Tese apresentada à Pró-Reitoria de Pós-Graduação e Pesquisa do Instituto
Tecnológico de Aeronáutica, como parte dos requisitos para obtenção do título de
Doutor no Programa de Pós-Graduação em Física, na área de Física dos Plasmas.
Caroline Gameiro Lopes Martins
TOPOLOGIA DE CAMPOS MAGNÉTICOS EM TOKAMAKS
Orientadora: Profª. Dra. Marisa Roberto
Co-orientador: Prof. Dr. Iberê Luiz Caldas
Prof. Dr. Celso Massaki Hirata
Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa
Campo Montenegro
São José dos Campos, SP – Brasil
2013
TOPOLOGIA DE CAMPOS MAGNÉTICOS EM TOKAMAKS
Caroline Gameiro Lopes Martins
Composição da Banca Examinadora:
Prof. Dr. Rubens de Melo Marinho Jr Presidente – ITA
Profa. Dra. Marisa Roberto Orientadora – ITA
Prof. Dr. Iberê Luiz Caldas Co-orientador – USP Prof. Dr. Erico Luiz Rempel Membro Interno – ITA Prof. Dr. Ricardo Luiz Viana Membro Externo – UFPR Prof. Dr.
Prof. Dr. Prof. Dr.
Jose Danilo Szezech Jr Carlos A. Bomfim Silva
Zwinglio de Oliveira Guimarães Filho
Membro Externo – UEPG Suplente Interno – ITA Suplente Externo – USP
Agradecimentos
Agradeço aos meus pais: Solange e Marcos, que são meus maiores fãs, por todo apoio e carinho em mais uma etapa concluída. Aos meus orientadores Profª. Marisa e Prof. Iberê, que me guiaram com muita ética por mais um trajeto científico, e que me orientaram também em questões pessoais com toda amizade, respeito e bom humor. Finalmente agradeço a CAPES, CNPq e, principalmente, a Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), Processo Número 2010/13162-0, pela excelente bolsa de doutoramento e reserva técnica, essenciais para o desenvolvimento desta tese e para sua divulgação em eventos científicos.
Resumo
Neste trabalho estudamos analiticamente e numericamente a topologia do campo magnético em tokamaks, nos focando, basicamente, no tokamak ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) em construção na França. Para as análises numéricas utilizamos como ferramenta o conjunto integrado de códigos CRONOS, que realiza simulações de descargas em tokamaks, e acopla uma série de códigos computacionais, tais como o módulo ‘Helena’, usado para o estudo do equilíbrio MHD, entre outros. Já a parte analítica foi realizada pela simulação de superfícies magnéticas através de equações diferenciais ordinárias. Simulações numéricas e analíticas são apresentadas para densidades de corrente toroidal com buraco (oca), relatando também o aparecimento de cadeias de ilhas próximas ao eixo magnético, causadas pela inversão de corrente. Simulações das superfícies magnéticas do tokamak ITER, através de campos magnéticos gerados por fios, também são analisadas, assim como alterações na topologia das superfícies causadas pela adição de um ruído que simula colisões de partículas dentro da coluna de plasma. Identificamos neste último modelo estruturas que aprisionam linhas de campo magnético por muitas voltas toroidais, alterando os padrões de escape para as placas do divertor através do efeito stickiness.
Abstract
In the current work we studied analytically and numerically magnetic field topology in tokamaks, focusing, primarily, on the tokamak ITER (International Thermonuclear Experimental Reactor) under construction in France. For our numerical analysis we used the integrated set of codes CRONOS, which performs discharges simulations in tokamaks, and integrate a set of computer codes such as the module 'Helena' used to study the MHD equilibrium, among others. The analytical part was performed by modeling magnetic surfaces through ordinary differential equations. Numerical and analytical simulations can be found for hollow toroidal current densities, also reporting the appearance of island chains near the magnetic axis, caused by reversal current. Modelings of ITER-like magnetic surfaces by magnetic fields generated by wires were also analyzed, as well as modifications in the surfaces topology caused by the addition of a noise which simulates particle collisions inside the plasma column. In the latter, we identified structures that trap magnetic field lines for many toroidal turns, modifying the escape patterns at the divertor plates through the stickiness effect.
Sumário
1. Introdução ___________________________________________________________________ 1
2. Tokamaks e suas propriedades
2.1 O plasma e algumas características ____________________________________________ 4 2.2 Equilíbrio MHD em tokamaks ________________________________________________ 5 2.3 Equação de Grad-Shafranov __________________________________________________5 2.4 Divertores Poloidais _______________________________________________________ 7 2.5 Conjunto integrado de códigos CRONOS ______________________________________ 9
3. Simulações com o CRONOS para o ITER: Evolução de buraco de corrente e sua relação com a corrente “bootstrap”
3.1 Introdução _______________________________________________________________11 3.2 Cenário da descarga _______________________________________________________ 12 3.3 Módulo de equilíbrio ______________________________________________________ 14 3.4 Módulo neoclássico: Corrente “bootstrap” _____________________________________ 17 3.5 Conclusões_______________________________________________________________18
4. Simulações com o CRONOS para o ITER: Densidade de corrente toroidal invertida
4.1 Introdução ______________________________________________________________ 20 4.2 Resultados numéricos______________________________________________________ 20 4.3 Conclusões ______________________________________________________________ 25
5. Soluções analíticas para o equilíbrio em tokamak com densidade de corrente toroidal invertida 5.1 Introdução _______________________________________________________________27 5.2 Modelo de equilíbrio analítico _______________________________________________ 28 5.3 Modelo de densidade de corrente proposto: resultados e discussões __________________33 5.4 Conclusões ______________________________________________________________ 40
6. Conjunto de fios infinitos para simular tokamaks com divertor poloidal
6.1 Introdução _______________________________________________________________42 6.2 O modelo _______________________________________________________________ 43 6.3 Superfícies magnéticas _____________________________________________________45
6.4 Superfícies magnéticas perturbadas ___________________________________________ 47 6.5 Padrões de escape _________________________________________________________49 6.6 Adição de ruído ao sistema baseado em simulação feita com o CRONOS _____________ 51 6.7 Conclusões ______________________________________________________________ 57
7. Conjunto de loops de fios para delinear o padrão de escape de linhas de campo magnético e stickiness em um tokamak com divertor poloidal
7.1 Introdução _______________________________________________________________58 7.2 Modelo de equilíbrio_______________________________________________________ 60 7.3 Modelo de perturbação por bobinas externas____________________________________ 64 7.4 Emaranhado homoclínico e padrões de escape __________________________________ 67 7.5 Efeito stickiness___________________________________________________________69 7.6 Efeito stickiness com ruído colisional__________________________________________73 7.7 Conclusões_______________________________________________________________74
8. Stickiness de linhas de campo magnético em tokamak
8.1 Introdução _______________________________________________________________76 8.2 Método FTRN e resultados numéricos_________________________________________ 77 8.3 Conclusões_______________________________________________________________78
9. Conclusão___________________________________________________________________ 79
Referências____________________________________________________________________ 80
ANEXO A – Artigos resultantes desta tese
A.1 Analytical solutions for tokamak equilibria with reversed toroidal current A.2 Set of wires to simulate tokamaks with poloidal divertor
A.3 Delineating the magnetic field line escape pattern and stickiness in a poloidally diverted tokamak
A.4 Magnetic field line stickiness in tokamaks A.5 Nontwist symplectic maps in tokamaks
A.6 Magnetic field line escape: comparison with mean free path A.7 Robust tori-like Lagrangian coherent structures
1.
Introdução
A Agência Internacional de Energia Atômica prevê que o consumo mundial de energia duplique nos próximos 40 anos. Atualmente cerca de 80% do consumo é assegurado pelos combustíveis fosseis, situação que não é sustentável pelas graves alterações atmosféricas que provoca e porque estes combustíveis deverão estar esgotados num futuro próximo (começando pelo petróleo). São por isso, necessárias opções energéticas alternativas de grande escala, sendo a fusão nuclear uma dessas opções.
Numa reação de fusão pequenas quantidades de matéria dão origem a enormes quantidades de energia: 3,136x10-29 kg de combustível originam 17,59 MeV. Comparando com as reações químicas, um milhão de vezes menos poderosas que as nucleares, têm-se, por exemplo, que cerca de um litro de combustível de fusão produz a mesma energia que 6600 toneladas de carvão.
A produção comercial de energia elétrica a partir da fusão de átomos leves, tal como acontece no Sol e nas estrelas, colocará a disposição do homem uma fonte alternativa de energia de larga escala, com baixo impacto ambiental. Numa altura em que a fusão nuclear vai entrar numa etapa decisiva: O projeto ITER. Destinado a demonstrar a viabilidade cientifica e tecnológica da fusão [1.1].
O ‘International Thermonuclear Experimental Reactor’ (ITER), ilustrado na figura 1.1, é uma experiência que vai funcionar em condições muito próximas das de um reator de fusão. Está sendo construído em Cadarache (França), no âmbito de uma colaboração a grande escala, tendo como parceiros principais a Euratom, o Japão, a Federação Russa, os Estados Unidos da America, a China, a Coréia do Sul e a Índia.
O objetivo principal do ITER é demonstrar a viabilidade cientifica e tecnológica da energia de fusão por confinamento magnético através de um ‘tokamak’. Este tokamak poderá produzir 500 MW de potencia de fusão durante 400 segundos com o auxilio de 50 MW de potência de aquecimento, permitindo o estudo dos plasmas de fusão.
FIGURA 1.1 – Ilustração do tokamak ITER
Até agora o confinamento magnético toroidal do tipo tokamak, de concepção russa, tem sido aquele que tem produzido melhores resultados, sendo, por isso, a configuração que se encontra mais desenvolvida.
As geometrias cilíndricas foram as primeiras a serem utilizadas, mas deixavam escapar o plasma pelas extremidades. Para evitar esta situação, o cilindro foi fechado sobre si mesmo numa configuração toroidal semelhante a da câmara de ar de um pneu, assim como mostra a figura 1.2.
FIGURA 1.2 – Configuração magnética de um tokamak
No entanto, a curvatura em conjunto com a não homogeneidade do campo magnético (mais elevado na parte interior do toróide do que na parte exterior), dão origem a deriva das partículas carregadas, ou seja, os íons e os elétrons tem tendência a separar-se e acabam por escapar do aprisionamento magnético, e se chocar com a parede da câmara. Para compensar este efeito, as linhas do campo magnético devem ser helicoidais, o que se consegue adicionando ao campo magnético toroidal, outro campo que lhe é perpendicular, o campo poloidal.
O campo magnético poloidal de um tokamak é criado por uma corrente axial que circula no próprio plasma, criada por indução magnética, comportando-se o plasma como o secundário do transformador. O plasma assim originado designa-se por plasma indutivo [1.1].
O ITER será o primeiro dispositivo experimental a integrar a maior parte das tecnologias essenciais ao reator: bobinas supercondutoras de grande dimensão capazes de criar elevados campos magnéticos, gestão do trítio, manutenção robotizada e módulos com camada fértil de lítio. Prevê-se que os períodos de construção e de exploração sejam, respectivamente, de 10 e 20 anos [1.1].
Visto que um projeto deste porte esta se desenvolvendo, se fazem mais do que necessárias análises acerca das topologias magnéticas envolvidas em uma descarga, portanto, neste trabalho estudamos tanto analiticamente como numericamente certos efeitos que modificam as superfícies magnéticas em tokamaks, nos focando, basicamente, no tokamak ITER.
Para as análises numéricas utilizamos como ferramenta o conjunto integrado de códigos CRONOS, que realiza simulações de descargas em tokamaks acoplando uma série de códigos computacionais, e que será detalhado na seção 2.5 desta tese. Já a parte analítica foi realizada através da simulação de superfícies magnéticas por meio de equações diferenciais ordinárias, e integrações numéricas pelo método de Runge-Kutta.
O capítulo 3 apresenta simulações numéricas para o tokamak ITER acerca de densidades de corrente toroidal oca (com buraco), e simulações onde a densidade de corrente toroidal atinge valores negativos (corrente invertida) podem ser encontradas no capítulo 4. O capítulo 5 relata também o aparecimento de cadeias de ilhas próximas ao eixo magnético, causadas por inversão de corrente, porém, analisadas através de simulações analíticas. Já as simulações das superfícies magnéticas do tokamak ITER, através de campos magnéticos gerados por correntes elétricas em fios infinitos e em espiras circulares, também são analisadas, nos capítulos 6 e 7, respectivamente. Ambos os capítulos 6 e 7 relatam alterações na topologia das superfícies magnéticas causadas pela adição de um ruído que simula colisões de partículas dentro da coluna de plasma. Detalhamos no capítulo 8 estruturas ‘grudentas’ que aprisionam linhas de campo magnético por muitas voltas toroidais, alteando os padrões de escape para as placas do divertor através do efeito stickiness. Finalmente, apresentamos as conclusões no capítulo 9. No anexo A encontram-se os trabalhos publicados cujos resultados foram, de alguma forma, utilizados na confecção desta tese ou publicados durante a vigência do doutoramento.
2.
Tokamak e suas propriedades
2.1 O plasma e algumas características
Quando uma substância sólida ou líquida, por aquecimento, armazena energia suficiente para superar o potencial de ligação, experimenta uma transição de fase na qual, passa a ser uma substância em estado gasoso. Se continuarmos a aquecer o gás, são obtidas transições adicionais. Por exemplo, quando a energia térmica de algumas partículas é maior que a energia de ligação molecular, o gás molecular se dissocia, gradualmente, formando um gás atômico. Uma transição mais drástica ocorre quando a temperatura do gás é suficientemente alta para que os elétrons possam superar a energia de ligação atômica, onde o gás converte-se em uma mistura de íons e elétrons. Esta substância ionizada recebe o nome de ‘plasma’ [2.1].
Apesar da transição de gás para plasma ocorrer gradualmente com o aumento da energia das partículas, quer dizer, sem uma transição de fase sob o ponto de vista termodinâmico, o plasma é conhecido como ‘o quarto estado da matéria’. Neste estado, a matéria apresenta propriedades diferentes das que tinham em outros estados, devido aos efeitos coletivos das forças eletromagnéticas de longo alcance. Por exemplo, o plasma é um ótimo condutor elétrico e bom condutor térmico, apresenta uma difusão de partículas clássica e ambipolar (difusão de partículas positivas e negativas em um plasma a uma mesma taxa devido a uma interação através do campo elétrico), mostra habilidade para suportar uma grande variedade de fenômenos ondulatórios, de processos dissipativos, de instabilidades e de emissão de radiação.
A quase neutralidade macroscópica, suportada pela ‘blindagem de Debye’ (o plasma tende a blindar campos elétricos com uma distância característica conhecida como ‘distância de Debye’) e a frequência de oscilação do plasma (devida a desvios localizados da neutralidade), são alguns critérios que determinam a definição de plasma [2.2].
De toda a matéria que forma o Universo, aproximadamente 99% encontra-se no estado de plasma [2.3]. Para investigar o comportamento exato de um plasma seria necessário acompanhar o movimento de cada partícula e, portanto, resolver as equações de movimento para todas elas, o que resultaria em um problema extremamente complicado. Entretanto, muitos fenômenos observados em plasmas permitem que se adotem modelos mais simples. Um deles é a ‘teoria cinética’, que utiliza aproximações estatísticas e equações de distribuição para cada espécie de partícula que forma o plasma. Outro modelo é o “magneto hidrodinâmico” (MHD), que considera o plasma como
um fluído condutor, sendo ele estudado como um todo através das equações magneto hidrodinâmicas.
Uma das vantagens de se considerar o plasma como um fluído condutor é a manipulação de suas equações para modelar regiões turbulentas, pois um dos problemas atuais da pesquisa de fusão nuclear é a perda de partículas para a borda do plasma confinado. Esse transporte anômalo na borda, muito superior ao previsto com o uso da teoria colisional clássica, é atribuído à turbulência do plasma nessa região. É usual estudar-se, então, estruturas que podem existir em fluídos (ANEXO A.7), como o plasma confinado, pois, estudos assim podem contribuir para o desenvolvimento de procedimentos adequados de controle e à consequente redução do transporte de partículas.
2.2 Equilíbrio MHD em tokamaks
Existem, basicamente, dois tipos de forças na teoria MHD: as forças ocasionadas por gradientes de pressão dentro do plasma e as forças de Lorentz, ocasionadas pela interação de correntes que circulam no plasma com os campos magnéticos que nele existam. O equilíbrio do plasma em tokamaks apresenta dois aspectos: (i) existe um balanço interno entre as forças devidas aos campos magnéticos e à pressão do plasma; (ii) existe uma forma e uma posição da coluna de plasma que deve ser controlada por correntes percorrendo espiras externas.
A condição básica para o equilíbrio acontece quando estas forças, que atuam sobre o plasma, anulam-se em todo o seu volume. Esta condição é representada pela equação
p J B. Como consequências desta equação não existem gradientes de pressão ao longo das linhas de campo magnético, sobre os quais percorrem as linhas de corrente (ou linhas de força) [2.4].
2.3 Equação de Grad-Shafranov
Supondo-se que o plasma esteja em um estado próximo ao do equilíbrio termodinâmico, possuímos então um sistema de equações MHD, dado por [2.3]:
p J B (2.1) 0 . B (2.2) B 0J (2.3)
Através destas equações, tanto o equilíbrio MHD como as condições de estabilidade do plasma podem ser investigadas, sempre que sejam impostas condições de fronteira convenientes, que dependem do sistema a ser considerado (interface plasma – vácuo ou plasma – parede condutora).
Os modelos mais simples de tokamaks os consideram como tendo uma grande razão de aspecto, ou seja, a/R0 1, onde a é a raio menor e R0 é o raio maior do tokamak, assim como
mostra a figura 2.1.
FIGURA 2.1 – Coordenada R, ϕ e Z em relação às coordenadas toroidais r, θ e ϕ.
Pela simetria do sistema ao redor da direção toroidal, é razoável considerar / 0, tornando os parâmetros do sistema independentes de ϕ (axi-simetria).
Utilizando-se as coordenadas cilíndricas para tokamaks, obtêm-se da equação (2.2) [2.4]:
0 ) ( ) ( 1 Z R B Z RB R R (2.4)
que será satisfeita caso se utilize a chamada função de fluxo magnético poloidal, (R,Z), que é proporcional ao fluxo magnético poloidal sobre cada superfície magnética (portanto, constante em cada superfície). Sendo assim, os campos magnéticos BR e BZ estão relacionados com esta função de
fluxo magnético, da forma mostrada a seguir [2.3],
Z R BR 1 (2.5) R R BZ 1 (2.6)
Tem-se também que . 0
p
J e supomos, portanto, uma função I I(R,Z), relacionada com a densidade de corrente poloidal, que satisfaz esta equação caso ela tenha as seguintes componentes: Z I R JR 1 (2.7) R I R JZ 1 (2.8)
Substituindo as equações (2.4), (2.5) e (2.6) em (2.3) obtemos,
R I B RB I 0 0 (2.9) e também, 2 2 0 1 1 Z R R R J (2.10)
Finalmente obtemos a conhecida equação de Grad-Shafranov [2.3],
I I p R Z R R R R 02 2 0 2 2 1 (2.11)
Esta equação permite calcular as condições para o equilíbrio do plasma em tokamaks, uma vez conhecidas as funções p() e I().
2.4 Divertores poloidais
Em tokamaks de grande razão de aspecto o plasma possui uma seção transversal aproximadamente circular, e é afastado da parede por um limitador físico feito de material resistente ao impacto e a temperatura de suas partículas. Este limitador define a região denominada ‘scrape-off layer’ (SOL) que consiste de uma camada anterior à parede onde há ausência de plasma e grande concentração de partículas neutras. O limitador físico define a última superfície magnética fechada. As linhas de campo sobre as superfícies abertas carregam íons e elétrons que colidem diretamente com o limitador físico. Estas partículas recombinam-se formando partículas neutras e
retornam para o plasma carregando impurezas da parede [2.5]. No interior da coluna, estas partículas se ionizam novamente, retirando energia do plasma e degradando suas propriedades [2.6]. A figura 2.2 ilustra uma secção transversal de um plasma isolado da parede por um limitador físico.
FIGURA 2.2 – Ilustração de um plasma de secção circular afastado da parede por um limitador físico. A baixo um esquema do processo de colisão das partículas do plasma com o limitador. Figura extraída do site: http://www-fusion-magnetique.cea.fr/gb/fusion/physique/intro_ipp.htm
Uma alternativa de separação da coluna de plasma e da parede da câmara consiste na instalação de divertores poloidais. Estes divertores são componentes essenciais em tokamaks modernos [2.7], e consistem de condutores dispostos externamente, e que carregam correntes elétricas com a mesma direção da corrente de plasma, no sentido toroidal do tokamak. Um ponto de X (ou ponto hiperbólico) aparecerá nos locais onde o campo magnético poloidal for nulo, devido à sobreposição dos campos magnéticos dos condutores com o campo do plasma. Do ponto de X surge uma separatriz com duas variedades, uma estável e outra instável. As superfícies externas à separatriz interceptam as placas coletoras, que exercem um papel semelhante ao do limitador físico em tokamaks de secção circular. No entanto, as partículas que chegam às placas do divertor são muito menos energéticas que aquelas que alcançam o limitador físico, uma vez que não há contato direto entre as placas e o plasma. Portanto, o plasma é isolado das paredes da câmara através de uma fronteira magnética, o que traz benefícios para o confinamento. Como consequência, as partículas que se recombinam e se neutralizam nas placas, ionizam-se na própria camada externa (com superfícies abertas) e são impedidas de retornar ao plasma, alcançando rapidamente às placas coletoras novamente. Uma ilustração desta configuração é mostrada na figura 2.3.
FIGURA 2.3 – Ilustração de um plasma afastado da parede da câmara por um divertor. Figura extraída do site: http://www-fusion-magnetique.cea.fr/gb/fusion/physique/intro_ipp.htm
As partículas neutras que se acumulam próximas ao ponto de X formam um gás, que pode ser bombeado para fora da câmara assim que atingir uma pressão adequada [2.8]. Como resultado obtém-se plasmas mais limpos e capazes de atingir temperaturas muito mais altas. O confinamento de modo avançado, conhecido como modo H, caracterizado por fortes barreiras de transporte, altas densidades e temperaturas, foi observado no tokamak alemão ASDEX na década de 80 [2.9], o primeiro a utilizar configuração de divertores.
2.5 Conjunto integrado de códigos CRONOS
O CRONOS é um conjunto de códigos numéricos para simulação de descargas em tokamaks, bem como para análises de dados [2.10]. Ele acopla uma série de módulos computacionais, tais como o módulo ‘HELENA’, usado para estudo do equilíbrio MHD, entre outros, conforme mostra a figura 2.4. Todos estes códigos individuais estão escritos em Fortran, C e C++. Através do Matlab foi possível montar uma estrutura modular de entrada de dados para os principais tokamaks existentes mundialmente, assim como a comunicação com todos os códigos integrados que o contém. Durante os dez últimos anos o CRONOS tem tido a sua validade testada, com sucesso, com dados experimentais e tem sido também confrontado com outros códigos do mesmo tipo [2.11]. Através de sua estrutura modular, os dados de entrada são fornecidos para um tokamak a ser escolhido (que pode ser um tokamak já existente ou um tokamak ainda a ser construído, tal como o ITER), as equações de transporte são resolvidas para as diversas partículas que constituem o plasma de fusão e também para suas impurezas.
FIGURA 2.4 – Funcionamento global do conjunto de códigos CRONOS
O CRONOS pode ser executado usando como parâmetros de entrada perfis experimentais obtidos de máquinas tais como, Tora Supra, JET, DIII-D, JT60-U, ASDEX Upgrade, COMPASS, EAST, TCV, entre outros. Os resultados obtidos podem ser usados para predizer cenários relevantes para o tokamak ITER.
O núcleo central do CRONOS consiste em resolver as equações de transporte para o fluxo de calor de elétrons e íons, com perfil de densidade de partículas conhecido. Estas equações são resolvidas somente na região onde há plasma, isto é, do eixo magnético até a última superfície fechada. Os resultados obtidos das equações de transporte poderão ser usados de forma auto-consistente no módulo de equilíbrio. Também é resolvida a equação de difusão para a corrente não-indutiva que inclui contribuições de corrente de reforço, injeção de partículas neutras e aquecimento iônico. Outras fontes de aquecimento poderão ser adicionadas, pois há módulos específicos para cada uma destas contribuições citadas. Também podemos ativar/desativar cada fonte de aquecimento adicional, se quisermos.
O módulo de solução para o equilíbrio MHD, chamado ‘HELENA’, é um módulo bidimensional que inclui elongação, triangularidade e a separatriz referente à presença de divertores poloidais, dependendo de cada perfil topológico de cada tokamak. Este módulo resolve a equação de Grad-Shafranov para os perfis de equilíbrio pré-definidos no momento anterior ao início da simulação, e utiliza o método numérico de elementos finitos para a convergência dos resultados.
3.
Simulações com o CRONOS para o ITER: Evolução de
buraco de corrente e sua relação com a corrente “bootstrap”
3.1 Introdução
A não homogeneidade do campo toroidal presente em um tokamak pode criar um “espelho” e prender partículas de plasma conforme elas seguem as linhas de campo magnético. Na presença de gradientes de pressão radial no plasma, as órbitas de partículas aprisionadas podem se chocar com outras órbitas, criando assim uma corrente de reforço, ou corrente “bootstrap”, gerada através destas colisões [3.1].
Adiante, uma propriedade importante da corrente “bootstrap” é que, quando maximizada, é capaz de alterar a forma do perfil de densidades de corrente toroidal e poloidal, e, consequentemente, alterar a forma do enrolamento das linhas de campo [3.2]. Em confinamentos onde o plasma alcança alta pressão, como aqueles esperados para o ITER, a densidade de corrente pode tornar-se oca, i.e. densidade de corrente com buraco, e o fator de segurança pode variar de monotônico (baixo no centro do plasma e alto no borda) para um caso não monotônico (ANEXO A.5), criando uma zona de cisalhamento magnético negativo [3.2]. Alterar o cisalhamento magnético desta maneira pode ter efeitos dramáticos sobre as propriedades de transporte e estabilidade da descarga, portanto fazem-se necessárias simulações e análises sobre o aparecimento e evolução de densidades de corrente com buraco.
Além do mais, o principal componente das correntes não indutivas (não ôhmicas) é fornecido pelo próprio plasma através do mecanismo de “bootstrap” [3.1], e em alguns regimes de confinamento avançados com correntes não indutivas, um perfil de densidade de corrente com buraco pode ser desenvolvido, onde a densidade de corrente pode chegar a ser até mesmo negativa [3.3]. Isso ocorre no JET [3.4, 3.5] e se espera que aconteça no futuro ITER [3.6].
Além disso, simulações feitas para o tokamak JET com buraco de corrente [3.7] tem mostrado que este tipo de configuração tem efeito transiente, onde a densidade de corrente é aumentada na região do buraco, com o passar do tempo, através de efeitos de reorganização interna ao plasma. Ainda, estudos focados em como a presença do buraco de corrente afeta quantidades
relacionadas ao nascimento de partículas alfa de processos de fusão foram feitos com o pacote CRONOS/SPOT [3.8].
Motivados por estes trabalhos teóricos e experimentais citados, nós utilizamos o conjunto de códigos CRONOS [3.9] para estudar a evolução do perfil de densidade de corrente toroidal com a presença de um buraco próximo ao eixo magnético, simulando uma descarga utilizando os parâmetros do tokamak ITER. Nestas condições, analisamos o comportamento do perfil da densidade de corrente de “bootstrap”, fator de segurança e cisalhamento magnético.
3.2 Cenário da descarga
FIGURA 3.1 - Cenário da descarga completa com o perfil do tokamak ITER feita com o conjunto de códigos CRONOS.
A figura 3.1 apresenta detalhes da descarga feita com o conjunto de códigos CRONOS para os parâmetros do tokamak ITER, onde Ip é a corrente de plasma, Nbar é a média da densidade de elétrons e íons, Pnbi é a potência criada por ‘neutralbeam injection’ (módulo desativado), Picrh é a potência criada por ‘Ion Cyclotron Ressonant Heating’, Pecrh é a potência criada por ‘Electron Cyclotron Ressonant Heating’ (as curvas cor-de-rosa e preta estão sobrepostas), e, finalmente, (nT/nD) é a densidade de trítio pela densidade de deutério. Esta figura mostra os 800 segundos totais da descarga, incluindo a fase de up e o flat-top da corrente de plasma. A fase de ramp-up (t ≈ 0s até t ≈ 200s) é caracterizada pelo aumento gradativo da corrente de plasma através de assistência de aquecimentos não indutivos (não ôhmicos) como o ICHR/ECRH, e o flat-top (t ≈
200s até t ≈ 600s) é caracterizado pela saturação da corrente de plasma e de seus aquecimentos externos. Uma transição de modo de confinamento acontece durante o flat-top da corrente de plasma, onde o confinamento passa do modo L (L-mode) para o modo H (H-mode) [3.10].
O modo H foi primeiramente atingido no tokamak alemão ASDEX na década de 80 [3.10], e é caracterizado por uma transição para um estado mais eficaz de confinamento, quando comparado com o modo L. Ele é produzido pela presença de uma camada de barreiras internas de transporte (ITBs) na borda do plasma, região denominada pedestal [3.10].
(a) (b)
FIGURA 3.2 - Existência de barreira interna de transporte (ITB) para os 800 segundos da descarga (figura 3.1), onde (a) ITB relacionada à temperatura dos elétrons (b) ITB relacionada à temperatura dos íons.
A figura 3.2 mostra a possível existência de barreiras de transporte para os 800 segundos da descarga (figura 3.1), onde o módulo responsável pelo cálculo leva em consideração os perfis de temperatura dos elétrons e íons, e está bem descrito na referência [3.11]. Os resultados previstos por este módulo não convergem para posições próximas ao eixo magnético, porém são relativamente precisos para identificar o instante em que a região do pedestal é formada na borda da coluna de plasma, assim como a sua largura e posição, que neste caso é de r ≈ 0.9 à r ≈ 1.0. Tanto a figura 3.2(a) quanto 3.2(b) evidenciam a transição do modo L para o modo H através do aparecimento de uma barra amarela na borda da coluna de plasma (formação do pedestal), que se mantém presente de t ≈ 210s até t ≈ 700s.
FIGURA 3.3 - Perfil editado da densidade de corrente total, Jmoy, que é a soma das densidades de corrente toroidal e poloidal, para os 800 segundos da descarga (figura 3.1).
A figura 3.3 mostra o perfil editado da densidade de corrente total, Jmoy, que é a soma das densidades de corrente toroidal e poloidal. A curva sólida se refere ao nosso input, porém o perfil utilizado na simulação foi o da curva tracejada, modelada pelo CRONOS para fins de convergência. O buraco de corrente pode ser encontrado em r ≈ 0.1, formando um ponto de máximo local em r ≈ 0.3. Observar que o buraco foi construído para valores positivos (e não nulos) de densidade de corrente total.
Introduzimos o perfil com buraco de corrente da figura 3.3 no modo H identificado pela figura 3.2, ou seja, com a coluna de plasma já devidamente aquecida para realizar reações de fusão (flat-top da corrente de plasma), e com o pedestal já formado. Para adequar a nossa simulação a este intuito, formatamos a descarga para o intervalo de t = 300 segundos a t = 350 segundos. Nestas circunstâncias, os resultados obtidos pelo módulo de equilíbrio podem ser encontrados na seção 3.3, e os perfis de densidade de corrente “bootstrap” dados pelo módulo neoclássico na seção 3.4. As conclusões estão presentes na seção 3.5.
3.3 Módulo de equilíbrio
O módulo de solução para o equilíbrio MHD do CRONOS se chama ‘HELENA’, e é um módulo bidimensional que inclui, ou não, elongação e triangularidade, assim como uma separatriz referente à possível presença de um divertor poloidal. Este módulo resolve a equação de Grad-Shafranov para os perfis de equilíbrio pré-definidos no momento anterior ao início da simulação, e utiliza o método numérico de elementos finitos para a convergência dos resultados. O módulo de equilíbrio ‘HELENA’ calcula, por exemplo, a evolução dos perfis de densidade de corrente toroidal, fator de segurança e cisalhamento magnético [3.9].
(a) (b)
(c)
FIGURA 3.4 - Densidade de corrente toroidal (A/m2) (a) t=300 segundos (b) t=350 segundos (c) Mapa de cores para a descarga de 50 segundos.
A figura 3.4 mostra dois perfis radiais da densidade de corrente toroidal para dois tempos diferentes, assim como seu mapa de cores para a descarga. Nota-se nas figuras 3.4(a) e 3.4(b) que o buraco de corrente, localizado em r ≈ 0.1, vai se suavizando conforme o passar do tempo. Este efeito é enfatizado no mapa de cores em (c), onde o buraco de corrente é ressaltado entre r = 0 e r = 0.2, de t = 300 segundos até t ≈ 315 segundos. Ao final da simulação (figura 3.4(b)) notamos que o buraco de corrente não foi extinto, porém foi suavizado, efeito este já esperado, pois o plasma busca meios de se reestabilizar, suavizando o buraco de corrente pré-estabelecido no início da descarga [3.7].
Assim como indicado em [3.12], códigos integrados como o CRONOS merecem atenção redobrada quando se trata de resultado de perfis obtidos para a região do pedestal (r ≈ 0.9 à r ≈ 1.0), pois as aproximações realizadas para a coluna de plasma não são, necessariamente, satisfeitas na borda de um plasma em confinamento modo H. Para que se obtenha um perfil mais realístico do pedestal, se faz necessário incluir um módulo especialmente projetado para esta região [3.12]. Por esta razão, como o foco de nossas análises é a evolução do buraco de corrente localizado próximo ao eixo magnético, vamos desconsiderar os resultados localizados de r ≈ 0.8 à r ≈ 1.0.
(a) (b)
(c)
FIGURA 3.5 - Fator de segurança (a) Perfil radial em t=300 segundos (b) Perfil radial em t=350 segundos (d) Mapa de cores para a descarga de 50 segundos.
A figura 3.5 mostra dois perfis radiais do fator de segurança para dois tempos diferentes, assim como seu mapa de cores para a descarga. Nota-se nas figuras 3.5(a) e 3.5(b) que a presença do buraco de corrente modificou o enrolamento das linhas de campo, resultando em um perfil de fator de segurança não monotônico, com um mínimo localizado no eixo magnético e um máximo entre r ≈ 0 e r ≈ 0.2. O fator de segurança tende a se tornar monotônico com o passar do tempo, e ao final da descarga (figura 3.5(b)) notamos que os máximo e mínimo locais não foram extintos, porém suavizados, devido à suavização do buraco de corrente comentado na figura 3.4.
(c)
FIGURA 3.6 - Cisalhamento magnético (a) Perfil radial em t=300 segundos (b) Perfil radial em t=350 segundos (d) Mapa de cores para a descarga de 50 segundos
A figura 3.6 mostra dois perfis radiais do cisalhamento magnético para dois tempos diferentes, assim como seu mapa de cores para a descarga. A presença de um ponto de inflexão no perfil do fator de segurança (figura 3.5) induz o aparecimento de uma região de cisalhamento negativo [3.2], que pode ser vista nas figuras 3.6(a) e 3.6(b) em torno de r ≈ 0.2. Assim como o fator de segurança, coforme o buraco de corrente se suaviza o cisalhamento magnético se suaviza também.
3.4 Módulo neoclássico: Corrente “bootstrap”
Diferentemente do código de equilíbrio ‘HELENA’, o módulo neoclássico do CRONOS, chamado ‘NCLASS’, se baseia na resolução da equação de difusão de corrente explicitada em [3.9]. Estudos recentes apontam essenciais diferenças entre a densidade de corrente na borda do plasma dada pelo ‘HELENA’, que não leva em conta a difusividade de corrente, e pelo ‘NCLASS’, enfatizando a necessidade de se considerar a teoria neoclássica para cálculos mais precisos [3.12].
(c) (d)
FIGURA 3.7 - Densidade de corrente de “bootstrap” (A/m2) para simulação com buraco de corrente (a) Perfil radial em t=300 segundos (b) Mapa de cores, e também para simulação sem buraco de corrente (c) Perfil radial em t=300 segundos (d) Mapa de cores.
A figura 3.7 mostra perfis radiais e mapas de cores da densidade de corrente de “bootstrap” para simulações com e sem a presença de buraco de corrente. Para a densidade de corrente de “bootstrap” das figuras 3.7(a) e 3.7(b), nota-se um máximo local na região onde modelamos o buraco de corrente, entre r = 0 e r = 0.2, que se mantêm durante os 50 primeiros segundos da descarga, e depois é suavizado, devido à suavização do buraco de corrente, evidenciada na figura 3.4. Nota-se que este mesmo ponto de máximo local não está presente na simulação sem buraco de corrente das figuras 3.7(c) e 3.7(d), indicando que criamos um pico na densidade de corrente de “bootstrap” através da modelagem de um buraco de corrente próximo ao núcleo da coluna de plasma.
3.5 Conclusão
Analisamos através de simulações com o CRONOS para o ITER, como a presença de um buraco de corrente próximo ao eixo magnético, em confinamento modo H, afeta outras propriedades do plasma. Verificamos que o buraco de corrente é transiente, i.e. é suavizado conforme o passar do tempo, concordando com resultados obtidos na literatura [3.7].
A presença do buraco de corrente alterou o perfil do fator de segurança o tornando não-monotônico, e por conta deste efeito uma pequena região de cisalhamento negativo foi criada, o que pode ter efeitos dramáticos sobre as propriedades de transporte e estabilidade da descarga [3.2].
Sabe-se que o aumento na densidade de corrente de “bootstrap” pode induzir o aparecimento de um buraco de corrente [3.2], porém, através de nossa simulação pode-se impor um buraco de
corrente e obter como consequência deste tipo de perfil, um aumento na densidade de corrente de “bootstrap”.
4.
Simulações com o CRONOS para o ITER: Densidade de
corrente toroidal invertida
4.1 Introdução
Em alguns regimes de confinamento avançados com correntes não indutivas, um perfil de densidade de corrente com buraco é desenvolvido onde a densidade de corrente é quase zero ou até mesmo negativa [4.1]. Isso ocorre no JET [4.2, 4.3] e se espera que aconteça no futuro ITER [4.4]. A existência destas configurações de equilíbrio com corrente invertida ainda é objeto de investigações teóricas e experimentais.
Além disso, simulações feitas para experimentos no JET com corrente invertida [4.5] tem mostrado que este buraco de corrente é um efeito transiente que leva a densidade de corrente a valores positivos através de efeitos de reconexão do tipo sawtooth [4.5]. Este aumento da densidade de corrente na região onde existe o buraco é chamado de “current clamp”. Simulações não lineares incluindo a influencia de instabilidades MHD na evolução do perfil de corrente foram feitas em [4.6] para parâmetros típicos de plasmas confinados no JET. Eles mostraram que o “current clamp” pode ser explicado através da influencia de instabilidades kink resistivas.
Por outro lado, recentemente, soluções numéricas [4.7-4.9] e analíticas [4.10-4.11] de equilíbrio MHD em tokamaks com densidade de corrente invertida foram encontradas. Além disso, estudos focados em como a presença do buraco de corrente afeta quantidades relacionadas ao nascimento de partículas alfa de fusão foram feitos com o pacote CRONOS/SPOT [4.12]. Portanto, esta nova configuração com corrente invertida abre um novo regime de confinamento a ser explorado em tokamaks.
Motivados por estes trabalhos teóricos e experimentais citados, nós utilizamos o conjunto de códigos CRONOS [4.13] para estudar a evolução do perfil de densidade de corrente invertido em tokamaks simulando uma descarga utilizando os parâmetros do tokamak ITER.
Nós realizamos uma descarga para um tokamak com os parâmetros do ITER. Ele utiliza uma grade radial igualmente espaçada em coordenadas de fluxo toroidal normalizadas r/m, com
0
/ B
, onde é o fluxo magnético toroidal, B0 é o campo magnético de vácuo num dado raio maior R0 (normalmente retirado do centro da câmara de vácuo) e m é o valor de da ultima superfície fechada de fluxo. A grade radial normalizada não depende do tempo, mas m é dependente do tempo e calculado pelo código de equilíbrio [4.13].
Este trabalho foi focado no cenário de equilíbrio para analisar uma simulação numérica com o CRONOS para os parâmetros do ITER, com perfil de densidade de corrente toroidal invertida, começando com valores negativos no núcleo do plasma. O buraco de corrente invertida está localizado em r ≈ 0.2 (ver figura 4.2(a)). Em poucos segundos (ver figuras 4.2(a-e)) a corrente toroidal nesta região sobe para valores próximos ao zero. Este efeito para em t ≈ 1.09s, (ver figura 4.2(e)).
Então, utilizando os parâmetros do tokamak ITER, a simulação com o CRONOS mostrou que o equilíbrio analisado só se mantem transientemente. Esse efeito, chamado de “current clamp”, é esperado de observações experimentais [4.1, 4.3], porém, para o caso deste trabalho, o que estamos observando é provindo de oscilações numéricas, o que será mostrado nos próximos parágrafos e nas próximas figuras.
(c) (d)
(e)
FIGURA 4.2 – Simulação de uma descarga com o CRONOS para o ITER com densidade de corrente toroidal invertida (em MA/m²), mostrando sua aproximação para zero em r ≈ 0.2 para (a) t=1.01s; (b) t=1.03s; (c) t=1.05s; (d) t=1.07s; (e) t=1.09s.
A figura 4.3(a) mostra a evolução temporal de m para a descarga (dois segundos) e a figura 4.3(b) mostra um zoom na figura 4.3(a). Nós observamos oscilações transitórias durante a descarga começando (t < 1.09s) no mesmo intervalo de tempo que a densidade de corrente toroidal vai de valores negativos para valores próximos de zero.
(a) (b)
FIGURA 4.3 – Simulação de uma descarga com o CRONOS para o ITER, com densidade de corrente toroidal invertida, mostrando a evolução temporal (em segundos) de m, coordenada de fluxo da ultima superfície fechada, em metros, para (a) a descarga complete com dois segundos (b) um zoom no intervalo de tempo 1 < t < 1.2.
A figura 4.4(a) mostra a evolução temporal do volume do plasma para a descarga (dois segundos) e a figura 4.4(b) mostra um zoom na figura 4.4(a). Notamos um comportamento semelhante visto na figura 4.3, ou seja, oscilações durante o começo da descarga, no mesmo intervalo de tempo em que a densidade de corrente toroidal vai de valores negativos para valores próximos a zero. Para t < 1.09s, o volume do plasma esta se contraindo e se expandindo enquanto a densidade de corrente toroidal se aproxima do zero e logo após o volume se estabiliza.
(a) (b)
FIGURA 4.4 – Simulação de uma descarga com o CRONOS para o ITER, com densidade de corrente toroidal invertida, mostrando a evolução temporal (em segundos) do volume do plasma (em m³), para (a) a descarga complete com dois segundos (b) um zoom no intervalo de tempo 1 < t < 1.2.
O conjunto de códigos CRONOS usa a seguinte equação para calcular a voltagem de loop [4.13], ) 1 ( 1 r q t V V r surf loop (4.1)
onde q(r) é o fator de segurança para uma posição radial fixa r 1, na fronteira da coluna de plasma e, 1 , 2 r cte surf t V (4.2)
é a voltagem de superfície na fronteira.
A figura 4.5(a) mostra a evolução temporal da voltagem de loop para a descarga (dois segundos) e a figura 4.5(b) mostra um zoom na figura 4.5(a), para uma melhor visão das oscilações durante o intervalo de tempo em que a densidade de corrente toroidal vai de valores negativos para valores próximos a zero.
A primeira vista, parece que estas oscilações são pistas indiretas da evolução de algum tipo de instabilidade dentro da coluna de plasma, que redistribui a densidade de corrente toroidal durante o “current clamp”, porém, o que estamos observando são oscilações numéricas da ordem de amplitude de 10-4. Após algumas análises e conversas com os desenvolvedores do CRONOS, viemos a entender que a existência de ilhas acarreta a criação de mais eixos magnéticos (um em cada ponto elíptico), e o CRONOS não simula mais que um eixo magnético, o que descarta qualquer tipo de fenômeno MHD neste trabalho.
(a) (b)
FIGURA 4.5 – Simulação de uma descarga com o CRONOS para o ITER, com densidade de corrente toroidal invertida, mostrando a evolução temporal (em segundos) da voltagem de loop (em
Volts) para (a) a descarga complete com dois segundos (b) um zoom no intervalo de tempo 1 < t < 1.2.
A figura 4.6 mostra as superfícies de fluxo para t=2.0 segundos. Para este tempo, as oscilações já desapareceram.
FIGURA 4.6 – Simulação de uma descarga com o CRONOS para o ITER, com densidade de corrente toroidal invertida, mostrando as superfícies de fluxo para t = 2 segundos.
4.3 Conclusões
No JET foram realizadas descargas com correntes não indutivas com um perfil de corrente toroidal que apresenta uma depressão próxima ao núcleo. Observaram-se efeitos transientes da densidade de corrente toroidal invertida, porém, tudo indica que este efeito transiente é provocado por instabilidades do tipo kink [4.2, 4.3]. Todavia, no JT-60U [4.1], outras evidencias de transientes longos de corrente invertida em descargas não indutivas também foram relatados. Aliás, nestas descargas no JT-60U, nenhuma instabilidade poderia estar associada ao “current clamp” da densidade de corrente toroidal [4.1].
Nós utilizamos o conjunto de códigos CRONOS para os parâmetros do tokamak ITER (em construção) a fim de analisar numericamente resultados obtidos para um equilíbrio com densidade de corrente toroidal invertida. Nós observamos oscilações na posição da última superfície de fluxo fechada e na voltagem de loop. Estas oscilações transitórias, a primeira vista, pareciam estar
associadas a alguma instabilidade que fazia com que a densidade de corrente toroidal fosse “pinçada” de valores negativos próximos ao núcleo, para valores próximos à zero, efeito este conhecido como “current clamp”, porém, nossos resultados se trataram de oscilações numéricas com amplitudes muito baixas. Os perfis obtidos pelo CRONOS, após as oscilações decaírem, são compatíveis com os que obteríamos se iniciássemos a simulação com perfis monotônicos de corrente. Portanto, concluímos que o CRONOS não foi construído para suportar simulações com perfis de densidade de corrente toroidal invertida, pois, só suporta a existência de um eixo magnético.
5.
Soluções analíticas para o equilíbrio em tokamak com
densidade de corrente toroidal invertida
Detalhes sobre este capítulo poderão ser encontrados no Anexo A.1 desta tese, que contém a seguinte publicação: Caroline G. L. Martins, M. Roberto, I. L. Caldas e F. L. Braga, Analytical
solutions for tokamak equilibria with reversed toroidal current, Physics of Plasmas 18, 082508
(2011).
5.1 Introdução
Plasmas são confinados em tokamaks através de linhas de campo magnético em superfícies magnéticas toroidais axissimétricas e aninhadas [5.1]. Isso ocorre para ambos tokamaks, com uma densidade de corrente de plasma indutiva com um máximo no centro [5.1], e em tokamaks com uma densidade de corrente não indutiva com um máximo fora do centro, como está presente no JET [5.2, 5.3] e previsto para o futuro ITER [5.4]. Entretanto, alguns regimes de confinamento avançados com correntes não indutivas desenvolvem um “perfil de corrente radial com buraco”, com um buraco central, onde a densidade de corrente é quase zero ou até mesmo negativa [5.5]. A existência de configurações estáveis de equilíbrio com corrente invertida continua sendo um assunto de investigações experimentais [5.5]. Sempre que uma densidade de corrente invertida é criada, as superfícies magnéticas se tornam não aninhadas, com ilhas magnéticas, pois uma componente de campo magnético normal à superfície magnética média é criada [5.5, 5.6]. Como esta nova configuração com buraco de corrente abre um novo regime para ser explorado em tokamaks [5.5], é de grande ajuda conhecer soluções da equação de Grad-Shafranov [5.1], que descreve o equilíbrio magneto-hidrodinâmico (MHD), com superfícies magnéticas não aninhadas.
Na referencia [5.7] uma região de corrente negativa, entre o buraco de corrente e a região de corrente positiva externa, foi encontrada possivelmente para soluções isoladas, que não dependem continuamente da fronteira e do perfil. Entretanto, depois disso, soluções particulares ou numéricas para o equilíbrio MHD com densidade central de corrente negativa foram encontradas. De fato, em [5.8], uma solução numérica para equilíbrio de força-livre com gradiente de pressão de plasma nulo foi encontrado e, em [5.9], uma solução analítica da equação de Grad-Shafranov foi obtida para um
equilíbrio do plasma com uma pressão não uniforme e um perfil de corrente particular. Além disso, um esquema para resolver numericamente a equação de Grad-Shafranov com corrente toroidal negativa no núcleo foi apresentado em [5.10] e aplicado a medidas experimentais feitas em descargas com buraco de corrente [5.11]. Para uma função de fluxo de forma polinomial quadrática, soluções numéricas da equação de Grad-Shafranov foram obtidas em [5.12] para equilíbrio de tokamak com corrente toroidal invertida.
Em nosso trabalho, encontramos soluções analíticas, para a equação de Grad-Shafranov, descrevendo o equilíbrio do plasma em um tokamak de alta razão de aspecto para qualquer tipo de perfil de densidade de corrente toroidal invertida. Para obter estas soluções, em termos de coordenadas polares toroidais não ortogonais [5.13], nós usamos o método de aproximações sucessivas. Estas coordenadas polares toroidais foram introduzidas em trabalhos prévios para evidenciar efeitos de toroidicidade na geometria do campo de equilíbrio [5.13-5.14].
Para o perfil de corrente invertida considerado, nossa solução de ordem zero da função de fluxo magnético poloidal depende somente da coordenada polar toroidal radial e descreve superfícies magnéticas toroidais aninhadas com uma superfície singular onde o gradiente de fluxo é nulo. As superfícies de fluxo num plano poloidal não são círculos concêntricos, ao invés disso são círculos desviados para a região equatorial exterior, como observado em todos os tokamaks (o chamado desvio de Shafranov [5.1]). Por outro lado, para o equilíbrio de corrente invertida considerado, o aparecimento de ilhas magnéticas está relacionado à nossa correção de primeira ordem que depende das coordenadas poloidal e radial, e introduz uma componente de campo magnético normal a superfície magnética de ordem zero com o gradiente de fluxo nulo. Nós apresentamos também uma expressão analítica aproximada para a largura da ilha magnética e mostramos sua dependência com os parâmetros de equilíbrio. Finalmente, nós aplicamos nossos resultados a uma classe de perfis de densidade de corrente e apresentamos exemplos de perfis de equilíbrio do plasma e das previstas ilhas.
Na seção 5.2 nós introduzimos as coordenadas polares toroidais não ortogonais e apresentamos as soluções analíticas da equação de Grad-Shafranov. Na seção 5.3 nós discutimos nossas soluções para uma classe escolhida de densidades de corrente. A seção 5.4 é deixada para as conclusões.
Para descrever as linhas de campo magnético de equilíbrio, nós escolhemos um sistema de coordenadas apropriado à simetria do tokamak. Nós utilizamos neste estudo o sistema de coordenadas polar toroidal não ortogonal (rt,t,t) dado por [5.13],
cos cosh 0 m t R r ; t ; t (5.1)
Em termos das coordenadas toroidais usuais (,,), onde R0m é o raio maior do eixo magnético.
Elas estão relacionadas com as coordenadas locais (r,,) através das seguintes relações
2 ) cos( 1 1/2 2 0 0 m m t R r R r r r (5.2) 2 / 1 2 0 0 2 ) cos( 1 ) sin( ) sin( m m t R r R r (5.3)
No limite de alta razão de aspecto ( 0m)
t R
r , rt e t se tornam r e θ, respectivamente [5.13].
A figura 5.1 mostra algumas superfícies de coordenadas do sistema (rt,t,t). Note que em
const
rt , as curvas tem uma curvatura pronunciada na região interior do toro. Finalmente, a relação do raio maior do eixo magnético R0m com a coordenada R é,
2 2 2 2 0 0 0 . 1 2 t cos t sin m t m m r r R R t R
R
(5.4)FIGURA 5.1 – Algumas superfícies no sistema de coordenadas polares toroidais no plano φ=0.
Os campos magnéticos de equilíbrio em tokamaks podem ser obtidos da teoria de equilíbrio MHD. As linhas de campo magnético de equilíbrio repousam em superfícies de pressão constante, ou superfícies magnéticas. Esta propriedade pode ser descrita por uma função escalar, a quantidade
, tal que B0p 0
, onde B0 é o campo magnético de equilíbrio do plasma e as superfícies
magnéticas são caracterizadas por constant[5.13]. O campo magnético de equilíbrio do tokamak é obtido de uma solução analítica da equação de Grad-Shafranov nestas coordenadas [5.13], então (rt,t). Além do mais, as intersecções das superfícies de fluxo constant
com um plano poloidal não são círculos concêntricos, ao invés disso apresentam um desvio de Shafranov para a região equatorial exterior [5.13].
Para grande razão de aspecto e secções quase circulares, a solução para a equação de Grad-Shafranov pode ser escrita em termos das coordenadas polares toroidais como [5.13, 5.14],
) , ( ) ( ) , (rt t 0 rt 1 rt t (5.5)
onde 0(rt) e 1(rt,t) são as soluções de ordem zero e de primeira ordem do fluxo magnético poloidal, respectivamente.
A solução de ordem zero pode ser obtida da equação [5.13, 5.14],
) ( 1 0 J dr d r dr d rt t t t (5.6)
onde J é a componente toroidal de ordem zero da densidade de corrente de plasma no equilíbrio que é uma função da coordenada rt. Nessa aproximação, J e a pressão de ordem zero P0 são
relacionadas por, ) ( ) ( ) ( 0 0 0 0 2 0 J d dP R p m (5.7)
Então, na aproximação de ordem zero somente a coordenada rt aparece na eq. (5.6) e
) (
0 rt
pode ser facilmente obtido para qualquer perfil de densidade de corrente escolhido. Além disso, eq. (5.6) é idêntica à equação de Grad-Shafranov para um plasma cilíndrico exceto pela definição das coordenadas. A dependência da corrente toroidal de ordem zero em 0(rt) é uma propriedade das coordenadas especiais utilizadas em nosso modelo.
O termo de primeira ordem (nas coordenadas polares toroidais utilizadas) do fluxo magnético poloidal depende de rt e t, e dá a assimetria do campo magnético poloidal no plano
equatorial [5.13]. O método de aproximações sucessivas foi usado em [5.13] para obter a solução de primeira ordem, que pode ser escrita como,
) cos( ) ( ) , ( 0' 0 1 t t f rt t R a r (5.8)
onde a linha denota a derivada em respeito a rt e a é o raio do plasma. É mostrado em [5.13] que
existe uma solução para a eq. (5.8) pra f dependente de rt,
rt t t p t d r r a dr df 0 2 ' 0 2 ' 0 ) ( 1 ) 1 ( 1 (5.9)Consideramos p como sendo a divisão entre a pressão cinética térmica e a pressão
magnética. A integral do lado direito da eq. (5.9) pode ser expressa por,
t rt rt d r d 0 2 '' 0 ' 0 2 ' 0 2 0 2 ' 0 2 ) ( (5.10)Para simplificar a próxima expressão e obter uma solução analítica curta para a função de fluxo poloidal, nós negligenciamos o segundo termo da eq. (5.10) que tem uma ordem de grandeza bem menor que o primeiro termo. Fisicamente, isso significa que a indutância interna por unidade
de comprimento neste caso é li 1. Considerando a condição de contorno (rt 0,t)0, a função fluxo pode ser aproximada por,
2 0 ' 0 0 4 ) 2 1 ( ) cos( ) ( ) , ( t p t t t t r R r r (5.11)
Para resolver a equação de Grad-Shafranov nós damos os perfis de densidade de corrente
J , e da função de corrente poloidal I (que tem valor constante na aproximação de ordem zero). As componentes do campo magnético de equilíbrio, em termos das funções de fluxo e I são,
t t t t m rt r r R B 1 ( , ) 0 (5.12) t t t t m t r r r R B 1 ( , ) 0 (5.13) 1 0 2 0 0 cos( ) 2 1 ) ( 2 t m t m e t R r R I B (5.14)
Nós utilizamos, neste caso, I Ie/2 [5.14] onde Ie é a corrente externa que gera o campo toroidal de equilíbrio.
O fator de segurança q(rt) é definido como uma média em t de modo que
2 0 2 1 ) ( t t t t d B B r q (5.15)que descreve a helicidade das linhas de campo, e diverge em rt rts.
Para o perfil de densidade de corrente invertida considerado neste trabalho, a solução de ordem zero, 0(rt), da função de fluxo magnético poloidal depende somente da coordenada polar toroidal, rt, e descreve superfícies magnéticas toroidais aninhadas com uma superfície onde
0 ) (
0
rt rts . Esta dependência de 0 na coordenada rt significa que a topologia da superfície
de fluxo com 0(rt)constant, num plano poloidal, não são círculos concêntricos, ao invés disso são círculos deslocados para a região equatorial externa, como observado em todo tokamak (o chamado deslocamento de Shafranov [5.1]). Então, a solução 0(rt) já contem algumas das correções usuais de primeira ordem nas coordenadas polares locais.
Por outro lado, o aparecimento de ilhas magnéticas está relacionado à correção de primeira ordem, 1(rt,t), que depende das coordenadas radial e poloidal, e introduz uma componente de campo magnético normal a superfície magnética de ordem zero em rt rts.
Consequentemente, o equilíbrio de grande razão de aspecto considerado, com secções de superfícies circulares quase concêntricas [5.13], tem duas ilhas magnéticas.
5.3 Modelo de densidade de corrente proposto: Resultados e
discussões
Como um exemplo, nós consideramos um perfil de densidade de corrente não monotônico de ordem zero com um buraco central e um pico fora do centro. Este perfil tem dois parâmetros e pode representar bem, ao menos qualitativamente, os tipos de perfis esperados na literatura [5.6].
2 2 2 0 1 1 2 ) 1 )( 2 ( ) ( a r a r a R I r J t t m p t (5.16)
aqui Ip é a corrente de plasma e e são parâmetros livres escolhidos para modelar o perfil de corrente desejado, onde 0 e 0. Como a solução de ordem zero não depende de t, a primeira derivada da função de fluxo pode ser expressa por,
1 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 a r a r r R I dr d t t t m p t (5.17)
onde ' ( 1)/( 2). A expressão explicita correspondente para o fator de segurança é,
2 / 1 2 2 ' 0 0 ' 0 0 2 / 1 2 0 0 ' 0 0 0 ) ) ( ( ) ( 2 ) ( 4 1 ) ( 2 2 2 ) ( t t t t t t t t t e t h r R r h r R r h R r R r h r r R r I r q (5.18) onde, 2 0 2 ) ( ) ( m p e R I a I a q (5.19)
