Segundo Semestre de de maio de 2015

(1)

EXAME UNIFICADO DAS P ÓS-GRADUAÇ ÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO EDITAL 2015-2

Segundo Semestre de 2015 - 04 de maio de 2015

VERIFIQUE SE O SEU CADERNO CONTÉM 6 PROBLEMAS. OS 6 PROBLEMAS S ÃO OBRIGAT ÓRIOS.

A PROVA TEM DURAÇ ÃO M ÁXIMA DE 4 HORAS. BOA PROVA.

DADOS PARA A PROVA:

Z ∞ 0 dx x 3 ex_{− 1} = π4 15 Z dx x 2 (x2_{+ a)}3/2 = − x √ x2_{+ a}+ log[x + √ x2_{+ a] + C}

Problema 1: Um gás ideal é especificado por três quantidades termodinâmicas as quais podem por exemplo ser o número de part´ıculas N , seu volume V e sua temperatura T . Por sua vez, em um gás de fótons necessita-se apenas de duas variáveis termodinâmicas já que o número de fótons é fun¸cão do volume e da temperatura do gás. Com efeito, em um gás de fótons o número de part´ıculas contidas em um volume V mantido a temperatura T é N = r V T3 _{onde r = 2, 03 × 10}7_m−3_K−3_{. Considerando que}

este gás de fótons apresenta uma distribui¸cão espectral igual a de um corpo negro, sua densidade de energia por unidade de frequência segue a distribui¸cão de Planck, ou seja,

ρ(ν) = 8πh c3

ν3

ehν/(kBT )− 1 ,

onde ν é a frequência, T a temperatura e as constantes h, c e kB são respectivamente a constante de

Planck, a velocidade da luz e a constante de Boltzmann. a) Prove a lei de Stefan-Boltzmann dada por

ε = 4 cσ T

4

na qual a densidade de energia ε, em um corpo negro, é proporcional à temperatura à quarta potência. Dados: σ ≡ 2π 5_k4 B 15c2_h3 = 5, 67 × 10 −8 J. s−1. m−2. K−4

(2)

b) Para um gás de fótons, a energia livre de Helmholtz, F ≡ U − T S, é dada por F = −4σ_3c V T4_{. Mostre}

que a entropia do g´as ´e

S = 16 3cσ V T

3

c) Sabendo que um gás de fótons satisfaz uma equa¸cão similar a lei de gás ideal, ou seja, P V

N T = 4σ 3 r c

calcule a varia¸cão de sua energia interna quando o gás sofre uma expansão isotérmica revers´ıvel, a temperatura To, de um volume Vi até um volume Vf.

Problema 2: Considere o experimento da fenda dupla de Young, conforme esquematizado na Figura 1. O sistema produz franjas de interferˆencia a partir de uma fonte de luz pontual monocrom´atica S0,

a qual emite com comprimento de onda λ. A fonte S0 ilumina duas fendas estreitas S1 e S2 separadas

por uma distância d. A tela de observa¸cão está em uma distância L do anteparo que contém as duas fendas, com L d. S₀ S S 1 2 d L Figura 1: Problema 2.

a) Tomando a separa¸cão entre os dois primeiros m´ınimos de interferência como sendo z (distância entre as franjas escuras centrais), determine a distância d entre as fendas. Expresse sua resposta em termos de L, λ e z.

b) Uma das fendas é coberta com uma placa fina transparente de faces paralelas e ´ındice de refra¸cão n. Considere que isso produz um deslocamento de m franjas na figura de interferência (a franja central clara se desloca para a posi¸cão que era ocupada pela franja clara de ordem m na ausência da placa). Determine a espessura x da placa em termos de m, λ e n.

Sugestão: Considere que a luz incide perpendicularmente sobre o anteparo em que estão as fendas e investigue a diferen¸ca de fase entre as ondas causada pela presen¸ca da placa (quando elas chegam às fendas S1 e S2).

Problema 3: Um corpo de massa m1 = M desliza com velocidade v = v0ˆi sobre um plano horizontal

sem atrito na dire¸c˜ao x. Este corpo colide el´astica e instantaneamente com outro corpo, inicialmente em repouso, formado por duas massas m2 = m3 = M ligadas por uma mola ideal de coeficiente k, como

(3)

Figura 2: Problema 3.

a) Calcule as velocidades da massa m1 e do centro de massa do corpo formado por m2 e m3 logo ap´os

a colis˜ao.

b) Calcule a energia potencial el´astica m´axima que o sistema apresenta.

c) Calcule a razão entre as energias cinética média e a energia potencial média do sistema após a colisão.

Problema 4: Considere um bast˜ao retil´ıneo, fino, de comprimento 2L, com densidade linear de carga dada por

λ1 = Cz, (−L1 ≤ z ≤ L1),

em que C ´e uma constante, conforme mostra a Figura 3.

Figura 3: Problema 4.

a) Determine o campo elétrico E(s) devido a tal bastão, em um ponto a uma distância s do bastão, no seu plano médio perpendicular de simetria (z = 0).

b) Suponha agora que trazemos um segundo bastão do infinito, onde ele estava em repouso, até a posi¸cão mostrada na Figura 4, onde novamente o deixamos em repouso. Sabe-se que esse segundo bastão é retil´ıneo, fino, de comprimento L2 e densidade linear de carga uniforme λ2. Qual o trabalho feito

pela for¸ca el´etrica nesse processo? Justifique a sua resposta.

c) Com uma carga de prova, um pesquisador mede a amplitude do campo elétrico criado por uma barra semelhante à do item (a), novamente no plano médio perpendicular de simetria. Cada medida é feita a uma distância diferente do centro da barra. Os resultados estão apresentados na Figura 5. As retas são somente guias para os olhos. Analisando este gráfico justifique, apenas em palavras, o que se pode inferir sobre a carga elétrica total e a distribui¸cão de carga desta barra. Utilize de 5 a 10 linhas para tal.

(4)

Figura 4: Problema 4. 0.01 0.10 1 10 100 0.01 1 100 104

distância s (unid. arbitrárias)

|E (s )| (unid .arbitrárias ) Figura 5: Problema 4.

Problema 5: Considere o Hamiltoniano de uma part´ıcula carregada q de massa m em um campo eletromagn´etico H = 1 2m ~ p − q ~A2 + qφ,

onde ~p ´e o momento canˆonico conjugado, ~A(~r) o potencial vetor e φ(~r) o potencial escalar.

Sabendo que a evolu¸cão temporal do valor esperado de um operador arbitrário Q é dada por: d dthQi = i ~ h[H, Q]i + ∂Q ∂t a) Mostre que: dh~ri dt = 1 mh(~p − q ~A)i

b) Identificamos dh~ri/dt com o valor esperado da velocidade da part´ıcula h~vi. Mostre que as compo-nentes do operador momento cinético ~Π = m~v obedecem a seguinte rela¸cão de comuta¸cão:

(5)

[~Πj, ~Πk] = i~qεjklBl,

onde εjklé o tensor completamente antissimétrico de Levi-Civita e Bla l-ésima componente do campo

magn´etico.

c) Obtenha o seguinte resultado:

mdh~vi

dt = qh ~Ei + q

2h(~v × ~B − ~B × ~v)i

d) Demonstre que no caso particular em que os campos ~E e ~B s˜ao uniformes, o valor esperado da velocidade se move de acordo com a lei de for¸ca de Lorentz, i.e.,

mdh~vi dt = q

~_{E + h~}_{vi × ~}_B

Problema 6: Considere um feixe monoenerg´etico de part´ıculas de massa m sujeito ao potencial unidimensional V (x) = 0, x < 0 −V0, x > 0, (1) com V0 > 0. Considere que a intensidade do feixe de part´ıculas que incide sobre este degrau de potencial

seja constante e que ele é emitido em uma posi¸cão x → −∞ com energia mecânica E. Nestas condi¸cões, levando em considera¸cão que se trata de um sistema microscópico onde valem as leis da Mecânica Quântica:

a) Calcule o percentual m´edio de part´ıculas transmitidas t (i.e., detectadas em x → ∞) como fun¸c˜ao de V0 e de E.

b) Diga o que ocorre com a transmissividade no limite V0 → ∞ (ou, equivalentemente, E V0).

Justifique sua resposta. Compare o resultado quântico com o que deveria acontecer se as part´ıculas do feixe fossem regidas pela Mecânica Clássica.

(6)

EXAME UNIFICADO DAS P ÓS-GRADUAÇ ÕES EM FÍSICA DO RIO DE JANEIRO EDITAL 2015-2

Second Semester 2015 - May 4

th

, 2015

CHECK IF YOU HAVE ALL 6 PROBLEMS. YOU MUST SOLVE ALL 6 PROBLEMS.

YOU CAN USE UP TO 4 HOURS TO SOLVE THE EXAM. HAVE A GOOD EXAM. USEFUL DATA: Z ∞ 0 dx x 3 ex_{− 1} = π4 15 Z dx x 2 (x2_{+ a)}3/2 = − x √ x2_{+ a}+ log[x + √ x2_{+ a] + C}

Problem 1: An ideal gas can be specified by three thermodynamic quantities which can be, for example, the particle number N , its volume V and its temperature T . On the other hand, a photon gas requires only two thermodynamic variables, as the number of photons is a function of the volume and the temperature of the gas. Indeed, the number of particles in a photon gas contained in a volume V at a temperature T is given by N = r V T3_{, where r = 2, 03 × 10}7_m−3_K−3_{. Let the spectral distribution}

of the photon gas be given by a black-body spectrum, such that its energy density per frequency follows Planck’s distribution, i. e.

ρ(ν) = 8πh c3

ν3

ehν/(kBT )− 1 ,

where ν is the frequency, T the temperature and the constants h, c and kB are respectively Planck’s

constant, the speed of light and Boltzmann’s constant. a) Prove the Stefan-Boltzmann law, given by

ε = 4 cσ T

4

in which the black-body energy density ε is shown to be proportional to the fourth power of the temperature. Definition: σ ≡ 2π 5 15c2_h3 = 5, 67 × 10 −8 J. s−1. m−2. K−4

b) For a photon gas, the Helmholtz free energy, F ≡ U − T S, is given by F = −4σ_3c V T4_{. Show that the}

gas entropy is given by

S = 16 3cσ V T

(7)

c) Knowing that a photon gas satisfies an equation similar to the ideal gas law, namely, P V

N T = 4σ 3 r c

evaluate the internal energy variation when the gas is submitted to a reversible isothermal expansion, at temperature To, from a volume Vi until it reaches a volume Vf.

Problem 2: Consider Young’s double-slit experiment, as sketched in the figure below. The system produces interference fringes from a source of monochromatic point light S0, which emits at a wavelength

λ. The source S0 illuminates two narrow slits S1 and S2 separated by a distance d. The observation

screen is at distance L of the wall containing the two slits, with L d .

a) Taking the separation between the first two minima of interference as z (distance between the central dark fringes), determine the distance d between the slits. Express your result in terms of L , λ, and z.

b) One of the slits is covered with a thin transparent plate of parallel faces and refractive index n. Consider that this yields a shift of m fringes in the interference figure (the bright central fringe moves to the position that was occupied by the bright fringe of order m in the absence of the plate). Determine the thickness of the plate x in terms of m , λ, and n.

Hint: Assume that light is perpendicularly incident on the wall containing the slits and investigate the phase difference between the waves caused by the presence of the plate (as they reach at the slits S1 and S2). S₀ S S 1 2 d L Figure 1: Problem 2.

Problem 3: A body of mass m1 = M slides over a frictionless horizontal plane with velocity v = v0ˆi on

the x-direction until instantaneously colliding elastically with another body, initially at rest, constituted by two identical objects with masses m2 = m3 = M , and linked by an ideal spring with coefficient k, as

shown in the figure. At the collision instant the spring is at its resting position.

a) Calculate the velocity of m1 and the center of mass velocity of the body m2 + m3 right after the

collision.

(8)

Figure 2: Problem 3.

c) Calculate the ratio between the mean kinetic energy and the mean potential energy of the system after the collision.

Problem 4: Consider a straight thin and long bar of length 2L, with linear charge density given by λ1 = Cz (−L1 ≤ z ≤ L1),

as shown in figure 3.

a) Determine the electric field E(s) at a distance s from the bar on a plane perpendicular to it containing its center (z = 0).

b) Suppose now that we bring a second bar from infinity, where it was at rest, to the position shown in Figure 4, where again the bar is at rest. This second bar is also straight and thin, but with uniform charge density λ2 and length L2. What is the work done by the electric force in this process? Justify

your answer.

c) With a test charge, a researcher measures the amplitude of the electric field created by a bar similar to the one in item (a), again at its symmetry plane. Each measurement is made at a different distance from the center of the bar. The results are shown in figure 5. The two lines are only to guide the eye. Looking at the plot justify, only in words, what can be inferred about the total electric charge and the distribution of the charge on this bar. Use from 5 to 10 lines for this purpose.

Figure 3: Problem 4.

Problem 5: Consider the Hamiltonian of a charged particle of mass m and charge q under the influence of an electromagnetic field,

(9)

Figure 4: Problem 4. 0.01 0.10 1 10 100 0.01 1 100 104

distância s (unid. arbitrárias)

|E (s )| (unid .arbitrárias ) Figure 5: Problem 4. H = 1 2m ~ p − q ~A(~r)2 + qφ(~r),

where ~p is the canonically conjugate momentum, ~A(~r) is the vector potential and φ(~r) is the scalar potential.

The time evolution of the mean value of an arbitrary operator Q is given by: d dthQi = i ~h[H, Q]i + ∂Q ∂t

(a) Show that:

dh~ri dt =

1

mh(~p − q ~A)i

(b) We identify dh~ri/dt as the mean value for the particle velocity h~vi. Show that the components of the kinetic momentum operator ~Π = m~v obey the following commutation rule:

[Πj, Πk] = i~qεjklBl(~r),

(10)

(c) Derive the following result:

mdh~vi

dt = qh ~Ei + q

2mh(~p × ~B − ~B × ~p)i.

(d) Show that in the particular case where the fields ~E e ~B are uniform, the velocity mean value moves accordingly to a Lorentz force law, i.e.,

mdh~vi dt = q

~_{E + h~}_{vi × ~}_B .

Problem 6: Consider a monoenergetic beam of particles of mass m subject to the unidimensional potential V (x) = 0, x < 0 −V0, x > 0, (2) with V0 > 0. Consider that the beam intensity is constant and that particles are emitted from x → −∞

with mechanical energy E. Under these conditions and taking into account the laws of Quantum Mechanics,

(a) Calculate the average fraction t of transmitted particles (i.e., detected at x → ∞) as a function of V0 and E.

(b) Describe what happens to the particle transmissivity t in the limit V0 → ∞ (or, equivalently,

E V0). Justify your answer. Compare the quantum result with what should happen if the beam