Lista 2 -Equações Diferenciais Equações Lineares de Segunda Ordem e Transformada de Laplace

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Lista 2 -Equações Diferenciais

Equações Lineares de Segunda Ordem e Transformada de Laplace

Livro: Equações Diferenciais Elementares, 9ª Edição.

Autores: William Boyce e Richard DiPrima

Equações Lineares de Segunda Ordem

1.- Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

a) 4y′′ −9y=0 b) y′′−9y′+9y=0 c) 6y′′−y′−y=0 2.-Encontre a solução do PVI .

a)

y ′′ + 3 y = 0, y ( ) 0 = − 2, y ( ) 0 = 3

b)

2 y ′′ + y 4 y = 0, y ( ) 0 = 0, y ( ) 0 = 1

c)

4 y ′′ y = 0, y ( ) 2 = 1, y ( ) 2 = − 1

3.-Encontre a solução do problema

2 y ′′ 3 y + y = 0, y ( ) 0 = 2, y ( ) 0 = 1 / 2

. Depois determine o valor máximo da solução e encontre, também, o ponto onde a solução se anula.

4.- Resolva o problema

4 y ′′ − = y 0, y ( ) 0 = 2, y ( ) 0 = β

. Depois encontre

β

de modo que a solução tenda a zero quando t→ ∞.

5.-Encontre o wronskiano do par de funções dadas.

a)

{

etsen

( )

t ,etcos

( )

t

}

b)

{

e2t,te2t

}

c)

{

cos2

( ) θ

, 1 cos 2+

( ) θ }

6.- Verifique que

y t

1

( ) = 1, y t

2

( ) = t

1/2 são soluções da equação diferencial

( )

2 0, 0

yy′′+ y′ = t> , Depois mostre que

y t ( ) = c

1

+ c t

2 1/2 não é, em geral, solução dessa equação. Este fato contradiz o teorema da superposição de soluções?

7.-Se o wronskiano W de f egé 3e4te se

f t ( ) = e

2t, encontre

g t ( )

.

8.-Encontre um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial e o ponto dado.

a) y′′+y′−2y=0, t0 =0 b) y′′+4y′+3y=0, t0 =1

9.-Verifique que as funções y1e y2são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?

a)

y ′′ − 2 y ′ + y = 0, y t

1

( ) = e y t

t

,

2

( ) = te

t

b)

x y

2

′′ − x x ( + 2 ) y ′ + ( x + 2 ) y = 0, x > 0; y x

1

( ) = x y ,

2

( ) x = sen ( ) x

10.- Encontre o wronskiano de duas soluções da equação dada sem resolver a equação.

(2)

a)

( cos t y ) ′′ + ( sen t y ) ty = 0

b) x y2 ′′+xy+

(

x2a2

)

y=0

c)

(

1x2

)

y′′2xy+

α α (

+1

)

y=0

11.- Se y1e y2formam um conjunto fundamental de soluções de

t y

2

′′ 2 y + ( 3 + t y ) = 0

e

se

W y y (

1

,

2

)( ) 2 = 3

, encontre o valor de

W y y (

1

,

2

)( ) 4

. 12.- Encontre a solução do PVI .

a)

y ′′ + y = 0, y ( π / 3 ) = 2, y ( π / 3 ) = − 4

b)

y ′′ + y + 1.25 y = 0, y ( ) 0 = 3, y ( ) 0 = 1

c)

y ′′ + 2 y + 2 y = 0, y ( π / 4 ) = 2, y ( π / 4 ) = − 2

13.- Se r=

α

+i

β

, mostre que d r t r t e re dt = 14.- Uma equação da forma

2 2

2 0, 0...( )

d y dy

t t y t i

dt +

α

dt +

β

= > , onde

α

e

β

são constantes é chamada de equação de Euler.

a) Seja

x = ln ( ) t

e calcule

2

, 2

dy d y

dt dt em termos de

2

, 2

dy d y dx dx .

b) Use os resultados do item a) para transformar a equação (i) em

( )

2

2 1 0, ...( )

d y dy

y ii

dx +

α

dx+

β

= , o qual é uma equação diferencial com coeficientes constantes. Se y1e y2formam um conjunto fundamental de soluções da equação (ii), então

( ( ) ) ( ( ) )

1

ln ,

2

ln

y t y t

formam um conjunto fundamental de soluções da equação (i). Use o método descrito acima para resolver as seguintes equações

a) t y2 ′′−4ty′+6y=0 b) t y2 ′′−4ty′−6y=0 c) t y2 ′′+7ty′+10y=0 15.- Resolva o PVI.

a)

y ′′ 6 y + 9 y = 0, y ( ) 0 = 0, y ( ) 0 = 2

b)

9 y ′′ + 6 y + 82 y = 0, y ( ) 0 = − 1, y ( ) 0 = 2

c)

y ′′ + 4 y + 4 y = 0, y ( ) 1 = 2, y ( ) 1 = 1

16.- Resolva a equação diferencial dada

a)

2 y ′′ + 3 y + y = t

2

+ 3 sen t ( )

b) y′′+2y+y=2et c)

y ′′ + = y 3sen 2 ( ) t + t cos 2 ( ) t

d)

( ) ( ) ( )

4 2 ,

2

t t

e e y y y senh t senh t

′′+ ′+ = =

17.- Resolva o PVI

a)

y ′′ + y 2 y = 2 , t y ( ) 0 = 0, y ( ) 0 = 1

(3)

b)

y ′′ + 4 y = t

2

+ 3 , e

t

y ( ) 0 = 0, y ( ) 0 = 2

c)

y ′′ + 4 y = 3 sen ( ) 2 , t y ( ) 0 = 2, y ( ) 0 = − 1

d)

y ′′ + 2 y + 5 y = 4 e

t

cos 2 , ( ) t y ( ) 0 = 1, y ( ) 0 = 0

18.- Use o método de variação de parâmetro para encontrar uma solução particular da equação dada

a) y′′−y′−2y=2et b) y′′+2y′+y=3et c) 4y′′−4y′+y=16et/2 19.- Encontre a solução geral da equação diferencial dada

a) y′′+4y′+4y=t e2 2t,t>0 b)

y ′′ + 4 y = 3csc 2 , 0 ( ) t < < t π / 2

c) y′′2y+y=et/ 1

(

+t2

)

d)

y ′′ 5 y + 6 y = g t ( )

Transformada de Laplace

SUBCAPÍTULO EXERCÍCIOS

6.1 1,2,3,7,10

6.2 3,5,6,9,12,15,16,20

6.3 3,4,8,9,12,21,22,24

6.4 1,2,3,6

6.5 1,3,4,7

6.6 4,5,6,8,10

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Referências

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