Introducao a Geometria Diferencial 2nd Ed Ketti EB 2008

1 1

INTRODUÇÃO

À

Professora Emérita da Universidade de Brasília (UnB)

INTRODUÇÃO

À

GEOMETRIA DIFERENCIAL

'

Introdução à geometria diferencial

© 2008 Keti Tenenblat 2ª edição - 2008 1 a reimpressão - 2011

Editora Edgard Blücher Ltda.

Blucher

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FICHA CATALOGRÁFICA Tenenblat, Keti

Introdução à geometria diferencial / Keti Tenenblat ·· 2ª. ed. São Paulo: Blucher, 2008.

Bibliografia.

ISBN 978-85-212-0467-l 1. Geometria diferencial l. Título.

08-06319

fndices para catálogo sistemático: 1 . Geometria diferencial 51 6. 7

Esta é a segunda edição deste livro que tem o objetivo de servir como texto para um curso introdutório de Geometria Diferencial, em nível de graduação. Apresen-tamos a teoria local de curvas e superficies, no espaço euclidiano, admitindo como pré-requisitos os cursos básicos de cálculo diferencial e equações diferenciais.

No Capítulo O, relacionamos os principais resultados do cálculo vetorial e do cálculo diferencial.para funções de várias variáveis, que serão utilizados, freqüente-mente, nos capítulos seguintes.

Sugerimos que a leitura do texto seja iniciada com o estudo de curvas pla-nas, Capítulo 1, recordando os conceitos do Capítulo O, à medida que se tornarem necessários.·

A teoria local clássica de curvas no espaço é introduzida no Capítulo II e a de superficies, no Capítulo III. Tendo em vista o caráter introdutório do curso, o estudo das superficies é desenvolvido para superficies parametrizadas regulares. Estas sur-gem naturalmente como uma extensão do conceito de curva parametrizada regular.

No Capítulo. IV, julgamos conveniente ineluir o método do triedro móvel, como um método alternativo ao clássico, para o estudo local das superf~:cies.

Procuramos ilustrar os conceitos e os resultados da teoria apresentados no texto, por meio de vários exemplos e :figuras. No :final de cada seção, incluímos uma série de exercícios. Esta edição difere pouco da anterior. Foi introduzida uma seção ao :final do Capítulo III, indicando algumas aplicações da computação gráfica, usando o programa "ACOGEO". Este programa permite visualizar tanto as curvas e super-fícies no espaço euclidiano como ·os principais resultados· da teoria de geometria diferencial apresentados no livro.

Desejamos agradecer aos alunos e colegas que leram criticamente este texto. Agradecimentos especiais são devidos a Manfredo_ P. do Carmo pelas sugestões e a José Anchieta Delgado pelas contribuiçõe~ na primeira edição deste livro. Final-mente, agradecemos a Hailton G. Reis pela digitação desta edição, a Rosângela Maria da Silva pela cuidadosa revisão e a Patrícia Fernandes do Nascimento por diversas :figuras do texto.

Capítulo O - CÁLCULO NO ESPAÇO EUCLIDIANO

1. Cálculo Vetorial no Espaço Euclidiano ... 1

2. Cálculo Diferencial no Espaço Euclidiano ... 12

Capítulo 1 - CURVAS PLANAS 1. Curva Parametrizada Diferenciável ... 28

2. Vetor Tangente; Curva Regular ... 32

3. Mudança de Parâmetro; Comprimento de Arco ... 36

4. Teoria Local das Curvas Planas; Fórmulas de Frenet.. ... .42

5. Teorema Fundamental das Curvas Planas ... .52

Capítulo.II- CURVAS NO ESPAÇO 1. Curva Parametrizada Diferenciável ... 55

2. Vetor Tangente; Curva Regular; Mudança de Parâmetro ... 57

3. Teoria Local das Curvas; Fórmulas de Frenet ... 61

4. Aplicações ... 71

5. Representação Canônica das Curvas ... 78

6. Isometrias do IRP; Teorema Fundamental das Curvas ... 81

7. Teoria do Contato ... ~: ... 97

8. Involutas e Evolutas ... 104

Capítulo ill TEORIA LOCAL DE SUPE~íCIES 1. Superficie Parametrizada Regular ... 109

2. Mudança de Parâmetros ... 125

X

4. Primeira Forma Quadrática ... 138

5. Segunda Forma Quadrática; Curvatura Normal ... 152

6. Curvaturas Principais; Curvatura de Gauss; Curvatura Média ... 160

7. Classificação dos Pontos de uma Superficíe ... 174

8. Linhas de Curvatura; Linhas Assintóticas; Geodésicas ... 187

9. Teorema Egregium de Gauss; Equações de Compatibilidade; Teorema Fundamental das Superficies ... 207

10. Aplicações Computacionais ... 212

Capítulo IV MÉTODO DO TRIEDRO MÓVEL l. Formas Diferenciais em ~2 _{••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 217} 2. Triedro Móvel; Equações de Estrutura ... 233

3. Aplicações: Teorema de Bonnet; Teorema de Bãcklund ... 254

Referências Bibliográficas ... 266

CÁLCULO NO ESPAÇO EUCLIDIANO

No estudo de curvas e superfícies, serão utilizados os conceitos fundamen-tais do cálculo vetorial e do cálculo diferencial de funções de uma ou mais variáveis. Por esse 1TIOtivo, julgamos conveniente reunir neste capítulo inicial as noções necessárias, muito embora, admitindo que são do conhecimento do leitor.

1. Cálculo Vetorial no Espaço Euclidiano

Denotamos por JR3 _{o espaço euclidiano de dimensão três, isto é, o conjunto}

de termos ordenados de números reais p (x, y, z), chamados pontos de . A distância entre dois pontos Pl =(xi, y1, z1) e p2

=

(x2, y2, z2) é

dada por

Dados dois pontos distintos PI e p2 de JR3, o segmento orientado de PI a p2

é

chamado vetor. O comprimento do seirnento é dito módulo do vetor. Portanto, a cada vetor podemos associar uma direção, um sentido e o módulo. Se w

é

o vetor determinado pelo segmento orientado de p1 a p2,

então (x2 - x1, Y2 - YI, z2 - z1) são as componentes do vetor w.

Dizemos que dois vetores são iguais_ se têm o mesmo módulo, direção e sentido. Portanto, dois vetores são iguais se, e só se, têm as mesmas compo-nentes. Vamos incluir o vetor nulo de componentes nulas, que denotamos por

2

vetores de JR3. Daqui por diante, vamos nos referir aos pontos ou vetores de JR3 indistintamente.

Dados dois vetores w1 e w2 de componentes w1 = (xi, Yl, z1) e w2 (x2, Y2, z2), definimos a soma w1 + w2 como sendo o vetor de componentes

w1 +w2 =(xi Yl +Y2, z1 +z2). Se  é um número real, definimos o

produto  w como sendo o vetor de componentes  w = ( Âx,  y, Âz).

O conjunto de vetores de JR3 _{com essas operações é um espaço vetorial,}

isto é, são satisfeitas as oito propriedades seguintes:

w1 +w2 = w2 +w1,

(w1 +w2) +w3 = w1 + (w2 +w3), o+w1 =w1,

w1 +(-w1) O,

onde w1, w2, w3 são vetores, e se w1 (x1, y1, zi), -w1 indica o vetor de componentes -w1

=(-xi,

-yi, -zi). Além disso, se Â.1 e _Â.2 são números

Â.1 (À2 w1) = (À1 Â2) w1, (À1 + Â2) w1 Â.1 w1 + Â.2 w1, Â1(w1 +w2) =Â.1 w1 +Â1 w2, 1 W1 W}.

O módulo de um vetor w (x, y, z) é dado por

Um vetor w é dito unitário se

lwl

=

1.

Os vetores wi, w2, · · ·, Wn são ditos linearmente dependentes se existem

números reais Â.1, Â.2, · · ·, Íl,i nem todos nulos, tais que

Os vetores w1, w2, · · ·, w11 são ditos linearmente independentes se não são

linearmente dependentes, isto é, para toda combinação linear desses vetores da forma

Â1 W1 +..:t2 W2

+···+Â.n

Wn 0,

tem-se Â1

=

Â2

= · · · =

Ân

O.

1.1 Exemplos

a) Os vetores w1

(1,

2,

O),

w2

=(O, 1, 1)

e w3 (2, 5,

1)

são linearmente dependentes, pois 2w1

+

w2 - w3 O.

b) Todo conjunto de vetores que contém o vetor nulo é linearmente de-pendente.

e) Os vetores e1

= (1, O, O),

e1

=(O, 1, O)

e e3

(O, O, 1)

são

linear-mente independentes.

d) Os vetores w1 (1, 2,

O),

w2

=(O,

1,

1)

e w3

= (

4, 5, 2) são

linear-mente independentes.

e) Qualquer subconjunto .de vetores linearmente independentes é linear-mente independente.

Se wi, w2, · · ·, w11 são vetores linearmente independentes e w

é

um

vetor que pode ser expresso como combinação linear de w1, w2, · · ·, w11 ,

então decorre da definição de vetores linearmente independentes que esta combinação linear é única, isto é, se

então Â1 Âi, Â2 Â2, · ·., Ân Â,z.

Os vetores e1

= (1, O, O),

e1

=(O, 1, O),

e3

=(O, O, 1)

são linearmente

independentes e, além disso, todo vetor w = (x, y, z) de IR3 pode ser ex-presso, de modo único, como combinação linear de ei, e1 e e3 na forma

4

Um conjunto de vetores B é dito uma base de R3 _{se todo vetor de R}3 _pode

ser expresso como combinação linear dos vetores de B e B

é

um conjunto de vetores linearmente independentes. O conjunto B

= {

ei, e2, e3} do Exemplo 1.1 c) é denominado base canônica de

Observamos que quaisquer três vetores linearmente independentes de JR3

formam uma base de JR3. Reciprocamente, toda base de JR3

_é

_{formada por}

três vetores linearmente independentes.

Se { u1, u2, u3 } é uma base de JR3, e se w azq

+

bu2

+

cu3, então os números reais a, b, c são ditos coordenadas do vetor w na base { u 1 , u2, u3}.

1.2 Exemplo. O vetor w = (6, 10, 3) tem coordenadas 6, 10, 3 na base

canônica de JR3_{. Se consideramos a base}

_{u1=(1,2, O),}

_u2

_(O,

_1,

_1),

_u3

(4, 5, 2), então as coordenadas de w nesta base são 2, 1, 1, pois w =

2u1 +u2 +u3.

As coordenadas de um vetor dependem da base escolhida. De modo geral,

-_c:.ccc.c_-, __ cc_cccc.:c_ J>m·ém, o vetor nulo

tem coordenadas todas nulas em qualquer base. Seja {

u1,

u2, u3 } uma base de R3 _e

w1 a11 u1 +a21 u2 +a31 u3,

w2 a12 u1 +a22 u2 +a32 u3,

W3 a13 u1 +a23

ui

+a33 u3,

então { w1 , w2, w3 } ~,uma base se, e só se, o determinante

Neste caso, o determinante é dito determinante de mudança de base.

Dados dois vetores w1 e w2 de componentes (ou seja, coordenadas na base canônica de R3) w1 = (x1, y1, z1) e w2 = (x2, y2, z2), o produto

interno (ou produto escalar) de w1 e w2 é definido como sendo o número real dado por

(w1, w2) x1 x2 + Yl Y2 z2.

Em particular, temos que (w, w) = lwl2 para todo vetor w. É fácil verificar que o produto interno satisfaz as seguintes propriedades:

(w1, w2) = (w2, w1),

(À

w1, w2) = (w1, À w2) Â (w1, w2), (w1, w2 +w3) = (wi, w2) + (w1, w3), (w1, w1) ~O,

(wi, w1) =O se, e só se, w1 O, onde w1, w2, w3 são vetores de R3 e  é um número real.

Uma outra propriedade importante é a desigualdade de Cauchy-Schwarz: se w1 e w2 são vetores de R3, e!ltão

A igualdade se verifica se, e só se, w1 e w2 são linearmente dependentes. Se w1 e w2 são vetores não-nulos, o ângulo

e

entre w1 e w2 é a solução da equação

satisfazendo

o

:S

e

:S 1C.

Dois vetores w1 e w2 são ditos ortogonais se (wi, w2) =O. Segue-se dessa definição que w1 e w2 são ortogonais se, e só se, w1

=

O ou w2

=

O

OU O ângulo (} entre W} e W2

é

JC/2.

A base canônica ei =

(1, O, O),

e1

(O,

1,

O),

e3

(O,

O, 1) de ~3

é formada por vetores unitários e dois a dois ortogonais. Uma base formada por vetores unitários e dois a dois ortogonais

é

dita uma base ortonormal (ou

6

w1

=

a11 u1 +a21 u2 +a31 u3,

w2 a12 u1 +a22 u2 +a32 u3,

W3 a13 u1

+

a23 u2

+

a33 u3.

Dizemos que as bases { u1, u2, u3} e { w1, w2, w3} têm a mesma orientação

se o determinante de mudança de base é positivo, isto é,

Duas bases ordenadas têm orientação oposta quando o determinante de

mu-dança de base é negativo. No caso particular de duas bases ortonormais, ob-servamos que o determinante de mudança de base é igual a

±

1.

1.3 Exemplo. Consideremos as bases {e1, e1, e3} e {w1, w2, w3}

e3} é base cané)nicª~~e w1

= 1(2, -2,

1), w2

=

1(2,

1,

-2),

w3

=1(1, 2, 2).

Estas bases ortonormais têm a mesma orientação,

já que o determinante de mudança de base é igual a 1.

Dados dois vetores w1 e w2 de componentes w1 = (x1, YI, z1) e w2 =

(x2, y2, z2), o produto vetorial de w1 e w2, denotado por w1 x w2, é

definido como sendo o vetor de componentes

O produto vetorial satisfaz as seguintes propriedades:

a) Jw1 X w2J

=

JwiJ Jw2J sen8, onde 8 é O ângulo entre WI e w2; b) (w1 x w2, w1)

=

(w1 x w2, w2) =O;

onde w1, w2, w3 são vetores e  é um número real.

De um modo geral, o produto vetorial não é associativo, isto é, w1 x ( w2 x

w3) =!= (w1 x w2) x w3. Segue-se da propriedade a) que lw1 x w2I é a área do paralelogramo determinado por w1 e w2.

Dados três vetores w1, w2, w3, o número real ( w1, w2 x w3) é denomi-nado produto misto de w1 , w2, w3. Se os vetores têm componentes

então

XI

(w1, w2 x w3)

=

YI

z1

Como consequência das propriedades do determinante, temos que

(w3, w2 x w1) = -(w2, w1 x w3) = -(w1, W3 x w2). Em particular,

Além disso, (w1, w2 x w3) =O se, e só se, w1, w2, w3 são linearmente dependentes.

8

Não é difícil verificar que duas bases ordenadas e ortonormais de IB.3 { u_1,

u2, u3} e { w1, w2, w3} têm a mesma orientação se, e só se,

e têm orientações opostas se, e só se,

(u1, u2 x u3)

=

-(w1, w2 x w3).

Dados um ponto po (xo, yo,

zo)

de IB.3 e um vetor não-nulo w

=

(a, b, e), a reta que passa pelo ponto po paralela ao vetor w é o conjunto de pontos p de IB.3, tais que

p

=

Po +tw, -=

<

t

<

=,

isto é, o conjunto dos pontos (x, y, z) de IB.3 tais que

(x, y,

z)

= (xo+ta, Yo+tb, zo+tc), -=

<

t

<

=.

Dados um ponto po = (xo, Yo,

zo)

de IB.3 e dois vetores linearmente independentes w1

=

(a1, b1, c1) e w2

=

(a2, b2, c2), o plano ortogormal ao vetor w₁ x w2 que passa por po é o conjunto de pontos p de IB.3 tais que

(p-po, w1 x w2) =O.

Equivalentemente, o plano gerado pelos vetores w1 e w1 é o conjunto dos

pontos p

=

(x, y, z) de IB.3, tais que

p- Po

=

uw1

+vw2,

-=

<

u

<

=, -=

<

v

<

=, ou seja,

Se po, PI e p2 são três pontos não-colineares de IB.3, então o plano que

passa por esses pontos é o conjunto dos pontos p E IB.3 _{tais que}

Dizemos que um subconjunto não-vazio W de IB.3 é um subespaço ve-torial de IB.3 se, para cada par de vetores w1, w2 E W e À número real, os vetores w1 +w2 e À w1 pertencem a W. Pode-se verificar facilmente que todo plano de IB.3 que contém a origem é um subespaço vetorial de IB.3.

Analoga-mente, toda reta que passa pela origem é um subespaço vetorial de IB.3_.

Uma base de um subespaço vetorial W de IB.3 é um conjunto de vetores linearmente independentes de W tal que todo vetor de W é uma combinação linear desses vetores. Se W é um plano de IB.3 passando na origem, então dois vetores linearmente independentes de W formam uma base do plano. No caso de uma reta em IB.3

, passando na origem, qualquer vetor não-nulo

da reta é uma base.

Concluímos esta seção observando que, com um tratamento inteiramente análogo, podemos introduzir os conceitos apresentados em IB.3 _{para um}

espa-ço euclidiano IB.11 _{de dimensão n. Entretanto, para o estudo da teoria local}

de curvas e superfícies, utilizaremos apenas os espaços euclidianos IB.2 e IB.3.

1.4 Exercícios

1. Considere os vetores u1

=

(2, 1) e u2

=

(1, 3) de IB.2. Verifique que:

a) u1 e u2 são vetores linearmente independentes;

b) para todo vetor v =(a, b) de IB.2, existem números reais x, y tais que v

=

xu1

+

yu2. Obtenha x e y em termos de a e b.

2. Verifique que os vetores u1

=

(1, 2, -2), u2

=

(2, 1, 2) e u3

=

(2, -2, -1) são dois a dois ortogonais.

3. Verifique que o ângulo entre os vetores (1, 2, 1) e (2, 1, 1) é o dobro do ângulo entre os vetores (1, 4, 1), (2, 5, 5).

4. Obtenha um vetor não-nulo de IB.3_{, ortogonal aos vetores (2, 1, -1) e}

10

5. Considere o vetor u1 (1, 2, -1 ).

a) Obtenha dois vetores não-nulos de IR.3 u2, _{u3, ortogonais a u1 e}

ortogonais entre si.

b) Seja v um vetor ortogonal a u1. Prove que v é uma combinação linear dos vetores u2, u3 obtidos em a).

6. Sejam w1 e w2 dois vetores de IR.3. Verifique que:

a) lw1 +w212 lwd2+2(w1, w2)+lw2j2; b) Jw1 w212 = lwd2 -2 (w1, w2) + lw212; c)Jw1+w2!2 Jw1 w212=4(w1,w2);

d) w1 e w2 são ortogonais se, e só se, lw1 +w2I lw1 w2J.

7. Sejam wi, w2, w3 vetores linearmente independentes de IR.3. Prove

que todo vetor de IR.3 pode ser expresso de uma única forma como

combinação linear de w1, w2, w3.

8. Considere uma base ortonormal {ui, u2, u3} de IR.3 . Se w

a2w2+ a3 u3 é um vetor unitário, prove que as constantes ai,

são os cossenos dos ângulos

ei

formados por w e ui.

9. Considere o vetor v1 (1, 2) de .JR.2. Obtenha um vetor v2 de IR.2

ortogonal a v1 , de modo que a base {v1. v2} tenha a mesma orientação que a base canôt:rica.de IR.2.

10. Seja v1

=

(x, y) um vetor unitário de IR.2. Prove que uma base

ortonor-mal v1, v2 de IR.2 tem a mesma orientação que a base canônica se, e

só se, v2 (-y, x).

11. Obtenha a equação do plano que passa pelo ponto (1, 2, -3) e é para-lelo ao plano determinado por 3x -y + 2z 4.

12. Dois planos de JR.3 que se intersectam determinam dois ângulos que são os mesmos formados pelas retas normais aos planos. Obtenha esses ângulos para os planos determinados pelas equações = 1 e y

+

z =

2.

13. Obtenhaaequaçãodoplanoquecontémospontos (1, 1, -1), (3, 3, 2)

e (3, -1, -2). Obtenha um vetor normal ao plano.

14. Considere os vetores w1

=

(2, 3, -4) e w2 (O, 1, 1).

a) Obtenha a equação do plano determinado por w 1 e w2, isto é, o plano que contém a origem e os pontos w1 e w2.

b) Seja v = sw1 +tw2, onde s e t são escalares. Verifique que, para cada escolha de s e t, v é um ponto do plano obtido em a).

c) Reciprocamente, prove que todo ponto do plano é da forma sw1

+

tw2. Obtenha os escalares s ·e t para o ponto (-4, 11).

15. Determine uma equação da reta no plano JR.2 _que:

a) contém o ponto (1, 2) e é paralela ao vetor (3, 4);

b) contém o ponto (-1, O) e é ortogonal ao vetor (2, 3);

c)contémospontos (O, 2) e (1, -1).

16. Obtenha uma equação da reta em JR.3 que contém o ponto (2, 1,

-3)

e é ortogonal ao plano determinado pela equação 4x 3y

+

z 5.

17. a) Prove que, se w1 e w2 são vetores não-nulos de JR.3 e w1 x w2 =O, então w1

=

Âw2 para algum núméro real  não-nulo.

b) Se w1 x w2 =/= O, prove que w1 e w2 são vetores não-nulos que não são paralelos.

12

18. Verifique a identidade de Lagrange

19. Sejam w1 e w2 dois vetores de IR3 linearmente independentes. Prove

que:

a) w1, w2, w1 x w2 formam uma base de IR3;

b) se (w, w1) =O e (w, w2) =O, então w = Àw1 x w2 para algum número real À.

20. Considere os planos de IR3 determinados pelas equações (p-p0 , w1)

=

O e (p- po, w2)

=

O, onde w1 e w2 são vetores linearmente inde-pendentes. Seja w

=

w1 x w2.

a) Verifique que a reta determinada por p

= po

+

tw está contida nos dois planos.

b) Prove que, se p é um ponto que pertence a ambos os planos, então

JL--:::Po+tow.

2. Cálculo Diferencial no Espaço Euclidiano

Nesta seção, vamos rever os conceitos básicos do cálculo diferencial em espa-ços euclidianos e enunciar os resultados relevantes para o estudo de curvas e superfícies em IR3• ·

Umafunção vetorial a de um subconjunto I de IR em IR3, denotada por ---+ IR3, é uma correspondência que, para cada t E I, associa

a(t) E IR3.

Uma função vetorial

a :

I

e

IR ---+ IR3 pode ser representada por

onde as funções reais X,

y,

z:

I---+

lR são denominadas

funções coordenadas

de a.

Daqui por diante vamos considerar as funções vetoriais definidas em um intervalo aberto I de R

Se

f

é uma função real e

a

e

f3

são funções vetoriais definidas em I,

então as funções

a

+

f3, f a,

(a,

f3) , a

x

f3

são definidas da forma usual, isto é, para todo t E /,

(a+f3)(t)

=

a(t)+f3(t),

(fa)(t)

f(t)a(t),

(a,

/3) (t)

=

(a(t),

f3(t)),

(a

x

f3)(t)

=

a(t)

x

f3(t).

Dizemos que o

limite

de uma função vetorial

a ( t)

é L quando

t

se aproxima de

to,

e denotamos por

lim

a(t)

=L

t-+to

quando, dado qualquer e

>

O, existe 8

>

O tal que, se O

<

J

t - to

J

<

8, então Ja(t)-LJ <e. Se

a(t)

=

(x(t), y(t), z(t))

e L

=

(R1, Ri, R3), então

lim

a(t)

=

L se, e só se, lim

x(t)

=

R1, lim

y(t)

= R2,

limz(t)

=

R3 .

Lem-t-+to . t-+to t-+to t-+to

bramos que as propriedades usuais de limite para funções reais verificam-se para funções vetoriais.

Uma função vetorial

a :

I

e

lR---+ JR3 é

contínua

em

to

E I se lim

a(t)

=

t-+to

a(to).

Dizemos que

a

é contínua se

a

é contínua em

t,

para todo

t

E/.

Uma função vetorial

a

é contínua em

to

se, e só se, as funções coordenadas de

a

são contínuas em

to.

Se

a

e

f3

são funções vetoriais contínuas em I e

f

é uma função real contínua, então as funções

a+

/3,

fa,

(a,

/3)

e

a

x

f3

são contínuas.

Uma função vetorial

a : I---+

JR3 é dita

diferenciável

em

to

E

I

se existe

lim

a(t) - a(to)

t-+to

t -

to~

'

14

que denotamos por a'(to). Dizemos que a é diferenciável se a é diferen-ciável para todo t E J. Uma função a(t) = (x(t), y(t), z(t)) é diferenciável em to se, e só se, as funções coordenadas de a são diferenciáveis em to.

Neste caso,

a'(to)

=

(x'(to), y'(to), z'(to)).

Se

a :

I ~ JR3 _{é diferenciável, então a função}

_{a' :}

_{I ~ IR}3 _{que, para cada}

t E J, associa a' (t) é também uma função vetorial chamada derivada de primeira ordem de a. Se a função a' é também diferenciável, temos uma nova função vetorial, chamada derivada de segunda ordem de a, que deno-taremos por

a".

De modo análogo, definimos as derivadas de ordem superior. Usaremos também a seguinte notação para as derivadas de a:

'() da

a

t

=dt,

"( ) d (dª) d

2 a a t

=

dt

dt

=

dt2 ' etc.

Uma funç.ão vetorial

a

é dita diferenciável de classe C'° se existem as derivadas de todas as ordens de

a.

---observarrfffS que~-se-a é diferenciável em tà, -então a

é

contínua em to.

Além disso, as seguintes propriedades se verificam:

- Se

-a

e}lsão funções vetoriais diferenciáveis em I e fé uma função real

diferenciável em I, então a+

/3,

f a, (a,

/3)

e a x

/3

são diferenciáveis e

d(a+/3) =da+ d/3 dt dt dt'

d,Ua,)

=!da+ df a

- dt dt dt '

d (a,

/3)

=(da

/3\

+(a

d/3 \ dt dt ' / ' dt / '

d(a x

/3)

_da

/3

d/3 dt - dt X

+

a X dt .

Seja a(t) uma função vetorial diferenciável em I e t

= J(r),

onde

f(J)

e

I. Então, a função composta (a o J)(r)

=

a(J(r)) é diferenciável em J e

d(aof) da dt dr dt dr·

Esta propriedade é denominada regra de cadeia.

Se

a

é uma função vetorial diferenciável ( C°°) em I, então, para todo inteiro n

>

O e to E J, temos que

,

a"

(to) ₂ a(t) = a(t0 ) +a (to)(t-to)

+

-2- (t-to)

+ · · ·

aCn)(to) n

+

₁ (t-to)

+

Rn(t, to), n.

d . Rn (t' to) I - , d . d d 1 . on e hm ( ) =O, t E . Esta expressao e enormna a esenvo vrmento

t--+to t - to n

de

a

na fórmula de Taylor em to.

A seguir, vamos considerar funções vetoriais de várias variáveis. Uma

função (ou aplicação) F de um subconjunto A de IRn em IRm, denotada por F : A

e

IRn ~ IRm, é uma correspondência que, para cada p E A, associa um único ponto F (p) E IRm. Uma tal função pode ser representada por

ou, considerando p =(xi,··· ,xn),

F(x1,··· ,xn) = (F1(x1,··· ,xn),··· ,Fm(x1,·· · ,xn)).

As funções

Fi :

IRn ~ IR, i = 1, 2, · · · , m, são ditas funções coordenadas de F.

Embora o nosso interesse esteja apenas nos casos em que n e m assumem os valores 1, 2 ou 3, vamos enunciar os conceitos e resultados básicos para o caso geral.

Dadas duas funções F, G: A

e

IRn ~ IRm e

f:

A

e

IRn ~IR, podemos definir as funções F

+

G, JG, (F, G) e F x G (essa última se m

=

3) de forma análoga à das funções vetoriais de IR em IR3

16

Uma aplicação F : JRIZ ---+ IRm é dita linear se, para todo par de pontos p

e q em JRll e  E IR, temos

F(p+q) =F(p) +F(q),

F(1p)

=

1F(p).

Se F é linear, então F(O) =O. Além disso, como consequência das pro-priedades acima, temos que F é determinada pelos seus valores em uma base de JRll. Em particular, considerando a base canônica de JRll, e1

=

(1, O,··· ,O), e1 =(O, 1, O,··· ,O),··· ,en =(O, O,··· ,O, 1), se

Fm(p)

(a11, a21,··· ,ami), (a12, a22,··· ,am2),

a11x1 +a12x2

+ · · ·

+a1nXn, a21x1 +a22x2

+ · · ·

+a2nXn,

onde p

=

(x1, x2, · · · ;"Xn)·E JRll. Reciprocamente, se as funções coordenadas de F são desta fol-ma, então F é linear. Portanto, para cada função linear

chamada matriz associada à aplicação linear F, relativamente às bases ca-nônicas de JRll e IRm. Reciprocamente, toda matriz m x n determina uma aplicação linear de IR11 em IRm.

Seja A uma matriz (não-nula) m x n, isto é, com m linhas e n colu-nas. Consideremos um número inteiro r tal que 1::; r::; min{m,n}. Uma submatriz r x r de A é uma matriz obtida, a partir de A, eliminando m - r linhas e n - r colunas de A. O posto de uma matriz A é o maior inteiro r para o qual existe uma submatriz r x r de A cujo determinante não se anula.

No caso particular de uma aplicação linear F: JR3 ---+ IR3, pode-se provar que F é bijetora, isto é, F é injetora (pontos distintos têm imagens distintas) e sobrejetora (todo ponto de JR3 é imagem de algum ponto por F) se, e só se, a imagem da base canônica de IR3 é uma base de IR3, o que é equivalente a dizer que o determinante da matriz associada a F é não-nulo ou que a matriz tem posto 3.

Se F : IR2 _{---+ JR}3 _{é uma aplicação linear, então F é injetora se, e só se, a}

imagem da base canônica de IR2 forma um conjunto de vetores linearmente independentes de JR3 ou, equivalentemente, se a matriz associada a F tem posto 2.

A seguir, vamos rever os conceitos de limite e continuidade para funções de várias variáveis. Inicialmente, vamos introduzir a noção de bola aberta em um espaço euclidiano JRll.

Uma bola aberta em JRll de centro po E IR11 e raio ê

>

O é o conjunto, denotado por Be(po), do_s pontos p E JRll que distam de po menos que ê,

isto é,

B e (po)

=

{p E IRn; IP - Po 1

<

ê} ·

Dizemos que um subconjunto A de IR11 _{_é aberto em JR11 se para todo p}

E A existe uma bola aberta Be(p)

e

A. Um subconjunto aberto de JRIZ que contém um ponto po E JRIZ é denominado uma vizinhança de Po em IRn. Um subconjunto D de JRIZ é dito fechado em JRll se o seu complemento, isto é,

18

]Rn - D, é aberto em JRn.

Um ponto p0 E JRn é um ponto de acumulação de um subconjunto S

de :IR" se, para toda vizinhança V de p, V n S contém pelo menos um

ponto distinto de p. Pode-se verificar que um subconjunto de JRn é fechado em ]Rn se, e só se, contém todos os seus pontos de acumulação. O fecho

de um conjunto S e :IR" é a união de S com o conjunto de seus pontos de acumulação.

Um ponto p de um conjunto S e JRn é dito um ponto interior de S se existe uma bola aberta Be(p) em JRn, tal que Be(p) e S. O conjunto de todos os pontos interiores de S é denominado interior de S. Afronteira de

um conjunto Se :IR" é o fecho de S menos o interior de S.

Dizemos que um conjunto S e :IR" é limitado se existe uma bola aberta

Be(p) de JRn tal que Se Be(p).

Um conjunto S e JRn é dito conexo se não existem dois abertos A ₁ e A2

em JRn, tais que A1nA2 =0, A1nS, A2nS sãonãovazioseScA1UA2. Isto é, Se JRn _{é conexo se, para quaisquer abertos A1 e A2 em} JRn tais que e e , ou Se A2. Pode-se provar que os únicos subconjuntos conexos de :IR são os intervalos.

Dizemos que um subconjunto S de JRn é compacto se é fechado e

limi-tado.

Os conceitos de limite e continuidade .. de uma função de duas ou mais variáveis são introduzidos de maneira análoga ao caso de uma variável.

Uma função F : A .C ]Rn --+ JRm, onde A

é

aberto em JRn, tem limite L

quando p E A tende a po se, dado qualquer

e>

O, existe

o>

O tal que, se

. O<

IP-::-:Pol.<

o,

então !F(p)-LI

<e.

Nesse caso, denotamos por lim F(p) =L.

p-+po

contínua em po A se

lim F(p) F(po). p->po

F é dita contínua em A (ou simplesmente contínua) se F é contínua em p,

para todo p E A.

Uma função F : A

e

Rn B

e

R11

, onde A

e

B são abertos de Rn,

é dita um homeomorfismo se F

é

injetora, contínua, F (A) = B e a função inversa p-l : B---+ A é também contínua. Neste caso, A e B são ditos

homeomoifos.

Pode-se provar as seguintes propriedades:

Seja F: A

e

Rn---+ Rm uma função definida em um aberto A de R11 _e

cujas funções coordenadas são

Fi,

i = 1, · · · ,m. Então, lim F(p) L se, e

p->po

só se, para cada i, lim

Fi

(p) = Li, onde Li são as coordenadas de L. F é

p->po

contínua em po E A se, e só se, parà cada i

=

1, · · · , m, é contínua em po.

Sejam F : A

e

Rn ---+ R111 _{e G: B}

_e

_R111

---+ JRk funções tais que F (A)

e

B,

onde A e B são abertos de R11 _{e Rm respectivamente. Se F é contínua}

em Po E A e G é contínua em F (po), então a função composta G o F : A

e

Rn---+ JRk é contínua em p_{0 •} Segue-se que, se F é contínua em A e G é contínua em B, então GoF é contínua em A.

Se F é uma função .contínua definida em um conjunto conexo, então a imagem de F é um conjunto COI!C;:XO.

Se F é uma função contínua definida em um conjunto compacto, então a imagem de F é um conjunto compacto.

No caso particular de uma função real contínua F : A

e

R12 _{---+ .IR, as}

seguintes propriedades se verificam:

Se po E A

é

tal que F(po) >O, então existe uma vizinhança V de po

20

Se A é compacto, então a função F tem um máximo e um mínimo, isto é, existem pontos PI e p2 em A tais que, para todo p E A, F

(pi) :::::;

F (p) :::::; F(p2).

Se A é conexo e a imagem de F assume os valores

a,

b E "IR,

a<

b, então para todo e E "IR, tal que a

<

e

<

b, existe p E A satisfazendo F (p) e.

Se A é conexo e F não se anula, então a função F não muda de sinal.

A seguir vamos rever a noção de diferenciabilidade de funções vetoriais de várias variáveis.

Seja F : A

e

"JR.11 _~

"JR.111

uma função definida em um aberto A

e

"JR.11 •

Fixemos p₀ E A e w um vetor não-nulo de "JR.11

• A derivada direcional de

F em p₀ na direção de w é o vetor

1_rm . F(po +tw) -F(po) _'

t---+0 t

quando esse limite existe.

,~ _ _ _ _ C_on_siderando a ba_s_e_c;~ônica { ei, · · · , _e11 } de "JR. 11

, _ as derivadas

dire-cionais de F em Po nas direções dos vetores da base são denominadas

, ____________ d?rimc!aspgrciais de F em po.

Se F(x1,··· ,xn)

=

(F1(x1,··· ,xn),··· ,F,11(x1,··· ,x11 ) ) , então a derivada

parcial de F em Po na direção de ei é denotada por

~:

(po) ou Fxi(po) e

é igual a

______________ S __ e ___

~:(p)

existe, para todo p E A, então temos definida uma função

aF A mm d A . aF (p) d . d ..

-a :

~ lN.. que, para ca a p E , associa

-a .

As enva as parciais

~ ~

da função aaF são denominadas derivadas de segunda ordem de F. Assim,

Xj

usada para as derivadas parciais de segunda ordem é

Para as derivadas parciais de terceira ordem, usamos

Dizemos que uma função F : A

e

ffi.11 _~

ffi.m é diferenciável em p₀ se

existe uma aplicação linear de ffi.11

em ffi.111

, denotada por dFp

0 : ffi.

11 _{~ ffi.}111_,

tal que, para todo vetor w E ffi.11 ,

F(po+w) =F(po) +dFp₀(w) +R(w),

onde lim Rl(wl) =O. A aplicação dFp₀ é denominada diferencial de F em

w---+0 W

po. A função F é dita diferenciável se F é diferenciável em p, para todo

pEA.

Pode-se verificar que, se F é diferenciável em p_{0 ,} então, para todo vetor

wEffi.11 ,

drpo v. ( ) w =·l· . rm F(po +tw)-F(po) · .., . .

t---+to t

Portanto, se F é diferenciável em po, então a derivada direcional de F em

Po eJ:áste, em qualquer direção. Observamos que a recíproca não é verdadeira,

isto é, uma função pode ter todas as derivadas direcionais em um ponto, sem ser diferenciável no ponto.

Seja F: A

e

ffi.11 _~

ffi.m uma função diferenciável em p₀ E A. Como

22

relativamente às bases canônicas de Rn e Rm, dada por

onde , · · · , Fm são as funções coordenadas de F. A matriz acima é

denom-inada matrizjacobiana de F em po. Quando m n, o determinante da matrizjacobiana de F em Po é dito ojacobiano de F em po.

Pode-se provar as seguintes propriedades:

Se F : A

e

!Rn _, Rm é diferenciável em po E A, então F é contínua em

Se F, G: A

e

Rn _, Rm e f: A_, R são funções diferenciáveis em po,

então as funções F

+

G, fG, (F, G) e F

x

G (essa última quando m 3) c11tere:nc:mveis em PO·

Se todas as derivadas parciais de primeira ordem de uma função F : A

e

Rn -T Rm são contínuas em A, então F é diferenciável.

Dizemos que uma função F : A

e

Rn _, Rm é diferenciável de classe

ck,

k ~ 1 (resp. e=) se as derivadas parciais de F até ordem k (resp. de todas as ordens) existem e são contínuas.

Não é difícil verificar que uma aplicação linear F : Rn _, Rm é diferen-ciável de classe

e=.

·Além disso, para todo p E !Rn, dFp = F. De fato, se w E Rn, então

lim F(p+tw)-F(p)

t ...

o

t

lim F(p)+tF(w)-F(p) =F(w),

t ...

o

t

onde na segunda igualdade usamos o fato de F ser linear.

função F : A

e 191.

11

___, m;m são contínuas ,então essas derivadas parciais não

dependem da ordem de diferenciação, isto é, Fxixj Fxp:₁, etc.

A fórmula de Taylor, que vimos para uma função de uma variável, estende-se ao caso de uma função de várias variáveis. Em particular, estende-se F é uma função diferenciável

(C"'),

de duas variáveis x e y, então, para todo inteiro

n >O e (xo, yo), temos que

F(x, y) F(xo, yo) +hF_,(xo, yo) +kFy(xo, Yo)

+

+ ;,

(h

2

Fxx(xo, Yo) + 2hkF;.;y(xo, Yo) +

k2

F)ry,(xo, Yo))

+ · · ·

+

~ (h'JaJn~

(xo, yo) + nhn-I k a

~n~a

(xo, Yo) + · · ·

n. X X - y

anp )

+ ...

k11 ayi (xo, Yo)

+

onde h = x - xo, k = y-yo e R11

é

uma função de x, y, xo, Yo que satisfaz

a propriedade

lim Rn =0.

(x,y)-+(xo,Yo) l(x, y) (xo,

yo)l

11

Esta expressão é o desenvolvimento de F na fórmula de Taylor em torno de

(xo, Yo).

A regra da cadeia para funções de várias variáveis é dada no seguinte teorema:

Sejam F : A

e

JR;11

___, JRm e G : B

e

JRm ___, JRk funções definidas nos

abertos A e B tais que F(A)

e

B. Se F é diferenciável em po E A e G

é

diferenciável em FCP

o),

então a funçãó composta G o F : A

e

JR11 _JRk

_é

diferenciável em Po e

24

Uma função F diferenciável de classe

ck

(resp. C'°), que tem uma função inversa também diferenciável de classe

ck

(resp. e=), é de-nominada um difeomorfismo de classe

ck

(resp. e=).

Lembramos que, se

f :

I

e

R _,, R é uma função diferenciável definida em um intervalo aberto I tal que

f'(t)

O, para todo

t

E I, então

f

é uma função constante. O resultado análogo para funções de várias variáveis é o seguinte:

Seja

f :

A

e

R11

-+ R uma função diferenciável definida em um conjunto

aberto e conexo A. Se a diferencial de f em p, d fp : R11

R, é identica-mente nula, para todo p E A, então

f

é constante em A. Observamos que

dfp é uma aplicação linear, portanto, a condição dfp O, para todo p EA, é equivalente a dizer que todas as derivadas parciais de primeira ordem de

f

se anulam, para todo p E A.

Vamos concluir esta seção enunciando um resultado fundamental do cál-~;·---·- _culo_diferencial, que é o teorema da função inversa:

Seja F : A

e

R11

___, R11 uma função diferenciável de classe

ck

(resp. C'°)

e po E A tal que dFp₀ é injetora. Então, existe uma vizinhança U de po,

contida em A, tal que F(U) é aberto em R11 _{e a restrição de F a U}

_é

_um

difeomorfismo de classe

ck

(resp. C"°), de U sobre F(U).

Observamos que, para utilizar esse teorema, há várias formas de verificar que dFp0 é injetora. De fato, como dFp0 : R

11 _R11 _é

uma aplicação linear, as seguintes condições são equivalentes:

a) dFp₀ é injetora;

b)Se dFp0(w) O, então w =O;

c) A matrizjacobiana de F em po tem posto n;

Como consequência do teorema da função inversa, temos um outro resul-tado importante, que

é

o teorema da função implícita:

Sejam F: A

e

JR.11₊111

-+ lR.11 uma função diferenciável de classe

ck

(resp.

e) e F1, · · · ,F11 as funções coordenadas de F. Denotaremos por x

(x1,···

,xn), y= (yi, ... ,ym) e (x, y) =

(x1,···

,xn, Y1,··· ,ym) os pontos de JR.11

, JR.111 e , respectivamente. Fixados (a, b) E A e e E Il.{11 tal que

F(a, b)

e, seamatrizdeterminadapor

b),

i,j= l,···

,n

temposto

n (isto

é,

determinante não-nulo), então existe uma vizinhança U de b em

JR.111

e uma única função G : U e JR.111

-+ Il.{11, diferenciável classe

ck

(resp.

e),

tal que G(b) a e F(G(y), y) e, para todo y EU.

Os resultados relacionados neste capítulo podem ser encontrados com mais detalhes em [1, 2], [5] e [14]. Finalmente, queremos observar que, para maior simplicidade, no desenvolvimento da teoria local de curvas e su-perfícies, vamos considerar apenas funções diferenciáveis de classe

e,

em-bora a teoria possa ser desenvolvida para funções de classe ck,k ~ 3. Usare-mos o termo função diferenciável para indicar uma função diferenciável de classe

e.

2.1 Exercícios

L Considere as seguintes funções F : JR.2

-+ JR.3:

a) F(x, y) (x, y1 x+y);

b) F(x, y) = (x cosy, x seny, 2.x); c) F(x, y) = (x (x+y)2

, (x+y)3).

Em cada caso, verifique que F

é

diferenciável e obtenha a matriz jaco-biana. Indique os pontos p E onde dFp não é injetora:

2. Seja

F:

{O}

-+ lR. uma função contínua tal que F(Ãx, Ãy)

=

F(x, y), para todo (x, y) E JR.2 -{(O, O)} e  um número real não-nulo. Prove que F é limitada, isto

é,

a função F tem um máximo e um

26

mínimo. (Sugestão: Considere a função F restrita a uma circunferência de raio unitário).

3. Verifique que a função

F(x, y, z)

=

(z, x, y)

é um difeomorfismo de IR3 e obtenha a diferencial de F em p.

4. Considere a aplicação

f:

IR3---+ IR definida por J(x, y,

z) =x2+y2+z2.

Verifique que

f

é diferenciável e que a diferencial de

f

em p

=

(xo, yo, zo)

é dada por

dfp(w)=2<p,w>, wEIR3.

5. Sejaa:IcIR--+IR2 (ou IR3) umafunçãodiferenciáveltalque

a'(t)

#

O, para todo

t

E J. Prove que, para todo

to

E

I,

existe

e>

O tal que

a,

restrita ao intervalo

(to -

e, to

+

e),

é injetora.

6. Seja F : A

e

IR2 ---+ IR3 uma função diferenciável tal que dFp é injetora, para todo p E A. Prove que, para cada po E A, existe uma vizinhança

U de c;()ntida em A, tal que F, restrita a U, é injetora.

7. Seja F: A

e

IR3 ---+IR uma função diferenciável de classe

ck

(resp.

C'º). Seja

(xo, yo, zo)

E A e

F(xo, Yo, zo)

=e. Verifique que, se

F'z(xo, yo, zo)

#-O, então existe uma vizinhança U de

(xo, Yo)

em IR2,

U

e

A e uma única função G : U

e

IR2 ---+ IR diferenciável de classe

ck

(resp. C"') tal que G(xo,

Yo) =zo

e

F(x, y, G(x, y))

=e, para todo

(x,y)EU.

8. Obtenha uma aplicação linear F : IR2 ---+ IR2, cuja imagem da base canônica de JR2, e1 = (1, O),

e1

=(O, 1) é dada por

F(e1)

= (2, 1)

e

F(e

_{2 )}

=

(1, O). Verifique que

F

é bijetora, obtenha a função inversa p-I e a diferencial de F em p E JR2.

9. Seja T : IR2 ---+ IR2 uma translação por

a,

isto é, T(p)

=a+

p onde

todo p, q E R2,

1 T (p) - T ( q) 1

=

IP -

q 1.

10. Considere uma base ortonormal { w1,

wi}

de R2. Prove que existe

um única aplicação linear

e:

R2---+ R2 tal que C(ei)

=

Wi, i

=

1, 2, onde { e1,

ei}

é a base canônica de R2. Verifique que C é bijetora e

que preserva produto interno, isto é, (C(p), C(q))

=

(p, q), para todo

p, q E R2. Conclua daí que, dadas duas bases ortonormais { w_1,

wi}

e { w1, w2} de R2, existe uma única aplicação linear C: R2 ---+ R2 tal que C(wi) =

wi,

i = 1, 2. Verifique que nessas condições C preserva produto interno e, portanto, preserva distância.

11. Sejam p e q pontos de R2, { w1,

wi}

e {

w

_1,

wi}

duas bases ortonormais de R2. Verifique que existe uma função F : R2 ---+ JR2 que satisfaz as seguintes condições: F(p)

=

q, dFp(wi)

=

wi,

i

=

1, 2 e F preserva distância entre pontos. Obtenha F seguindo estas etapas: Usando os Exercícios 8 e 9~ considere a aplicação linear C tal que

Capítulo I

CURVAS PLANAS

1.

Curva Parametrizada Diferenciável

Uma curva no plano

é

descrita dando-se as coordenadas de seus pontos como funções de uma variável independente.

1.1 Definição. Uma curva parametrizada diferenciável do plano

é

uma aplicação diferenciável a de classe

e=,

de um intervalo aberto I

e

R em R2. A variável t E I é dita parâmetro da curva, e o subconjunto de R2 dos

pontos

a(t), t

E J,

é

chamado traço da curva.

Observamos que uma curva parametrizada diferenciável do plano

é

uma aplicação

a: I-+

R2 _{que para cada}

_t

_associa

_a(t)

₌

_{(x(t), y(t)),}

_{onde as}

funções

x(t)

e

y(t)

são diferenciáveis de classe CC<).

1.2 Exemplos a) A aplicação

. a(t)

=

(xo +at, Yo +bt), t

E R,

onde a2

+

b2

=J.

O, é uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é uma linha reta passando pelo ponto

(xo, Yo),

paralela ao vetor de coordenadas

(a, b) (ver Figura 1).

b) A aplicação

a,

que para cada t E R associa

é uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é uma circunferência de centro na origem e raio igual a 1.

(a,b)

Figura 1

e) A curva parametrizada diferenciável

a(t) (cost (2cost-

l),

sent (2cost 1)), t E

é denominada cardióide e tem o traço da Figura 2.

30

d) A curva parametrizada diferenciável que, para cada t E ( -

~, ~)

,

associa

a(t)

= (2 sen2t, 2 sen2t tg

t)

tem o traço da Figura 3.

A aplicação YA ! ! i 1 ! ! ! 1

i

/1

l

_l :

!

{2,t:ll! Figura 3

a(t)

=

(t, ltl), t

E IR,

não

é

uma curva parametrizada diferenciável, já que

!ti

não

é

diferenciável

X Figura 4

A aplicação

{

(t,

O) se

t::;

O,

a(t)

(t,

t

2 sen

~)

set

>O,

Figura 5

não é uma curva parametrizada diferenciável (ver Figura 5), já que a função

y(t)

se t ::; O, se t >O,

32

não é diferenciável de classe

e=.

(Observe que existe a derivada de primeira ordem de

y(t), Vt

E~).

Duas curvas parametrizadas diferenciáveis podem ter o mesmo traço. Por exemplo,

a(t)

(t, 2t), t

E~'

f3(r)

(2r+

1,

4r+2), r

E~' têm o traço da Figura 6. Y1J' i

!

l /

i

/

V'""'

/I

Figura 6

2. Vetor Tangente; Curva Regular

X

2;1 Definição. Seja a: 1--+ ~2 uma curva parametrizada diferenciável que,

a cada

t

E

1,

associa

a(t)

=

(x(t), y(t)).

O vetor

a'(t)

=

(x'(t), y'(t))

é chamado

vetor tangente

a

a

em

t.

A definição de vetor tangente coincide com a noção intuitiva que temos de um vetor tangente a uma curva, isto é, um vetor cuja direção é a direção limite de cordas, determinadas por um ponto a(t) e pontos próximos a(t +h),

quando h tende para zero. De fato, fixado t E/, para h =!= O tal que t

+

h E/, a(t+h)- a(t)

h

1

é o vetor de a(t) a a(t

+

h) multiplicado pelo escalar h (ver Figura 7). Observamos que

1i m - - - -. a(t+h)-a(t)

h-+0 h

é exatamente a definição da derivada da função

a

em t.

"~t+h)-G!(t)

G!( t+h)

t t+h

Figura 7

2.2 Exemplo. Seja a:~---+ ~2 a curva parametrizada diferenciável que,

para cada t E ~' associa

a(t)

=

(cost (2cost- l)'. sent (2cost- l)). O vetor tangente a

a

em t é igual a

34

Observamos que um vetor tangente a uma curva

a

é definido no parâ-metro t, e não no ponto a(t), pois, como pode ser visto no Exemplo 2.2

a (

~) =a(-~)

=O (ver Figura 2) e, no entanto, a' (

~)

=/= a' (

-~)

.

Portanto, o vetor tangente ao traço da curva na origem de IR2 não está bem definido.

Para o desenvolvimento da teoria local das curvas, é preciso que exista uma reta tangente a uma curva

a

para cada valor do parâmetro

t;

para isso,

é suficiente que o vetor tangente a

a

seja não-nulo para todo t. Portanto, restringiremos o nosso estudo apenas às curvas que satisfazem essa condição.

2.3 Definição. Uma curva parametrizada diferenciável

a :

I __,. IR2 é dita

regular se 'Vt E I, a'(t) =/=O.

Dentre os Exemplos 1.2 de curvas parametrizadas diferenciáveis, apenas o exemplo d) não é uma curva regular, pois nesta curva

a'

(O) =O.

2.4 Definição. Seja a: I __,. IR2 uma curva regular. A reta tangente a a

em to E I é a reta que passa por a(to) na direção de a'(to), isto é, a reta dada pela função

g(r)

=

a(to) +ra'(to), r E IR.

2.5 Exercícios

1. Sejam a e b constantes não-nulas. Verifique que a aplicação a(t)

=

.(gc;9st, b sent), t E IR, é uma curva parametrizada diferenciável.

Des-creva o traço de

a.

O que representa geometricamente o parâmetro t?

2. Obtenha uma curva regular a: JR _,. IR2 tal que a(O) = (2, O) e a'(t)

=

3. Determine o ponto de interseção do eixo ox com a reta tangente à curva

a(t)

=

(t, t2) em t

=

1.

4. Seja a: I __,. IR2 uma curva regular. Prove que la'(t)I é constante se, e só se, para cada t E I, o vetor a" (t) é ortogonal a a' (t).

5. Considere a aplicação

a(t) = ( sent, cost+log (tg

~)),

t E (0,n). Prove que:

a)

a

é uma curva parametrizada diferenciável;

n

b) a'(t)-/= O para todo t-/=

2

;

c) o comprimento do segmento da reta tangente, compreendido entre

a(t) e o eixo y, é constante igual a 1. O traço desta curva é chamado

tratriz.

6. Seja F: IR2 __,.IR uma aplicação diferenciável. Considere (xo, yo) E

IR2 tal que F(xo, Yo) =O e F}(xo, Yo) + FJ'(xo, Yo) -/=O. Prove que o conjunto dos pontos (x, y) de IR2 próximos de (xo, yo) tal que F ( x, y)

=

O é o traço de uma curva regular.

7. Considere um círculo de raio a rolando sobre o eixo dos x sem desliza-mento. Um ponto dessa circunferência descreve uma ciclóide. Supondo que, para o tempo t

=o;

o ponto da circunferência coincide com a origem do sistema de coordenadas, obtenha uma curva parametrizada diferenciável cujo traço é a ciclóide. Esta curva é regular?

8. Um círculo e de raio r rola externamente sobre um círculo fixo C, de raio R. Um ponto da circunferência de e descreve uma epiciclóide. Supondo que, para o tempo t =O, o ponto da circunferência e está em contato com a circunferência C, obtenha uma curva parametrizada

diferenciável cujo traço é a epiciclóide. Descreva a epiciclóide para o caso particular em que r = R.

9. Considere o conjunto C {(x, y) E JR.2; +y3 3axy} denominado

fólio de Descartes. Obtenha uma curva parametrizada diferenciável

cujo traço é

e,

de tal forma que o parâmetro t seja a tangente do ângulo compreendido entre o eixo dos x e o vetor posição (x, y).

10. Seja

a(t)

=

(f(t), g(t)), t

E R, uma curva regular e P

=

(xo, Yo)

um ponto fixo do plano. A curva pedal de a em relação a P é descrita

pelos pés das perpendiculares baixadas de P sobre as retas tangentes à curva

a.

Obtenha uma curva parametrizada cujo traço é a curva pedal de

a

em relação a P Determine a curva pedal de uma circunferência: a) em relação ao seu centro e b) em relação a um ponto P da

circun-ferência.

3. Mudança de Parâmetro; Comprimento de Arco

Já vimos na seção 1 que duas curvas planas podem ter o mesmo traço. Dada uma .curva regular

a,

podemos obter várias curvas regulares que têm o mesmo traço que

a,

da seguinte forma:

3.1 Definição. Sejam I e J intervalos abertos de

a :

I -r R2 uma curva regular e h: J -r I uma função·diferenciável (C°°), cuja derivada de primeira ordem é nã9:-nula em todos os pontos de J e tal que h(J) = !.

Então, a função composta

f3 aoh : J -r JR.2

é uma curva regular, que tem o mesmo traço que

a,

chamada

reparametri-zação de a por h. A função h é dita mudança de parâmetro (ver Figura

~ ) ''*"(h(•l l ~

~

_;/

X Figura 8 3.2 Exemplos

a) Consideremos a curva regular

a(t)

(a

cost,

a

sent),

t

E IR,

onde a=/-= O é constante. Seja

h(s)

= ~'

s

E R. A reparametrização de

a

por h é a curva

[3(s)

=

aoh(s)

(a

cos~,

a

sen~).

· b)A curva

[3(r)

(-2r+l, -4r+2),

rEIR, é uma reparametrização de

a(t)

=

(t, 2t), t

E IR.

Basta considerar a mudança de parâmetro

h(r)

-2r

+

1,

r

E IR.

Uma mudança de parâmetro h é uma função estritamente crescente ou decrescente, portanto é bijetora. Além disso, se

[3

é uma reparametrização de

a

por h, então

a

é uma reparametrização de

[3

por h-1•

38

A orientação de uma curva regular plana a

é

o sentido de percurso do

traço de a.

Seja

f3

uma reparametrização de

a

por h. Se h é estritamente crescente, então

f3

e

a

têm a mesma orientação. Se h é estritamente decrescente, então

f3

e

a

têm orientações opostas.

No Exemplo 3.2 b),

f3

e

a

têm orientações opostas (ver Figura 9).

y

~(.r)

X

Figura 9

Seja a : 1 - 7 IR2 uma curva regular e fixemos t₀ e t₁ do intervalo /.

Subdividindo o intervalo [to, t1] nos pontos to= ao

<

a1

< · · · <

a11 t1,

e ligando retilineamente os pontos a(ao), a(a1 ), · · · , a(a11 ), obtemos uma

linha poligonal cham~da_poligonal inscrita à curva entre a(to) e _a(t1). Esta poligonal tem um comprimento. Consideremos agora todas as poligo-nais inscritas à curva entre a(to) e a(t1 ). Como a

é

uma curva regular (na realidade, é suficiente que a derivada de primeira ordem da função

a

exista e seja contínua), pode-se verificar ([1], [5] e [14]) que existe o limite superior do conjunto dos comprimentos dessas linhas poligonais, e é igual a

!

ti 1 a' (t)

ldt,

que

é

chamado comprimento de arco da curva a de to a t1.

A aplicação s(t)

1t

la'

(t)ldt é denominada função comprimento de to

arco da curva a a partir de to. Esta função é diferenciável de classe

e=,

pois a é uma curva regular.

3.3 Definição. Uma curva regular a : I --+ JR2 é dita parametrizada pelo

comprimento de arco se, para cada to, t1 E J, to

s

ti, o comprimento do arco

da curva a de to a t1 é igual a t1 to. Isto é,

1

t1

la'(t)ldt to

3.4 Proposição. Uma curva regular a : I JR2 está parametrizada pelo

comprimento de arco se, e só se, V t E I, 1 a' (t) 1 = 1.

Demonstração. Suponhamos a parametrizada pelo comprimento de

arco e fixemos to E J. Consideremos a função s: I--+ :IR, que, para cada t E J, associa s(t) =

1

1

1 a' (t) jdt. Se to

S

t , então, por hipótese,

j

1

º

1 a' (t) ldt

to - t;

se

t

S to'."

então

-s(t)

~

["

1

a'

(t) 1

dt

to - t.

Pôrt~to,

para todo

t E J, s(t) t t0 , e s'(t)

=

1. Como s'(t)

=

la'(t)I, concluímos que

1

a'

(t)

1 = 1, V t E J. A recíproca

é

imediata.

o

3.5 Exemplo. A aplicação

a

(t)

(a

cos

~,

a

sen

~)

, t E :IR,

onde a

=J

O, é uma curva regular parametrizada pelo comprimento de arco, já que

la'(t)i

1, Vt E :IR.

A seguir, veremos que toda curva regular

a

admite uma reparametrização