6ª LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Podemos representar qualquer transformação linear T: V W através de

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS

FACULDADE DE QUÍMICA

CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM QUÍMICA INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

2019.2

6ª LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1. (cap. 22) Seja 𝑇: ℝ²⟶ ℝ³ a transformação linear dada por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 2𝑥, 𝑥 − 3𝑦). Determine a matriz associada a 𝑇, relativamente às bases 𝐴 = {(2, 1), (−1, 0)} e 𝐵 = {(1, 2, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 3)}.

Podemos representar qualquer transformação linear 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 através de uma transformação matricial. Para isso devemos obter a matriz associada a 𝑇, que representamos assim: [𝑇]_𝐴,𝐵, onde 𝐴 e 𝐵 são bases de 𝑉 e 𝑊, respectivamente.

A matriz [𝑇]_𝐴,𝐵 será do tipo 𝑚 × 𝑛, onde 𝑛 = dim 𝑉 e 𝑚 = dim 𝑊.

Vamos supor que 𝐴 = {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃}. Então [𝑇]_𝐴,𝐵 será:

[𝑇]_𝐴,𝐵 = [

↑ ↑ ↑

[𝑇(𝑣₁)]_𝐵 [𝑇(𝑣₂)]_𝐵 [𝑇(𝑣₃)]_𝐵

↓ ↓ ↓

]

Ou seja, cada coluna de [𝑇]_𝐴,𝐵 será formada pelas coordenadas dos vetores 𝑇(𝑣₁), 𝑇(𝑣₂) e 𝑇(𝑣₃), referentes à base 𝐵.

Solução:

Já podemos ver que a matriz [𝑇]_𝐴,𝐵 será do tipo 3 × 2, pois dim ℝ³ = 3 e dim ℝ²= 2.

Passo 1: aplicamos 𝑇 aos vetores da base 𝐴.

𝑇(2, 1) = (3, 4, −1) 𝑇(−1, 0) = (−1, −2, −1)

Passo 2: Encontramos as coordenas de (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ³ em relação à base 𝐵.

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(1, 2, 1) + 𝑏(0, 1, 1) + 𝑐(0, 0, 3)

= (𝑎, 2𝑎 + 𝑏, 𝑎 + 𝑏 + 3𝑐) Formamos o sistema

{

𝑎 = 𝑥 2𝑎 + 𝑏 = 𝑦 𝑎 + 𝑏 + 3𝑐 = 𝑧

Resolvendo por escalonamento teremos 𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 𝑦 − 2𝑥 e 𝑐 =^{𝑥−𝑦+𝑧}

3 . Assim,

[(𝑥, 𝑦, 𝑧)]_𝐵= [

𝑥 𝑦 − 2𝑥 𝑥 − 𝑦 + 𝑧

3 ]

Passo 3: Usamos o (passo 2) para obtermos as coordenadas dos vetores do (passo 1).

[(3, 4, −1)]_𝐵 = [

3

−2

−2 3]

[(−1, −2, −1)]_𝐵 = [

−1 0 0

]

Passo 4: Escrever a matriz [𝑇]_𝐴,𝐵:

[𝑇]_𝐴,𝐵 = [

3 −1

−2 0

−²

3 0

]

2. (cap. 22) Determine a matriz [𝑇]_𝐴,𝐵, sendo 𝑇: ℝ³⟶ ℝ² a transformação linear definida por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 − 𝑧, 𝑥 + 2𝑦) e dadas as bases 𝐴 = {(1, 0, 0), (2, −1, 0), (0, 1, 1)} e 𝐵 = {(−1, 1), (0, 1)}.

Solução: (Exercício)

3. (cap. 22) Sejam 𝐴 = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 2)} e 𝐵 = {(1, 1), (2, 0)}

bases de ℝ³ e ℝ², respectivamente, e 𝑇: ℝ³ ⟶ ℝ² uma transformação linear com matriz associada [𝑇]_𝐴,𝐵= [1 1 2

0 3 0]. Determine a transformação 𝑇.

Observe que agora devemos fazer o percurso inverso: determinar a transformação a partir da sua matriz associada.

Solução:

Como [𝑇]_𝐴,𝐵 = [1 1 2

0 3 0], temos

𝑇(1, 1, 0) = 1(1, 1) + 0(2, 0) = (1, 1) 𝑇(0, 1, 0) = 1(1, 1) + 3(2, 0) = (7, 1) 𝑇(0, 0, 2) = 2(1, 1) + 0(2, 0) = (2, 2)

Com isso, obtemos a aplicação de 𝑇 nos vetores da base 𝐴. Isso é o suficiente para encontrarmos 𝑇, conforme já vimos na lista de exercícios anterior.

Primeiro, escrevemos (𝑥, 𝑦, 𝑧) como combinação linear, com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ:

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(1, 1, 0) + 𝑏(0, 1, 0) + 𝑐(0, 0, 2)

= (𝑎, 𝑎 + 𝑏, 2𝑐) Donde tiramos o sistema

{

𝑎 = 𝑥 𝑎 + 𝑏 = 𝑦

2𝑐 = 𝑧 Cuja solução é 𝑎 = 𝑥, 𝑏 = 𝑦 − 𝑥 e 𝑐 =^𝑧

2. Então reescrevemos (𝑥, 𝑦, 𝑧) substituindo 𝑎, 𝑏, 𝑐:

(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(1, 1, 0) + (𝑦 − 𝑥)(0, 1, 0) +𝑧

2(0, 0, 2) Agora aplicamos 𝑇 em (𝑥, 𝑦, 𝑧):

𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑇 (𝑥(1, 1, 0) + (𝑦 − 𝑥)(0, 1, 0) +𝑧

2(0, 0, 2))

= 𝑥𝑇(1, 1, 0) + (𝑦 − 𝑥)𝑇(0, 1, 0) +𝑧

2𝑇(0, 0, 2)

= 𝑥(1, 1) + (𝑦 − 𝑥)(7, 1) +𝑧 2(2, 2)

= (−6𝑥 + 7𝑦 + 𝑧, 𝑦 + 𝑧)

Portanto, 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (−6𝑥 + 7𝑦 + 𝑧, 𝑦 + 𝑧).

4. (cap. 22) Determine o operador linear 𝑇, definido em ℝ², sabendo que sua matriz em relação à base 𝐴 = {(1, 1), (1, 2)} é [1 0

1 2].

Solução: (Exercício)

5. (cap. 23) Sejam 𝑇, 𝑆: ℝ³⟶ ℝ² as transformações lineares dadas por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦 + 𝑧) e 𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦). Encontre:

(a) 𝑇 + 𝑆 (b) 3𝑇 (c) 2𝑇 − 5𝑆

Solução:

(a)

(𝑇 + 𝑆)(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧)

= (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦 + 𝑧) + (𝑥, 𝑦)

= (2𝑥 + 𝑦, 𝑥 + 𝑧) (b)

(3𝑇)(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧)

= 3(𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦 + 𝑧)

= (3𝑥 + 3𝑦, 3𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧) (c) (Exercício)

6. (cap. 23) Considere as transformações lineares 𝑇 e 𝑆 do exercício anterior.

As matrizes canônicas de 𝑇 e 𝑆 são:

[𝑇] = [1 1 0

1 −1 1] e [𝑆] = [1 0 0 0 1 0]

Encontre as matrizes canônicas associadas às transformações abaixo:

(a) 𝑇 + 𝑆 (b) 3𝑇 (c) 2𝑇 − 5𝑆

Solução:

(a)

[𝑇 + 𝑆] = [𝑇] + [𝑆]

= [1 1 0

1 −1 1] + [1 0 0 0 1 0]

= [2 1 0 1 0 1]

(b)

[3𝑇] = 3[𝑇]

= 3 [1 1 0 1 −1 1]

= [3 3 0 3 −3 3] (c) (Exercício)

7. (cap. 23) Sejam 𝑇: ℝ² ⟶ ℝ³ e 𝑆: ℝ³⟶ ℝ⁴ tais que 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦, 3𝑥, 𝑥 − 2𝑦) e S(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦, 0, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧).

Encontre a transformação composta 𝑆 ∘ 𝑇.

Solução:

Note que 𝑆 ∘ 𝑇: ℝ² ⟶ ℝ⁴. Assim, 𝑆 ∘ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑆(𝑇(𝑥, 𝑦))

= 𝑆(𝑥 + 𝑦, 3𝑥, 𝑥 − 2𝑦)

= (𝑥 + 𝑦 + 3𝑥, 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥, 0, 5𝑥 − 𝑦) Portanto, a transformação procurada é

𝑆 ∘ 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦 + 3𝑥, 𝑥 + 𝑦 − 3𝑥, 0, 5𝑥 − 𝑦)

8. (cap. 23) Considere as transformações lineares 𝑇 e 𝑆 do exercício anterior.

As matrizes canônicas de 𝑇 e 𝑆 são:

[𝑇] = [

1 1

3 0

1 −2

] e [𝑆] = [

1 1 0

1 −1 0

0 0 0

1 1 1

]

Encontre a matriz canônica associada à transformação 𝑆 ∘ 𝑇.

Solução:

[𝑆 ∘ 𝑇] = [𝑆][𝑇]

= [

1 1 0

1 −1 0

0 0 0

1 1 1

] [

1 1

3 0

1 −2 ]

= [

4 1

−2 1

0 0

5 −1 ]

9. (cap. 23) Sejam 𝑇 e 𝑆 transformações lineares de ℝ³ em ℝ² definidas por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑥, 𝑦 − 𝑧) e 𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑧, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧). Encontre as transformações abaixo:

(a) 𝑇 + 𝑆 (b) 4𝑇 (c) 3𝑇 − 2𝑆

Solução: (Exercício)

10. (cap. 23) Sejam 𝑇: ℝ²⟶ ℝ³ e 𝑆: ℝ³⟶ ℝ² dadas por 𝑇(𝑥, 𝑦) = (5𝑥, 𝑥 − 𝑦, 3𝑦) e 𝑆(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 + 3𝑧, 2𝑦 − 𝑧). Encontre as transformações abaixo:

(a) 𝑆 ∘ 𝑇 (b) 𝑇 ∘ 𝑆

Solução: (Exercício)

11. (cap. 26) Verifique, em cada caso, se o operador 𝑇 ∈ 𝐿(𝑉) é invertível.

Caso seja, encontre uma fórmula para o seu inverso.

(a) 𝑉 = ℝ² e 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 + 5𝑦, 2𝑥 + 3𝑦)

(b) 𝑉 = ℝ³ e 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧, 4𝑥 + 𝑦 + 8𝑧)

(c) 𝑉 = ℝ³ e 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (6𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧, − 4𝑥 + 𝑦 − 6𝑧, 𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧) Um operador linear é uma transformação linear 𝑇: 𝑉 ⟶ 𝑊 onde 𝑉 = 𝑊.

Vamos resolver usando as matrizes canônicas associadas, ou seja, matrizes associadas aos operadores considerando a base canônica.

No ℝ² a base canônica é {(1, 0), (0, 1)}, e no ℝ³ é {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.

Solução:

(a) Vamos encontrar a matriz canônica associada à 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 + 5𝑦, 2𝑥 + 3𝑦).

Como se trata da base canônica, observamos os coeficientes das variáveis 𝑥, 𝑦. Assim, a matriz procurada será

[𝑇] = [3 5 2 3]

Para que 𝑇 seja inversível, sua matriz associada [𝑇] tem que ser invertível. Podemos fazer isso calculando seu determinante.

det[𝑇] = 9 − 10 = −1 Como det[𝑇] ≠ 0, a matriz [𝑇] é inversível.

Portanto, o operador 𝑇 é inversível.

Resolvemos a primeira parte do problema. A questão pede para encontrarmos a inversa de 𝑇, caso exista. Para isso, vamos determinar a inversa da matriz associada a 𝑇.

[3 5 1 0

2 3 0 1]𝐿₁←¹

3𝐿₁

→ [1 ⁵₃ ¹₃ 0 2 3 0 1]

𝐿₂← 𝐿₂− 2𝐿₁

→ [1 ⁵₃ ¹₃ 0 0 −¹

3 −²

3 1]

𝐿₂← −3𝐿₂

→ [1 ⁵₃ ¹₃ 0

0 1 2 −3]𝐿₁← 𝐿₁−⁵

3𝐿₂

→ [1 0 −3 5

0 1 2 −3]𝐿₁ ← 𝐿₁−⁵

3𝐿₂

Logo, a inversa de [𝑇] é [−3 5 2 −3].

A matriz encontrada é a matriz canônica associada ao operador inverso de 𝑇, ou seja,

[𝑇⁻¹] = [−3 5 2 −3]

Agora que temos a matriz associada a 𝑇⁻¹, podemos encontrar 𝑇⁻¹.

Como se trata da base canônica, os termos da matriz [𝑇⁻¹] são os coeficientes das variáveis 𝑥, 𝑦, ou seja,

𝑇⁻¹(𝑥, 𝑦) = (−3𝑥 + 5𝑦, 2𝑥 − 3𝑦) (b) (Exercício)

(c) (Exercício)

12. (cap. 26) A transformação linear 𝑇: ℝ³⟶ ℝ³ dada por 𝑇(1, 0, 0) = (1, 1, 0)

𝑇(0, 1, 0) = (0, 0, 1) 𝑇(0, 0, 1) = (1, −1, 2) é um automorfismo?

Automorfismo é um operador linear que é inversível. Então, para sabermos se 𝑇 é um automorfismo, devemos verificar se 𝑇 é inversível. Vamos fazer isso usando a matriz canônica associada a 𝑇, lembrando que já aprendemos como fazer isso.

Solução:

Note que foram dados

𝑇(1, 0, 0) = (1, 1, 0) 𝑇(0, 1, 0) = (0, 0, 1) 𝑇(0, 0, 1) = (1, −1, 2)

Ou seja, as aplicações de 𝑇 nos vetores da base canônica de ℝ³.

A matriz associada a 𝑇 será formada pelas coordenadas dos vetores 𝑇(1, 0, 0), 𝑇(0, 1, 0) e 𝑇(0, 0, 1), escritos na base canônica.

[𝑇] = [

1 0 1

1 0 −1

0 1 2

]

Se essa matriz for inversível, então 𝑇 será inversível.

Vamos verificar calculando o determinante de [𝑇].

det[𝑇] = 2

Como det[𝑇] ≠ 0, temos que [𝑇] é inversível.

Como [𝑇] é inversível, então 𝑇 é inversível.

Como 𝑇 é inversível, então 𝑇 é um automorfismo.

13. (cap. 29) Verifique se o vetor 𝑢 é autovetor de 𝐴, em cada caso.

(a) 𝑢 = (1

1) e 𝐴 = (−3 1

−5 3) (b) 𝑢 = (1

2) e 𝐴 = (−3 1

−5 3)

Trabalharemos agora com os conceitos de autovalor e autovetor.

Primeiramente, autovalor é um número real. Já autovetor, como o nome já indica, é um vetor. Detalhe: o autovetor nunca é o vetor nulo.

Dados uma matriz 𝐴 ∈ 𝑀𝑛(ℝ), o número real 𝜆 é chamado autovalor de 𝐴 se existe um vetor não-nulo 𝑣 ∈ ℝ^𝑛 tal que

𝐴𝑣 = 𝜆𝑣

Ou seja, ao multiplicarmos o vetor 𝑣 com a matriz 𝐴, o resultado é um múltiplo de 𝑣, a saber, 𝜆𝑣.

Todo vetor não-nulo que satisfaça 𝐴𝑣 = 𝜆𝑣

é chamado de autovetor associado ao autovalor 𝜆.

Solução:

(a) Vamos multiplicar 𝑢 por 𝐴 e verificar se o resultado é um múltiplo de 𝑢.

𝐴𝑢 = (−3 1

−5 3) (1 1)

= (−2

−2)

= −2 (1 1)

= −2𝑢

Observe que o resultado é um múltiplo de 𝑢, a saber, −2𝑢.

Portanto, 𝑢 é um autovetor da matriz 𝐴, com autovalor associado 𝜆 = −2.

(b) Temos

𝐴𝑢 = (−3 1

−5 3) (1 2)

= (−1 1 )

Observe que 𝐴𝑢 não é múltiplo de 𝑢, ou seja, não existe 𝜆 ∈ ℝ tal que 𝐴𝑢 = 𝜆𝑢.

Portanto, 𝑢 não é um autovetor de 𝐴.

14. (cap. 29) Verifique, em cada caso, se o vetor 𝑣 ∈ ℝ² é um autovetor da matriz 𝐴 ∈ 𝑀₂(ℝ). Em caso afirmativo, explicite o autovalor correspondente.

(a) 𝑣 = (1

0) e 𝐴 = (0 0 0 1) (b) 𝑣 = (0

1) e 𝐴 = (0 0 0 1) Solução: (Exercício)

15. (cap. 29) Verifique se o escalar 5 é um autovalor para a matriz 𝐴 = (5 0

2 1) e determine o autoespaço associado.

Autoespaço é o conjunto de todos os autovetores correspondentes ao autovalor λ, e o representamos assim: 𝐸(𝜆).

Solução:

Para que 5 seja autovalor de 𝐴 deve existir vetor 𝑣 não-nulo que satisfaça 𝐴𝑣 = 5𝑣

Ajustando essa equação temos

𝐴𝑣 − 5𝑣 = 0⃗ 𝐴𝑣 − 5𝐼𝑣 = 0⃗ (𝐴 − 5𝐼)𝑣 = 0⃗ Substituindo, temos

[(5 0

2 1) − 5 (1 0

0 1)] 𝑣 = (0 0) [(5 0

2 1) − (5 0

0 5)] 𝑣 = (0 0) (0 0

2 −4) 𝑣 = (0 0) Como 𝑣 ∈ ℝ², podemos escrever 𝑣 = (𝑥, 𝑦).

(0 0 2 −4) (𝑥

𝑦) = (0 0)

( 0

2𝑥 − 4𝑦) = (0 0) Donde tiramos que

2𝑥 − 4𝑦 = 0 Simplificando temos

𝑥 − 2𝑦 = 0

Assim, qualquer vetor 𝑣 = (𝑥, 𝑦) que satisfaça 𝑥 − 2𝑦 = 0 resolve a equação

𝐴𝑣 = 5𝑣

Logo, existem vetores não-nulos que satisfazem 𝐴𝑣 = 5𝑣.

Portanto, 5 é autovalor de 𝐴.

Agora, falta encontrar o autoespaço da matriz 𝐴 associado ao autovalor 5.

Já sabemos que os autovetores (𝑥, 𝑦) procurados devem satisfazer 𝑥 − 2𝑦 = 0

Logo, o autoespaço buscado é

𝐸(5) = {(2𝑦, 𝑦); 𝑦 ∈ ℝ^∗}

Obs: ℝ^∗ é o conjunto dos números reais não nulos. Esse detalhe é importante, pois os autovetores não podem ser nulos.

16. (cap. 29) Verifique se o escalar 𝜆 = 3 é um autovalor para a matriz 𝐴 e determine o autoespaço associado.

𝐴 = (

4 −2 −3

−1 5 3

2 −4 −3

)

Solução: (Exercício)

17. (cap. 30) Calcule os autovalores da matriz 𝐴 = (

1 6 2 0 2 1 0 0 3

)

Solução:

Observe que a matriz 𝐴 é triangular.

Numa matriz triangular, seus autovalores são os termos de sua diagonal principal.

Portanto, os autovalores de 𝐴 são 1, 2 e 3.

18. (cap. 30) Verifique se a matriz 𝐴 é inversível.

𝐴 = (

1 2 3 0 0 4 0 0 5

)

Se uma matriz 𝐴 possui um autovalor igual a zero, então essa matriz não é inversível. O contrário também é verdade: se constatarmos que uma matriz não possui inversa, então essa matriz não possui autovalor igual a zero.

Solução:

Como 𝐴 é triangular, seus autovalores são 1, 0 e 5.

Portanto, a matriz 𝐴 não possui inversa, pois tem um autovalor igual a zero.

19. (cap. 30) Encontre os autovalores da matriz 𝐴², onde

𝐴 = (

1 6 2 0 2 1 0 0 3

)

Se λ é um autovalor de uma matriz 𝐴, então 𝜆^𝑘 é um autovalor da matriz 𝐴^𝑘 para todo 𝑘 ∈ ℕ^∗.

Solução:

Temos que 1, 2 e 3 são os autovalores de 𝐴. Então podemos afirmar que 1², 2² e 3² são autovalores da matriz 𝐴².

Portanto, os autovalores de 𝐴² são 1, 4 e 9.

20. (cap. 31) use o polinômio característico para encontrar os autovalores da matriz 𝐴 = ( 1 1

−2 4).

O polinômio característico de 𝐴 ∈ 𝑀_𝑛(ℝ) é dado por 𝑝(𝑥) = det(𝑥𝐼𝑛− 𝐴)

Ou seja, é o determinante da matriz 𝑥𝐼_𝑛− 𝐴, onde 𝑥 ∈ ℝ.

ATENÇÃO: as raízes do polinômio característico de 𝐴 são os autovalores de 𝐴.

Solução:

Vamos encontrar a matriz 𝑥𝐼_𝑛− 𝐴.

𝑥𝐼_𝑛− 𝐴 = 𝑥 (1 0

0 1) − ( 1 1

−2 4)

= (𝑥 0

0 𝑥) − ( 1 1

−2 4)

= (𝑥 − 1 −1 2 𝑥 − 4) Assim,

𝑝(𝑥) = det(𝑥𝐼_𝑛− 𝐴)

= det (𝑥 − 1 −1 2 𝑥 − 4)

= (𝑥 − 1)(𝑥 − 4) − (−2)

= 𝑥²− 5𝑥 + 6

As raízes de 𝑝(𝑥) são dadas resolvendo-se a equação 𝑝(𝑥) = 0

𝑥²− 5𝑥 + 6 = 0

Resolvendo a equação quadrática acima, encontramos as raízes 2 e 3.

Portanto, os autovalores de 𝐴 são 2 e 3.

21. (cap. 31) Use o polinômio característico para encontrar os autovalores da matriz 𝐴 = (3 2

2 1).

Solução: (Exercício)

22. (cap. 32-35) Realize o processo de diagonalização para a matriz 𝐴 = (3 2

4 1) O processo de diagonalização contém 4 passos:

Passo1: encontrar os autovalores de 𝐴.

Passo 2: encontrar uma base de autovetores de 𝐴.

Passo 3: descrever a matriz diagonalizada 𝐷.

Passo 4: descrever a matriz diagonalizante 𝑃.

Obs: as matrizes 𝐷 e 𝑃 são tais que

𝐷 = 𝑃⁻¹𝐴𝑃

Solução:

Passo 1: encontrando os autovalores de 𝐴.

Vamos fazer isso usando o polinômio característico de 𝐴.

Temos

𝑥𝐼_𝑛− 𝐴 = 𝑥 (1 0

0 1) − (3 2 4 1)

= (𝑥 − 3 −2

−4 𝑥 − 1) Assim, o polinômio característico de 𝐴 será

𝑝(𝑥) = det(𝑥𝐼_𝑛− 𝐴)

= det (𝑥 − 3 −2

−4 𝑥 − 1)

= (𝑥 − 3)(𝑥 − 1) − 8

= 𝑥²− 4𝑥 − 5 As raízes de 𝑝(𝑥) são −1 e 5.

Logo, os autovalores procurados são −1 e 5.

Passo 2: encontrando uma base de auvetores de 𝐴.

Para 𝑥 = −1 temos

(𝑥 − 3 −2

−4 𝑥 − 1) (𝑥 𝑦) = (0

0) (−1 − 3 −2

−4 −1 − 1) (𝑥 𝑦) = (0

0) (−4 −2

−4 −2) (𝑥 𝑦) = (0

0) Ou seja, um sistema homogêneo nas variáveis 𝑥 e 𝑦.

Resolvendo o sistema por escalonamento temos [−4 −2 0

−4 −2 0]

𝐿₂← 𝐿₂− 𝐿₁→ [−4 −2 0

0 0 0]𝐿₁← −¹

2𝐿₁

→ [2 1 0 0 0 0] Como resultado temos

2𝑥 + 𝑦 = 0 𝑦 = −2𝑥

Assim, os autovetores associados ao autovalor −1 são da forma 𝑣 = (𝑥, −2𝑥) para todo 𝑥 ∈ ℝ^∗. Em particular, para 𝑥 = 1, temos o seguinte autovetor:

𝑣₁= (1, −2) Para 𝑥 = 5 temos

(5 − 3 −2

−4 5 − 1) (𝑥 𝑦) = (0

0) ( 2 −2

−4 4 ) (𝑥 𝑦) = (0

0) Escalonando o sistema temos

[ 2 −2 0

−4 4 0]

𝐿₂ ← 𝐿₂+ 2𝐿₁→ [2 −2 0

0 0 0]𝐿₁ ←¹

2𝐿₁

→ [1 −1 0 0 0 0] Ou seja,

𝑥 − 𝑦 = 0  𝑦 = 𝑥

Logo, os autovetores associados ao autovalor 5 são da forma 𝑣 = (𝑥, 𝑥) para 𝑥 ∈ ℝ^∗. Em particular, para 𝑥 = 1, temos o seguinte autovetor

𝑣₂= (1, 1)

Esse processo garante que 𝑣₁ e 𝑣₂ são LI.

Logo, {𝑣₁, 𝑣₂} é uma base do ℝ².

Passo 3: matriz diagonalizada 𝐷.

Basta escrever a matriz diagonal cuja diagonal principal é formada pelos autovalores de 𝐴.

𝐷 = (−1 0 0 5)

Passo 4: matriz diagonalizante 𝑃.

Basta escrever 𝑣₁ e 𝑣₂ como colunas de 𝑃.

𝑃 = ( 1 1

−2 1)

23. (cap. 32-35) Faça o processo de diagonalização para a matriz 𝐴 = (2 1

1 2) Solução: (Exercício)

24. (cap. 36) Utilize o processo de diagonalização para o operador linear 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 + 2𝑦, 4𝑥 + 𝑦).

O processo de diagonalização de um operador linear 𝑇 consiste em diagonalizar a matriz que representa 𝑇. Ou seja, devemos encontrar a matriz de 𝑇 numa base qualquer, e, depois, diagonalizá-la.

Como serve qualquer base, escolhemos a mais simples, que é a base canônica.

Os autovalores e autovetores da matriz de 𝑇 serão os autovalores e autovetores do operador linear 𝑇.

Solução:

Seja 𝐴 a matriz que representa 𝑇 na base canônica. Então 𝐴 = (3 2

4 1)

Observe que 𝐴 é formada pelos coeficientes de 𝑥, 𝑦 de 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 + 2𝑦, 4𝑥 + 𝑦).

Note que a matriz 𝐴 é a mesma do exercício 22.

Daqui em diante, o processo é exatamente o mesmo feito no exercício 22.

25. (cap. 36) Utilize o processo de diagonalização para o operador linear 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 9𝑦, 𝑥 + 𝑦).

Solução: (Exercício)

26. (cap. 36) Seja o operador linear 𝑇(𝑥, 𝑦) = (−3𝑥 + 4𝑦, 2𝑥 − 𝑦). Encontre a matriz diagonalizada de 𝑇. Encontre também a matriz diagonalizante de 𝑇.

Solução: (Mesmo processo do exercício anterior)

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

27. Seja 𝑇: ℝ³⟶ ℝ² tal que [𝑇]_𝐴,𝐵 = [1 0 −1

1 1 1 ], sendo A = {(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1)} e B = {(−1,0),(0,−1)} bases do ℝ³ e do ℝ², respectivamente. Encontre a expressão de T(x, y, z).

28. A transformação linear 𝑇: ℝ² ⟶ ℝ³ tem matriz [𝑇]_𝐴,𝐵= [

3 1

2 5

1 −1 ], em

relação às bases A = {(−1,1),(1,0)}, do ℝ², e B = {(1,1,−1),(2,1,0),(3,0,1)}, do ℝ³. Determine:

(a) A expressão de 𝑇(𝑥, 𝑦).

(b) A matriz canônica de 𝑇.

29. Sejam 𝐴 = {(1, −1), (0, 2)} e 𝐵 = {(1, 0, −1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)} bases de ℝ² e ℝ³, respectivamente, e [𝑇]_𝐴,𝐵 = [

1 0

1 1

0 −1 ].

(a) Determine 𝑇.

(b) Ache uma base 𝐶 de ℝ³ tal que [𝑇]_𝐴,𝐶 = [ 1 0 0 0 0 1

].

30. Considere o operador identidade 𝐼, definido em ℝ², isto é, o operador linear tal que 𝐼(𝑥, 𝑦) = (𝑥, 𝑦), para todo (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ². Considere as bases 𝐴 = {(1, 1), (0, −1)} e 𝐵 = {(2. −3), (−3, 5)}, de ℝ². Encontre a matriz [𝐼]_𝐴,𝐵.

31. Sejam 𝐹 e 𝑇 operadores lineares em ℝ² definidos por 𝐹(𝑥, 𝑦) = (𝑦, 𝑥) e 𝑇(𝑥, 𝑦) = (0, 𝑥). Estabeleça fórmulas que definam os operadores 𝐹 + 𝑇, 2𝐹 − 3𝑇 e 𝐹 ∘ 𝑇.

32. Seja 𝐶 = {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃} a base canônica de ℝ³. Seja 𝑇 ∈ 𝐿(ℝ³) o operador dado por 𝑇(𝑒₁) = 𝑒₂; 𝑇(𝑒₂) = 𝑒₃ e 𝑇(𝑒₃) = 𝑒₁.

(a) Determine 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧).

(b) Mostre que 𝑇³ = 𝐼

33. Sejam 𝑇, 𝐹 ∈ 𝐿(𝑉) tais que 𝑇 ∘ 𝐹 = 𝐹 ∘ 𝑇. Mostre que:

(a) (𝑇 + 𝐹)² = 𝑇²+ 2( 𝑇 ∘ 𝐹) + 𝐹² (b) (𝑇 + 𝐹) ∘ (𝑇 − 𝐹) = 𝑇²− 𝐹²

34. Seja 𝑇 ∈ 𝐿(ℝ³) dado por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑥 − 𝑦 + 4𝑧, 𝑥 + 2𝑧, 2𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧). Obtenha o operador inverso de 𝑇.

35. Seja 𝑇 ∈ 𝐿(ℝ⁴) dado por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (𝑥 + 2𝑦, 𝑦 − 2𝑧 − 𝑡, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧, 𝑥 + 3𝑧 + 𝑡). Verifique se 𝑇 é inversível e, caso seja, encontre seu inverso.

36. Verifique se 𝑣 = (1

4) é autovetor da matriz 𝐴 = (−3 1

−3 8). Caso seja, determine o autovalor correspondente.

37. Verifique se 𝑣 = ( 4

−3 1

) é autovetor da matriz 𝐴 = (

3 7 9

−4 −5 1

2 4 4

). Caso

seja, determine o autovalor correspondente.

38. Dada a matriz 𝐴 = ( 4 −2

−3 9 ) caom autovalor 𝜆 = 10, determine uma base para o autoespaço associado a esse autovalor.

39. Seja a matriz 𝐴 = (

4 −1 6

2 1 6

2 −1 8

). Verifique se 𝜆 = 2 é um autovalor de 𝐴 e

determine uma base para o autoespaço associado a esse autovalor.

40. Dada a matriz 𝐴 = (5 0

2 1), determine seus autovalores e uma base para o autoespaço associado a cada autovalor.

41. Dada a matriz 𝐴 = (

1 0 0

−3 1 0

4 −7 1

), determine seus autovalores e uma base

para o autoespaço associado a cada autovalor.

42. Dada a matriz 𝐴 = (

−1 3 5

0 2 4

0 0 1

), calcule os autovalores das matrizes 𝐴² e 𝐴³.

43. Determine os autovalores e bases para os autoespaços correspondentes da matriz (3 0

8 −1).

44. Determine os autovalores e bases para os autoespaços correspondentes da matriz (3 2

4 1).

45. Considere a matriz 𝐴 = (

4 0 1

−2 1 0

−2 0 1

). Determine os autovalores e bases

para os autoespaços correspondentes.

46. Considere a matriz 𝐴 = (

2 −1 −1

1 0 −1

−1 1 2

). Determine os autovalores e

bases para os autoespaços correspondentes.