próximo do preço negociado no fechamento do pregão, como podemos ver pela tabela 6 A mesma conclusão é válida para as outras séries de opções mostradas na tabela.
Tabela 6
Preço da Call Previsto pelo BDT e Observado no Fechamento em 13.9.96
Série Preço de Exerc. BDT Fechamento
JA53 98200 81,35 80,00
JA54 98250 49,20 49,00
