3 Condução unidimensional em regime estacionário

3 Condução unidimensional em regime

es-tacionário

3.1 Parede plana sem geração

Eq. do calor: _dxd A kdT dx B = 0 Fluxo térmico é constante, indepen-dente de x

Exemplos de condições de contorno: T (0) = Ts,1, T (L) = Ts,2 Assim: C2 = Ts,1, C1 = Ts,2≠ Ts,1 L ) T(x) = (Ts,2 ≠ Ts,1) x L + Ts,1 æ distribuição linear Calor transferido: qx = ≠kA

dT dx = kA L (Ts,1≠ Ts,2) Fluxo: qÕÕ x = qx A = k L(Ts,1≠ Ts,2) 3.1.1 Resistência térmica

Analogia com circuitos elétricos é possível para problemas unidimensio-nais, sem geração interna, em regime permanente.

Elétrico: U = RI Térmico: (Ts,1≠ Ts,2) = L kAqx Resistência de condução: Rt,cond = L kA (parede plana) Resistência de convecção: qx = hA(Ts≠ TŒ) ) Rt,conv = 1 hA

Associação pode ser feita em série ou paralelo.

3.1.2 Resistência de contato

Imperfeições na junção RÕÕ_t,c= TA≠ TB

qÕÕ

Exercício 3

As paredes externas de um edifício são compostas por três camadas:

uma placa de gesso (kg = 0,17 W/(m · K)) com 10 mm de espessura,

espuma de uretano (ku = 0,026 W/(m · K)) com 50 mm de espessura, e

uma madeira macia (km = 0,12 W/(m · K)) com 10 mm de espessura.

Em um dia típico de inverno, as temperaturas do ar nos lados externo e interno da parede são de –15 °C e 20 °C, respectivamente, com os cor-respondentes coeficientes de transferência de calor por convecção iguais a 15 W/(m2_{· K) e 5 W/(m}2_{· K).}

a) Qual a carga de aquecimento necessária para um seção de 1 m2 _da

parede?

b) Qual a carga de aquecimento necessária se a parede composta for

substituída por uma janela de vidro (kv = 1,4 W/(m · K)) com 3 mm de

c) Qual a carga de aquecimento necessária se a parede composta for substituída por uma janela dupla, com duas lâminas de vidro de 3 mm de espessura separadas por um espaço de 5 mm contendo ar estagnado

(ka = 0,0263 W/(m · K))?

Solução: a)

q T_Œ,i Ts,i Tg,u Tu,m Ts,o TŒ,o

1 hiA Lg kgA Lu kuA Lm kmA 1 hoA

qx = TŒ,i≠ TŒ,o 1₁ hi + Lg kg + Lu ku + Lm km + 1 ho 2 ₁ A = 1₁ 20 ≠ (≠15) 5 + 0,010,17+0,0260,05 +0,010,12 +151 2₁ 1 qx = 15,0 W b) qx = T_{Œ,i≠ TŒ,o} 1₁ hi + Lv kv + 1 ho 2 ₁ A = 1₁ 20 ≠ (≠15) 5 +0,0031,4 + 151 2₁ 1 = 130,5 W c) qx = T_Œ,i≠ TŒ,o 1₁ hi + 2Lv kv + La ka + 1 ho 2 ₁ A = 1₁ 20 ≠ (≠15) 5 +0,0061,4 + 0,02630,005 +151 2₁ 1 = 75,9 W

3.2 Cilindro sem geração

Taxa de transferência é constante, inde-pende de r. Para k constante: _drd A rdT dr B = 0 ∆ rdT_dr = C1 ∆ dT_dr = C_r1 T(r) = C1ln r + C2

Exemplos de condições de contorno: T (r1) = Ts,1, T (r2) = Ts,2 Assim: T (r) = Ts,1≠ Ts,2 ln(r1/r2) ln 3_r r2 4 + Ts,2 distribuição logarítimica. qr = _ln(r22fiLk /r1)(Ts,1≠ Ts,2) Rt,cond = ln(r2/r1) 2fiLk

Exercício 4

Um aquecedor elétrico delgado é enrolado ao redor da superfície externa de um tubo cilíndrico longo cuja superfície interna é mantida a uma temperatura de 5 °C. A parede do tubo possui raios interno e externo iguais a 25 mm e 75 mm, respectivamente, e condutividade térmica de 10 W/(m · K). A resistência térmica de contato entre o aquecedor e a superfície externa do tubo (por unidade de comprimento do tubo) é de

Rt,c = 0,01 m · K/W. A superfície externa do aquecedor está exposta

a um fluido com T_Œ = ≠10 °C e um coeficiente de convecção de h =

100 W/(m2_{· K). Determine a potência do aquecedor, por unidade de}

Solução:

PROBLEM 3.48

KNOWN: Inner and outer radii of a tube wall which is heated electrically at its outer surface

and is exposed to a fluid of prescribed h and T . Thermal contact resistance between heater and tube wall and wall inner surface temperature.

FIND: Heater power per unit length required to maintain a heater temperature of 25 C. SCHEMATIC:

ASSUMPTIONS: (1) Steady-state conditions, (2) One-dimensional conduction, (3) Constant

properties, (4) Negligible temperature drop across heater.

ANALYSIS: The thermal circuit has the form

Applying an energy balance to a control surface about the heater,

a b o i o o i o t,c 2 q q q T T T T q ln r / r 1/h D R 2 k 25 10 C 25-5 C q = ln 75mm/25mm m K _{1/ 100 W/m K 0.15m} 0.01 2 10 W/m K W q 728 1649 W/m q =2377 W/m.

<

COMMENTS: The conduction, contact and convection resistances are 0.0175, 0.01 and

0.021 m K/W, respectively,

PROBLEM 3.48

KNOWN: Inner and outer radii of a tube wall which is heated electrically at its outer surface and is exposed to a fluid of prescribed h and T . Thermal contact resistance between heater and tube wall and wall inner surface temperature.

FIND: Heater power per unit length required to maintain a heater temperature of 25 C. SCHEMATIC:

ASSUMPTIONS: (1) Steady-state conditions, (2) One-dimensional conduction, (3) Constant properties, (4) Negligible temperature drop across heater.

ANALYSIS: The thermal circuit has the form

Applying an energy balance to a control surface about the heater,

a b o i o o i o t,c 2 q q q T T T T q ln r / r 1/h D R 2 k 25 10 C 25-5 C q = ln 75mm/25mm m K _{1/ 100 W/m K 0.15m} 0.01 2 10 W/m K W q 728 1649 W/m q =2377 W/m. <

COMMENTS: The conduction, contact and convection resistances are 0.0175, 0.01 and 0.021 m K/W, respectively, qÕ = q_aÕ + qÕ_b ∆ qÕ = _ln(rTo≠ Ti o/ri) 2fir + RÕt,c + To≠ TŒ 1 hfiDo qÕ = _ln(75/25)25 ≠ 5 2◊fi◊10 + 0,01 +15 ≠ (≠10)₁ 100◊fi◊0,15 = 2377 W/m

Exercício 5

Vapor d’água a 575 °C é conduzido de uma caldeira para a turbina de uma usina de geração de potência elétrica através de tubos de aço (k = 35 W/(m · K)), com diâmetro interno igual a 300 mm e 30 mm de espessura de parede. Para reduzir a perda térmica para a vizinhança e para manter a temperatura externa segura para o toque, uma camada de isolante de silicato de cálcio (k = 0,10 W/(m · K)) é aplicada nos tubos. O isolante é coberto com uma folha fina de alumínio que pos-sui uma emissividade Á = 0,20. A temperatura do ar e das paredes da planta de potência é igual a 27 °C. Considerando que a temperatura da superfície interna do tubo de aço seja igual à do vapor e que o coeficiente

convectivo externo à folha de alumínio seja igual a 6 W/(m2_{· K), qual}

é a espessura mínima de isolante necessária para garantir que a tempe-ratura do alumínio não seja superior a 50 °C? Qual é a perda de calor correspondente, por metro de comprimento de tubo?

Solução:

PROBLEM 3.51

KNOWN: Diameter, wall thickness and thermal conductivity of steel tubes. Temperature of steam flowing through the tubes. Thermal conductivity of insulation and emissivity of aluminum sheath. Temperature of ambient air and surroundings. Convection coefficient at outer surface and maximum allowable surface temperature.

FIND: (a) Minimum required insulation thickness (r3– r2) and corresponding heat loss per unit

length, (b) Effect of insulation thickness on outer surface temperature and heat loss. SCHEMATIC: Too,i= 575 Co Steam Insulation k = 0.10 W/m-Kin Aluminum Steel k = 35 W/m-Kstl r = 180 mm2 r = 150 mm1 r3 Too,o= 27 Co ho= 6 W/m -K2 Ambient air Tsur= 27 Co Ts,o< 50 Co = 0.20

ASSUMPTIONS: (1) Steady-state, (2) One-dimensional radial conduction, (3) Negligible contact resistances at the material interfaces, (4) Negligible steam side convection resistance (T ,i= Ts,i), (5) Negligible conduction resistance for aluminum sheath, (6) Constant properties, (7) Large

surroundings.

ANALYSIS: (a) To determine the insulation thickness, an energy balance must be performed at the outer surface, whereq q_conv,o q_rad. Withq_conv,o 2 r h_{3 o} T_s,o T _,o , q_rad 2 r₃

4 4

s,o sur s,i s,o cond,st cond,ins cond,st 2 1 st

T T , q T T / R R , R n r / r / 2 k ,andR_cond,ins

3 2 ins

n r / r / 2 k ,it follows that

s,i s,o 4 4

3 o s,o ,o s,o sur

2 1 3 2 st ins 2 T T 2 r h T T T T n r / r n r / r k k 2 8 2 4 4 4 4 3 3 2 848 323 K 2 r 6 W / m K 323 300 K 0.20 5.67 10 W / m K 323 300 K n r / 0.18 n 0.18 / 0.15 35 W / m K 0.10 W / m K

A trial-and-error solution yields r3= 0.394 m = 394 mm, in which case the insulation thickness is ins 3 2

t r r 214 mm <

The heat rate is then

2 848 323 K

q 420 W / m

n 0.18 / 0.15 n 0.394 / 0.18 35 W / m K 0.10 W / m K

<

(b) The effects of r3on Ts,oandq have been computed and are shown below.

Continued … Balanço de energia: qÕ

cond = qconvÕ + qradÕ 2fi(Ts,i≠ Ts,o)

ln(r2/r1)

kstl +

ln(r3/r2)

kin

= 2fir3Ëho(Ts,o≠ TŒ,o) + Á‡(Ts,o4 ≠ Tsur4 )

È . 2fi(848 ≠ 323) ln(0,18/0,15) 35 +ln(r0,103/0,18) = = 2fir3Ë6 ◊ (323 ≠ 300) + 0,20 ◊ 5,67 ◊ 10≠8₍₃₂₃4_{≠ 300}4₎È

Resolvendo iterativamente para r3, r3 = e 1 0,3096 r₃ ≠1,715 2 ∆ r3 = 0,3945 m.

Portanto, a espessura mínima de isolante é r3≠ r2 = 0,2145 m.

A taxa de perda calor por comprimento de tubo pode ser calculada tanto por qÕ

cond quanto por qconvÕ + qradÕ . Aqui usaremos a primeira alternativa, qÕ = _ln(r2fi(T_2/r1)s,i≠ Ts,o) kstl + ln(r3/r2) kin = _{ln(0,18/0,15)}2fi(848 ≠ 323) 35 +ln(0,3945/0,18)0,10 = 420,1 W/m