UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA

UNIVERSIDADE

CATÓLICA DE

BRASÍLIA

PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

Curso de Física

OSCILADORES ACOPLADOS: SISTEMA COM

DOIS GRAUS DE LIBERDADE

Autor: Daniel de Carvalho Oliveira

Orientador: Prof. Dr. Paulo Eduardo de Brito

DANIEL DE CARVALHO OLIVEIRA

OSCILADORES ACOPLADOS: SISTEMA COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE

Trabalho de Conclusão de Curso submetido à Universidade Católica de Brasília para obtenção do Grau de Licenciado em Física.

Orientadores: Dr. Paulo Eduardo de Brito

Brasília Junho de 2008

Agradecimentos

Eu agradeço a Deus, minha família, e a todos aqueles que direta ou indiretamente tiveram participação nessa enorme conquista que foi concluir a graduação em Licenciatura em Física pela Universidade Católica de Brasília (UCB). Em especial esses agradecimentos se destinam à minha mãe que, durante quatro anos teve a paciência de entender que todas as horas que tive que dedicar às minhas atividades acadêmicas tinha como objetivo a realização desse sonho. É claro que não posso deixar de mencionar as amizades, frutos desses anos de universidade e que tanto contribuíram para minha formação, o corpo docente de extrema competência com o qual tive a honra de conviver e aprender muito, e o meu orientador, Dr. Paulo Eduardo de Brito, uma pessoa especial, sem dúvida, a todos aqueles que tiveram a oportunidade de ser seu aluno.

RESUMO

A motivação para o estudo de osciladores acoplados veio do desafio de buscar compreender melhor um aparato físico e matemático que em geral não é estudado, com muito aprofundamento, nos cursos de licenciatura em física: osciladores acoplados, sistemas de equações diferenciais ordinárias, álgebra linear, analises computacionais (Séries de Fourier) e mecânica clássica. Os textos que tratam do tema, na maioria das vezes dão grandes saltos no desenvolvimento das soluções desse tipo de movimento, tão importante em diversos ramos da ciência. Além de buscar detalhar os cálculos compactados das bibliografias, foi feita uma análise experimental com um tipo de oscilador acoplado e comparados os resultados gráficos obtidos com a previsão teórica. A experimentação mostra também as dificuldades de se controlar certos parâmetros envolvidos, como por exemplo, a resistência do ar, que para efeito de simplificação foi desprezada apesar de sua nítida manifestação.

Palavras Chaves: osciladores acoplados, álgebra linear, sistemas de equações diferenciais,

1. INTRODUÇÃO

Em geral, o tema “oscilações” remete à idéia de um movimento pendular simples ou a um sistema massa-mola clássico, ambos muito bem descritos pela mecânica newtoniana. Porém, esse tipo de movimento é muito mais freqüente e na maioria das vezes mais complexo do que se pensa, podendo ser encontrado na natureza tanto nos casos em que acabaram de ser citados como também em escala atômica e subatômica. Isso permite que se possa dizer com boa aproximação que toda a matéria tem, em escalas variadas, vibrações naturais em diferentes graus. Com uma simples pesquisa, qualquer pessoa pode ser capaz de reconhecer as diversas aplicações do estudo de sistemas oscilantes, que vão desde sua análise na física às aplicações em engenharia, química, biologia molecular, física médica, etc.

Muitas vezes, partindo-se do estudo de osciladores harmônicos é possível modelar sistemas físicos abstratos de serem analisados por métodos convencionais, como é o caso de alguns assuntos da mecânica quântica. Um sistema massa-mola pode ser usado como modelo para uma partícula confinada numa região de potencial. Entretanto a partícula será representada por uma função,

ϕ

(x), determinada com a solução da equação de Schorodinger para tal potencial. Um elétron num átomo de hidrogênio, por exemplo, pode ter sua distribuição de energia dos níveis modelada pela energia potencial de tal sistema massa-mola.

Tendo-se em vista essa grande variedade de sistemas oscilantes, este trabalho se restringe ao estudo específico dos osciladores acoplados com dois graus de liberdade envolvendo massas e molas. Diversos sistemas físicos na natureza assim se comportam, onde vários elementos estão associados de tal modo que a matemática necessária para descrevê-los envolve não apenas equações diferenciais e sim sistemas de equações diferenciais ordinárias em cujas soluções utilizam-se álgebra linear para apresentação.

Na seqüência do trabalho é apresentada resumidamente a base física e matemática necessária para o entendimento do assunto (soluções de sistemas oscilantes mais simples, com a resolução detalhada das equações diferenciais envolvidas) e em seguida é apresentada a análise de um sistema de osciladores acoplados, sempre detalhando os desenvolvimentos matemáticos nas soluções das diversas etapas que, geralmente, são omitidas nos textos. Essa análise ocorre até que se chegue às condições iniciais do problema. A partir desse ponto, o enfoque do trabalho muda para uma abordagem experimental.

2. REFERENCIAL TEÓRICO

Para a devida compreensão dos osciladores acoplados massa-mola é imprescindível que outros sistemas mais simples estejam bem assimilados. Um bom exemplo como ponto de partida é o oscilador simples e o oscilador amortecido, ambos constituídos por uma massa presa a uma mola suposta ideal, no primeiro caso desprezando-se a resistência do ar e no outro não.

Oscilador Simples Não Amortecido

Figura 1: sistema massa-mola simples.

Pode-se considerar para esse exemplo um sistema massa-mola disposto horizontalmente, onde uma mola é presa em uma de suas extremidades a uma parede e a outra num corpo de massa m. O estado relaxado da mola (nem alongada nem comprimida) é descrito com a localização da extremidade ligada à massa na posição x=0, como

ilustrado acima. Como as forças de resistência são desprezadas nesse caso, tem-se que:

i kx F_RES =− ˆ r (1) x dt dv kx dt dv m & & = − =

+ x=0

m k x&

& ₍₂₎

A teoria básica de equações diferenciais ordinárias prevê como solução para a equação (2) acima uma função do tipo:

t t t e x e x e x λ λ λ

λ

λ

2 = = = & & & (3)

Substituindo essas funções na equação do movimento:

m k i m k m k m k e m k e m k e t t t ± = − = − = = + = + = + 1 0 ) ( 0 ) ( 0 2 2 2

λ

λ

λ

λ

λ λ λ

Logo as soluções são

t m k i t m k i e t x e t x − = = ) ( ) ( 2 1 (4)

Fazendo uma combinação linear das funções

x

₁ e

x

₂, tem-se que:

t m k i t m k i e c e c t x − + = 1 2 ) (

Usando a Relação de Euler:

re

iωt ₌

r

(cos

_ω

t

₊

isen

_ω

t

)_:

)

(

)

(

)

cos(

)

(

)

(

_{1 2 1 2}

t

m

k

sen

c

c

i

t

m

k

c

c

t

x

=

+

+

−

δ

δ

cos 2 1 2 1

A

c

c

Asen

c

c

= − = + ) ( ) ( ) ( ) (cos ) cos( ) ( ) (

δ

δ

δ

+ = + = t m k Asen t x t m k sen A t m k sen A t x

A solução da equação fica então: ()= ( t+

δ

)

m k Asen t

x , onde

δ

, a constante de fase esta relacionada às condições iniciais do movimento.

Como dt dx v= e ₂ 2 dt x d a= então: ) ( ) ( ) cos( ) (

δ

δ

+ − = + = t m k sen m k A t a t m k m k A t v

Considerando o período e a freqüência do movimento:

) ) ( ( ) ( ) ( = +

δ

= t+T +

δ

m k Asen t m k Asen t x m k k m T T m k = = =

ω

π

π

2 2

Em que T e

ω

são o período e a freqüência angular, respectivamente.

Oscilador Amortecido não Forçado

O amortecimento aqui relatado é devido a qualquer força de natureza não-conservativa, como o arrasto do ar, por exemplo. O modo como essas forças se manifestam na natureza é demasiadamente complexo dependendo de diversos parâmetros que não são

tão fáceis de serem controlados. Para que seja possível considerá-los nos problemas físicos é necessário um amplo processo experimental para levantamento de dados que possibilitem a sua modelação. No caso da força de arrasto do ar, um modelo satisfatório para os sistemas físicos dos quais trata esse trabalho é o que descreve a força de arrasto como sendo proporcional à velocidade do corpo. Então uma equação possível para modelar a força é dada por:

v b F_Arrasto r r − = (5)

Em que b é uma constante de proporcionalidade que dependerá de vários fatores como as dimensões do corpo em movimento e das características do ar, por exemplo.

Figura 2: oscilador massa-mola amortecido.

No estado de equilíbrio mg− kx₀ =0. Deslocando o sistema a partir dessa posição

(x=0) e utilizando-se a segunda lei de Newton:

b kx x m bv x x k mg ma − − = − − − = & & ) ( ₀

A forma geral das soluções da equação acima é do mesmo tipo que em (3): t t t e x e x e x λ λ λ

λ

λ

2 = = = & & &

Substituindo tais soluções na equação, obtém-se: 0 ) ( 0 2 2 = + + = + + t t t t e k b m ke e b e m λ λ λ λ

λ

λ

λ

λ

O termo entre parênteses é a chamada equação característica, e para resolver a equação diferencial calculam-se os valores de

λ

que anulam tal termo.

m mk b b m mk b b m mk b b mk b 2 4 2 4 2 4 4 2 2 2 1 2 2 − − − = − + − = − ± − = − = ∆

λ

λ

λ

Dependendo dos valores do discriminante ∆ é possível analisar três casos distintos:

1) Se ∆>0: _{x t c e} 1t _{c e} 2t 2 1 ) ( = λ + λ (7) 2) Se ∆=0: t

e

c

e

c

t

x

1t 2 2 1

)

(

=

λ

+

λ m b 2 2 1 =

λ

=

λ

=−

λ

_{x(t) (ct c )e}λt 2 1 + = (8)

Demonstração do termo entre parênteses da equação (8): chamando ) ( ) (t c₁ c₂t u = + . Como ∆=0, b2 =4mk: t m b t m b t m b t m b t m b t m b t m b t m b e t u m b t u m b t u e t u m b e t u m b e t u t x e t u m b t u e t u m b e t u t x e t u t x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( − − − − − − − −               + − =       + − =       − = − = = & & & & & & & & & & &

Fazendo a substituição de x(t), x&(t) e x&&(t) em (6):

0 ) ( 4 ) ( 0 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 4 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 =               − + =       + − + + − − − t m b t m b e t u m b k t u m e t ku t u m b t u b t u m b t u b t u m & & & & & & Como k m b = 4 2

, fica m &u&(t)=0. Logo:

2 1 1 ) ( ) ( 0 ) ( c t c t u c t u t u + = = = & & & 3) Se ∆<0: m b mk i m b m b mk b 2 4 2 2 ) 4 )( 1 ( 2 2 − ± − = − − ± − =

λ

ω

= − m b mk 2 4 2 2 2      − = m b m k

ω

=

α

m b 2 (9)

ω

= −

α

2 m k ₍₁₀₎

ω

α

λ

=− ±i t i t t i t e e c e e c t x( )= ₁ −α ω + ₂ α −ω ) ( ) (t e t c₁ei t c₂e i t x = −α ω + −ω ) cos cos ( ) (t e c₁ t c₁isen t c₂ t c₂isen t x ₌ −αt

_ω

₊

_ω

₊

_ω

₋

_ω

] ) ( cos ) [( ) (t e c₁ c₂ t c₁ c₂ isen t x = −αt +

α

+ −

ω

A c c

+

)

=

(

_{1 2} B i c c − ) = ( _{1 2}

x

(

t

)

e αt

(

A

cos

ω

t Bsen

ω

t

)

+

=

− (11)

3. OSCILADOR ACOPLADO COM DOIS GRAUS DE LIBERDADE

3.1) Estudo Analítico:

Figura 3: representação de dois osciladores (massa-mola) acoplados.

O sistema oscilante escolhido para o estudo é constituído de duas massas, m₁ e m₂,

acopladas por três molas de constantes de força k₁, k2 e k3, dispostas como na figura acima. A oscilação é unidimensional, horizontal e com dois graus de liberdade para vibração.

Diagrama de forças para o corpo de massa m₁:

Figura 4: diagrama de forças para o corpo 1.

) ( ) ( _{2 1 1 1 1} 2 2 1 2 1 k x x k x F t dt x d m = − − + ) ( 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 k x k x k x F t dt x d m = − − + ₂1

(

_{1 2}

)

_{1 2 2 1}

(

)

2 1 k k x k x F t dt x d m

=

−

+

−

+

(12)

Digrama de força para o corpo de massa m₂:

Figura 5: diagrama de forças para o corpo 2.

) ( ) ( _{2 1 3 2 2} 2 2 2 2 2 k x x k x F t dt x d m =− − − + ) ( 2 2 3 1 2 2 2 2 2 2 2 k x k x k x F t dt x d m =− + − +

₂2 _{2 1} ( _{2 3}) _{2 2}() 2 2 k x k k x F t dt x d m = − + + (13)

As equações diferenciais 10 e 11 estão acopladas formando um sistema linear de equações diferencias dado por:

)

(

)

(

_{1 2 1 2 2 1} 1 1x k k x k x F t m

&

&

=

−

+

−

+

)

(

)

(

_{2 3 2 2} 1 2 2 2x k x k k x F t m &&

=

−

+

+

Com o intuito de se trabalhar com um sistema linear homogêneo, admite-se ) ( 1 t F =F₂(t)=0.

0

)

(

0

)

(

2 3 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1

=

+

+

−

=

−

+

+

x k k x k x m x k x k k x m & & & & (14)

A forma geral das soluções procuradas é i t

e c x1

=

1 −ω e t i e c x2

=

2 −ω t i t i e c x e c i x ω ω

ω

ω

− − − = − = 1 2 1 1 1 & & & iwt t i e c x e c i x − − − = − = 2 2 2 2 2

ω

ω

ω & & &

Fazendo a substituição de x₁, x₂ e suas respectivas derivadas no sistema de

equações, tem-se que:

0

)

(

0

)

(

2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 = + + − − = − + + − − − − − t i t i t i t i e c k k e c k e c m c k c k k e c m ω ω ω ω

ω

ω

0

)

(

0

)

(

2 3 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 = + + − − = − + + − c k k c k c m c k c k k c m

ω

ω

0

)]

(

[

0

)]

(

[

2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 = + + − + − = − + + − c k k m c k c k c k k m

ω

ω

(15)

A teoria de sistemas de equações diferenciais garante que para um sistema homogêneo uma solução não trivial é encontrada quando o determinante da matriz formada pelos coeficientes de tal sistema é nulo. Assim:

0

)

(

)

(

2 2 3 2 2 2 2 1 2 1 ₌ − + − − − +

ω

ω

m k k k k m k k (16)

Num primeiro momento, para simplificação, pode-se adotar k₁ =k₂ =k₃ =k e

m m m₁ = ₂ = .

0

)

2

(

)

2

(

2 2 = − − − −

ω

ω

m k k k m k (17)

0 3 4 0 4 4 0 ) 2 )( 2 ( 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 = + − = − + − = − − − k mk m k m mk k k m k m k

ω

ω

ω

ω

ω

ω

Fazendo

ω

2 =

ξ

0

3

4

2 2 2 _{− + =} k mk m

ξ

ξ

2 2 2 2 2 2 4 12 16k m − k m = k m = ∆ 2 2 2 4 2 m mk mk a b ± = ∆ ± − =

ξ

m k m mk m k m mk = = = = 2 2 2 1 2 2 3 2 6

ξ

ξ

m k = 1

ω

(18) m k 3 2 =

ω

(19)

As freqüências

ω

₁ e

ω

₂ representam os modos normais de vibração para o

movimento desse sistema oscilante. Qualquer outro movimento pode ser descrito como uma combinação linear desses modos. “As massas podem vibrar (em movimento harmônico simples - MHS) somente com essas freqüências e em nenhuma outra.” (Butkov, 1983).

Com essas freqüências conhecidas é possível determinar as constantes c₁e c₂.

Substituindo m k = 1

ω

:

0

]

2

[

− m+ k c₁−kc₂ = m k

kc₁−kc₂ =0⇒c₁=c₂ (20) Substituindo m k 3 2 =

ω

: 0 ] 2 3 [− m+ k c₁−kc₂ = m k

−kc₁−kc₂ =

0

⇒

c₁=−c₂ (21)

De um modo bem simples, c₁=c₂, corresponde à situação em que as duas massas

deslocam-se no mesmo sentido e, c₁=−c₂, ao caso em que o movimento se dá em sentidos

opostos.

3.2) A Análise de Fourier

As formas das ondas podem ser desdobradas nos harmônicos que as constituem por um método conhecido como análise harmônica, também chamada análise de Fourier, pois é resultado dos trabalhos do matemático francês J. Fourier sobre a análise das funções periódicas. (TIPLER, 2000)

Uma série de Fourier, em matemática, é um modo de representar uma função periódica no tempo como soma de outras funções periódicas do tipo inx

e . E a fórmula de

Euler prevê que essas séries podem ser expressas como funções do tipo seno e co-seno:

)

(

)

cos(

nx isen nx einx = + (22)

Uma função periódica no tempo, f(x), em geral pode ser escrita na forma de uma

série trigonométrica do tipo:

= +

∑

[

cos(

)

+

(

)]

2

)

(

_x a0 _{a nx b sen nx} f _{n n} (23) .... 4 , 3 , 2 , 1 = n

Os coeficientes a_n e b_n são o termos de Fourier, que podem ser determinados por:

∫

∫

− − = = π π π π

π

π

dx nx sen x f b dx nx x f a n n ) ( ) ( 1 ) cos( ) ( 1 (24)

No presente trabalho, o objetivo não é descrever formalmente a análise de Fourier com todo seu rigor matemático uma vez que sua utilização se deu apenas computacionalmente com a utilização dos Softwares Maple e Gnuplot para confecção dos gráficos. O importante aqui é ressaltar o porquê de ter sido aplicada e a sua idéia principal: mostrar que todo movimento periódico pode ser descrito pela superposição de harmônicas mais simples (Análise Harmônica).

4. EXPERIMENTAÇÃO

4.1) Materiais e Métodos

Para o enriquecimento do trabalho foi feita também uma análise experimental do sistema oscilante acima estudado. A montagem do experimento aconteceu integralmente no laboratório de mecânica da Universidade Católica de Brasília, UCB. Os seguintes materiais foram utilizados nesta etapa do projeto:

• Unidade Geradora de Fluxo de Ar: Maxwell - Metalurgia e Equipamentos Científicos; • Trilho (colchão) de Ar Linear Hentschel;

• Science PASCO Workshop ® 750 Interface;

• Sensor de Movimento: Motion Sensor II PASCO Scientífic;

• Softwares Datastúdio, Gnuplot e MAPLE, licenciados em todos os computadores dos laboratórios da UCB;

• Três (3) molas de Hooke, Kit PASCO;

• Balança de Precisão ACCULAB U-1200/ Capacity: 1200g; • Um kit com massas metálicas de 50g cada;

A primeira etapa a ser realizada foi determinar as constantes de força, k, das molas.

Isso foi feito pelo método simples de pendurar corpos de massas,

m

, conhecidas (medidas

pela balança de precisão disponível) e em seguida anotar as deformações x sofridas por

elas com uma escala milimetrada impressa no suporte onde estavam presas. Conhecidas as massas e a deformação, igualou-se a força peso com a força elástica para a determinação de k, quando o sistema entrava em equilíbrio estático. Cada mola teve seis massas

distintas suspensas, uma de cada vez, em suas extremidades para que pudesse ser calculada a constante k com mais precisão. Havia cinco molas para uso, sendo que três

deveriam ser escolhidas para serem inseridas no experimento. Ao invés de ter tirado a média dos valores calculados para as constantes das molas, os dados foram inseridos no Software Datastúdio gerando o gráfico do módulo da força elástica (F) em função da deformação

x

. Com a função “ajuste linear” deste programa determinou-se a constante k,

que é o coeficiente angular da função F(x)=kx.

Para o cálculo da força peso foi utilizado como valor da aceleração da gravidade para a localidade de Brasília 9,77 2

s m

mg kx=

x mg k =

Em que a massa mestá em quilogramas (kg) e a deformação x em metros (m).

Com isso, k já está em unidades do Sistema Internacional SI: m N

.

Das três molas necessárias para o experimento, duas tinham constantes de força k aproximadamente iguais e a outra um valor muito próximo, com diferença percentual por volta de 1,2% a menos. Logo as molas de mesmo k, chamadas “Mola I” e “Mola III” foram inseridas nas extremidades do oscilador e a mola de constante um pouco diferente, “Mola II”, foi aplicada como central, isso para garantir melhor simetria do movimento. Assim os valores de k ficaram assim definidos:

m

N

k

m

N

k

m

N

k

/

92

,

7

/

82

,

7

/

92

,

7

3 2 1 = = =

Como a diferença entre a constante da mola central e as molas das extremidades é muito pequena, o problema será simplificado como sendo composto de molas de mesmo k, com valor de 7,92N/m.

Figura 6: molas usadas nos osciladores.

Abaixo seguem os gráficos com os dados que originaram os valores das constantes das molas acima.

Gráfico 1: força elástica versus deformação para as molas I e III.

As duas massas acopladas no sistema são constituídas pelos “carrinhos” que fazem parte do trilho de ar adicionas de massas metálicas auxiliares e uma placa de isopor, usada de anteparo para o sensor de movimento. As massas desses conjuntos foram então medidas na balança e ajustadas de modo a serem aproximadamente iguais. A massa total de cada carrinho como mostrado na foto abaixo é m=228,7g.

Vale comentar que a função do trilho de ar é minimizar os efeitos do atrito entre as superfícies, uma vez que o arrasto do ar não pode ser eliminado.

Figura 7: massas (carrinhos) oscilantes do sistema.

5. ANÁLISE E DISCUSSÕES

A próxima etapa foi analisar no software Datastúdio a reprodução gráfica das oscilações do sistema. Inicialmente, as massas foram postas a oscilar em mesmo sentido (

c

₁=

c

₂) e coletados os dados com o sensor de movimento ligado à interface.

Gráfico 3: posição versus tempo para massa 1.

A mesma análise foi feita, em seguida, mas com os corpos deslocando-se em sentidos opostos (c₁=−c₂). Abaixo seguem os gráficos da situação para as massas m₁ e

2

m

, respectivamente.

Gráfico 5: posição versus tempo para a massa 1.

Gráfico 6: posição versus tempo para a massa 2.

O objetivo das demonstrações experimentais acima é mostrar os dois modos de vibrações correspondentes às freqüências

ω

₁ e

ω

₂.

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 In te ns id ad e Frequencia (Hz) 0.91 Hz 1.52 Hz

Gráfico 7: análise de Fourier para as massas se deslocando no mesmo sentido.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 In te n si d a d e Frequencia (Hz) 0.91 Hz 1.52 Hz

Gráfico 8: análise de Fourier para as massas se deslocando em sentidos opostos.

Os gráficos (8) e (9) mostram a análise de Fourier, feita no software Maple

,

para os

casos que acabaram de ser descritos. No primeiro, é mostrada a predominância da freqüência correspondente ao primeiro harmônico (0,91Hz) e no gráfico seguinte a maior intensidade para o segundo harmônico (1,52Hz), cujos valores são calculados mais adiante. Em seguida o oscilador foi posto em movimento diferentemente das condições feitas até agora. Ele foi posto a vibrar em modos que são combinações dos dois anteriores, gerando gráficos de formas variadas.

Para mostrar que esses movimentos são realmente combinações das freqüências fundamentais, seguem abaixo dos pares de gráficos que representam os movimentos das massas 1 e 2 os gráficos das respectivas análises de Fourier.

Gráfico 9: Combinação de Freqüências I (superior: corpo 1 e inferior: corpo 2)

Gráfico 11: Combinação de Freqüências II (superior: corpo 1 e inferior: corpo 2)

Gráfico 13: Combinação de Freqüências III (superior: corpo 1 e inferior: corpo 2)

Em todas as três combinações e suas respectivas análises harmônicas é nítido que o primeiro harmônico predomina sobre o segundo durante o movimento. Os picos dos gráficos das análises de Fourier representam exatamente tais freqüências, chamadas aqui de

f

₁ e

2

f

, vistas nos gráficos 11, 13 e 15 da esquerda para direita, respectivamente.

Os valores teóricos esperados com base nas massas medidas para os corpos oscilantes e os valores das constantes das molas (lembrando que elas foram aproximadas como sendo iguais) prevêem os seguintes resultados:

De (16) e (17), tem-se que: m k = 1

ω

m k 3 2 =

ω

Usando-se a relação

ω

=2

π

f pode-se escrever a freqüência como:

π

2

1

m

k

f

=

π

2

3

2

m

k

f

=

Substituindo para a massa o valor

m

=

228

,

7

×

10

3

kg

e para a constante de mola,

m N k =7,92 / , tem-se que:

Hz

f

Hz

f

62

,

1

93

,

0

2 1 = =

Os valores obtidos experimentalmente são:

Hz

f

Hz

f

52

,

1

91

,

0

2 1 = =

Um erro percentual de aproximadamente 2,2% e de 6,2% para as freqüências f₁ e

2

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Os objetivos iniciais que nortearam a elaboração deste estudo foram alcançados. Foi proposto, inicialmente, estudar em detalhes um tipo de sistema de osciladores acoplados e buscar sua reprodução experimental de modo a visualizar a dinâmica teórica prevista. A questão é que o estudo em detalhes de qualquer sistema físico parece não ter fim quando a teoria é submetida à experimentação. A física possui um “mundo mágico” chamado laboratório onde é natural surgirem perguntas do tipo “como ele se comporta?”, “o que acontece se tal parâmetro for modificado?”, “tem como eliminar essa falha experimental?”, entre outras indagações muitas vezes difíceis de serem respondidas. Isso enriquece qualquer estudo, não deixando que se crie, às vezes, limite para si próprio.

Nas primeiras idéias sobre o desenvolvimento deste trabalho era previsto fazer uma série de análises até mesmo com outros recursos experimentais e outras ferramentas matemáticas: como por exemplo, aplicar as equações de Lagrange e estudar outro tipo de oscilador acoplado. Se o projeto fosse apenas teórico isso até poderia ter sido feito, mas os rumos mudaram durante a etapa experimental por uma série de questões que foram surgindo para serem respondidas e novas idéias fluíram, como foi a de fazer a análise de Fourier para os movimentos.

Quanto aos aspectos experimentais, são evidentes os parâmetros que afetaram os resultados finais. As placas de isopor usadas como anteparo para o sensor de movimento foram fontes potenciais para a manifestação da força de arrasto do ar: o que justifica a queda de amplitude para as oscilações mostradas nos gráficos.

Na análise dos resultados verificou-se também que a freqüência medida é menor que a freqüência esperada. Analisando a equação (10), que descreve a freqüência de oscilação em função do parâmetro

α

, que por sua vez depende de b (constante associada ao arrasto

do ar) fica explícito o motivo: com a inserção da placa de isopor, necessária para as medições do sensor,

b

é elevada e conseqüentemente a freqüência diminui.

Vale lembrar que as molas usadas no experimento não tinham constantes k iguais:

2

k

é diferente das molas extremas (que são iguais). Como as freqüências angulares

ω

dependem desse parâmetro é evidente que, por mais que fosse pouca a diferença, isso pode ter afetado o resultado final. Mas, afetado como?

No experimento, as constantes das molas obedecem à seguinte relação:

k

₁ =

k

₃ =

k

e para a mola central, a constante é

k

₂. Então, substituindo essas condições na equação

m k = 1

ω

m

k

k

₂ 2

2

+ =

ω

(25)

Ou seja, o primeiro harmônico não sofre alteração caso a mola central seja diferente das demais. Porém, o segundo harmônico sim, como descreve a equação (23).

Outro aspecto importante para ser citado é que os gráficos poderiam ter sido confeccionados com um pouco mais de precisão se o sensor estivesse ajustado para coletar um maior número de pontos durante as oscilações. Para a geração dos gráficos presentes neste trabalho foram coletados 50 pontos em cada 10 segundos de oscilação (10 Hz).

Não se trata de um trabalho na área de ensino de física, porém fica a sugestão de utilização desse tipo de atividade com mais freqüência nos cursos de graduação em física pelo alto potencial em proporcionar um aprendizado mais significativo e oferecer uma dinâmica de todo o aparato físico e matemático empregado.

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BUTKOV, Eugene. Física-Matemática, 1ª ed., LTC-Livros Técnicos e Científicos, Rio de Janeiro, 1988. ISBN 85-7030-008-5

BARCELOS NETO, João. Mecânica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana, 1ª ed., São Paulo: Editora Livraria da Física, 2004.

FRENCH, A.P., Vibrações e Ondas. Brasília: 1ª ed., Editora UNB, 2001. ISBN 85-230-0649-4.

BOYCE, William E. e DIPRINA, RICHARD C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, 7ª ed., LTC, 1999. ISBN 85-216-1131-5.

TIPLER, P. A. Mecânica, Oscilações e Ondas e Termodinâmica. Rio de Janeiro: 4ª ed. LTC-Livros Técnicos e Científicos SA, 2000.

HALIIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física, Gravitação, Ondas e Termodinâmica. Rio de Janeiro: 7ª ed. LTC-Livros Técnicos e Científicos, 2006. ISBN85-216-1485-3.

NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica 2, Fluidos, Oscilações e Ondas e Calor. São Paulo: Edgard Blücle LTDA, 2002.

M.Rozo; M.Ayala. Transmision de Energia e Momentum en Sistemas Discretos. Disponível em: http://calima.univalle.edu.co/revista/vol38_4/articulos/38041427.pdf Acesso em: 5 maio. 2008.

Experiências Interactivas no Museu de Ciências da Faculdade de Ciências da Universidade

do Porto – Portugal (FCUP). Disponível em:

http://museus.fc.up.pt/ciencia/Coupled_Oscillators.htm Acesso em: 6 maio. 2008.

Série de Fourier. Wikipédia, A Enciclopédia Livre. Disponível em:

Segue em anexo os procedimentos computacionais desenvolvidos no Software Maple-7 para realizar a análise de Fourier para as combinações de movimento. Mas, os gráficos das análises de Fourier impressos no trabalho foram gerados no Gnuplot. Também estão disponíveis os links para três vídeos: dois de demonstrações dos dois modos de vibração e um de combinações de movimentos.

> restart;

L [i] é a lista que contem os dados das combinações de movimento coletados com o sensor de movimento do Datastúdio. L1[i] [1] é x

i e L1[i] [2] é yi

> L1:=readdata("Arquivo com os dados retirados do Datastúdio”.txt,[float,float]); Lista com os pontos do movimento.

> plot(L1); Gerando o gráfico a partir desses pontos.

> writedata("C:/L1.dat",L1,[float,float]); Salvando essa lista no diretório C, por exemplo. > N:=nops(L1); Identificando o número N de termos da lista L1

> T:=L1[N][1]-L1[1][1]; T é o intervalo de tempo total.

> M:=N/2; M é o número de termos que será calculado das séries de Fourier. > for n from 1 to M do Calculando os termos de Fourier I

> a[n]:=(2/T) * sum( ( L1[i][2] * sin(2*Pi*n*L1[i][1]/T) + L1[i+1][2] * sin(2*Pi*n*L1[i+1][1]/T))/2 * (L1[i+1][1]-L1[i][1]),i=1..N-1);

> b[n]:=(2/T) * sum( ( L1[i][2] * cos(2*Pi*n*L1[i][1]/T) + L1[i+1][2] * cos(2*Pi*n*L1[i+1][1]/T))/2 * (L1[i+1][1]-L1[i][1]),i=1..N-1);

> c[n]:=sqrt(a[n]^2+b[n]^2);

> end do;

> Espectro1:=[seq([j/T,c[j]],j=1..M)]; Lista com os dados para gerar o gráfico Intensidade x Freqüência (Espectro de Freqüências)

> plot(Espectro1); Gráfico do espectro de freqüências

> writedata("C:/Espectro1.dat",Espectro1,[float,float]); Salvando essa lista no diretório C, por exemplo.

Obs. Os comandos acima foram aplicados ao primeiro conjunto de dados (para obter a análise de Fourier da combinação I) e para os demais é exatamente o mesmo processo.

Vídeo para as massas se deslocando no mesmo sentido (como reproduzido nos gráficos 3 e 4)

TCC 026

Vídeo para as massas se deslocando em sentidos opostos (como reproduzido nos gráficos 5 e 6)

TCC 033

Vídeo de combinações de movimentos das massas (como reproduzido nos gráficos 9, 11 e 13)