DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FSC 5107 – FÍSICA GERAL IA– Semestre 2014.2 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 – VETORES
1) Quais são as propriedades de dois vetores a
e b
, tais que (a) a b c
e a b c (b)
ab c e a b c (c) a b a b
(d) a b c
e a2b2c2
2) Um deslocamento possui módulo s1 = 30 cm. Outro deslocamento possui módulo s2 = 40 cm. (a) Calcule o módulo do deslocamento resultante supondo que os deslocamentos componentes sejam perpendiculares entre si. (b) Se o módulo de s for igual a 70 cm, qual será a orientação relativa dos deslocamentos? (c) E se o módulo do deslocamento resultante for igual a 10 cm? (d) Calcule a orientação relativa dos dois deslocamentos, s1 e s2, se o módulo do deslocamento resultante for igual a 20 cm. (e) Calcule a orientação relativa dos dois deslocamentos, s1 e s2, se o módulo do deslocamento resultante for igual a 65 cm.
3) Um carro percorre uma distância de 30,0 km no sentido Oeste-Leste; a seguir percorre 10,0 km no sentido Sul-Norte e finalmente percorre 5,00 km numa direção que forma um ângulo de 30,0° com o Norte e 60,0° com o Leste. Usando o método geométrico (ou gráfico) e o método analítico, calcule: (a) O módulo do deslocamento resultante. (b) O ângulo entre o vetor deslocamento resultante e o sentido Oeste-Leste.
4) Um vetor a
tem módulo de 10,0 unidades e sentido de Oeste para Leste. Um vetor b
tem módulo de 20,0 unidades e sentido de Sul para Norte. Determine o módulo dos seguintes vetores: (a) ab,
(b)
ab.
5) Um jogador de golfe dá três tacadas para colocar a bola num buraco. A primeira tacada desloca a bola 6,0 m para o Norte, a segunda desloca a bola 2,0 m para o Leste e a terceira desloca a bola 2,0 m para o Nordeste. Determine o módulo, a direção e o sentido do deslocamento equivalente que poderia ser obtido com uma única tacada.
6) (a) Determine os componentes escalares dos vetores A BeC , indicados na figura ao lado. (b) Escreva os vetores A BeC
,
utilizando os vetores unitários. (c) Calcule o módulo, direção e sentido do vetor S A B C.
7) Dois vetores são dados por: a3iˆ2ˆjkˆ
e b3iˆ ˆj2kˆ
. Determine: (a) a b
, (b) a b
, (c) a b
.
8) Dois vetores de módulos a e b fazem um ângulo entre si. Prove, considerando os componentes escalares ao longo de dois eixos perpendiculares, que o módulo da resultante dos dois vetores é:
) cos 2
(a2 b2 ab
r
9) Dados dois vetores a2iˆ ˆj
e biˆ ˆj
, determine o módulo, direção e sentido dos vetores : (a) a , (b) b
, (c)(a b)
, (d)(a b)
e (e)(b a)
.
10) Os vetores a
e b
estão orientados conforme indica a figura. A resultante da soma destes vetores vale R
.Temos:
a = b = 5,0 unidades. Determinar:
(a) Os componentes de R
segundo Ox e segundo Oy, (b) O módulo de R
, (c) O ângulo que R
forma com o eixo Ox.
11) Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos sobre um plano: 2,0 m de Norte para Sul, 4,0 m de Oeste para Leste e 12,0 m numa direção que forma um ângulo de 60,0° com o Leste e de 30,0° com o Norte. Escolha o eixo Ox apontando no sentido Oeste-Leste e o eixo Oy no sentido Sul-Norte. Faça a origem O coincidir com a origem dos deslocamentos. Determine: (a) os componentes escalares de cada deslocamento, (b) os componentes escalares do deslocamento R
resultante, (c) o módulo, a direção e o sentido do deslocamento resultante.
12) Uma velejadora encontra ventos que impelem seu pequeno barco a vela. Ela veleja 2,00 km de oeste para leste, a seguir 3,50 km para sudeste e depois uma certa distância em direção desconhecida. No final do trajeto ela se encontra a 5,80 km diretamente a leste de seu ponto de partida. Determine o módulo, a direção e o sentido do terceiro deslocamento. Faça um diagrama em escala da soma vetorial dos deslocamentos e mostre que ele concorda aproximadamente com o resultado mediante a solução numérica.
13) Uma estação de radar observa um avião aproximando-se vindo do leste. Na primeira observação, a posição do avião é de 360 m a
uma altura de 40,0° acima do horizonte.
O avião é rastreado por 123° no plano leste-oeste e a distância final é
de 791 m. Determine o módulo do deslocamento do avião
durante o período de observação.
14) Você deseja programar o movimento do braço de um robô em uma linha de montagem. Seu primeiro deslocamento é A
; seu segundo deslocamento é B
, cujo módulo é igual a 6,40 cm, orientado formando um ângulo de 63,0o, medido considerando-se uma rotação do eixo +Ox para o eixo –Oy. A resultante
B A C
dos dois deslocamentos deve também possuir módulo igual a 6,40 cm , porém formando um ângulo de 22,0o, medido considerando-se uma rotação do eixo +Ox para o eixo +Oy. (a) Desenhe um diagrama em escala aproximada para estes vetores. (b) Calcule os componentes escalares de A
. (c) calcule o módulo direção e sentido de A
.
v
791m m
123 40 360m L O
a
b 105
30
y
O x
15) Os três vetores mostrados têm módulos a = 3, b = 4 e c =10.
(a) Calcule os componentes escalares destes vetores.
(b) Ache os números p e q tais que c pa qb
.
16) Dois vetores são dados por :
𝑎 = 4,0 𝑚 𝑖 − 3,0 𝑚 𝑗 + 1,0 𝑚 𝑘 e 𝑏 = −1,0 𝑚 𝑖 + 1,0 𝑚 𝑗 + 4,0 𝑚 𝑘 .
Usando a notação de vetor unitário, calcule: (a) 𝑎 + 𝑏 , (b) 𝑎 − 𝑏 e (c) um terceiro vetor 𝑐 tal que 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = 0
17) Um vetor v
possui módulo igual a 4 m e está situado a 45° com a direção Oeste-Leste no sentido anti-horário. Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: (a) v
/ 2, (b) 2v.
18) Dois vetores são dados por a3iˆ2jˆkˆ
e b3iˆ jˆ2kˆ
. Determine o vetor a b
2 3 .
19) Prove que dois vetores devem ter módulos iguais para que a sua soma seja perpendicular à sua diferença.
20) A resultante de uma soma vetorial de dois vetores possui módulo igual a 4,0 m. O módulo de um dos vetores componentes é igual a 2,0 m e o ângulo entre os dois vetores componentes é igual a 60°. Calcule o módulo do outro vetor componente.
21) Mostre que, para qualquer vetor, a
, temos que a a a
. 2 e que a x a
0.
22) Um vetor a
de módulo igual a 10 unidades e outro vetor b
de módulo igual a 6 unidades apontam para direções que fazem um ângulo de 60° entre si. (a) Determine o produto escalar entre os dois vetores e (b) o produto vetorial entre eles.
23) (a) Determine os componentes e o módulo de rabc se a5iˆ4ˆj6kˆ
, b2iˆ2jˆ3kˆ e c4iˆ3jˆ2kˆ
. (b) Calcule o ângulo entre r
e o eixo z positivo.
24) Mostre que a área do triângulo compreendido entre os vetores a
e b
da figura, é igual a (1/2) |a x b
| onde as
barras verticais indicam o módulo.
25) Determine o valor de m para que o vetores c3iˆ5jˆ9kˆ e k
j m i
a7ˆ ˆ4ˆ
sejam perpendiculares entre si.
26) Três vetores, a b e c, somam zero, como no triângulo retângulo da figura ao lado. Sabendo-se que os módulos dos três vetores são, respectivamente, 4, 3 e 5, calcule:
(a) a b
; (b) a c
; (c) b c
; (d ) a b
; (e) a c
; (f) b c
.
a
a c
b b
bsen
x
a
a
b c
c
30°
27) O vetor a
está no plano yz a 63,0° do eixo +Oy, com uma componente z positiva e tem módulo 3,20 unidades. O vetor b
está no plano xz a 48,0° do eixo +Ox, com uma componente z positiva e tem módulo de 1,40 unidade. Ache (a) a
. b
, (b) a xb
e (c) o ângulo entre a e b
. 28) Dados os vetores 𝐴 e 𝐵 , de módulos iguais a
3,0 unidades e 5,0 unidades respectivamente, calcule: (a) os componentes escalares destes vetores, (b) o produto escalar 𝐴 . 𝐵 e (c) o produto vetorial 𝐴 × 𝐵 . Os vetores 𝐴 e 𝐵 são perpendiculares ao raio do círculo nos pontos A e B.
29) (a) Mostre que a ∙ (b × a ) é nulo quaisquer que sejam os vetores 𝑎 e 𝑏 . (b) Qual o módulo de a × (b × a ) se φ é o ângulo entre as direções dos vetores 𝑎 e 𝑏 ?
30) No produto F = 𝑞(v × B ), faça q=2,
𝑣 = 2,0 𝑖 + 4,0 𝑗 + 6,0 𝑘 e 𝐹 = 4,0 𝑖 − 20 𝑗 + 12 𝑘 . Qual a expressão de 𝐵 na notação de vetor unitário se Bx=By ?
RESPOSTAS - VETORES
1) (a) a
e b
devem ser colineares e de mesmo sentido.
(b) a
e b
devem ser colineares, de sentidos opostos e a>b.
(c) b = 0 (d) a
e b
devem ser perpendiculares entre si.
2) (a) 50 cm
(b) os dois deslocamentos seriam paralelos e de mesmo sentido.
(c) os dois deslocamentos seriam paralelos e de sentidos contrários.
(d) 151°
(e) 44°
3) (a) 35,5 km (b) 23,8°
4) (a) 22,4 unidades (b) 22,4 unidades
5) módulo: 8,2 m; direção: formando um ângulo de 65° com o Leste e 25° com o Norte.
6) (a) Ax = 7,2 m; Ay = 9,6 m; Bx = 11,5 m, By = -9,6 m; Cx = -3,0 m, Cy = -5,2 m (b) A7, 2iˆ9,6 ( );ˆj m Bˆ 11,5iˆ9,6 ( );ˆj m C 3,0iˆ5, 2 ( )ˆj m
(c ) módulo=16,5 m; faz um ângulo de 342° com o eixo x positivo, medido no sentido anti-horário.
A
B
60°
60
° 53°
y
x
𝐵 𝐴
7) (a) 6iˆ3ˆj3k (b) jˆk (c) jˆkˆ
9) (a) a
5 ; 27° com eixo OX positivo, medido no sentido horário.
(b) b
2 ; 45° com o eixo OX positivo, medido no sentido horário.
(c) ab
1; paralelo ao eixo OX positivo.
(d) ab
13 ; 34° com o eixo OX positivo, medido no sentido horário.
(e) b a
= 1; 180° com o eixo OX positivo, medido no sentido anti-horário.
10) (a) Rx = 0,79 unidades; Ry = 6,0 unidades.
(b) R = 6,1 unidades.
(c) 82° no sentido antihorário.
11) (a) ax = 0; ay = -2,0 m ; bx = 4,0 m; by = 0 ; cx = 6,0 m; cy = 10,4 m.
(b) Rx = 10 m; Ry = 8,4 m.
(c) R = 13,1 m; direção: 40,0° com o eixo OX positivo, medido no sentido anti-horário.
12) 2,81 km; 61,8o do leste para o norte.
13) 1032 m.
14) (b) Ax = 3,03 cm; Ay = 8,10 cm.
(c) 8,65 cm; 69,5o medido no sentido do eixo +Ox para o eixo +Oy (medido no sentido anti-horário a partir do eixo +Ox).
15) (a) ax= 3, ay= 0; bx=2 3 , by= 2; cx = -5, cy = 5 3. (b) p =
3
20, q= 2
3 5 .
16) (a) 3,0 𝑚 𝑖 − 2,0 𝑚 𝑗 + 5,0 𝑚 𝑘 ; (b) 5,0 𝑚 𝑖 − 4,0 𝑚 𝑗 − 3,0 𝑚 𝑘 (c) 𝑎 = −5,0 𝑚 𝑖 + 4,0 𝑚 𝑗 + 3,0 𝑚 𝑘
17) (a) 2 m, 45° com a direção Oeste-Leste medido no sentido anti-horário.
(b) 8 m, 225° com a direção Oeste-Leste medido no sentido anti-horário.
18) 3iˆ4ˆjkˆ 20) 2,6 m
22) (a) 30 unidades2
(b) 52 unidades2; direção: perpendicular ao plano formado pelos dois vetores. Sentido: regra de mão direita.
23) (a) r 11i5ˆj7kˆ
; r = 14 (b) 120°
25) m= 3
26) (a) 0 (b) -16 (c) -9 (d)12 (e) kˆ 12kˆ (f) 12 kˆ
27) (a) 2,97 unidades2 (b) (1,51iˆ2,68ˆj1,36kˆ)unidades2 (c) 48,5°
28) (a) Ax= 2,6 unidades, Ay= -1,5 unidades, Bx= -3,0 unidades, By= 4,0 unidades (b) -13,8 unidades2; (c) (5,9 unidades)2 𝑘
29) (b) a2bsen φ
30) 𝐵 = −3,0𝑖 − 3,0𝑗 − 4,0𝑘 .
Problemas compilados dos livros:
-"Fundamentos da Física - 1"; David Halliday , Robert Resnick e Jearl Walker; Livros Técnicos e Científicos Editora.
-“Física-Vol.1"; David Halliday, Robert Resnick e K.S. Krane; 4a Edição; Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
- “Física-Mecânica”, vol. 1, Paul Tipler, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
