Tangente Rad Grau

010G

M

ATEMÁTICA

A

PLICADA

II

5E

Matemática

Aplicada II

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Aline Palhares

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5ª Edição - Novembro/2006

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Índice

010G/ Apresentação... 7 Lição.1.-.Logaritmos Introdução... 9 1..Definição... 9 2..Propriedades.do.Logaritmo... 11 Exercícios.Propostos... 13 Lição.2.-..Noções.de.Trigonometria Introdução... 15 1..Razões.Trigonométricas.no.Triângulo.Retângulo... 15 1.1.Teorema.de.Pitágoras... 16 1.2.Relações.Trigonométricas... 17 1.3.Uso.da.Calculadora.Científica... 18 2..Conversão.de.Unidades... 19 2.1.Conversão.de.Graus.em.Radianos... 19 2.2.Conversão.de.Radianos.em.Graus... 20 Exercícios.Propostos... 21 Lição.3.-.Números.Complexos Introdução... 27 1..Definição... 27 2..Operações.com.Números.Complexos... 28 2.1.Adição.e.Subtração... 28 3..Módulo.e.Argumento... 28 3.1.Módulo... 28 3.2.Argumento... 28 4..Forma.Trigonométrica.ou.Polar.do.Número.Complexo... 29 5..Multiplicação.e.Divisão.de.Números.Complexos. na.Forma.Trigonométrica.ou.Polar... 30 5.1.Multiplicação... 30 5.2.Divisão... 30 Exercícios.Propostos... 31 Resolução.dos.Exercícios.Propostos... 35 Bibliografia... 40

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Apresentação

010G/ Todo.conhecimento.científico.acumulado.no.decorrer.de.nossa.his-tória.é.permeado.pela.matemática,.e.as.respostas.para.muitas.perguntas. são.dadas.por.ela..Mas.não.estamos.diante.de.uma.ciência.exclusiva.para. cientistas;.a.matemática.faz.parte.de.nosso.dia-a-dia,.porque.a.usamos. de.forma.intuitiva,.já.que,.mesmo.sem.perceber,.fazemos.cálculos.com-plexos..Esse.uso.da.matemática.pode.ser.definido.como.intuitivo..Mas,. para.nossa.vida.profissional,.é.preciso.sistematizar.esse.conhecimento;. e.é.aí.que.entra.a.matemática.como.disciplina.teórica.. Para.quem.já.domina.as.operações.básicas.de.adição,.subtração,. multiplicação.e.divisão;.que.já.conhece.frações,.potenciação,.equações. do.primeiro.e.do.segundo.grau;.enfim,.para.quem.já.possui.um.conhe-cimento. elementar. da. matemática,. os. temas. deste. fascículo. poderão. parecer.um.pouco.complexos,.mas.nada.que.você.não.possa.vencer,.com. um.pouco.de.esforço.e.dedicação.. Ainda.que,.em.alguns.momentos,.tenhamos.a.impressão.de.estar. tratando.de.algo.muito.diferente.do.que.já.aprendemos,.é.preciso.ter. consciência.de.que.o.que.está.na.base.das.operações.de.logaritmos,.tri-gonometria.e.números.complexos.são.os.tais.conhecimentos.elementares. da.matemática..Quer.dizer,.para.um.bom.desempenho.nessa.matéria,. não.podemos.perder.de.vista.tudo.aquilo.que.aprendemos.antes... É.importante.lembrar.que,.mesmo.diante.de.estudos.mais.complexos,. existe.o.fascínio.do.desafio..E.a.matemática.é.uma.disciplina.fascinante,. que.envolve.raciocínio.e.criatividade..Caso.você.tenha.ainda.alguma. dúvida.sobre.como.a.matemática.pode.ser.encantadora,.recomendamos. o.excelente.livro.O Homem que Calculava,.de.Malba Tahan.

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1

lição

lição

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 010G/9 ○ ○ ○ ○ ○

Introdução

A idéia de logaritmo é transformar opera-ções complexas, como potenciação e radi-ciação, em operações mais simples. Por isso a importância de seu estudo, já que constitui uma ferramenta para diversas disciplinas, como, por exemplo, as telecomunicações. Veremos, nesta lição, o que são logaritmos e as suas pro-priedades operatórias.

1. Definição

Logaritmo de um número positivo numa base real positiva e diferente de 1 é o expoen-te a que expoen-tem de se elevar esta base para a ob-tenção do número.

Sua notação é:

log_b a = c

Leitura: logaritmo de a na base b é igual a c. Significado: estamos procurando um número

c de tal forma que bc _{= a.}

Então, temos por definição: log_b a = c ⇔ bc _{= a}

Onde:

• a é o logaritmando, sendo um número maior

que zero;

• b é a base do logaritmo, também um número

maior que zero e diferente de 1;

• c é o logaritmo.

Obs.: quando a base é 10, ela pode ser omiti-da. Por exemplo: log2, lê-se logaritmo de 2 na base 10.

Exemplos: • log₂ 4

Leitura: logaritmo de 4 na base 2. Para calcular este logaritmo, faremos:

log₂ 4 = c ⇔ 2c _{= 4}

Isto é, seguimos a definição de logaritmo.

2c _{= 4 é uma equação denominada exponencial.}

Para resolvê-la, temos que deixar as bases iguais. Para tanto, fatoramos o número 4, assim:

2 2 4 1 2 2 2 4 =

Na equação exponencial, substituímos o 4 por 22_.

2c _{= 4}

2c _{= 2}2

Nessa igualdade, observamos que as ba-ses são iguais e, portanto, os expoentes são iguais:

c = 2

Então, log₂ 4 é 2, ou seja, log₂ 4 = 2

Logaritmos

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010G/10 Leitura: o logaritmo de 4 na base 2 é igual a 2.

• log₃ 81

Faremos log₃ 81 = c ⇔ 3c = 81

Trabalhando com a equação exponencial 3c = 81, temos:

3c = 34 c = 4

Portanto, log₃ 81 = 4

Leitura: o logaritmo de 81 na base 3 é igual a 4. • log₃ 1 81 3c= 1 81 3c= 1 34

Sabemos que 1 = 3-4, portanto: 34

3c = 3-4 c = - 4

Logo, log₃ 1 = - 4 81

Leitura: o logaritmo de 1 na base 3 é igual a - 4. 81

Vejamos outras situações para o cálculo de logaritmo:

• log₄ 32

Para efetuarmos este cálculo, continua-mos aplicando a definição de logaritmo, ou seja, log₄ 32 = c ⇔ 4c = 32.

Neste caso, temos que fatorar os números 4 e 32.

4 = 22 e 32 = 25

Fazendo a substituição na equação ex-ponencial encontrada, temos:

4c = 32 (22)c = 25

Eliminamos os parênteses fazendo a multiplicação dos expoentes 2 e c, que re-sulta 2c:

22c = 25

E continuamos normalmente, conside-rando apenas a igualdade entre os expoen-tes: 2c = 5 c = 5 2 Portanto, log₄ 32 = 5 2 • log₉ 27 log₉ 27 = c ⇔ 9c = 27 (32)c = 33 32c = 33 2c = 3 c = 3 2 Antes de continuar seu

estudo, faça o exercício 1 desta lição.

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Instituto Monitor ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 010G/11 ○ ○ ○ ○ ○ • log₉ 1 27 log₉ 1 = c ⇔ 9c _{= 1} 27 27 (32₎c _{= 1} 33 32c _{= 3}-3 |2c = -3 c = - 3 2

Em Telecomunicações ao estudar, por exemplo, as relações de potência de sinais, usamos os logaritmos na base 10.

• Vamos escrever logaritmo de 100 na base 10: log 100, ou seja, quando a base do logaritmo for 10, não precisamos escrevê-la.

O cálculo efetua-se normalmente:

log 100 = c
10c _{= 100}

10c _{= 10}2

c = 2

Usando a calculadora científica para a determinação dos logaritmos decimais: 1) No cálculo de log 100, digitamos o número

100, em seguida apertamos a tecla log e aparecerá no visor o número 2.

Então log 100 = 2 Isto é, 102 _{= 100}

2) Usando a calculadora, vamos determinar log 12:

Registramos o número 12, em seguida apertamos a tecla log e aparecerá no visor o número: 1,079181.

Então log 12 = 1,079181

Ou seja, 101,079181≅ 12

2. Propriedades do Logaritmo

• Logaritmo de 1 em qualquer base será

sem-pre igual a 0.

log_b 1 = 0 Exemplos:

log₅ 1 = 0 log₃ 1 = 0

• Logaritmo de um número qualquer, cuja base

é o mesmo número, será sempre igual a 1.

log_a a = 1

Exemplos: log₅ 5 = 1 log₆ 6 = 1

• Logaritmo de uma potência qualquer, em

que a base corresponde à base da potência, será sempre igual ao expoente da potência.

log_a am _{= m}

Exemplos: log₅ 53 _{= 3}

log₇ 74 _{= 4}

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Exercícios Propostos

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 010G/13 ○ ○ ○ ○ ○ 1 - Calcule: a) log₂ 32 = b) log₇ 49 = c)log₇ 1 = 49 d) log100 = e) log₅ 125 = f)log₂ 1 = 16 g) log₃ 243 = h)log₃ 1 = 243 i) log₂ 1.024 = j) log₇ 343 = 2 - Calcule: a) log₈ 32 = b) log₂₇ 243 =

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 010G/14 ○ ○ ○ ○ ○ c)log₄ 1 = 8 d) log₂₅ 1 = 125 e) log₄₉ 343 = f) log₄ 8 = 3 - Calcule: a) log10 = b) log100 = c) log1000 = d) log10.000= e) log0,1 = f) log0,01 = g) log0,001 = h) log0,0001 =

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2

lição

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 010G/15 ○ ○ ○ ○ ○

Introdução

A trigonometria está relacionada com o es-tudo da medição de triângulos. Problemas re-lacionados à topografia, navegação, indústria de moldes, entre muitos, exigem a resolução de triângulos. A trigonometria é uma ferramenta importante para a eletrônica, pois permite, tre outras operações, estabelecer relações en-tre tensão, corrente e resistência elétrica.

1. Razões Trigonométricas

no Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo é caracterizado por ter um ângulo interno reto, ou seja, um ângulo de 90 graus.

No encontro dos lados AB com BC, temos

o ângulo de 90o_{.Uma vez localizado o ângulo}

de 90o_{, o lado oposto a ele é denominado}

hipotenusa, e os outros dois lados são os catetos:

No triângulo retângulo, fixando um ângu-lo agudo, por exempângu-lo Â, podemos estabelecer as relações trigonométricas seno (sen), cosseno (cos) e tangente (tg) do ângulo agudo Â, assim definidas:

sen = cateto oposto ao ângulo Â

hipotenusa

cos = cateto adjacente ao ângulo Â

hipotenusa

tg  = cateto oposto ao ângulo Â

cateto adjacente ao ângulo Â

Exemplo:

Considerando o triângulo retângulo:

Determinaremos o seno, o cosseno e a tan-gente do ângulo Â.

O lado AC, por ser oposto ao ângulo de 90 graus, é a hipotenusa e sua medida é 5 cm. Os outros dois lados, AB e BC, são os catetos. Como estamos fixando o ângulo agudo Â, o lado

opos-Noções de

Trigonometria

A B C A B C Hipotenusa Cateto Cateto A B C 5 cm 3 cm 4 cm

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010G/16 to a este ângulo é denominado cateto oposto,

no caso o lado BC, que mede 3 cm. O lado que está formando o ângulo  junto com a hipotenusa é o cateto adjacente, no exemplo, o lado AB, que mede 4 cm.

Calculando:

sen = cateto oposto ao ângulo  hipotenusa

sen = 3 5

cos = cateto adjacente ao ângulo  hipotenusa

cos = 4 5

tg = cateto oposto ao ângulo  cateto adjacente ao ângulo  tg = 3

4

Observamos ainda que é possível fixar o ângulo C. Dessa forma, o cateto oposto ao ân-gulo C mede 4 cm, o cateto adjacente mede 3 cm e a hipotenusa, como vimos, mede 5 cm.

Calculando seno, cosseno e tangente do ângulo agudo C, temos:

senC = cateto oposto ao ângulo C hipotenusa

senC = 4 5

cosC = cateto adjacente ao ângulo C hipotenusa

cosC = 3 5

tgC = cateto oposto ao ângulo C cateto adjacente ao ângulo C tgC = 4

3

1.1 Teorema de Pitágoras

Dado o triângulo retângulo:

Vamos calcular o seno, o cosseno e a tangente do ângulo agudo Â. Verificamos, porém, que não é fornecida a medida da hipotenusa. Para determiná-la, utilizamos o Teorema de Pitágoras, que diz o seguinte: “o quadrado da medida de hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos ca-tetos”. Ou seja,

(hipotenusa)2 _{= (cateto)}2 _{+ (cateto)}2

Designando por x a medida da hipo-tenusa, obtemos: x2 _{= 12}2 _{+ 16}2 x2 _{= 144 + 256} x2 _{= 400} x = √400 x = 20

Portanto, a medida da hipotenusa é 20. A

B ₁₆ C

12

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Instituto Monitor ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 010G/17 ○ ○ ○ ○ ○ aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa

Com essa informação, podemos normal-mente calcular seno, cosseno e tangente do ângulo Â.

sen = cateto oposto ao ângulo Â

hipotenusa sen = 16 = 4

20 5

cos = cateto adjacente ao ângulo Â

hipotenusa cos = 12 = 3

20 5

tg = cateto oposto ao ângulo Â

cateto adjacente ao ângulo Â

tg = 16 = 4 12 3

Em circuitos de corrente alternada em série, fazemos uso do triângulo retângulo, por exemplo:

Podemos através do Teorema de Pitágoras encontrar o valor da hipotenusa, representada pela impedância, esta caracteriza um impor-tante fator elétrico, que estudaremos no curso.

1.2 Relações Trigonométricas

A tabela abaixo apresenta as relações

trigonométricas com os ângulos de 30o_{, 45}o _e

60o_{. A partir dos valores de seno, cosseno e}

tangente, é possível calcular as medidas dos catetos e hipotenusa.

Vejamos, de forma prática, como aplicar esse conhecimento.

Uma escada está apoiada num muro,

for-mando com o solo um ângulo de 30o_{. Qual a}

altura do muro, se a escada tem 10 metros de comprimento?

Considerando o muro, a escada e o solo, temos um triângulo retângulo, com hipotenusa

medindo 10m e um ângulo de 30o

. Queremos determinar o valor do cateto oposto a esse ân-gulo. Para isso, vamos utilizar a fórmula do seno:

sen 30o = cateto oposto ao ângulo de 30

o hipotenusa Relação trigonométrica Seno Cosseno Tangente o o o 30 45 60 1 2 3 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 1 3 2 30o 10 m Muro x X (Reatâncias) Z (impedância) R (Resistência) Antes de continuar os estudos, faça o exercício 3 desta lição.

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Instituto Monitor ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 010G/18 ○ ○ ○ ○ ○ 60o x cos60o = cateto adjacente hipotenusa 1 ₌ x 2 25 2x = 25 x = 25 = 12,5 2 Portanto, o valor de x é 12,5 cm. 1.3 Uso da Calculadora Científica

Em Eletrônica, iremos estudar a potência real em qualquer circuito de corrente alter-nada e, também a força sobre cargas elétricas em movimento, entre outros conceitos, onde é necessária a determinação do seno, cosseno e tangente de um determinado ângulo, sendo a calculadora científica, um excelente instru-mento na agilização dos cálculos.

• Ao se determinar o seno do ângulo de 65o

, faremos:

Digitamos 65 e apertamos a tecla sin e lemos no visor 0,9063

Então, sen 65o

= 0,9063.

• Ao se determinar o cosseno do ângulo de 65o

, faremos:

Digitamos 65 e apertamos a tecla cos e lemos no visor 0,4226

Então, cos 65o

= 0,4226.

• Ao se determinar a tangente do ângulo de 65o

, faremos:

Digitamos 65 e apertamos a tecla tan e lemos no visor 2,1445

Então, tg 65o

= 2,1445.

• Ao se determinar o seno do ângulo de 82o

, faremos:

Digitamos 82 e apertamos a tecla sin e lemos no visor 0,9902

Então, sen 82o

= 0,9902.

1 2

Consultando a tabela, vemos que o seno

de 30o

é igual a . A altura do muro será x. Assim:

seno 30o ₌ cateto oposto ao ângulo de 30

o

hipotenusa 1 ₌ x

2 = 10

Resolvendo a igualdade, temos: 2. x = 1 . 10

2x = 10 x = 10

2 x = 5

Portanto, o muro tem 5 metros.

Vamos, agora, pensar numa pilha de li-vros apoiada numa estante, com o livro mais próximo da lateral da estante formando um

ângulo de 60o _{com a mesma, assim:}

A altura do triângulo formado pelo livro, se considerarmos este ângulo, estará corres-pondendo ao cateto adjacente, e temos a hipo-tenusa que vale 25 cm. Assim, a fórmula a ser utilizada é:

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010G/19 • Ao se determinar o cosseno do ângulo de

82o_{, faremos:}

Digitamos 82 e apertamos a tecla cos e lemos no visor 0,1392

Então, cos 82o _{= 0,1392.}

• Ao se determinar a tangente do ângulo de 82o_{, faremos:}

Digitamos 82 e apertamos a tecla tan e lemos no visor 7,1154

Então, tg 82o _{= 7,1154.}

A calculadora pode facilmente dar a medida do ângulo, tendo o valor do seno, cosseno ou tangente.

Assim, se tivermos sen = 0,9063, com o uso da função arco seno ou sin-1_{, teremos a}

indicação no visor 64,9989. Dessa forma o ângulo  ≅ 65o

Outros exemplos:

1) Sabendo que cos = 0,4226, determine a medida do ângulo Â.

Na calculadora, usaremos arco cosseno, basta digitar 0,4226 e apertar a tecla cos-1 _e

aparecerá no visor 65,0011. Então, o ângulo  ≅ 65o

2) Sabendo que tg = 2,1445. determine a medida do ângulo Â.

Na calculadora, usaremos arco tangente. Digitamos 2,1445 e apertamos a tecla tan-1 _e

aparecerá no visor 64,9999. Então, o ângulo  ≅ 65o

2. Conversão de Unidades

Vejamos a medida de um arco usando o radiano (rad) como unidade. Observe as figuras:

2.1 Conversão de Graus em Radianos

Para converter graus em radianos, utili-zamos a regra de três simples, considerando a equivalência:

• 360o _{equivale a 2π radianos}

• 270o _{equivale a radianos}

• 180o _{equivale a π radianos}

• 90o _{equivale a radianos}

Por exemplo, para converter 60o _em

ra-dianos, procedemos assim:

Graus Radianos 180 ..._π 60 ... x Antes de continuar seus estudos, faça o exercício 4 desta lição. 2π rad 360o 3π rad 2 270o 180o π rad 90o π rad 2 3π 2 π 2

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

010G/20 ○ ○ ○ ○ ○

Por se tratar de grandezas diretamente proporcionais, basta multiplicá-las em cruz:

180x = 60π x = 60π , simplificando temos: 180 x = π rad 3 Portanto, 60o = π rad 3

Façamos mais um exercício: o de conver-ter 70o em radianos. Graus Radianos 180 ... π 70 ... x 180 . x = 70 . π 180x = 70π x = 70π 180 x = 7π 18 Portanto, 70o = 7π rad 18

2.2 Conversão de Radianos em Graus Para transformar radianos em graus, fa-zemos o processo inverso.

Exemplos:

1) Converta π rad em graus: 5

Graus Radianos

180 ...π x ...

Multiplicando em cruz temos: πx = 180 . π

5 πx = 36π x = 36o

2) Converta 3π rad em graus:

Graus Radianos 180 ...π x ... 3π πx = 180 . 3π x = 180 . 3π π x = 540o π 5

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3

lição

lição

010G/27

Antes de continuar seus estudos, faça o exercício 1 desta lição.

Introdução

Os números complexos constituem uma extensão dos números reais; eles surgiram a partir da necessidade de se realizar operações que no campo real não tinham solução, como a extração da raiz quadrada de números ne-gativos. Esse conhecimento é importante, por exemplo, em eletrônica.

1. Definição

Chamamos de complexo todo número composto de duas partes: uma parte real e outra imaginária.

A forma algébrica de um número comple-xo é dada por:

z = a + bi Onde:

• a e b são números reais.

• i é a unidade imaginária, e é igual à raiz qua-drada de (- 1), ou seja, i = √- 1. Ao elevarmos i ao quadrado, teremos: i2 _{= (√- 1 )}2 _{= - 1.}

O número real a é a parte real do número complexo z e o número real b é a parte ima-ginária do número complexo z.

Exemplos: • z = 3 + 5i • z = – 3 + 6i

• z = 8i • z = 5 – 7i

Vamos, agora, identificar as partes real e imaginária de alguns números complexos: • – 8 + 5i Parte real: – 8 Parte imaginária: 5 • 5 – 4i Parte real: 5 Parte imaginária: – 4 • 6 – i Parte real: 6 Parte imaginária: –1 • – 6 Parte real: – 6 Parte imaginária: 0

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010G/28

2. Operações com

Números Complexos

2.1 Adição e Subtração

Para efetuarmos a adição de números complexos, somamos: parte real com parte real e parte imaginária com parte imagi-nária. Para subtrairmos, fazemos o mesmo: subtraímos parte real de parte real e parte imaginária de parte imaginária.

Exemplos:

a) Dados os números complexos: z₁ = 3 + 4i e z₂ = – 5 + 7i. Efetue a soma:

z₁ + z₂ =

(3 + 4i) + (– 5 + 7i) = 3 + 4i – 5 + 7i = – 2 + 11i

Fizemos a adição algébrica da parte real com a parte real (3 e – 5), o mesmo ocorrendo com a parte imaginária (4i e 7i).

z₁ – z₂ =

(3 + 4i) – (–5 + 7i) = 3 + 4i + 5 – 7i = 8 – 3i

Obs.: lembre-se da regra de sinais na hora de eliminar os parênteses, (–) com (–) = (+).

3. Módulo e Argumento

3.1 Módulo

O módulo de um número complexo z = a + bi, representado por lzl, está associado a um ponto P representado num plano. Assim:

Destacamos o módulo de z e indicamos por |z|, que corresponde à distância da ori-gem até P.

Assim,

Exemplos:

• O módulo do número complexo z = 4 – 3i é:

• O módulo do número complexo z = 4 + i é:

3.2 Argumento

O argumento de um número complexo z é a medida do ângulo θ. Em Eletrônica, este ângulo poderá ser negativo, indicando desta forma a reatância capacitiva, diferenciando da reatância indutiva que tem ângulo positivo.

y b a 0 x P (a, b) θ lzl

Antes de continuar seus estudos, faça os exercícios 1,2 e 3

desta lição.

25 16

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4. Forma Trigonométrica ou

Polar do número complexo

Em Circuitos Elétricos, o número com-plexo na sua forma trigonométrica assume a

seguinte representação |z| ∠ θ

Por exemplo, considere o número com-plexo z = 4 + 3i, vimos que ele se encontra na forma algébrica.

Querendo escrevê-lo na forma |z| ∠ θ,

te-remos que determinar inicialmente, o módulo |z| e o ângulo θ .

Cálculo do módulo de 4 + 3i ⇒ |z| = √ 42 _{+ 3}2 ₌

√ 16 + 9 = √ 25 = 5

Para a determinação da medida do ângulo θ (argumento), podemos também recorrer a arco tangente, representada por arc tg (con-siderando condições bem determinadas, é in-versa à tangente).

Cálculo de arc tg = arc tg =

arc tg 0,75 = 37o

Ao fazer arc tg 0,75, usando a calculadora científica, seguimos o processo:

Digite 0,75 e pressione a tecla tan-1_,

apare-cerá no visor 36,8698976o _{≅ 37}o

Assim, o número complexo z = 4 + 3i pode

ser expresso na forma |z| ∠ θ ficando, então,

5 ∠ 37o

Outro exemplo:

Escrever o número complexo z = 1 + i, na

forma |z| ∠ θ

Cálculo do módulo de 1 + i ⇒ |z| = √ 12 _{+ 1}2 ₌

√ 1 + 1 = √ 2

Determinação da medida do ângulo θ

(argumento), por arco tangente, representada por arc tg.

Cálculo de arc tg = arc tg =

arc tg 1 = 45°

O número complexo z = 1 + i, expresso na

forma |z| ∠ θ é √ 2 ∠ 45o

Para efeito de operações de adição e subtração, é conveniente fazer a conversão para a forma algébrica z = a + bi, e efetuar a operação.

Onde a = |z| . cos θ e

b = |z| . sen θ Exemplo:

Escrever o número complexo 4 ∠ 60o

na forma algébrica a + bi.

Vamos determinar os valores de a e b, sabendo que: a = |z| . cos θ a = 4 . cos 60o a = 4 . 1 2 a = 2 b = |z| . sen θ b = 4 . √ 3 2 b= 2√ 3

Então, a forma algébrica de 4 ∠ 60o

é 2 + 2√ 3 i b a 3 4 1 1 b a

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Instituto Monitor ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 010G/30 ○ ○ ○ ○ ○

5. Multiplicação e Divisão de

Números Complexos na Forma

Trigonométrica ou Polar

Utilizando a representação |z| ∠ θ ,vamos

efetuar a multiplicação e a divisão dos núme-ros complexos.

5.1 Multiplicação

Neste caso, multiplicamos os módulos e adicionamos os argumentos:

Sejam z₁ = 120 ∠ 60o e z₂ = 150 ∠ 43°

Determine z₁ . z₂.

Vamos inicialmente multiplicar os módu-los 120 . 150 = 18.000

Agora vamos adicionar os argumentos 60o

+ 43o

= 103o

O resultado é: z₁ . z₂ = 18.000 ∠ 103o

5.2 Divisão

Neste caso, dividimos os módulos e sub-traímos os argumentos:

Sejam z₁ = 6 ∠ 45o

e z₂ = 2 ∠ 36o

Determine z₁ : z₂.

Vamos inicialmente dividir os módulos 6 : 2 = 3

Agora vamos subtrair os argumentos 45o

- 36o

= 9o

O resultado é z₁ : z₂ = 3 ∠ 9o

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Exercícios Propostos

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○

010G/31 ○ ○ ○ ○ ○

1 - Identifique a parte real e a parte imagi-nária dos números complexos:

a) 8 + 4i b) 6 – 10i c) 7 – 4i d) 10 + 15i e) – 8 + 4i f) – 4 + 10i

2 - Efetue as operações indicadas: a) (4 + i) – (7 + 3i)

b) (3 + 8i) + (10 + 14i)

c) (– 2 + 7i) – (7 + 4i)

d) (6 – 8i) + (4 – 7i)

e) (– 8 – 10i) – (14 – 8i)

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 010G/32 ○ ○ ○ ○ ○ b) 6 – 8i c) 3 + 4i d) –3 + 2i

4 - Dados os números complexos a seguir, efetue as operações indicadas:

a) Sejam z₁ = 8 ∠ 30o e z₂ = 4 ∠ 300o Determine z₁ . z₂. f) (8 + 5i) – (–7 + 3i) g) (1 + i) + (5 + 2i) h) (3i) + (8 + 6i) i) (24 + i) – (14 – 2i) j) (-3 + 7i) + (-2 + 10i)

3 - Determine o módulo dos números com-plexos:

a) 2 + 3i

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○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 010G/33 ○ ○ ○ ○ ○ b) Sejam z₁ = 2 ∠ 45o e z₂ = 3 ∠ 60o Determine z₁ . z₂. c) Sejam z₁ = 15 ∠ 45o e z₂ = 5 ∠ 20o Determine z₁ : z₂. d) Sejam z₁ = 90 ∠ 65o e z₂ = 15 ∠ 35o Determine z₁ : z₂.

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Resolução dos Exercícios Propostos

010G/35 ○ ○ ○ ○ ○

Lição 1

1 - Calcule: a) log₂32 = 2c _{= 32} 2c= 25 c = 5 b) log₇49 = 7c = 49 7c = 72 c = 2 c) log₇ 1 = 49 7c = 1 49 7c = 1 72 7c = 7-2 c = -2 d) log 100 = 10c = 100 10c = 102 c = 2 e) log₅125 = 5c = 125 5c = 53 c = 3 f) log₂ 1 = 16 2c = 1 16 2c = 1 24 2c = 2-4 c = -4 g) log₃243 = 3c = 243 3c = 35 c = 5 h) log₃ 1 = 243 3c = 1 243 3c = 1 35 3c = 3-5 c = -5 i) log₂1.024 = 2c = 1.024 2c = 210 c = 10 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ j) log₇343 = 7c = 343 7c = 73 c = 3 2 - Calcule: a) log₈32 = 8c = 32 (23)c = 25 23c = 25 3c = 5 c = 5 3 b) log₂₇243 = 27c = 243 (33)c = 35 33c = 35 3c = 5 c = 5 3 c) log₄ 1 = 8 4c = 1 8 (22)c = 1 23 22c = 2-3 2c = -3 c = -3 2

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Instituto Monitor 010G/36 ○ ○ ○ ○ ○ d) log₂₅ 1 = 125 25c = 1 125 (52)c = 1 53 52c = 5-3 2c = -3 c = - 3 2 e) log₄₉343 = 49c = 343 (72)c = 73 72c = 73 2c = 3 c = 3 2 f) log₄8 = 4c = 8 (22)c = 23 22c = 23 2c = 3 c = 3 2 3 - Calcule: a) log 10 = 10c _{= 10} 10c _{= 10}1 c = 1 b) log 100 = 10c _{= 100} 102 _{= 100} c = 2 c) log 1000 = 10c _{= 1000} 10c _{= 10}3 c = 3 ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ d) log 10.000 = 10c _{= 10.000} 10c _{= 10}4 c = 4 e) log 0,1 = 10c _{= 0,1} 10c _{= 10}-1 c = -1 f) log 0,01 = 10c _{= 0,01} 10c _{= 10}-2 c = -2 g) log 0,001 = 10c _{= 0,001} 10c _{= 10}-3 c = -3 h) log 0,0001 = 10c _{= 0,0001} 10c _{= 10}-4 c = -4

Lição 2

1 -a)

sen = cateto oposto

hipotenusa

sen = 12

13

cos = cateto adjacente

hipotenusa cos = 5 13 tg = cateto oposto cateto adjacente tg = 12 5 b)

senC = cateto oposto

hipotenusa

senC = 5

13

cosC = cateto adjacente

hipotenusa cosC = 12 13 tgC = cateto oposto cateto adjacente tgC = 5 12 2 -a)

sen = cateto oposto

hipotenusa sen = 6 = 3

10 5

cos = cateto adjacente

hipotenusa cos = 8 = 4 10 5 tg = cateto oposto cateto adjacente tg = 6 = 3 8 4 b)

senC = cateto oposto

hipotenusa senC = 8 = 4

10 5

cosC = cateto adjacente

hipotenusa cosC = 6 = 3 10 5 tgC = cateto oposto cateto adjacente tgC = 8 = 4 6 3

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010G/37 ○ ○ ○ ○ ○

3

-(hipotenusa)2 _{= (cateto)}2 _{+ (cateto)}2

x2 _{= 6}2 _{+ 8}2

x2 _{= 36 + 64}

x2 _{= 100}

x = 10

sen = cateto oposto

hipotenusa sen = 8 = 4

10 5

cos = cateto adjacente

hipotenusa cos = 6 = 3 10 5 tg = cateto oposto cateto adjacente tg = 8 = 4 6 3 4 -aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa aaaaaa x 8 m 60o y cos60o = cateto adjacente hipotenusa cos60o = x 8 1 = x 2 8 x = 4 metros

sen60o = cateto oposto

hipotenusa sen60o = y 8 √3 ₌ y 2 8 2y = 8√3 y = 4√3 metros

Resposta: a altura do muro é de 4 metros e a

distância do muro à base da escada é de 4√3

metros. 5 - Converter: a) 40o _{em rad} b) 50o _{em rad} c) 100o _{em rad} π π π π = = = 180 40 180 40 40 2 180 9 x x x rad π Π π π = = = 180 50 180 50 50 5 180 9 x x x rad π π π π = = = 180 100 180 100 100 5 180 9 x x x rad

π

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Instituto Monitor 010G/38 ○ ○ ○ ○ ○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ d) 120o _{em rad} e) 310o _{em rad} f) 200o _{em rad} 6 - Converter: a) 4π rad em graus 6 b) 3π rad em graus 4 c) 6π rad em graus 5 d) 7π rad em graus 3 e) 3π rad em graus 5 f) 4π rad em graus 3

7 - Usando a calculadora cien-tífica, dê o valor: a) 0,9848 b) 0,2756 c) 8,1443 d) 0,6018 e) 0,8829 f) 0,9657

8 - Usando a calculadora cien-tífica, dê o valor: a) ≅ 80o b) ≅ 74o c) ≅ 83o d) ≅ 37o e) ≅ 28o f) ≅ 44o

Lição 3

1 - Identifique: a) 8 + 4i Parte real = 8 Parte imaginária = 4 b) 6 - 10i Parte real = 6 Parte imaginária = - 10 π π π π = = = 180 200 180 200 200 10 180 9 x x x rad π π π π π π = = = 180 4 6 4 180. 6 120 120o x x x x π π π π π π = = = 180 3 4 3 180. 4 135 135o x x x x π π π π = = = 180 120 180 120 120 2 180 3 x x x rad π π π π = = = 180 310 180 310 310 31 180 18 x x x rad π π π π π π = = = 180 6 5 6 180. 5 216 216o x x x x π π π π π π = = = 180 7 3 7 180. 3 420 420o x x x x π π π π π π = = = 180 3 5 3 180. 5 108 108o x x x x π π π π π π = = = 180 4 3 4 180. 3 240 240o x x x x

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Instituto Monitor 010G/39 ○ ○ ○ ○ ○ c) 7 - 4i Parte real = 7 Parte imaginária = 4 d) 10 + 15i Parte real = 10 Parte imaginária = 15 e) - 8 + 4i Parte real = - 8 Parte imaginária = 4 f) - 4 + 10i Parte real = - 4 Parte imaginária = 10 2 - Efetue as operações: ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ ○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○○ 3 - Determine o módulo: a) z = 2 + 3i |z| =

√

22 _{+ 3}2 |z| = √4 + 9 |z| = √13 b) z = 6 + 8i |z| =

√

62 _{+ (- 8)}2 |z| = √36 + 64 |z| = √100 |z| = 10 c) 3 + 4i |z| =

√

32 _{+ 4}2 |z| = √ 9 + 16 |z| = √ 25 |z| = 5 d) –3 + 2i |z| =

√

(-3)2 _{+ 2}2 |z| = √ 9 + 4 |z| = √ 13

4 - Dados os números comple-xos a seguir, efetue as ope-rações indicadas: a) z₁ . z₂ = 32 ∠ 330o b) z₁ . z₂ = 6 ∠ 105o c) z₁ : z₂ = 3 ∠ 25o d) z₁ : z₂ = 6 ∠ 30o

(

) (

)

d ) 6 8i 4 7i 6 8i 4 7i 10 15i − + − = − + − = −

(

) (

)

c) 2 7i 7 4i 2 7i 7 4i 9 3i − + − + = − + − − = − +

(

) (

)

a) 4 i 7 3i 4 i 7 3i 3 2i + − + = + − − = − −

(

) (

)

b) 3 8i 10 14i 3 8i 10 14i 13 22i + + + = + + + = +

(

) (

)

e) 8 10i 14 8i 8 10i 14 8i 22 2i − − − − = − − − + = − −

(

) (

)

g) 1 i 5 2i 1 i 5 2i 6 3i + + + = + + + = +

(

) (

)

f) 8 5i 7 3i 8 5i 7 3i 15 2i + − − + = + + − = +

( ) (

)

h) 3i 8 6i 3i 8 6i 8 9i + + = + + = +

(

) (

)

j) 3 7i 2 10i 3 7i 2 10i 5 17i − + + − + = − + − + = − +

(

) (

)

i) 24 i 14 2i 24 i 14 2i 10 3i + − − = + − + = +

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Bibliografia

010G/40 ○ ○ ○ ○ ○

IEZZI, Gelson

Fundamentos da Matemática Elementar Atual Editora, São Paulo, s/d.

GIOVANNI, José Ruy BONJORN, José Roberto Matemática

Editora FTD, São Paulo, s/d. DANTE, Luiz Roberto

Matemática - Contexto & Aplicações Ática, São Paulo, s/d.

BIANCHINI, Edwaldo PACCOLA, Herbal Matemática

Editora Moderna, São Paulo, s/d.

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Pesquisa de Avaliação

010G - Matemática Aplicada II

Nome (campo não obrigatório): _______________________________________________________________ No _{de matrícula (campo não obrigatório): _____________________}

Curso Técnico em:

Eletrônica Secretariado Gestão de Negócios

Transações Imobiliárias Informática Telecomunicações

Contabilidade

QUANTO AO CONTEÚDO

1) A linguagem dos textos é:

a) sempre clara e precisa, facilitando muito a compreensão da matéria estudada. b) na maioria das vezes clara e precisa, ajudando na compreensão da matéria estudada. c) um pouco difícil, dificultando a compreensão da matéria estudada.

d) muito difícil, dificultando muito a compreensão da matéria estudada. e) outros: ______________________________________________________ 2) Os temas abordados nas lições são:

a) atuais e importantes para a formação do profissional.

b) atuais, mas sua importância nem sempre fica clara para o profissional. c) atuais, mas sem importância para o profissional.

d) ultrapassados e sem nenhuma importância para o profissional. e) outros: ______________________________________________________ 3) As lições são:

a) muito extensas, dificultando a compreensão do conteúdo.

b) bem divididas, permitindo que o conteúdo seja assimilado pouco a pouco. c) a divisão das lições não influencia Na compreensão do conteúdo.

d) muito curtas e pouco aprofundadas.

e) outros: ______________________________________________________

Caro Aluno:

Queremos saber a sua opinião a respeito deste fascículo que você acaba de estudar. Para que possamos aprimorar cada vez mais os nossos serviços, oferecendo um material didático de qualidade e eficiente, é muito importante a sua avaliação. Sua identificação não é obrigatória. Responda as perguntas a seguir assinalando a alternativa que melhor corresponda à sua opinião (assinale apenas UMA alternativa). Você também pode fazer sugestões e comentários por escrito no verso desta folha.

Na próxima correspondência que enviar à Escola, lembre-se de juntar sua(s) pesquisa(s) respondida(s).

O Instituto Monitor agradece a sua colaboração.

A Editora.

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QUANTO AOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS

4) Os exercícios propostos são:

a) muito simples, exigindo apenas que se decore o conteúdo. b) bem elaborados, misturando assuntos simples e complexos. c) um pouco difíceis, mas abordando o que se viu na lição.

d) muito difíceis, uma vez que não abordam o que foi visto na lição. e) outros: ______________________________________________________ 5) A linguagem dos exercícios propostos é:

a) bastante clara e precisa.

b) algumas vezes um pouco complexa, dificultando a resolução do problema proposto. c) difícil, tornando mais difícil compreender a pergunta do que respondê-la.

d) muito complexa, nunca consigo resolver os exercícios.

e) outros: ______________________________________________________

QUANTO À APRESENTAÇÃO GRÁFICA

6) O material é:

a) bem cuidado, o texto e as imagens são de fácil leitura e visualização, tornando o estudo bastante agradável. b) a letra é muito pequena, dificultando a visualização.

c) bem cuidado, mas a disposição das imagens e do texto dificulta a compreensão do mesmo. d) confuso e mal distribuído, as informações não seguem uma seqüência lógica.

e) outros: ______________________________________________________ 7) As ilustrações são:

a) bonitas e bem feitas, auxiliando na compreensão e fixação do texto. b) bonitas, mas sem nenhuma utilidade para a compreensão do texto. c) malfeitas, mas necessárias para a compreensão e fixação do texto. d) malfeitas e totalmente inúteis.

e) outros: ______________________________________________________

Lembre-se: você pode fazer seus comentários e sugestões, bem como apontar algum problema específico encontrado no fascículo. Sinta-se à vontade!

PAMD1 Sugestões e comentários ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

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