Lista de Exercícios de Álgebra I
Professor Rodrigo
Turma T02
Equações Diofantinas e Congruência – 7ª Lista
Exercício 1:
Encontre o conjunto de soluções para as equações diofantinas abaixo:
a) 2x + 3y = 7
b) - 4x + 7y = - 6
c) 8x + 12y = 19
d) - 3x – 5 y = 4
Exercício 2:
Resolver a equação diofantina 2x + 3y = 9.
b) Determine quatro soluções particulares.
c) Determine os valores de t para que as soluções sejam positivas.
d) Determine os valores de t para que as soluções sejam negativas.
Exercício 3:
Determinar:
a) Todos os múltiplos de 11 e de 9 cuja soma seja 270.
b) Um número natural que tem restos 9 e 15 quando dividido, respectivamente, por 37 e 52.
c) Encontrar um múltiplo de 19 e um múltiplo de 17 cuja diferença seja 5.
Exercício 4:
Mostre que existem x0 e y0 inteiros, encontrando-os, tais que:
a) mdc(56, 72) = 56x0 + 72y0.
b) mdc(119, 272) = 119x0 + 272y0.
Exercício 5:
Determine:
a) O algarismo das unidades de 3100.
b) O resto da divisão de 3713 por 17.
c) O resto da divisão de 51000 por 18.
d) Os dois últimos algarismos de 31234.
e) O resto da divisão de 250 por 7.
Exercício 6:
Mostre que 283 – 1 é divisível por 167.
Exercício 7:
Verifique se 100 divide (1110 - 1).
Exercício 8:
Prove que 270 + 370 é divisível por 13.
Exercício 9:
Fermat conjecturou que todo número da forma Fn = n 2
2 + 1 é primo, e provou que isto é verda-de para n = 0,1,2,3,4. Porém, a afirmação é falsa para n = 5 já que Euler provou que F5 é divisível
por 641. Mostre isto usando congruências.
Exercício 10:
Mostre que:
a) o quadrado de qualquer inteiro é côngruo a zero ou 1 módulo 4.
b) o quadrado de qualquer inteiro é côngruo a zero, 1 ou 4 (mod 8).
c) A soma de dois quadrados ímpares pode ser quadrado perfeito? Justifique com congruência.
Exercício 11:
Ache que número entre 0 e 3 é congruente módulo 4 a soma 1 + 2 + 22 + ... + 219.
Exercício 12:
Provar que n7 ≡ n (mod 42) para todo inteiro n.
Exercício 13:
Se hoje é sexta-feira, que dia da semana será daqui a 1520 dias?
D S T Q Q S S 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
Exercício 14: (Olimpíada Brasileira de Matemática – 2003)
Seja n = 9867. Se você calculasse n3 − n2, você encontraria um número cujo algarismo das
unidades é:
Fatos que ajudam nos Exercícios:
1) Congruência módulo 10 indica em qual algarismo o número termina. De fato, temos:
17 ≡ 7(mod 10) ; 121 ≡ 1(mod 10) ; 523 ≡ 3(mod 10) ; 102 ≡ 2(mod 10) .
2) A congruência módulo 2 nos dá a paridade do número:
(i) x é par ⇔ x ≡ 0(mod 2) ;
(ii) x é ímpar ⇔x ≡ 1(mod 2) .
3) Analisando um quadrado perfeito módulo 4, temos:
(i) x ≡ 0(mod 4)⇒ x2≡ 02 (mod 4) ⇒ x2≡ 0(mod 4) ;
(ii) x ≡ 1(mod 4) ⇒ x2≡ 12 (mod 4) ⇒ x2≡ 1(mod 4) ;
(iii) x ≡ 2(mod 4) ⇒ x2≡ 22 ≡ 0(mod 4) ⇒ x2≡ 0(mod 4) ;
(iv) x ≡ 3(mod 4) ⇒ x2≡ 32≡ 1(mod 4) ⇒ x2≡ 1(mod 4) .
