Lista 2 -Equações Diferenciais Equações Lineares de Segunda Ordem e Transformada de Laplace

Lista 2 -Equações Diferenciais

Equações Lineares de Segunda Ordem e Transformada de Laplace

Livro: Equações Diferenciais Elementares, 9ª Edição.

Autores: William Boyce e Richard DiPrima

Equações Lineares de Segunda Ordem

1.- Encontre a solução geral da equação diferencial dada.

a) 4y′′ −9y=0 b) y′′−9y′+9y=0 c) 6y′′−y′−y=0 2.-Encontre a solução do PVI .

a)

^{y ′′ + 3 y = 0, y} ( ) ^{0 = − 2, y ′} ( ) ^{0 = 3}

^b)

^{2 y ′′ + y ′ − 4 y = 0, y} ( ) ^{0 = 0, y ′} ( ) ^{0 = 1}

c)

^{4 y ′′ − y = 0, y} ( ) ^{− 2 = 1, y ′} ( ) ^{− 2 = − 1}

3.-Encontre a solução do problema

^{2 y ′′ − 3 y ′ + y = 0, y} ( ) ^{0 = 2, y ′} ( ) ^{0 = 1 / 2}

. Depois determine o valor máximo da solução e encontre, também, o ponto onde a solução se anula.

4.- Resolva o problema

^{4 y ′′ − = y 0, y} ( ) ^{0 = 2, y ′} ( ) ^{0 = β}

. Depois encontre

β

de modo que a solução tenda a zero quando t→ ∞.

5.-Encontre o wronskiano do par de funções dadas.

a)

{

^etsen

( )

^{t ,etcos}

( )

^t

}

b)

{

^{e−2t,te−2t}

}

c)

{

^cos2

( ) ^θ

^{, 1 cos 2+}

( ) ^θ }

6.- Verifique que

y t

1

( ) = 1, y t

2

( ) = t

^1/2 são soluções da equação diferencial

( )

^{2 0, 0}

yy′′+ y′ = t> , Depois mostre que

y t ( ) = c

1

+ c t

2 ^1/2 não é, em geral, solução dessa equação. Este fato contradiz o teorema da superposição de soluções?

7.-Se o wronskiano W de f egé 3e^4te se

^{f t} ( ) ^{= e}

^2t, encontre

^{g t} ( )

^.

8.-Encontre um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial e o ponto dado.

a) y′′+y′−2y=0, t₀ =0 b) y′′+4y′+3y=0, t₀ =1

9.-Verifique que as funções y₁e y₂são soluções da equação diferencial dada. Elas constituem um conjunto fundamental de soluções?

a)

y ′′ − 2 y ′ + y = 0, y t

1

( ) = e y t

^t

,

2

( ) = te

^t

b)

x y

²

′′ − x x ( + 2 ) y ′ + ( x + 2 ) y = 0, x > 0; y x

1

( ) = x y ,

2

( ) x = sen ( ) x

10.- Encontre o wronskiano de duas soluções da equação dada sem resolver a equação.

a)

( ^{cos t y} ) ^{′′ +} ( ^{sen t y} ) ^{′ − ty = 0}

b) ^{x y2 ′′+xy′+}

(

^x2−a2

)

^y=0

c)

(

^1−x2

)

^{y′′−2xy′+}

^{α α} (

⁺¹

)

^y=0

11.- Se y₁e y₂formam um conjunto fundamental de soluções de

^{t y}

²

^{′′ − 2 y ′ +} ( ^{3 + t y} ) ^{= 0}

^e

se

W y y (

1

,

2

)( ) 2 = 3

, encontre o valor de

W y y (

1

,

2

)( ) 4

. 12.- Encontre a solução do PVI .

a)

^{y ′′ + y = 0, y} ( ^{π / 3} ) ^{= 2, y ′} ( ^{π / 3} ) ^{= − 4}

^b)

^{y ′′ + y ′ + 1.25 y = 0, y} ( ) ^{0 = 3, y ′} ( ) ^{0 = 1}

c)

^{y ′′ + 2 y ′ + 2 y = 0, y} ( ^{π / 4} ) ^{= 2, y ′} ( ^{π / 4} ) ^{= − 2}

13.- Se r=

α

+i

β

, mostre que d ^{r t r t} e re dt = 14.- Uma equação da forma

2 2

2 0, 0...( )

d y dy

t t y t i

dt +

α

dt +

β

= > , onde

α

e

β

são constantes é chamada de equação de Euler.

a) Seja

^{x = ln} ( ) ^t

e calcule

2

, 2

dy d y

dt dt em termos de

2

, 2

dy d y dx dx ^.

b) Use os resultados do item a) para transformar a equação (i) em

( )

2

2 1 0, ...( )

d y dy

y ii

dx +

α

− dx+

β

= , o qual é uma equação diferencial com coeficientes constantes. Se y₁e y₂formam um conjunto fundamental de soluções da equação (ii), então

( ( ) ) ( ( ) )

1

ln ,

2

ln

y t y t

formam um conjunto fundamental de soluções da equação (i). Use o método descrito acima para resolver as seguintes equações

a) t y² ′′−4ty′+6y=0 b) t y² ′′−4ty′−6y=0 c) t y² ′′+7ty′+10y=0 15.- Resolva o PVI.

a)

^{y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0, y} ( ) ^{0 = 0, y ′} ( ) ^{0 = 2}

^b)

^{9 y ′′ + 6 y ′ + 82 y = 0, y} ( ) ^{0 = − 1, y ′} ( ) ^{0 = 2}

c)

^{y ′′ + 4 y ′ + 4 y = 0, y} ( ) ^{− 1 = 2, y ′} ( ) ^{− 1 = 1}

16.- Resolva a equação diferencial dada

a)

^{2 y ′′ + 3 y ′ + y = t}

²

^{+ 3 sen t} ( )

^{b) y′′+2y′+y=2e−t c)}

^{y ′′ + = y 3sen 2} ( ) ^{t + t cos 2} ( ) ^t

d)

( ) ( ) ( )

4 2 ,

2

t t

e e y y y senh t senh t

− −

′′+ ′+ = =

17.- Resolva o PVI

a)

^{y ′′ + y ′ − 2 y = 2 , t y} ( ) ^{0 = 0, y ′} ( ) ^{0 = 1}

b)

^{y ′′ + 4 y ′ = t}

²

^{+ 3 , e}

^t

^y ( ) ^{0 = 0, y ′} ( ) ^{0 = 2}

c)

^{y ′′ + 4 y ′ = 3 sen} ( ) ^{2 , t y} ( ) ^{0 = 2, y ′} ( ) ^{0 = − 1}

d)

^{y ′′ + 2 y ′ + 5 y = 4 e}

^−t

^{cos 2 ,} ( ) ^{t y} ( ) ^{0 = 1, y ′} ( ) ^{0 = 0}

18.- Use o método de variação de parâmetro para encontrar uma solução particular da equação dada

a) y′′−y′−2y=2e^−t b) y′′+2y′+y=3e^−t c) 4y′′−4y′+y=16e^t/2 19.- Encontre a solução geral da equação diferencial dada

a) y′′+4y′+4y=t e^{−2 −2t},t>0 b)

^{y ′′ + 4 y = 3csc 2 , 0} ( ) ^{t < < t π / 2}

c) ^{y′′−2y′+y=et/ 1}

(

^+t2

)

d)

^{y ′′ − 5 y ′ + 6 y = g t} ( )

Transformada de Laplace

SUBCAPÍTULO EXERCÍCIOS

6.1 1,2,3,7,10

6.2 3,5,6,9,12,15,16,20

6.3 3,4,8,9,12,21,22,24

6.4 1,2,3,6

6.5 1,3,4,7

6.6 4,5,6,8,10