CONHECIMENTO E ATITUDES EM RELAÇÃO À GEOMETRIA:
COMPARAÇÃO ENTRE ESTUDANTES DOS CURSOS DE
PEDAGOGIA E DE MATEMÁTICA
Odaléa Aparecida Viana, UFU, odalea@pontal.ufu.br
Carlos Eduardo Petronilho Boiago, UFU, cadu_matematica@hotmail.com
RESUMO
A pesquisa realizada1 com 81 estudantes ingressantes da Pedagogia e 20 da Licenciatura em Matemática avaliou o conhecimento acerca dos conceitos relativos às figuras espaciais e as atitudes frente à geometria. Os sujeitos responderam a uma prova com desenhos de figuras geométricas, sendo solicitadas a nomeação e a descrição de propriedades e foi aplicada também uma escala de atitudes em relação à geometria. Considera-se a importância de um trabalho pedagógico de modo a suprir as deficiências apontadas e a formar atitudes mais favoráveis à geometria.
Palavras chave: ensino de geometria, formação de conceitos, atitudes em relação à
geometria.
ABSTRACT
This research was performed with 81 entrant students of Pedagogy course and 20 students of Mathematics course, and evaluated the knowledge about the concepts related to spatial images and to attitudes relative to Geometry. A test with drawings of images was applied, in which the students were asked to nominate and describe properties. It was also presented a scale of attitudes relative to Geometry. A pedagogic work is considered important to supplement the indicated deficiencies and to form attitudes more favorable to Geometry.
Keywords: Geometry teaching; concepts formation; attitudes relative to Geometry.
1 Introdução
Várias pesquisas mostram as dificuldades que alunos do ensino básico e superior enfrentam quando respondem questões com conteúdos referentes à geometria. Na área da psicologia da educação matemática, estudos indicam que as dificuldades encontradas dizem respeito à formação de conceitos, à solução de problemas e ao desenvolvimento de habilidades geométricas, consideradas inadequadas para os respectivos níveis de ensino conforme mostram os trabalhos de Nascimento et al.(2004), Pirola (2000) e Viana (2000). Com relação aos
1
conceitos, apesar de os conteúdos de geometria espacial estarem incluídos desde as séries iniciais do ensino fundamental, pesquisas mostram que alunos do ensino médio confundem poliedros com polígonos, conforme mostra o trabalho de Proença (2008).
A teoria de Van Hiele (1986) tem sido largamente utilizada por pesquisadores para explicar a formação de conceitos que, segundo o autor, acontece de acordo com níveis hierárquicos que vão, desde o simples reconhecimento, até as deduções formais e a compreensão de outros sistemas geométricos.
Este trabalho pretendeu analisar os níveis mais elementares de conceituação em geometria espacial com estudantes ingressantes de cursos de formação de professores.
Apesar da vasta literatura consultada, foram encontrados poucos trabalhos com o objetivo de avaliar o conhecimento de conceitos relativos à geometria espacial, seja de estudantes, seja de professores (SANTOS, 2003; VIANA, 2000, 2011). Além disso, a utilização da teoria de Van Hiele tem sido utilizada para a geometria plana e poucos trabalhos avaliaram geometria espacial (SOLER, 2004; VIEIRA, 2010). A síntese da literatura internacional sobre o tema, feita por Owens e Outhred (2006), indica muitos trabalhos que tomaram por base os pressupostos de Van Hiele, mas poucos enfatizando a geometria espacial.
Além dos aspectos cognitivos, sabe-se da influência de fatores afetivos e emocionais no ensino e na aprendizagem escolar. A segurança, a confiança nas próprias capacidades e o interesse em construir conhecimentos são questões de ordem afetiva que fazem parte do construto atitudes, tema amplamente discutido na psicologia da educação matemática.
O estudo das atitudes dos professores em relação à matemática, entendida como o posicionamento avaliativo global dos mesmos em relação a este objeto, certamente traz grande interesse para a compreensão dos problemas relacionados ao ensino desta disciplina (ARAÚJO, 1999; FARIA, CAMARGO & MORO, 2009; FARIA, MORO & BRITO, 2008; MOURA & CREPALDI, 2010).
Os cursos de formação inicial de professores das séries iniciais do ensino fundamental muitas vezes privilegiam a aritmética em detrimento do conhecimento geométrico. Já nos cursos de Licenciatura em Matemática os alunos estudam a geometria espacial em um nível formal de conceituação, às vezes em desacordo
com o nível de formação conceitual dos estudantes. Tal fato pode influenciar na formação de atitudes desfavoráveis acerca da geometria elementar, o que acaba interferindo nas práticas pedagógicas desses futuros professores e também na aprendizagem e nas atitudes dos seus futuros alunos.
Foram encontrados poucos trabalhos acerca das atitudes em relação à geometria. Os conteúdos geométricos fazem parte do ensino da matemática, mas há escolas que apresentam em seus currículos as duas disciplinas separadamente. VIANA (2005) encontrou forte correlação entre as atitudes em relação à matemática e as atitudes em relação á geometria. No entanto, a geometria parece provocar sentimentos um pouco diferenciados, já que estudantes com atitudes desfavoráveis à matemática apresentaram uma atitude um pouco melhor quando se restringiu o objeto à geometria. Já aqueles com atitudes mais positivas frente à matemática tenderam a ter atitudes não tão favoráveis à geometria. A autora considera que a aprendizagem da geometria envolve materiais concretos e figuras e isso pode tornar os conceitos menos abstratos para os alunos com dificuldades perante a matemática e, assim, influenciar nas atitudes. Por outro lado, alunos que gostam de matemática preferem temas mais abstratos, como por exemplo, a álgebra, e, dessa forma, não se interessam tanto pelos desenhos e representações concretas das formas.
Considera-se que, para incentivar os seus alunos a manipular as figuras, a reconhecer formas, a explorar propriedades e a estabelecer relações entre estas, o professor das séries iniciais deveria ter atitudes positivas em relação à geometria, além de dominar os conhecimentos mínimos sobre o assunto. Pesquisas com alunos de Pedagogia (VENÂNCIO & VIANA, 2010) mostram que esses estudantes apresentavam atitudes pouco favoráveis em relação à geometria e as autoras consideram que esses cursos devem ficar em alerta quanto à influência dos fatores afetivos na aprendizagem da geometria. É possível provocar mudanças nas atitudes em relação à geometria, conforme mostra o trabalho de Kochhannm e Pirola (2011). Foram encontrados alguns trabalhos que verificaram a existência de relação entre atitudes e desempenho em geometria. Nascimento et al.(2004) encontraram que estudantes da Licenciatura em Matemática apresentavam, em média, atitudes favoráveis em relação á geometria (o que era esperado). Já o desempenho foi considerado insatisfatório quando foram avaliados o conhecimento declarativo e o procedimental sobre geometria plana. Os autores encontraram correlação entre o
desempenho na prova e as atitudes em relação à geometria.
Diante do exposto, questionou-se que conhecimento sobre geometria espacial teriam os estudantes dos cursos de Pedagogia e de Matemática. Como o conhecimento pode ser representado e avaliado de várias maneiras, optou-se por avaliar o conhecimento declarativo acerca das figuras geométricas. Procurou-se investigar, especificamente, a formação conceitual acerca das figuras geométricas espaciais mais comuns, que serão ensinadas no nível fundamental. Esses estudantes reconhecem e nomeiam figuras tridimensionais como paralelepípedo, pirâmide e descrevem algumas de suas propriedades?
Com base na literatura acerca da importância das atitudes no ensino e na aprendizagem, buscou-se, também, levantar as atitudes em relação à geometria apresentadas por alunos desses cursos. Suas atitudes são favoráveis à geometria? Como são cursos com características diferentes, questionou-se se haveria diferenças significativas entre eles quanto ao conhecimento e quanto às atitudes em relação à geometria.
Já que há poucos estudos nesse sentido, questionou-se se o conhecimento apresentado por esses estudantes estaria relacionado com suas atitudes em relação á geometria.
2 Conhecimento em geometria
De acordo com Sternberg (2000), o conhecimento de um indivíduo pode ser classificado como declarativo ou de procedimento. O conhecimento declarativo é um corpo organizado de informações sobre objetos, idéias ou eventos e que pode ser expresso em palavras ou em outros símbolos. Já o conhecimento de procedimentos está mais ligado ao modo de realizar os passos de procedimentos para desempenhar ações.
Coll et al. (1998), baseados em estudos anteriores da psicologia educacional, separaram os seguintes componentes do conhecimento: os fatos e os conceitos, os procedimentos e as atitudes, normas e valores. Os conceitos foram definidos como sendo objetos, eventos, situações ou propriedades que possuem atributos comuns de critérios comuns e que são representados por meio de algum símbolo ou signo.
No âmbito escolar, e de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, os conteúdos conceituais referem-se à construção ativa das capacidades intelectuais
para operar com símbolos, idéias, imagens e representações que permitem organizar a realidade (BRASIL, 1997). O documento evidencia a aprendizagem significativa de conceitos, já que pondera que os conceitos devam ser formados de maneira gradativa, a partir das experiências e das relações com outros conceitos existentes na estrutura cognitiva dos alunos, de modo a atingir níveis mais complexos de conceitualizações.
A aprendizagem de conceitos em geometria pode ser entendida nessa perspectiva de hierarquia conceitual. Van Hiele (1986) estabeleceu uma evolução de níveis de compreensão de estudantes enquanto aprendem geometria. Em um nível 1 de reconhecimento, os sujeitos identificam e nomeiam uma figura geométrica pela sua aparência global, não percebendo características ou atributos. Em um segundo nível, são descritas propriedades das figuras e, no nível seguinte, são estabelecidas relações entre os conceitos. O quarto nível refere-se à capacidade de demonstrar teoremas em uma linguagem formal. E, finalmente, no último nível o sujeito pode comparar outros sistemas geométricos diferentes da geometria euclidiana.
Esse trabalho pretendeu avaliar a formação de conceitos de geometria espacial que se referem às figuras tridimensionais mais comuns. Conforme argumentam Coll et al. (1998) não é fácil avaliar conceitos2 e todas as formas de fazê-lo apresentam vantagens e perigos potenciais. Neste trabalho, para avaliar o conhecimento declarativo dos sujeitos acerca das figuras geométricas espaciais, optou-se por solicitar dos sujeitos o reconhecimento, a nomeação e a descrição de propriedades dos conceitos por meio de um aspecto figural. Segundo Fischbein (1993)3, uma figura geométrica tem uma natureza conceitual, podendo ser descrita como tendo, intrinsecamente, propriedades conceituais.
2
Outra forma de avaliar conceitos seria solicitar o reconhecimento da definição. Além da exposição temática, mais adequada para uma área conceitual, pode-se solicitar a identificação e a categorização de exemplos mediante técnicas de evocação ou de reconhecimento e, finalmente, poder-se-ia avaliar um conceito mediante a aplicação de problemas.
3
De acordo com Fischbein (1993) considera que todo objeto geométrico possui duas componentes, uma conceitual e a outra figural. A componente conceitual pode ser descrita por meio da linguagem escrita ou falada , com maior ou menor grau de formalismo. Já a componente figural corresponde à imagem mental associada ao objeto. Para o autor, a aprendizagem da geometria passa pela integração das propriedades figurais e conceituais em estruturas mentais unitárias.
Assim, ao apresentar o desenho de uma caixa retangular, ou a expressão “caixa de sapato”, questionou-se se o estudante consideraria o desenho ou a imagem mental como representações figurais do conceito de paralelepípedo, e se conseguiria descrever suas propriedades.
3 Atitudes
Para Eagly e Chaiken (1993), uma atitude é uma tendência psicológica que pode ser expressa quando um indivíduo avalia alguma coisa com certo grau de aprovação (demonstrando ser favorável a ela) ou de desaprovação (demonstrando ser desfavorável a ela). Segundo os autores, um indivíduo não tem uma atitude em relação a um objeto até que ele possa responder de forma avaliativa a esse objeto, seja em uma base afetiva, cognitiva ou comportamental. Se essa tendência de resposta se estabilizar, então o individuo terá formado uma atitude em relação ao objeto.
Para Brito (1996), atitude é uma “disposição pessoal, idiossincrática, presente
em todos os indivíduos, dirigida a objetos, eventos ou pessoas, que assume diferente direção e intensidade de acordo com as experiências do indivíduo. Além disso, apresenta componentes do domínio afetivo, cognitivo e motor” (Brito, 1996,
p.11).
O componente afetivo de uma atitude, segundo Brito (1996) e Eagly e Chaiken (1993), refere-se às emoções de um indivíduo frente a um objeto, quando este é percebido como agradável ou desagradável. O componente cognitivo está ligado às informações, aos conceitos, às idéias que o sujeito tem a respeito do objeto de atitude. Já o componente comportamental refere-se às manifestações de uma pessoa em relação ao objeto, e estas podem ser observadas diretamente.
A atitude também tem uma característica unidimensional e bipolar, e isto se refere ao sentimento de prazer ou desprazer que o objeto provoca, e este sentimento pode ter maior ou menor intensidade.
Neste trabalho, serão levantadas as atitudes de estudantes de Pedagogia e da Matemática em relação à geometria.
4 Objetivos e sujeitos
1) Avaliar o conhecimento de alunos ingressantes dos cursos de Matemática e de Pedagogia acerca dos conceitos relativos às principais figuras geométricas espaciais.
2) Levantar suas atitudes em relação à geometria.
3) Verificar a existência de relações entre desempenho e atitudes frente à geometria.
4) Verificar diferenças entre os dois cursos quanto ao desempenho e às atitudes frente à geometria.
A pesquisa foi realizada com 97 estudantes do primeiro período, sendo 81 do curso de Pedagogia e 16 do curso de Licenciatura em Matemática de uma universidade federal. Tratou-se, portanto, de uma amostra de conveniência.
5 Instrumentos e procedimentos
Para avaliar o conhecimento acerca das figuras, foi aplicada uma prova na forma de questionário composto por desenhos, em perspectiva, de formas geométricas tridimensionais mais comuns. Foram apresentados também nomes de objetos conhecidos, como por exemplo, moeda e lata de óleo. Solicitou-se ao sujeito que este nomeasse as figuras e descrevesse propriedades dessas figuras.
Para avaliar as atitudes, foi apresentada uma escala de atitudes em relação à geometria, validada por Viana & Brito (2004). Trata-se de uma escala tipo Likert com quatro itens, formada por dez afirmações positivas e dez negativas. Os sujeitos foram solicitados a escolher, para cada afirmação, uma das quatro alternativas: discordo totalmente, discordo, concordo, concordo totalmente. Para cada item escolhido foi atribuído um número de pontos de 1 a 4 (para as positivas) e de 4 a 1 (para as negativas). Os pontos foram somados para cada sujeito, sendo que este número total poderia variar de 20 (atitudes negativas) até 80 (atitudes positivas).
Os instrumentos foram aplicados nas salas de aula, com autorização do professor que ministrava a aula. Optou-se por aplicar a escala em primeiro lugar e, em outro dia, a prova de conhecimento.
6 Resultados
As questões da prova foram pontuadas, sendo 1 ponto para cada nomeação correta e 2 pontos para descrição de propriedades geométricas corretas, perfazendo
um total de 57 pontos e os resultados são apresentados na Tabela 1.
Tabela 1. Desempenho dos sujeitos na Prova de Conhecimento, por curso.
Estatísticas Matemática Pedagogia Geral
Nº de sujeitos 16 81 97 Média 12,81 7,51 8,38 Desvio padrão 11,17 6,10 7,38 Mediana 10,00 6,00 6,00 Mínimo 4,00 0 0 Máximo 50 27 50 Percentis 25 6,25 3,00 4,00 50 10,00 6,00 6,00 75 13,75 9,50 11,50
Pode-se afirmar que os sujeitos da Matemática tiveram, em média, desempenho melhor que os da Pedagogia, sendo que testes estatísticos mostraram uma diferença significativa entre as médias dos dois grupos (t(95)= -2,714, p=0,008).
Foi possível verificar que 38 sujeitos nomearam corretamente o cubo (apoiado na base), mas, quando se mudou a posição do mesmo sólido, apenas 15 conseguiram acertar a nomeação. Todos os sujeitos nomearam corretamente a figura na forma de um cilindro, mas poucos sujeitos reconheceram essa forma nos objetos moeda e lata de óleo. Cone foi reconhecido por todos os sujeitos, um prisma de base triangular (não apoiado na base) foi nomeado corretamente por apenas um sujeito da Matemática. Verificou-se que muitos sujeitos não descreveram propriedades das figuras. Os sujeitos da Pedagogia arriscaram-se mais nesta questão e utilizaram termos relativos à geometria plana ou sentenças que expressavam um conhecimento não científico acerca da geometria espacial4.
Foram levantados os dados relativos à aplicação da escala de atitudes em relação à geometria (EARG) e os resultados são mostrados pela Tabela 2.
Os sujeitos do curso de Pedagogia apresentaram atitudes que variaram de 27 a 78; já as atitudes da Matemática se localizaram em amplitude menor (de 45 a 73). No entanto, foi verificado que o sujeito com atitudes mais positivas pertencia à Pedagogia. Pode-se afirmar que as atitudes da Matemática foram, em média, superiores às atitudes dos discentes da Pedagogia, já que a análise estatística
4 Foram encontradas expressões do tipo: “redondo e achatado nos pólos”, “grade com cinco partes”,
“caixa de presente” etc. Uma análise da linguagem dos sujeitos para essa questão será apresentada em outro trabalho.
indicou diferença significativa entre as médias da EARG dos dois grupos (t(95) =
-3,801, p=0,000).
Tabela 2. Resultado da EARG por curso.
Estatísticas Matemática Pedagogia Geral
Nº de sujeitos 16 81 97 Média 57,63 47,90 49,51 Desvio padrão 7,92 9,59 6,10 Mediana 56,50 48,00 50,00 Mínimo 45 27 27 Máximo 73 78 78 Percentis 25 52,00 40,50 42,50 50 56,50 48,00 50,00 75 62,50 55,00 56,50
Os sujeitos do curso de Pedagogia apresentaram atitudes que variaram de 27 a 78; já as atitudes da Matemática se localizaram em amplitude menor (de 45 a 73). No entanto, foi verificado que o sujeito com atitudes mais positivas pertencia à Pedagogia. Pode-se afirmar que as atitudes da Matemática foram, em média, superiores às atitudes dos discentes da Pedagogia, já que a análise estatística indicou diferença significativa entre as médias da EARG dos dois grupos (t(95) =
-3,801, p=0,000).
Foi verificada a existência de relação entre o desempenho na prova e a pontuação na EARG, ilustrada pela Figura 1.
Figura 1. Relação entre atitudes e desempenho na Prova.
Verificou-se a existência de uma relação moderada, porém significativa, entre as atitudes e o desempenho dos sujeitos (r = 0, 407, p = 0,000). Isto quer dizer que existe uma tendência de que sujeitos com melhor desempenho na prova também
Desempenho na prova Es ca la d e a ti tu d e s e m r e la ça o à g e o m e tr ia 50 40 30 20 10 0 80 70 60 50 40 30 20
teriam atitudes mais positivas e que sujeitos com menor desempenho teriam atitudes menos favoráveis em relação à geometria. Houve pouca variação nesta tendência quando se analisaram separadamente os dois cursos (r = 0,312 e p = 0,005 para Pedagogia e r = 0,553 e p = 0,026 para Matemática).
5 Discussão dos resultados
Esta pesquisa mostrou que os discentes dos cursos de Matemática e de Pedagogia apresentaram pouco conhecimento declarativo acerca da geometria espacial elementar. Tiveram dificuldades para reconhecer e nomear poliedros e corpos redondos representados na forma de desenhos em perspectiva. Isso também aconteceu quando era apresentado o nome do objeto cuja forma estava sendo questionada (moeda, bola, caixa de sapato etc).
Quanto à descrição das propriedades observou-se que muitos dos sujeitos deixaram a questão em branco. Foi possível perceber que os alunos da Pedagogia se arriscaram mais nesta descrição, mesmo com muitos erros, enquanto que os da Matemática não responderam várias questões.
Como a Prova de conhecimento foi elaborada em níveis elementares, de acordo com a teoria de Van Hiele (1986), o fraco desempenho sugere que a maioria dos estudantes parece perceber os conceitos geométricos como entidades totais, não conseguindo enxergar componentes ou atributos, sendo a aparência física o determinante do reconhecimento e não suas partes ou propriedades.
Assim, de um modo geral, os resultados indicam a necessidade de um trabalho pedagógico com vistas à construção dos conceitos investigados.
Os resultados referentes à escala de atitudes em relação à geometria mostram que os sujeitos não pareciam ser muito favoráveis aos conteúdos dessa área, mesmo quando são analisadas as atitudes dos estudantes da Matemática. Conforme indicam os PCN (Brasil, 1997), os conteúdos atitudinais estão relacionados à confiança dos estudantes em suas próprias capacidades e os resultados dessa pesquisa indicam, novamente, a necessidade de uma prática pedagógica voltada para a formação de atitudes mais positivas em relação a essa área de conhecimento. Conforme Viana (2011), as atitudes interferem na motivação e no emprego de esforço cognitivo necessário para o sujeito relacionar os novos
conhecimentos com aqueles existentes em sua estrutura cognitiva, o que explica a aprendizagem significativa de conceitos.
6 Considerações finais
A pesquisa realizada utilizou uma metodologia que busca retratar, em um determinado tempo, e em determinado contexto, a situação a ser analisada. No caso, a pesquisa revelou, para esses sujeitos, no início do curso, e nas condições proporcionadas pelos instrumentos aplicados, que o conhecimento deles estava aquém do esperado para concluintes do ensino médio e iniciantes de cursos de formação inicial de professores, especialmente para o curso de Matemática.
Evidentemente, os estudantes da Matemática cursarão disciplinas específicas, como geometria euclidiana plana, geometria euclidiana espacial, além de geometria analítica, tratadas em um nível de abstração e de formalização exigido pelo conhecimento cientifico. Essa formação deve ajudar esses estudantes a elevar seu conhecimento acerca da geometria espacial elementar que ensinarão, quando professores. Mas, os enfoques teóricos levantados sugerem que a aprendizagem significativa de conceitos se dá quando conceitos novos são relacionados com aqueles já estabelecidos na estrutura cognitiva do sujeito e que, nesse processo, o pensamento geométrico avança em níveis hierárquicos de conceituação (Van Hiele, 1986). Assim, e com base na constatação de atitudes não muito favoráveis à geometria, esse trabalho traz implicações relativas à necessidade de uma intervenção pedagógica convenientemente planejada de modo a propiciar aos estudantes uma formação inicial mais elementar quanto à geometria espacial.
Na Pedagogia, a estrutura curricular do curso prevê pouco espaço para os conteúdos de geometria. Assim, a formação desses professores pode ficar comprometida, já que a exploração das propriedades dos principais sólidos geométricos está prevista desde as séries iniciais do ensino fundamental. O trabalho aqui apresentado pode sugerir uma atenção especial para a área de matemática – em especial a geometria – para que os objetivos propostos pelos PCN (Brasil, 1997) sejam atendidos.
Portanto, concordando com as idéias de Faria, Moro & Brito (2008) acerca das influências das concepções e das atitudes do professor na sua prática profissional, considera-se a importância de ações que visem à formação de atitudes
mais favoráveis ao ensino de geometria – em especial a geometria espacial – desde as séries iniciais da educação básica.
Referências
ARAÚJO, E. A. Influência das habilidades e das atitudes em relação à Matemática e
a escolha profissional. Tese (Doutorado em Educação) - Faculdade de Educação,
Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 1999.
BRASIL. Ministério da Educação e Cultura / Secretária de Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Ensino Fundamental. Brasília, 1997.
BRITO, M. R. F. (1996). Um estudo sobre as atitudes em relação à Matemática em
estudantes de 1º e 2º graus. Tese de Livre Docência. Universidade Estadual de
Campinas, 1996.
COLL, C.; POZO, J. I; SARABIA, B.; VALLS, E. Os Conteúdos na Reforma. Ensino e
Aprendizagem de Conceitos, Procedimentos e Atitudes. Tradução de Beatriz Affonso
Neves. Porto Alegre: Artes Médicas, 1998.
EAGLY, A. H. & CHAIKEN, S. The psychology of attitudes. Forth Worth: Harcourt Brace College Publishers, 1993.
FARIA, P. C.; CAMARGO, B. V.; MORO, M. L. F. Indicadores de atitude de estudantes e professores com relação à matemática. Paideia. Vol. 19, No. 42, 27-37, 2009.
FARIA, P. C.; MORO, M. L. F.; BRITO, M. R. F. Atitudes de professores e futuros professores em relação à Matemática. Estudos de Psicologia (Natal). vol.13, n.3, 2008, pp. 257-265
FISCHBEIN,E. The theory of figural concepts. Educational Studies in Mathematics, v.24, n.2, 1993, p.139-162.
KOCHHANNM. E. R.; PIROLA, N. Gestar: formação de professores em serviço e a abordagem da geometria. Revista Educação, Cultura e Sociedade, v.1, n.2, 2011, p.219-232.
MOURA, G. R. S.; CREPALDI, M. V. L. As atitudes em relação à matemática dos estudantes da 3ª e 4ª Séries do ensino fundamental e dos licenciandos em pedagogia. Atos de Pesquisa em Educação - PPGE/ME FURB. v. 5, n. 3, p. 390-408, 2010
NASCIMENTO, H.L.; BRITO, A. A. S. B.; PIROLA, N.A.; CARVALHO, A. B. MARIANI, J. M.; MONGER, W. O abandono do ensino de geometria e suas implicações no ensino fundamental. In: VII EPEM Encontro Paulista de Educação
Matemática - Matemática na Escola: Conteúdos e Contextos, 2004.
OWENS, K. OUTHRED. The complexity of learning geometry and measurement. In: GUTIÉRREZ, A. BOERO, P. Handbook of research on the Psychology of
Mathematics Education. Sense Publishers, 2006.
PIROLA, N. A. Solução de Problemas Geométricos: Dificuldades e Perspectivas. Tese de Doutorado. Universidade Estadual de Campinas, 2000.
PROENÇA, M. C. Um estudo exploratório sobre a formação conceitual em geometria
de alunos do ensino médio. Dissertação de Mestrado. Universidade Estadual
Paulista “Julio de Mesquita Filho”. Bauru, 2008.
SANTOS, A. C. C. Recursos didáticos e representações da geometria espacial da 4ª
Mestrado.Universidade Federal de Mato Grosso do Sul, Campo Grande, 2003. SOLER, G.G. El modelo de Van Hiele aplicado a la geometria de los sólidos describir, clasificar, definir y demonstrar como componentes de la actividad matemática. Educacion Matemática, v.16, n.3, 2004, p.103-125.
STERNBERG, R. J. Psicologia Cognitiva. Tradução de Maria Regina Borges Osório- Porto Alegre: Artes Médicas Sul, 2000.
VAN HIELE, P.M Structure and Insight - A Theory of Mathematics Education, Orlando: Academic Press, 1986
VENANCIO, M. M. M. ; VIANA, O. A. Atitudes Em Relação À Geometria De Alunos Do Curso De Pedagogia. In: X Encontro Nacional de Educação Matemática, 2010, Salvador. X ENEM, 2010.
VIANA, O. A. O conhecimento geométrico de alunos do Cefam sobre figuras
espaciais: um estudo das habilidades e dos níveis de conceito. Dissertação de
Mestrado. Universidade Estadual de Campinas, 2000.
VIANA, O. A. O componente espacial da habilidade matemática e as relações com o
desempenho escolar e as atitudes em relação à matemática e a geometria de alunos do ensino médio. Tese de doutorado. Universidade Estadual de Campinas, 2005.
VIANA, O. A. Conhecimentos prévios e organização de material potencialmente significativo para a aprendizagem da geometria espacial. Ciências & Cognição (UFRJ) v. 16, p. 15-36, 2011
VIANA, O. A & BRITO, M. R. F. As atitudes de alunos do ensino médio em relação à geometria: adaptação e validação de escala. VIII Encontro de Educação Matemática.
Educação Matemática: um compromisso social. Recife. Disponível em CD, 2004.
VIEIRA, C. R. Reinventando a geometria no ensino médio: uma abordagem
envolvendo materiais concretos, softwares de geometria Dinâmica e a teoria de Van Hiele. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal de Ouro Preto, 2010.
