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ATRITO DE ESCORREGAMENTO E ATRITO DE ROLAMENTO:

ANÁLISE DE SITUAÇÕES SIMPLES

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SLIDING FRICTION AND ROLLING FRICTION:

SLIDING FRICTION AND ROLLING FRICTION: ANALYSIS OF SIMPLE CASESANALYSIS OF SIMPLE CASES

A. V. Andrade-Neto A. V. Andrade-Neto

Departamento

Departamento de Fde F´ ısicaısica Universidade Estadual ´ Universidade Estadual de Feirde Feira de a de Santana Santana Avenida TrAvenida Transnordestina, s/n, Novo Horizonte,ansnordestina, s/n, Novo Horizonte, Campus Universita

Campus Universita´rio´rio 44036-900 Feira de Santana, BA, Brazil. E-mail:44036-900 Feira de Santana, BA, Brazil. E-mail:aneto@uefs.br aneto@uefs.br

No presente trabalho apresentamos uma discussa

No presente trabalho apresentamos uma discussa˜o elementar, mas unificada dos conceitos de atrito de˜o elementar, mas unificada dos conceitos de atrito de escorregamento e atrito de rolamento. S˜

escorregamento e atrito de rolamento. S˜ao exploradas algumas situa¸ao exploradas algumas situa¸c˜c˜oes simples, mas de grandeoes simples, mas de grande riqueza conceitualriqueza conceitual e ausentes da maioria dos livros textos.

e ausentes da maioria dos livros textos.

Palavras-chave

: : atrito de escorregamento, rolamento, atrito atrito de escorregamento, rolamento, atrito dede rolamento.rolamento.

We present an elementary but unified discussion of the concepts of sliding friction and rolling friction. Are explored We present an elementary but unified discussion of the concepts of sliding friction and rolling friction. Are explored some simple situations but of very conceptual wealth and absent from most textbooks.

some simple situations but of very conceptual wealth and absent from most textbooks.

Keywords

: sliding friction, rolling, rolling : sliding friction, rolling, rolling friction.friction.

INTRODU¸

INTRODU¸C˜

C˜

AO

Quando as superf´

Quando as superf´ıcies de dois corıcies de dois cor pos s´pos s´olidos se toolidos se tocam, escam, esses corpses corpos inter-os inter- ageagem atm atrav´rav´es des dee for¸

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atrito podemos citar a natureza dos materiais e o grau de polimento das superf´das superf´ıcies em contato, aıcies em contato, a exis

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1

Este trabalho ´

(2)

Quando duas superf´ıcies de corpos sólidos estão em contato, há uma for¸ca de atração entre os corp os conhecida como adesaõ, a q ual tem origem nas for¸cas atrativas interatoˆmicas. O atrito é consequˆência da necessidade de vencer estas for¸cas atrativas. Quando não há movimento relativo das superfic´ıes de dois corp os em contato falamos em atrito estático. Quando acontece movimento relativo entre as superf´ıcies dizemos que ocorre atrito cinético ou dinaˆmico.

O movimento relativo entre duas superf´ıcies em contato pode ser um escorregamento puro, um rolamento puro (também chamado de rolamento sem deslizamento) e, no caso mais geral, rolamento com deslizamento. Obviamente, a forma geométrica do corpo é fundamental para o tipo de movimento relativo. Um corpo só pode exibir rolamento puro se possuir uma s e¸cão circular (cilindro ou esfera, por exemplo). Desse modo as for¸cas de atrito podem ser classificadas como atrito de escorregamento e atrito de rolamento, as quais serão analisadas a seguir.

ATRITO DE ESCORREGAMENTO

O atrito é uma das experiências mais familiares ao ser humano e possui uma longa histo´ria. Um dos primeiros a estudar de forma sistemática o atrito foi o italiano Leonardo da Vinci, que analisou o movimento de um bloco retangular sobre uma superf´ıcie plana. Por volta de 1500 ele estabeleceu duas leis. A primeira afirma que as áreas em contato não tem efeito sobre o atrito e a segunda que se o p eso do objeto é dobrado, o atrito também será dobra do. Também foi observado por da Vinci que o atrito é diferente para diferentes materiais.

As leis de da Vinci foram redescobertas no século XVII p elo f´ısico francês Guillaume Amontons. Ele teorizou que o atrito era o resultado do trabalho realizado para levantar uma superf´ıcie sobre a rugosidade da outra, bem como o trabalho para realizar a deformaçaõ da superf´ıcie.

Novos estudos sobre esse assunto foram realizados por Charles Coulomb, estabelecendo claramente que a for¸ca de atrito é proporcional à for¸ca compressiva (força normal). Coulomb também estab eleceu que a for¸ca de atrito não depende da velocidade, uma vez iniciado o movimento. Quando há movimento relativo entre as superf´ıcies em contato, dizemos que há uma forca de atrito cinética. Em outras palavras, quando existe uma velocidade relativa não nula entre o contato das superf´ıcies.

As leis fenomenol´ogicas de Amontons-Coulomb que descrevem o atrito de escorregamento podem ser expressas como

(a) A for¸ca de atrito ´e indep endente da ´area aparente de contato.

(b) O atrito ´e proporcional `a carga normal.

(c) O atrito cinético é aproximadamente independente da velo cidade de deslizamento. Pela segunda lei do atrito, o módulo da for¸ca de atrito cinético é proporcional ao módulo da for¸ca normal N . Matematicamente temos que:

Fc = µ cN, (1)

onde µ c ´e o coeficiente de atrito cin´etico.

Mesmo quando não há movimento relativo entre as superf´ıcies, p ode haver for¸cas de atrito. Essa for¸ca é denominada atrito estático. Considere mos um bloco em repouso apoiado sobre uma

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superf´ıcie plana horizontal. Se aplicamos uma for¸ca F também horizontal, sabemos da experiência que o bloco só se move em relaçaõ à sup erf´ıcie horizontal quando o módulo da forca F atinge um valor cr´ıtico que denominaremos (Fe)max. Esse valor máximo é proporcional a N, ou seja,

(Fe)max = µ eN, (2)

onde µ e ´e o coeficiente de atrito est´atico.

Diferentemente da for¸ca de atrito cinético, que é aproximadamente constante, a for¸ca de atrito estático po de variar entre o valor nulo (quando não existe for¸ca paralela à superficie) até o valor máximo (Fe)max. Assim,

0≤ _Fe ≤ _µ eN. ₍₃₎

Os conteu´dos acima são ab ordados em to dos os livros de f´ısica de nivel superior e também em livros de n´ıvel médio de ensino. Esses conteu´dos são apresentados sempre após as leis de Newton, como uma aplicação dessas leis e, o que é importante, em um contexto teórico no qual o corpo sob análise é modelado como uma part´ıcula. Contudo, há situa¸cões em que o modelo de part´ıcula é claramente inadequado. Na referência [1] é analisado o deslocamento lateral da for¸ca normal sobre um corpo (um bloco) em equilibrio estático ou dinaˆmico, apoiado sobre uma superf´ıcie plana sujeito a uma for¸ca de atrito. Já na referência [2] é discutido o equ´ıvoco de se utilizar o mo delo de part´ıcula para se calcular o trabalho realizado pela for¸ca de atrito cinético que age sobre um corpo que escorrega. Outra situa¸cão que mostra o limite do modelo de part´ıcula é o de rolamento, conforme analisado na referência [3].

ROLAMENTO

Movimentos de corp os que rolam são muitos comuns no dia a dia. Como exemplos óbvios podemos citar os movimentos das rodas de uma bicicleta ou de um automo´vel. Também é muito comum o uso de esferas em experimentos em plano inclinado. O próprio Galileu realizou experiências desse tipo [4].

Figura 1: Distribuição de velocidade de um corpo rígido que rola sem deslizamento.

No caso de rolamento não podemos tratar o corpo como uma part´ıcula. Um modelo adequado para esse caso é o de corpo r´ıgido o qual, por definicão, é um sistema no qual a distaˆncia entre duas part´ıculas do corpo é inaltera´vel ou, em outras palavras, o corp o é indeforma´vel. Obviamente, nenhum corpo real é perfeitamnete r´ıgido, mas em muitos casos essa é uma idealizaçaõ conveniente.

Vamos iniciar nossa an´alise pelo caso ideal de rolamento sem deslizamento ou rolamento puro.

Rolamento puro. Cinem´atica

Quando um corpo com simetria axial (um cilindro, uma esfera, um anel) rola sobre uma superf´ıcie plana e cada ponto da periferia da roda n˜ao desliza sobre o plano, dizemos que acontece um rolamento sem deslizamento ou rolamento puro. Para fixar ideia, consideremos um cilindro de raio

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R rolando sem deslizar sobre uma superf´ıcie horizontal. Quando ele gira de um ˆangulo θ, o ponto de contato do corpo com a superf´ıcie horizontal ter´a se deslocado de uma distaˆncia s, tal que

s = Rθ. (4)

Essa é a distaˆncia percorrida pelo centro de massa do corpo quando o mesmo gira de um ângulo θ. Derivando a equa¸cão (4) em relaçaõ ao tempo obtemos que

vcm =ωR, (5)

onde vcm = ds/dt é a velocidade de translaçaõ do centro de massa e ω = dθ /dt é a velocidade angular de

rotação do corpo em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa. A eq.(5) é a condi¸cão necessa´ria para que ocorra rolamento sem deslizamento.

Enquanto o centro de massa do corpo movimenta-se em uma tra jetória retil´ınea, um ponto na borda do corpo descreve uma trajetória denominada ciclóide [Ver Apêndice]. Essa tra jetória pode ser visualizada colocando-se uma fonte luminosa na borda de um cilindro que rola sobre uma superf´ıcie plana.

Vamos agora determinar a velocidade de um ponto qualquer do corpo. O movimento mais geral de um corpo r´ıgido é uma combinaçaõ de translação e rotação [5]. Desse modo, pode-se decompor a velocidade de uma part´ıcula arbitra´ria de um corpo r´ıgido em dois termos: um que representa a velocidade instantaˆnea de translaçaõ e outra que representa a velocidade instantaˆnea de rotaçaõ. Assim, a velocidade de um ponto qualquer do cilindro será

v = vcm +ω × r, (6)

onde, como já definido vcm é a velocidade de translaçaõ do centro de massa e r é o vetor p osi¸cão

relativo ao centro de massa. Considerando o eixo perpendicular ao plano do movimento como sendo o eixo z, tal que ω = −ωzˆe r = z + ρ� onde z = zzˆ e ρ ´e a componente de r contida no plano de

movimento, ent˜ao ω × r = ω × (z +ρ) = ω × ρ� j´a que ω × z = 0. Assim, a eq.(6) fica

v =vcm +ω × ρ. (7)

A Figura 1 é uma representaçaõ gráfica da eq.(7). Várias conclusões podem ser tiradas da Figura 1:

(a) O ponto de contato da roda com o plano horizontal tem velocidade resultante nula, o que significa que n˜ao ocorre deslizamento. O contato do cilindro com o plano acontece ao longo de uma geratriz, cuja velocidade no instante de contato ´e nula.

(b) A velocidade de qualquer ponto da roda p ossui direção perp endicular à linha que liga esse ponto ao ponto de contato.

(c) _{O centro do corpo desloca-se com uma velocidade vcm, enquanto o ponto superior da}

roda desloca-se com o dobro dessa velocidade (2vcm).

A conclusão (a) acima nos permite realizar a seguinte discussaõ. Como a velocidade relativa de escorregamento entre as superf´ıcies é nula, isso significa que, no caso de rolamento puro, não pode haver atrito cinético entre as superf´ıcies. Em outras palavras, no caso de rolamento puro de um corpo r´ıgido, se existe atrito ele é necessariamente estático já que a velocidade relativa de escorregamento é nula. Deve ser observado que há um movimento relativo entre o centro de massa do corp o e a superf´ıcie sobre a qual o corp o rola. O que não há é um movimento relativo das superf´ıcies em contato e essa é a razão p ela qual, nesse caso, não há atrito cinético.

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Figura 2: Forças que atuam sobre um corpo rígido de seção circular de raio R submetido a uma força F. Só

uma análise posterior pode determinar se o sentido de Fat está correto.

Se a Eq. (5) n˜ão é obedecida teremos um rolamento com deslizamento. Se vcm > ωR teremos

um rolamento com deslizamento de translaçaõ. Isso acontece quando, por exemplo, um carro é freiado bruscamente, provocando derrapagem. Por outro lado, quando vcm < ωR há um

rolamento com deslizamento de rotação. Um exemplo desse caso se dá quando um carro desliza sobre uma pista de lama e os pneus giram com velocidade angular tal que vcm < ωR. Essa descrição

cinemática do rolamento é realizada pelos principais livros textos universita´rios utilizados nos cursos de f´ısica básica. Supreendentemente, a análise dinaˆmica desse caso é quase completamente ignorada.

DINˆAMICA DO ROLAMENTO DE UM CORPO R´IGIDO SOBRE UM PLANO HORIZONTAL

Vamos agora analisar a dinaˆmica do rolamento em um plano horizontal. Vamos considerar ambos os corpos (o corpo que rola e o plano horizontal) ideais, i.e., corpos r´ıgidos perfeitos.

Vamos considerar o corpo se movendo sobre um pl ano horizontal submetido a uma for¸ca motriz horizontal F aplicada a uma certa altura h do plano (Figura 2) e a uma for¸ca de atrito Fat a qual, provisoriamente está orientada para a esquerda. Apenas uma análise posterior pode determinar se esse sentido é correto ou não. As equa¸cões de movimento para o sólido são:

F − Fat = Macm (8)

F (h − R) + Fat R = Iα = Mk 2α, (9)

onde M é a massa do corpo, I é o momento de inércia do corp o calculado em relaçaõ a um eixo passando pelo seu centro de massa, α é a aceleraçaõ angular do corpo em torno desse eixo e k é o raio de giraçaõ (para uma esfera k 2 = 2R2 /5, para um cilindro k 2 = R2 /2 e para um anel k 2 = R2). Das expressões acima e utilizando que acm = αR obtemos

(10) Para a esfera, o cilindro e o anel temos explicitamente

Vemos da equa¸c˜ao acima que a depender do intervalo de h, a for¸ca de atrito pode ter sentido oposto ou n˜ao ao movimento do centro de massa do corpo e, inclusive, ser nula.

Para a esfera, por exemplo, vemos que no intervalo 0 ≤ _{h < 7R/5, a for¸ca de atrito ´e positiva (F}_at > 0), o que significa que seu sentido coincide com aquele mostrado na Figura 2. Para h = 7R/5 temos que Fat = 0, enquanto que no intervalo 7R/5 ≤ _h ≤ _{2R a for¸ca de atrito ´e negativa (F}_at _{< 0),}

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logo o seu sentido é contra´rio ao indicado na Figura 2. Uma análise semelhante se aplica ao cilindro e ao anel. O ilustra a situa¸cão para uma esfera de raio R = 20 cm submetida a uma for¸ca F = 5 N.

Podemos discutir vários aspectos interessantes a partir dos resultados acima. Em primeiro lugar vemos que existe um valor cr´ıtico de h para o qual a for¸ca de atrito se anula, independente do valor de F. Isso mostra que pode haver rolamento de um corpo sobre uma superf´ıcie plana mesmo na ausência de atrito. Isso é importante porque, como os livros textos tratam quase exclusivamente de rolamento sobre um plano inclinado, sem tratar da dinaˆmica de rolamento sobre uma superf´ıcie horizontal, isso induz os estudantes a imaginar que a for¸ca de atrito é sempre uma condi¸cão necessa´ria para a existência do r olamento.

Vemos também que se a for¸ca F está aplicada a uma altura maior que esse valor cr´ıtico, a for¸ca de atrito tem o mesmo sentido do movimento do centro de massa do corpo, i.e., a for¸ca de atrito contribui para aumentar a aceleração do corpo. Esse resultado só é estranho quando analisado no contexto do modelo de part´ıcula. No contexto do modelo de corpo r´ıgido, no qual deve-se levar em conta outras grandezas dinaˆmicas na análise do movimento, como o torque, esse resultado é perfeitame nte compreens´ıvel.

Outra consequência interessante das Eqs. (10) ou (11) é que se a for¸ca F for nula, i.e., se não existe for¸ca motriz, a for¸ca de atrito se anula. Nesse caso ideal (so´lidos e sup erf´ıcies inderfor ma´veis),

desprezando a resistência do ar, As uńicas for¸cas que atuam no corp o que rola sem deslizar sobre uma sup erf´ıcie horizontal, são a for¸ca peso e a normal, ambas aplicadas no centro de massa do corpo.

Mas, por que razaõ a for¸ca de atrito é nula no rolamento puro em um plano horizontal? o motivo é que, nesse caso ideal, se houvesse uma for¸ca de atrito não nula retardando o movimento, o torque produzido por essa for¸ca aumentaria a velocidade angular do corp o mas, ao mes mo tempo, essa for¸ca de atrito diminuiria a velocidade do centro de massa do corpo, o que é absurdo. Entaõ, a for¸ca de atrito deve ter o mesmo sentido do movimento de translaçaõ do corp o? Nesse caso, o torque produzido por Fat provo caria a diminuição da velocidade angular do corpo enquanto a velocidade do

centro de massa aumentaria com o tempo. As duas situa¸cões são absurdas, o que significa que em um plano horizontal a for¸ca de atrito (entre o plano e o corpo que rola) é nula e, portanto, vcm = ωR =

constante. Uma análise detalhada dessa situa¸cão é feita na Referência [3].

Gráfico 1: Fat em função de h para uma esfera de raio R = 20cm

submetida a uma força F = 5N.

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Figura 3: Forças que atuam sobre um corpo deformável. Deve ser notado que a força N está deslocada em

relação à posição de um corpo perfeitamente rígido.

ATRITO DE ROLAMENTO

Por que é muito mais fácil deslocar um corp o que p ossui rodas (um móvel de escritório, por exemplo) do que o mesmo corpo sem rodas? A resposta a essa questaõ nos remete ao conceito de atrito de rolamento.

Sabemos da experiência que um corpo sólido que rola em um plano horizontal perde velocidade e pára após certo tempo. Entaõ por que o corpo pára? além da resistência do ar (arrasto aerodinaˆmico) há o atrito de rolamento que surge devido ao fato de que nem o cor po nem o plano são perfeitamente r´ıgidos e, assim, no movimento de rolamento, ambos sofrem deformaço˜es, o que dá origem ao atrito de rolamento. Considermos, para fixar ideia, um cilindro que rola em um plano horizontal. Vamos considerar que as deformações ocorre m exclusivamente no corp o que rola. Um exemplo dessa situa¸cão seria um pneu de automo´vel trafegando sobre uma pista horizontal de concreto ou asfalto. A Figura 3 mostra as for¸cas que atuam sobre o corpo onde mais uma vez desprezaremos a resistência do ar. Devido ao achatamento do corpo, o ponto de aplicação de N será deslocado para frente p or uma distaˆncia x em relação ao ponto em que N atua no caso do corpo

indeforma´vel. Faté a for¸ca de atrito que se opõe ao movimento. As equa¸cões dinaˆmicas ficam agora:

F − Fat = −Macm (12)

Fat R − Nx = −Iα (13)

onde I é o momento de inércia do corpo e α a aceleração angular em relaçaõ ao centro de massa. Na referência [3] é desenvolvida a teoria que mostra p or que o corpo pára.

Se o corpo se desloca com velocidade do centro de massa constante, as equa¸c˜oes de movimento ficam

F = Fat , (14)

Fat R = Nx. (15)

Da Eq. (15) podemos definir uma grandeza adimensional µ r tal que

µ r=x/R=F at /N (16)

onde µ r ´e denominado coeficiente de atrito de rolamento ou coeficiente de resistˆencia ao

rolamento. Deve ser observado que se o corpo ´e perfeitamente r´ıgido x = 0 e, desse modo, µ r = 0.

Isso explica porque no rolamneto puro de um corpo r´ıgido a for¸ca de atrito é nula. Valores t´ıpicos de µ r para pneus de carro sobre asfalto são da ordem de 0, 01 enquanto o co eficiente de atrito estático

(µ e) ´e da ordem de 0, 9, ou seja, µ r ´e cerca de 90 vezes menor que µ e. Esses valores explicam

porque é tão mais fácil deslocar um móvel que possui ro das em compara¸cão com o mesmo móvel sem rodas.

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Neste trabalho consideramos a dinaˆmica do rolamento sobre uma sup erf´ıcie horizontal plana, assunto ignorado pela maioria dos livros textos universitários de f´ısica básica, que, em geral, considera a cinemática de rolamento e a dinaˆmica de rolamento em um plano inclinado. Consideramos duas situa¸cões, a sab er, o movimento de rolamento sem e com for¸ca motriz. A matema´tica envolvida na análise desse movimento é bastante simples e é acess´ıvel inclusive para estudantes do ensino médio. Apesar de sua simplicidade matema´tica, essas situa¸cões fornecem as condi¸cões ótimas para a introdu¸cão e aprofundamento de importantes conceitos como o de corpo r´ıgido, a conserva¸cão da energia, conserva¸cão do momento angular, for¸cas de atrito, dentre outros.

APˆENDICE

Ciclóide é a curva gerada p or um ponto P sobre uma circunferência que rola sem deslizar sobre uma superf´ıcie horizontal. Consideremos um c´ırculo de raio R que se move ao longo do eixo x, com o ponto P inicialmente na origem. As equa¸cões paramétricas da curva descrita pelo ponto P (a ciclóide) são dadas p or

onde θ é o ângulo de rotaçaõ do c´ırculo à medida que o c orpo gira.

A ciclóide é de grande importância na histo´ria da ciência porque é a solu¸cão de dois problemas famosos. O primeiro é o problema da braquistoćrona (menor tempo), o qual consiste na determinaçaõ da curva (trajetória) ao longo da qual um corpo deslizando sem atrito gastara´ o menor tempo poss´ıvel para ir de um ponto A a um ponto B, sob a¸cão da gravidade. E´ admitido que os pontos A e B não estão na mesma vertical, cuja solu¸cão, neste caso, seria uma reta.

O segundo é o denominado problema da tautoćrona (tempos iguais), que consiste em determinar a forma da curva que faz com que um corpo atinja o ponto mais baixo da curva em intervalos de tempos iguais, independente- mente da altura em que o corpo é solto.

A solu¸cão de ambos problemas é uma ciclóide invertida.

REFERˆENCIAS

[1] Eden V. Costa e C. A. Faria Leite. Revista Brasileira de Ensino de F´ ısicav. 32, n.4, 4301 (2010).

[2] Osman Rosa e Ronilson Carneiro Filho Leite. Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica v. 33, n.2, 2308 (2011).

[3] A. V. Andrade-Neto, J. A. Cruz, M. S. R. Milt˜ao e C. S. Ferreira. Revista Brasileira de Ensino de F´ ısica v. 35, n.3, 3704 (2013).

[4] Michael Segre.Caderno de F´ ısica da UEFS , 06, 87 (2008).