UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL,
ARQUITETURA E URBANISMO
ROMILDO APARECIDO SOARES JUNIOR
RELATÓRIO DO CURSO DE ELEMENTOS FINITOS :
TRANSFERÊNCIA DE CALOR TRANSIENTE PELO
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
CAMPINAS – SP DEZEMBRO 2012
ROMILDO APARECIDO SOARES JUNIOR
RELATÓRIO DO CURSO DE ELEMENTOS FINITOS :
TRANSFERÊNCIA DE CALOR TRANSIENTE PELO
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Relatório apresentado como parte dos requisitos para aprovação na disciplina Introdução ao Método dos Elementos Finitos do Curso de Pós Graduação em Engenharia Civil da Universidade Estadual de Campinas, elaborado sob orientação do Prof. Dr. Philippe Remy Bernard Devloo.
CAMPINAS – SP DEZEMBRO 2012
DEDICATÓRIA
O seguinte relatório é dedicado as pessoas que tornaram possível a sua realização. Sendo estas a minha família, que sempre estiveram ao meu lado e tornaram mais amenos todos momentos difíceis passados em minha vida.
AGRADECIMENTOS
Agradeço à minha família por seu apoio, aos amigos e também ao Prof. Dr. Philippe Remy Bernard Devloo que com seu empenho em ensinar o método dos elementos finitos, possibilitou a conclusão deste trabalho, por sua transparência ao repassar todo o conhecimento adquirido ao longo dos anos de sua carreira.
RESUMO
O relatório detalhará os métodos utilizados para resolução pelo método dos elementos finitos da equação diferencial parcial parabólica de duas dimensões, quando utilizada em problemas de calor transiente. Serão utilizados métodos computacionais na resolução do problema. Será feita também a comparação dos resultados obtidos pelo método dos elementos finitos com a solução exata do problema.
Palavras-chave: Elementos Finitos, Transferência de Calor Transiente
ABSTRACT
This work will detail the methods used to solve the parabolic partial differential equation in two dimensions by the finite element method, when used in transient heat transfer problems. Computational methods will be used in solving the problem. It will also compare the results obtained by the finite element method with the exact solution of the problem.
SUMÁRIO
REUMO 05
1. INTRODUÇÃO 07
2. FORMULAÇÃO FORTE DO PROBLEMA ANALISADO 08 3. FORMULAÇÃO PARA ELEMENTOS FINITOS 10
4. INTEGRAÇÃO NO TEMPO 12
5. O PROBLEMA ANALISADO 13
6. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 14
7. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PARA DIVERSAS MALHAS 23 8. ESTIMATIVA DE ERRO E CONVERGÊNCIA 34 9. VISUALIZAÇÃO DOS RESULTADOS 41
10. CONCLUSÕES 43
1. INTRODUÇÃO
O objetivo deste trabalho é verificar a convergência dos resultados de problemas de transferência de calor transiente em duas dimensões ( sendo o domínio em 2d mais a variação do tempo ) utilizando o método dos elementos finitos. O problema analisado possui apenas um grau de liberdade, mas possui a variação do tempo, portanto o método dos elementos finitos conduzirá a um sistema final de equações diferenciais parabólicas para o problema analisado, sendo então necessária a integração deste sistema no tempo. O método utilizado para a integração no tempo será o Runge Kutta de quarta ordem. Para resolução do problema, será utilizado um software desenvolvido durante as aulas do Prof. Dr. Philippe Remy Bernard Devloo, utilizando a biblioteca para elementos finitos chamada NeoPZ, podendo ser encontrada em http://code.google.com/p/neopz/. Esta biblioteca permite utilização de várias ferramentas úteis na programação de software para elementos finitos, como a resolução de equações diferenciais, manipulação de matrizes, verificação de erro, visualização da malha entre outros. A linguagem de programação utilizada foi o C++ e o ambiente de desenvolvimento foi o Visual Studio 2010. Neste trabalho serão detalhados os métodos utilizados para resolução do problema, apresentando a solução forte do problema, a formulação para elementos finitos ( utilizando o método de Galerkin ) e também os métodos computacionais utillizados. Por fim, será feita a comparação dos resultados vindos da solução analítica com os resultados obtidos por diversas malhas de elementos finitos, a medida em que se aumentava o número de elementos na malha. Os elementos utilizados para resolução do problema foram os triângulos e quadriláteros. Para gerar-se as malhas dos elementos, foi utilizado o software chamado GiD, podendo ser encontrado em http://gid.cimne.upc.es/ . Este programa é um ótimo gerador de malhas, mas também possui a capacidade de se aplicar materiais nos elementos e também gerar malhas de contorno.
2. FORMULAÇÃO FORTE DO PROBLEMA ANALISADO
A relação constitutiva para este problema de Transferência de Calor é que o fluxo de energia é proporcional ao gradiente da função U(x,y,t).
k
Grad
[
U
(
x
,
y
,
t
)]
Q
A densidade do fluxo por unidade de área em um determinado ponto é dada por :
]
[
Q
div
De acordo com a lei de conservação de energia, o fluxo produzido pelas forças internas é o mesmo que o fluxo que saem pelo contorno do domínio. Então :
Q
n
d
Q
div
[
]
Tendo n como o vetor normal do fluxo que passa no domínio. Utilizando o teorema da divergência é possível transformar esta integral de contorno em uma integral de domínio:
d
f
d
n
Q
Tendo, portanto :
d
f
d
Q
div
[
]
A taxa de variação da energia térmica no corpo é igual à diferença gerada pelas forças internas e a energia que sai pelo contorno do corpo. A temperatura, em um dado instante de tempo, é dada por :
d
f
d
Q
div
d
t
t
y
x
U
Cv
(
,
,
)
[
]
Sendo que Cv é a Capacidade Térmica (quantidade de energia necessária para aumentar a temperatura de uma unidade de massa do corpo, Joule/g), p é a densidade de massa do corpo analisado. Substituindo a primeira relação constitutiva, onde o fluxo de energia é proporcional ao gradiente da função, temos a seguinte equação :
d
f
d
t
y
x
U
Grad
k
div
d
t
t
y
x
U
Cv
(
,
,
)
[
[
(
,
,
)]]
Tendo em vista que o divergente do operador gradiente é o laplaciano da função, temos:
d
f
d
t
y
x
U
k
d
t
t
y
x
U
Cv
(
,
,
)
(
,
,
)
Como o domínio é arbitrário, e se as funções acima forem suaves o suficiente, a equação acima é dada por :
f
t
y
x
U
k
t
t
y
x
U
Cv
(
,
,
)
(
,
,
)
Sendo esta a formulação forte do problema. Com as seguintes condições de contorno :
0
)
0
,
,
(
)
(
)
(
)
,
,
(
y
x
U
Neumann
q
em
q
n
Q
Dirichlet
t
em
U
t
y
x
U
3. FORMULAÇÃO PARA ELEMENTOS FINITOS
Faremos agora a formulação para elementos finitos, utilizaremos o método de Galerkin. Multiplicaremos cada parte de nossa formulação forte por uma função teste v, onde H0 é o espaço que contém todas as funções para que as integrais a seguir possam ser consideradas verdadeiras.
d
v
f
d
v
t
y
x
U
k
d
v
t
t
y
x
U
Cv
(
,
,
)
(
,
,
)
Agora realizamos a integração por partes do operador Laplaciano, utilizando o teorema de Green-Gauss, obtendo as seguintes equações :
n
u
v
v
Grad
t
y
x
U
Grad
k
d
v
t
y
x
u
k
(
,
,
)
[
(
,
,
)]
[
]
Onde a ultima parcela da integral, determina a contribuição do elemento de contorno, no caso o valor do fluxo em um dado contorno, caso a condição de contorno seja neumann, sendo então somado ao vetor de carga. A formulação então fica :
d
v
f
n
u
v
v
Grad
t
y
x
U
Grad
k
d
v
t
t
y
x
U
Cv
(
,
,
)
[
(
,
,
)]
[
]
Rearranjando os termos temos :
n
u
v
d
v
f
v
Grad
t
y
x
U
Grad
k
d
v
t
t
y
x
U
Cv
(
,
,
)
[
(
,
,
)]
[
]
Se dividirmos esse espaço de funções em subespaços de funções :
n
u
vh
d
vh
f
vh
Grad
t
y
x
Uh
Grad
k
d
vh
t
t
y
x
Uh
Cv
(
,
,
)
[
(
,
,
)]
[
]
A integral no contorno será chamada de
n
q
u
pois delimita a contribuição das condições de contorno. Apartir do método de Galerkin temos que :
n
j
bjNj
vh
1
n
i
Ni
t
Ui
Uh
1
)
(
q
bjNj
d
bjNj
f
bjNj
Grad
Ni
t
Ui
Grad
k
d
bjNj
t
Ni
t
Ui
Cv
(
)
[
(
)
]
[
]
Rearranjando :
q
Nj
d
Nj
f
Nj
Grad
Ni
Grad
k
Ui
d
NiNj
Cv
t
Ui
n i n i 1 1])
[
]
[
(
)
(
Temos então o seguinte sistema de Equações Diferenciais Parciais de Ordem 1:
fi
Kij
Ui
Mij
t
Ui
n i n i
1 1 Onde :
d
NiNj
Cv
Mij
d
Nj
Grad
Ni
Grad
k
Kij
[
]
[
]
f
Nj
d
Nj
q
fi
4. INTEGRAÇÃO NO TEMPOÉ possível utilizar vários métodos de Integração no tempo para este sistema linear, mas neste trabalho será utilizado o Runge-Kutta de Quarta Ordem. Abaixo, a formulação utilizada :
0
)
0
(
)
,
(
'
U
U
t
f
U
Primeiramente isola-se a derivada, tendo-se uma equação em relação a t e U. Seja h o tamanho do espaço de tempo escolhido, temos que :
) 4 3 2 2 2 1 ( 6 1 1 ) 3 , ( 4 ) 2 2 , 2 ( 3 ) 2 1 , 2 ( 2 ) , ( 1 0 0 k k k k wi wi k wi h ti f h k k wi h ti f h k k wi h ti f h k wi ti f h k w
Onde wi é a resposta no tempo analisado. Deve-se escolher um espaço de tempo que possa atender determinada equação, espaços de tempo grandes podem gerar instabilidade das respostas. Para o problema analisado, deveremos integrar o seguinte sistema :
)
(
'
Mij
1
fi
Ui
Kij
U
5. O PROBLEMA ANALISADO
O problema analisado consiste em um problema 2-D de transferência de calor transiente, pois este se varia com o tempo, conforme é transferido o calor gerado pelas forças internas. A equação diferencial do problema é a seguinte :
1
)
,
,
(
)
,
,
(
t
y
x
U
t
t
y
x
U
As condições de contorno para o problema analisado são as seguintes :
0
)
,
,
0
(
x
t
y
U
0
)
,
0
,
(
y
t
x
U
0
)
,
,
1
(
y
t
U
U
(
x
,
1
,
t
)
0
A condição inicial para o tempo é :0
)
0
,
,
(
x
y
U
Abaixo, um esquema do problema analisado :
6. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA
Para resolver o problema, será utilizado o método dos elementos finitos explicado anteriormente. Será utilizado um software baseado na biblioteca para elementos finitos chamada “NeoPZ” oferecida pelo professor Philippe Remy Bernard Devloo, podendo ser encontrada no link : http://code.google.com/p/neopz/, o qual possui ferramentas poderosas para análise de matrizes, resolução de equações diferenciais e sistemas lineares, entre outros. O programa foi inteiramente desenvolvido na linguagem de programação C++, o ambiente de desenvolvimento escolhido para este trabalho foi o Visual Studio 2010. O computador utilizado para realizar este trabalho foi um computador com processador Amd Phenom X6 com 8 Gb de memória ram, utilizando o Windows 7 Ultimate. O programa desenvolvido segue o seguinte fluxograma simplificado:
Fluxograma do programa desenvolvido
A exemplo de cálculo, será calculado a matriz de rigidez global deste problema para apenas 1 elemento quadrilátero. Primeiramente, é feita uma mudança de variáveis entre o elemento deformado (com coordenadas x e y) para o elemento mestre. O elemento mestre é um elemento com as coordenadas e . Para o elemento quadrilátero, o elemento mestre é isoparamétrico, tendo as coordenadas de seu domínio (-1,-1), (1,-1), (1,1), (-1,1). É feita essa mudança de variáveis a fim de simplificar o cálculo das funções de forma e das integrais subsequentes. Por esse método, será utilizada a integração de Gauss Legendre, sendo obtidos pontos de integração em função do número de nós do elemento em questão. A mudança de variáveis é feita como o esquema a seguir :
Para a figura acima, é apresentado o elemento quadrilátero de quatro nós, as funções de forma que denotam essa mudança de variáveis são as seguintes:
)
1
)(
1
(
4
1
)
,
(
1
N
)
1
)(
1
(
4
1
)
,
(
2
N
)
1
)(
1
(
4
1
)
,
(
3
N
)
1
)(
1
(
4
1
)
,
(
4
N
Onde:
N
i
xi
Ni
x
1
)
,
(
N
i
yi
Ni
y
1
)
,
(
Para o cálculo das integrais das matrizes de rigidez e capacidade térmica é necessário o cálculo do jacobiano da mudança de variáveis.
As derivadas do jacobiano são computadas da seguinte maneira :
xi
Ni
x
N
i
1
)
,
(
yi
Ni
y
N
i
1
)
,
(
xi
Ni
x
N
i
1
)
,
(
yi
Ni
y
N
i
1
)
,
(
As derivadas do jacobiano são computadas da seguinte maneira :
)
(
]
0
,
0
[
1J
Det
y
J
)
(
]
1
,
0
[
1J
Det
y
J
)
(
]
0
,
1
[
1J
Det
x
J
(
)
]
1
,
1
[
1J
Det
x
J
Com o determinante do jacobiano, e a Inversa do jacobiano é possível calcular as derivadas reais para calculo das matrizes de rigidez e capacidade térmica.
)
)
,
(
)
,
(
(
|
|
1
1 1yi
Ni
Ni
yi
Ni
Ni
J
x
Ni
N i N i
)
)
,
(
)
,
(
(
|
|
1
1 1xi
Ni
Ni
xi
Ni
Ni
J
y
Ni
N i N i
Como visto anteriormente, a matriz de rigidez é dada pela equação:
d
Nj
Grad
Ni
Grad
k
Kij
[
]
[
]
Integrando a matriz de rigidez no elemento mestre :
dA
J
y
Nj
y
Ni
x
Nj
x
Ni
Kij
1(
)
|
|
1 1 1
Como todos os termos foram calculados para cada ponto de Gauss, Kij fica sendo o somatório das contribuições de cada ponto de Gauss.
|
|
)
(
)
(
)
(
W
i
W
j
J
y
Nj
y
Ni
x
Nj
x
Ni
Kij
A matriz de Capacidade Térmica tem a seguinte equação :
d
NiNj
Cv
Mij
No problema analisado, Cv =1, p = 1. Quando integrada no elemento mestre :
dA
J
Nj
Ni
Mij
1(
)
|
|
1 1 1
Como todos os termos foram calculados para cada ponto de Gauss, Mij fica sendo o somatório das contribuições de cada ponto de Gauss.
|
|
)
(
)
(
)
(
Ni
Nj
W
i
W
j
J
Mij
A contribuição do vetor de carga, neste material do elemento é de 1.
d
Ni
f
fi
1
f
d
Ni
fi
1
Quando integrada no elemento mestre :
dA
J
Ni
fi
1(
)
|
|
1 1 1
Como todos os termos foram calculados para cada ponto de Gauss, Fi fica sendo o somatório das contribuições de cada ponto de Gauss.
|
|
)
(
)
(
)
(
Ni
W
i
W
j
J
fi
Com as três matrizes Kij, Mij e Fi para cada elemento quadrilátero (ou triangular) é necessário montar as matrizes globais, Kij global, Mij global e Fi global. Para cada matriz global, são somadas as contribuições nos nós de cada elemento da malha, no caso, esta matriz possui apenas um grau de liberdade. Preparada a matriz global, é necessário aplicar as condições de contorno do domínio. No programa, as condições de contorno Dirichlet são aplicadas utilizando a utilizando a técnica do “número grande”, onde os elementos 1-D de contorno gerados pela malha, determinam os nós onde serão somados com um número grande escolhido. A técnica do numero grande permite aplicar as condições de contorno sem precisar alterar o tamanho da matriz global, esta técnica pode gerar erros, mas para o caso analisado, é aceitável. O elemento 1-D aqui analisado, é calculado de maneira similar aos elemento 2-D, primeiro é feita a mudança de variáveis, utilizando – se as funções de forma do elemento mestre. As funções de forma lineares para o elemento 1-D são :
2
1
)
(
1
N
2
1
)
(
2
N
Onde :
N ixi
Ni
x
1)
(
O jacobiano desta mudança de variáveis vai ser :
))
2
(
)
1
(
(
))
2
(
)
1
(
(
))
2
(
)
1
(
(
))
2
(
)
1
(
(
x
nó
x
nó
x
nó
x
nó
y
nó
y
nó
y
nó
y
nó
delx
2
]
[
J
delx
delx
J
1
2
Se a condição de contorno for Dirichlet, a contribuição na matriz global será :
|
|
)
(
)
(
)
(
Ni
Nj
W
i
W
j
Big
J
Kij
|
|
)
(
)
(
)
(
Ni
Nj
W
i
W
j
Big
J
Mij
|
|
)
(
)
(
i
W
j
Big
J
W
Ni
fi
Se a condição de contorno for Neumann, a contribuição na matriz global será apenas na matriz do vetor de carga :
|
|
)
(
)
(
i
W
j
J
W
Ni
fi
A matriz global já modificada com as condições de contorno, está pronta para ser integrada utilizando qualquer método de integração no tempo. No caso será utilizado o Runge Kutta de quarta ordem, vindo da Biblioteca URKF45, uma biblioteca especializada em resolução de sistemas de equações diferenciais. Esta biblioteca pode ser encontrada em http://jean-pierre.moreau.pagesperso-orange.fr/. A exemplo de cálculo, a matriz global de apenas 1 elemento quadrilátero, para este problema é :
Aplicadas as condições de contorno, a disposição dos big numbers fica da seguinte maneira no sistema de equações, a fim de “anular” as linhas e colunas onde a temperatura Ui = 0. Como é possível ver, a disposição dos big numbers é a mesma tanto para a matriz Kij quando para a matriz Mij. A matriz global final para apenas 1 elemento quadrilátero fica então da seguinte maneira :
Como temos quatro nós apenas, devido as condições de contorno somente o nó 1 (x = 0, y = 0) terá variação de temperatura ( todos os outros tem U = 0 ). A solução deste sistema de equações diferenciais de primeira ordem é feito pelo Runge Kutta de quarta ordem, tendo as seguintes temperaturas obtidas pelo programa :
O comando NDSolve do programa Wolfram Mathematica obteve o seguinte resultado, resolvendo-se o sistema de equações diferenciais :
Resultados Obtidos pelo Mathematica para 1 elemento quadrilátero
A temperatura encontrada para t = 1 segundo, foi de 0.374459 pelo Runge Kutta de quarta ordem e de 0.37407 pelo software Wolfram Mathematica. A solução Analítica do problema principal ( resolvendo a equação parcial parabólica do problema ) tem o resultado para esse nó de 0.2947 em t = 1 segundo. A diferença entre o resultado numérico e o analítico ainda é muito grande. Isto é devido ao cálculo de apenas um elemento quadrilátero.
7. RESOLUÇÃO DO PROBLEMA PARA DIVERSAS MALHAS
Será feito agora a comparação dos resultados para 4, 16, 100, 225 e 458 elementos quadriláteros. Agora, o input de todos os pontos X e Y de cada nó terá dificuldades se for feito manualmente. Para isso será utilizado o software GID, um ótimo gerador de malhas para elementos finitos. Além de gerar malhas, o GID também pode colocar os materiais em cada elemento de maneira dinâmica por meio de sua própria programação. O programa GID pode ser encontrado em http://gid.cimne.upc.es/. O programa utilizado para cálculo dos elementos finitos teve de ser adaptado para ler os arquivos exportados pelo programa GID, além disso foi necessário observar a numeração dos nós exportados pelo GID, pois alguns nós podem ser numerados de maneira diferente.
7.1 Malhas de Elementos Quadriláteros
A seguir a malha para 4 elementos quadriláteros :
Malha de Quatro elementos Quadriláteros e 8 elementos 1-D de contorno
A numeração dos nós do software GID é diferente da maioria das literaturas, no caso, U5 é o resultado para o nó em x=0 e y=0 (anteriormente U1), o resultado para t = 1 segundo foi de 0.308421, um pouco mais próximo do resultado analítico de 0.2947.
A seguir a malha para 16 elementos quadriláteros :
Malha de 16 elementos Quadriláteros e 16 elementos 1-D de contorno
A numeração dos nós do software GID é diferente da maioria das literaturas, no caso, U1 é o resultado para o nó em x=0 e y=0, o resultado para t = 1 segundo foi de 0.298434, um pouco mais próximo do resultado analítico de 0.2947. Como pode ser observado o refinamento da malha provoca uma aproximação cada vez melhor da resposta analítica. A seguir, será analisado a malha para uma quantidade de elementos muito maior, 100, 225 e 458 elementos.
A seguir a malha para 100 elementos quadriláteros :
Malha de 100 elementos Quadriláteros e 40 elementos 1-D de contorno
A numeração dos nós do software GID é diferente da maioria das literaturas, no caso, U5 é o resultado para o nó em x=0 e y=0, o resultado para t = 1 segundo foi de 0.291255, um pouco mais próximo do resultado analítico de 0.2947.
A seguir a malha para 225 elementos quadriláteros :
Malha de 458 elementos Quadriláteros e 84 elementos 1-D de contorno
A numeração dos nós do software GID é diferente da maioria das literaturas, no caso, U8 é o resultado para o nó em x=0 e y=0, o resultado para t = 1 segundo foi de 0.291959, um pouco mais próximo do resultado analítico de 0.2947.
A seguir a malha para 458 elementos quadriláteros
Malha de 458 elementos Quadriláteros e 84 elementos 1-D de contorno
A numeração dos nós do software GID é diferente da maioria das literaturas, no caso, U7 é o resultado para o nó em x=0 e y=0, o resultado para t = 1 segundo foi de 0.292689, um pouco mais próximo do resultado analítico de 0.2947.
7.2 Malhas de Elementos Triangulares
Abaixo a malha para 2 elementos triangulares:
Malha de 2 elementos Triangulares e 4 elementos 1-D de contorno
A numeração dos nós do software GID é diferente da maioria das literaturas, no caso, U3 é o resultado para o nó em x=0 e y=0, o resultado para t = 1 segundo foi de 0.333289, um pouco mais próximo do resultado analítico de 0.2947.
Abaixo a malha para 8 elementos triangulares:
Malha de 8 elementos Triangulares e 8 elementos 1-D de contorno
A numeração dos nós do software GID é diferente da maioria das literaturas, no caso, U5 é o resultado para o nó em x=0 e y=0, o resultado para t = 1 segundo foi de 0.269657, um pouco mais próximo do resultado analítico de 0.2947.
Abaixo a malha para 106 elementos triangulares:
Malha de 106 elementos Triangulares e 28 elementos 1-D de contorno
A numeração dos nós do software GID é diferente da maioria das literaturas, no caso, U1 é o resultado para o nó em x=0 e y=0, o resultado para t = 1 segundo foi de
Abaixo a malha para 208 elementos triangulares:
Malha de 208 elementos Triangulares e 40 elementos 1-D de contorno
A numeração dos nós do software GID é diferente da maioria das literaturas, no caso, U1 é o resultado para o nó em x=0 e y=0, o resultado para t = 1 segundo foi de 0.290630, um pouco mais próximo do resultado analítico de 0.2947.
Abaixo a malha para 444 elementos triangulares:
Malha de 444 elementos Triangulares e 56 elementos 1-D de contorno
A numeração dos nós do software GID é diferente da maioria das literaturas, no caso, U6 é o resultado para o nó em x=0 e y=0, o resultado para t = 1 segundo foi de 0.292522, um pouco mais próximo do resultado analítico de 0.2947.
8. ESTIMATIVA DE ERRO E CONVERGÊNCIA
8. 1 Solução Analítica
A solução analítica do problema é dada pela seguinte equação, em t = 1 segundo :
Onde n pode ser somado até o infinito, conforme a necessidade de precisão. Para se obter a precisão básica é necessário o cálculo de pelo menos os 20 termos iniciais desta série. Houve problemas quando se tentou calcular muitos termos desta série na linguagem C++, pois os cossenos hiperbólicos voltavam valores muito altos, sendo necessário encontrar um valor médio entre a precisão e a demora de cálculo.
8. 2 Estimativa de Erro para Elementos Quadriláteros
O erro básico é dado pela fórmula :
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
x
y
t
u
x
y
t
uh
x
y
t
e
Para este tipo de erro, será analisado o nó x=0 e y=0 e para o tempo de 1 segundo. Abaixo a estimativa de erro básico :
Resposta Analítica Resposta pelo MEF Número de Elementos Erro Básico
0,2947 0,374459 1 0,079759 0,2947 0,308421 4 0,013721 0,2947 0,298434 16 0,003734 0,2947 0,291255 100 0,003445 0,2947 0,291959 225 0,002741 0,2947 0,292689 458 0,002011
Abaixo, um gráfico representando o erro básico no nó (0,0) para t = 1 segundo.
Gráfico Erro Básico
Foi observado que no ponto (0,0) em malhas refinadas acima de 450 elementos, o número de equações na matriz global influenciava na integração por Runge-Kutta, o sistema necessitava de um step-size de tempo menor que o adotado. O que, devido aos métodos de resolução utilizados, torna inviável a obtenção da resposta, pois com um step size de 0,001 o sistema demorou aproximadamente 3 horas para resolver a malha de 458 elementos quadriláteros ( Amd Phenom X6 2.8 Ghz, 8gb ram). Se for diminuído ainda mais o step size será necessário reformulação do método de integração no tempo, ou processamento paralelo para se obter respostas em tempo viável.
Abaixo, será analisado o erro médio das malhas de elementos quadriláteros. O erro médio é dado pela fórmula :
dA
t
y
x
uh
t
y
x
u
e
||
0(
(
,
,
)
(
,
,
)
)
2||
O erro médio avalia o erro de todos os pontos no domínio. No caso, será avaliado o erro no tempo de 1 segundo. Serão mostrados apenas os nove pontos nós deste problema
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 1 4 16 100 225 458 Er ro B ási co
Número de Elementos Quadriláteros de 4 nós
Erro Básico
nesta tabela, mas o cálculo considera todos os nós calculados para cada malha gerada inicialmente. N Solução Analítica MEF 4 Elementos MEF 16 Elementos MEF 100 Elementos MEF 225 Elementos MEF 458 Elementos 1 0,2947 0,308421 0,298434 0,291255 0,291959 0,292689 2 0,2293 0,239277 0,228912 0,229084 0,22917 0,229184 3 0 0 0 0 0 0 4 0,2293 0,239529 0,23293 0,226958 0,227846 0,228834 5 0,1811 0,191687 0,18432 0,183283 0,182543 0,181864 6 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0
Erro médio Erro médio Erro médio Erro médio Erro médio
0,022414 0,009576 0,00470798 0,003424375 0,002204184
Tabela do erro médio para cada malha analisada
Abaixo, os gráficos para os erros médios de cada malha analisada.
Erro Médio :
Gráfico do erro médio
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 4 16 100 225 458 Er ro M é d io
Número de Elementos Quadriláteros de 4 nós
Erro Médio
Erro médio em escala logarítmica :
Gráfico do erro médio em escala logaritmica
8. 3 Estimativa de Erro para Elementos Triangulares
O erro básico é dado pela fórmula :
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
x
y
t
u
x
y
t
uh
x
y
t
e
Para este tipo de erro, será analisado o nó x=0 e y=0 e para o tempo de 1 segundo. Abaixo a estimativa de erro básico :
Resposta Analítica Resposta pelo MEF Número de Elementos Erro Básico
0,2947 0,333289 2 0,038589
0,2947 0,269657 8 0,025043
0,2947 0,289970 106 0,00473
0,2947 0,291023 208 0,003677
0,2947 0,291122 444 0,003578
Tabela do erro básico – Elementos Triangulares
0,001 0,01 0,1 1 4 16 100 225 458 Er ro M é d io
Número de Elementos Quadriláteros de 4 nós
Erro Médio (escala logarítmica)
Abaixo, um gráfico representando o erro básico no nó (0,0) para t = 1 segundo.
Gráfico Erro Básico – Elementos Triangulares
Foi observado que no ponto (0,0) em malhas refinadas acima de 450 elementos, o número de equações na matriz global influenciava na integração por Runge-Kutta, o sistema necessitava de um step-size de tempo menor que o adotado. O que, devido aos métodos de resolução utilizados, torna inviável a obtenção da resposta, pois com um step size de 0,001 o sistema demorou aproximadamente 2.8 horas para resolver a malha de 444 elementos quadriláteros ( Amd Phenom X6 2.8 Ghz, 8gb ram). Se for diminuído ainda mais o step size será necessário reformulação do método de integração no tempo, ou processamento paralelo para se obter respostas em tempo viável.
Abaixo, será analisado o erro médio das malhas de elementos triangulares. O erro médio é dado pela fórmula :
dA
t
y
x
uh
t
y
x
u
e
||
0(
(
,
,
)
(
,
,
)
)
2||
O erro médio avalia o erro de todos os pontos no domínio. No caso, será avaliado o erro no tempo de 1 segundo. Serão mostrados apenas os nove pontos nós deste problema nesta tabela, mas o cálculo considera todos os nós calculados para cada malha gerada inicialmente. 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 2 8 106 208 444 Er ro B ási co
Número de Elementos Triangulares de 3 nós
Erro Básico
N Solução Analítica MEF 2 Elementos MEF 8 Elementos MEF 106 Elementos MEF 208 Elementos MEF 444 Elementos 1 0,2947 0,333289 0,269657 0,289970 0,290062 0,292522 2 0,2293 - 0,228143 0,229084 0,229201 0,229223 3 0 0 0 0 0 0 4 0,2293 - 0,228143 0,228762 0,228895 0,228896 5 0,1811 - 0,155232 0,165429 0,169944 0,175314 6 0 - 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 8 0 - 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0
Erro médio Erro médio Erro médio Erro médio Erro médio
0,040751 0,033217 0,014771 0,0098951 0,0085282
Tabela do erro médio para cada malha analisada – Elementos Triangulares
Abaixo, os gráficos para os erros médios de cada malha analisada. Erro Médio :
Gráfico do erro médio – Elementos Triangulares
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 0,045 2 8 106 208 444 Er ro M é d io
Número de Elementos Triangulares de 3 nós
Erro Médio
Erro médio em escala logarítmica :
Gráfico do erro médio em escala logarítmica – Elementos Triangulares
8. 4 Testes de verificação dos resultados
Podem ser feitos alguns testes para verificação dos resultados além dos testes de erro com a solução analítica. Pode ser feito a verificação da matriz rigidez para o domínio não distorcido, sendo que esta deve ser simétrica e ter suas diagonais subsequentes iguais. Também pode-se realizar o teste onde se gira o domínio, tendo em vista que o resultado da matriz de rigidez deve ser o mesmo, onde este foi verificado utilizando – se as funções seno e cosseno para girar as coordenadas de cada nó. Como foi verificado a seguir ( sendo esta a matriz para 1 elemento quadrilátero não distorcido ) :
0,001 0,01 0,1 1 2 8 106 208 444 Er ro M é d io
Número de Elementos Triangulares de 3 nós
Erro Médio
9. VISUALIZAÇÃO DOS RESULTADOS
9.1 Gráficos
Abaixo a visualização dos resultados obtidos, onde é possível verificar a variação da temperatura conforme o tempo, na placa retangular:
t = 0.1 s t = 0.2 s
t = 0.6 s t = 0.8 s
t = 1 s
É possível verificar que gradativamente, a temperatura se concentra no canto inferior esquerdo, nas coordenadas x = 0 e y = 0, ponto onde foram obtidas as maiores temperaturas.
10. CONCLUSÕES
O método dos elementos finitos se adequou na resolução das equações parabólicas de uma ótima maneira, pois seus resultados convergiram com o refinamento da malha. No entanto, a margem de erro para os métodos de cálculo utilizados pode ser melhorado. Por exemplo, na remoção da utilização do big number na aplicação das condições de contorno, utilizando em seu lugar métodos de manipulação de matrizes. Outro exemplo onde é possível melhorar a margem de erro é na utilização de um step de tempo menor que o utilizado, mas será necessário máquinas mais potentes ou outros métodos de integração no tempo.
11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
REDDY, J. N., AN INTRODUCTION TO THE FINITE ELEMENT METHOD, SECOND EDITION, 1993
BECKER, E. B., THE FINITE ELEMENTS - AN INTRODUCTION, VOLUME I, 1981
