Exercícios Selecionados [Matemática]

(1)

COLÉGIO ÓRION COLÉGIO ÓRION PROF. PC PROF. PC 14/02/08 14/02/08

Análise Combinatória / Combinação Análise Combinatória / Combinação 01 - (Fuvest SP/2006)

01 - (Fuvest SP/2006)

A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A forma-seguir, este novo cubo tem se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O nú

númemero ro de de cucubobos s memenonoreres s que que tivtivereram am pepelolo menos duas de suas faces pintadas de vermelho menos duas de suas faces pintadas de vermelho éé a) 24 a) 24 b) 26 b) 26 c) 28 c) 28 d) 30 d) 30 e) 32 e) 32 Razões T

Razões Trigon. no Trigon. no Triâng. Retângulo riâng. Retângulo / Relações/ Relações Trigonométricas em um Ângulo Agudo

Trigonométricas em um Ângulo Agudo 02 - (Fuvest SP/2006)

02 - (Fuvest SP/2006)

Na figura abaixo, a reta

Na figura abaixo, a reta ss passa pelo ponto P epassa pelo ponto P e

ppelelo o ccenentrtro o da da cicircrcununfeferêrêncnciia a de de raraiio o R,R, interceptando- a no ponto Q, entre P e o centro. interceptando- a no ponto Q, entre P e o centro. Além disso, a reta

Além disso, a reta t t passa por P, é tangente àpassa por P, é tangente à

circunferência e forma um ângulo

α

com a reta s.com a reta s. Se PQ = 2R, então cos

Se PQ = 2R, então cos

α

valevale

a) a) 22//66 b) b) 22//33 c) c) 22//22 d) d) 22 22//33 e) e) 33 22//55 Probabilidade

Probabilidade / Produto / Produto de Probabilidades e de Probabilidades e Prob.Prob. Condicional

Condicional

03 - (Fuvest SP/2006) 03 - (Fuvest SP/2006)

U

Um m rerececensnseaeammenento to rerevevelolou u as as seseguguinintetess características sobre a idade e a escolaridade da características sobre a idade e a escolaridade da população de uma cidade.

população de uma cidade.

Se

Se fofor r sosortrteaeadada, , ao ao acacasaso, o, umuma a pepessssoa oa dada cidade, a probabilidade de esta pessoa ter curso cidade, a probabilidade de esta pessoa ter curso superior (completo ou incompleto) é

superior (completo ou incompleto) é a) 6,12% a) 6,12% b) 7,27% b) 7,27% c) 8,45% c) 8,45% d) 9,57% d) 9,57% e) 10,23% e) 10,23% Sistemas

Sistemas Lineares Lineares / / ResoluçãoResolução 04 - (Fuvest SP/2006)

04 - (Fuvest SP/2006) Jo

Joãoão, , MMararia ia e e AAntntônônia ia titinhnhamam, , jjununtotos, s, RR$$ 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por 100.000,00. Cada um deles investiu sua parte por um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de um ano, com juros de 10% ao ano. Depois de creditados seus juros no final desse ano, Antônia creditados seus juros no final desse ano, Antônia passou a ter R$

passou a ter R$ 111.000,1.000,00 mais o 00 mais o dobro do novodobro do novo ca

capipitatal l de de JJoãoão. o. NNo o anano o ssegeguiuintnte, e, os os trtrêsês reinvestiram seus capitais, ainda com juros de reinvestiram seus capitais, ainda com juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de 10% ao ano. Depois de creditados os juros de cada um no final desse segundo ano, o novo cada um no final desse segundo ano, o novo capital de Antônia era igual à soma dos novos capital de Antônia era igual à soma dos novos capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial capitais de Maria e João. Qual era o capital inicial de João? de João? a) a) R$ R$ 20.000,0020.000,00 b) b) R$ R$ 22.000,0022.000,00 c) c) R$ R$ 24.000,0024.000,00 d) d) R$ R$ 26.000,0026.000,00 e) e) R$ R$ 28.000,0028.000,00 Operações com

Operações com Números Inteiros Números Inteiros / Múltiplos,/ Múltiplos, Divisores e Sist. Decimal de Numeração Divisores e Sist. Decimal de Numeração 05 - (Fuvest SP/2006)

05 - (Fuvest SP/2006) Um

Um núnúmemero ro nanatuturaral l N N tetem m trtrês ês alalgagarirismsmosos.. Quando dele subtraímos 396 resulta o número Quando dele subtraímos 396 resulta o número qu

que e é é obobtitido do iinvnverertetendndo-o-sse e a a orordedem m dodoss algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismos de N. Se, além disso, a soma do al

algagarirismsmo o dadas s cecentntenaenas s e e do do alalgagarirismsmo o dadass unidades de N é igual a 8, então o algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é centenas de N é a) a) 44 b) b) 55 c) c) 66

(2)

d) d) 77 e) e) 88

Progressão Geométrica

Progressão Geométrica / Propriedades, / Propriedades, termo Geraltermo Geral e Soma dos n Termos

e Soma dos n Termos 06 - (Fuvest SP/2006) 06 - (Fuvest SP/2006)

Três números positivos, cuja soma é 30, estão Três números positivos, cuja soma é 30, estão eem m prprogogreressssão ão arariitmtmététiicaca. . SSomomanandodo-s-se,e, respe

respectivamctivamente, ente, 4,4, 4 4 ee 9 9 aoaos s prprimimeieiroro,, seg

segundundo o e e terterceiceiro ro tertermos mos desdessa sa progprogresressãosão aritmética, obtemos três números em progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética é aritmética é a) a) 99 b) 11 b) 11 c) 12 c) 12 d) 13 d) 13 e) 15 e) 15 Ponto

Ponto / Distância de / Distância de Dois Pontos e Dois Pontos e Ponto MédioPonto Médio 07 - (Fuvest SP/2006)

07 - (Fuvest SP/2006)

O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que

que satsatisfisfazemazem tt22−−tt−−66==00, , oonnddee tt==||xx−−yy||,,

consiste de consiste de a)

a) uma uma reta.reta. b)

b) duas duas retas.retas. c)

c) quatro quatro retas.retas. d)

d) uma uma parábola.parábola. e)

e) duas duas parábolas.parábolas. Equações Polinomiais

Equações Polinomiais / T/ Teorema de Bolzano e daseorema de Bolzano e das Raízes Racionais

Raízes Racionais 08 - (Fuvest SP/2006) 08 - (Fuvest SP/2006)

O conjunto dos números reais x que satisfazem a O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação

inequação loglog₂₂((22xx++55))−−loglog₂₂((33xx−−11))>>11 _{é o intervalo:}_{é o intervalo:}

a) a) ]]

∞

,, 5/2[5/2[ b) ]7/4, b) ]7/4,

∞

[[ c) c) ]] 5/2, 0[5/2, 0[ d) d) ]1/3, ]1/3, 7/4[7/4[ e) e) ]0, ]0, 1/3[1/3[ Areas de

Areas de Superficies Planas Superficies Planas / T/ Triângulosriângulos 09 - (Fuvest SP/2006)

09 - (Fuvest SP/2006)

Na figura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB = Na figura abaixo, tem-se AC = 3, AB = 4 e CB = 6. O valor de CD é 6. O valor de CD é a) 17/12 a) 17/12 b) 19/12 b) 19/12 c) 23/12 c) 23/12 d) 25/12 d) 25/12 e) 29/12 e) 29/12 Areas

Areas de Superficies de Superficies Planas Planas / / Razão Razão entre entre ÁreasÁreas 10 - (Fuvest SP/2006)

10 - (Fuvest SP/2006) Na

Na fifigugura ra abaabaixixo, o, o o trtriâiângungulo lo ABABC C ininscscririto to nana circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o lado

lado ABAB e a altura do e a altura do triângulo ABC em relação atriângulo ABC em relação a BC

BC éé

α

. Nestas condições, o quociente entre a. Nestas condições, o quociente entre a

área do triângulo ABC e a área do círculo da área do triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em função de

figura é dado, em função de

α

, pela expressão:, pela expressão:

a) a) αα ππ 2 2 cos cos 2 2 b) b) αα ππsensen 22 2 2 ₂₂ c) c) αα αα

ππsensen 22 coscos

2 2 22

d)

d) αα αα ππsensen coscos22

2 2

e)

e) αα αα

ππsensen22 coscos22

2 2

Cone

Cone / / Area e Area e VolumVolumee 11 - (Fuvest SP/2006) 11 - (Fuvest SP/2006)

Um

Um cocone ne cicircrculular ar rereto to esestá tá ininscscririto to em em umum paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, paralelepípedo reto retângulo, de base quadrada, co

como mo momoststra ra a a fifigugurara. . A A razrazãoão

aa b b en entrtre e asas dimensões do paralelepípedo é dimensões do paralelepípedo é 2 2 3 3 e o volume do e o volume do cone é cone é

ππ

..

Então, o comprimento g da geratriz do cone é Então, o comprimento g da geratriz do cone é

a) a) 55 b) b) 66 c) c) 77 d) d) 1010 e) e) 1111 Análise

Análise Combinatória Combinatória / / CombinaçãoCombinação 12 - (Fuvest SP/2006)

12 - (Fuvest SP/2006)

Em uma certa comunidade, dois homens sempre Em uma certa comunidade, dois homens sempre se cumprimentam (na chegada) com um aperto se cumprimentam (na chegada) com um aperto de mão e se despedem (na saída) com outro de mão e se despedem (na saída) com outro aperto de mão. Um homem e uma mulher se aperto de mão. Um homem e uma mulher se cumprimentam com um aperto de mão, mas se cumprimentam com um aperto de mão, mas se des

despedpedem em com um com um aceaceno. no. DuaDuas s mulmulherheres es sósó trocam acenos, tanto para se cumprimentarem trocam acenos, tanto para se cumprimentarem qquuaanntto o ppaarra a sse e ddeessppeeddiirreemm. . EEm m uummaa comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram comemoração, na qual 37 pessoas almoçaram

(3)

jjuunnttaass, , ttoododos s sse e ccuummprpriimmeennttaarram am e e ssee des

despedipediram ram na na forforma ma desdescricrita ta aciacima. ma. QuaQuantosntos do

dos s prpresesenentetes s eraeram m mumulhlherereses, , sasabebendndo o ququee foram trocados 720 apertos de mão?

foram trocados 720 apertos de mão? a) 16 a) 16 b) 17 b) 17 c) 18 c) 18 d) 19 d) 19 e) 20 e) 20 Circunferência

Circunferência / / Ângulos Ângulos na na Circunferência Circunferência ee Potência de Ponto

Potência de Ponto 13 - (ITA SP/2006) 13 - (ITA SP/2006)

Seja

Seja E E um ponto externo a uma circunferência.um ponto externo a uma circunferência.

Os

Os segsegmenmentostos EAEA ee EDED interinterceptam ceptam essaessa

ci

circrcununfeferêrêncncia ia nonos s popontntos os B B e e A, A, e, e, C C e e D,D, respectivamente. A corda

respectivamente. A corda AFAF da circunferênciada circunferência

intercepta o segmento

intercepta o segmento EDED no ponto G. Seno ponto G. Se EBEB==55

,, BABA==77,, ECEC==44,, GDGD==33 ee AGAG==66, então GF vale, então GF vale

a) a) 11 b) b) 22 c) c) 33 d) d) 44 e) e) 55 Conjuntos / Problemas Conjuntos / Problemas 14 - (ITA SP/2006) 14 - (ITA SP/2006)

Seja U um conjunto não vazio com n elementos, Seja U um conjunto não vazio com n elementos,

1 1 n

n≥≥ . Seja S um subconjunto de P(U) com a. Seja S um subconjunto de P(U) com a

seguinte propriedade: seguinte propriedade: Se A,

Se A, BB∈∈SS, então, então AA⊂⊂BB ouou BB⊂⊂AA..

Então, o número máximo de elementos que S Então, o número máximo de elementos que S pode ter é

pode ter é a)

a) ₂₂nn−−11 b)

b) n/n/2, 2, se se n fn for or paparr, e, e ((nn++11))//22 _{se n for ímpar}_{se n for ímpar}

c) c) nn++11 d) d) 22nn−−11 e) e) 22nn−−11++11 Conjuntos

Conjuntos / Operações / Operações e Propriedadese Propriedades 15 - (ITA SP/2006)

15 - (ITA SP/2006)

Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que

conjunto X, tais que nn((BB\\AA))_,, nn((AA\\BB)) _ee nn((AA∩∩BB))

formam, nesta ordem, uma progressão aritmética formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de

de rarazãzãoo r r >>00. . SaSabebendndo o ququee nn((BB\\AA))==44 _ee 64 64 r r )) B B A A (( n

n ∪∪ ++ == , então,, então, nn((AA\\BB)) é igual aé igual a

aa)) 1122 bb)) 1177 cc)) 2200 dd)) 2222 ee)) 2244 Funções T

Funções Trigonométricas e suas rigonométricas e suas Inversas Inversas / Sen,/ Sen, Cos, Tg, Cotg, Sec, Cosec e suas Inversas

Cos, Tg, Cotg, Sec, Cosec e suas Inversas 16 - (ITA SP/2006)

16 - (ITA SP/2006) Seja

Seja f f ::R R →→R R ddeeffiinniidda a ppoor r )] )] 6 6 // x x (( 5 5 [[ sen sen 77 77 )) x x (( f

f == ++ππ e seja B o conjunto dadoe seja B o conjunto dado

por

por BB=={{xx∈∈R R ::f f ((xx))==00}}_{. Se m é o maior elemento}_{. Se m é o maior elemento}

de

de BB∩∩((−∞−∞,,00)) e e n n é é o o mmeennoor r eelleemmeenntto o ddee )) ,, 0 0 (( B

B∩∩ ++∞∞ _{, então}_{, então} mm++nn _{é igual a}_{é igual a}

a) a) 22ππ//1515 b) b) ππ//1515 c) c) −−ππ//3030 d) d) −−ππ//1515 e) e) −−22ππ//1515 Funções (Geral)

Funções (Geral) / Domínio, / Domínio, Imagem e Imagem e ContradomínioContradomínio 17 - (ITA SP/2006)

17 - (ITA SP/2006)

Considere a equação

Considere a equação ((aaxx −−aa−−xx))/(/(aaxx++aa−−xx))==mm, , nana

variável real x, com

variável real x, com 00<<αα≠≠11. O conjunto de todos. O conjunto de todos

os valores de m para os quais esta equação os valores de m para os quais esta equação admite solução real é

admite solução real é a) a) ((−−11,,00))∪∪((00,,11)) b) b) ((−∞−∞,,−−11))∪∪((11,,++∞∞)) c) c) ((−−11,,11)) d) d) ((00,,∞∞)) e) e) ((−∞−∞,,++∞∞)) Análise Combi

Análise Combinatória natória / Princípio / Princípio Fundamental daFundamental da Contagem e Arranjos

Contagem e Arranjos 18 - (ITA SP/2006) 18 - (ITA SP/2006)

Co

Consnsididerere e umuma a prprovova a cocom m 10 10 ququesestõtões es dede m

múúllttiipplla a eessccoollhhaa, , ccaadda a qquueessttãão o ccoom m 55 alternativas. Sabendo que cada questão admite alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é

somente 7 das 10 questões é a) a) 4444⋅⋅3030 b) b) 4433⋅⋅6060 c) c) 5533⋅⋅6060 d) d) ₄₄33 3 3 7 7 ⋅⋅              e) e) __           7 7 10 10 Função Logaritmica

Função Logaritmica / Definição / Definição e Propriedadese Propriedades 19 - (ITA SP/2006)

19 - (ITA SP/2006) Co

Consnsididere ere as as seseguguinintetes s afafirirmamaçõções es sosobrbre e aa expressão expressão ==

_∑

101101₌₌

((

0 0 k k loglog88 44k k 22 S S :: I.

I. S é a somS é a soma doa dos tes termrmos dos de ume uma pra progogreressssãoão geométrica finita.

geométrica finita. II

II.. S é S é a soma soma dos tea dos termrmos de umos de uma proa progrgresessãsãoo aritmética finita de razão 2/3

aritmética finita de razão 2/3 III.

III. SS==34513451

IV

IV.. SS≤≤34343434++loglog₈₈ 22

Então

Então, , pode-spode-se e afirmafirmar ar que é que é (são) verdadei(são) verdadeira(s)ra(s) apenas apenas aa)) I I e e IIIIII bb)) III I e e IIIIII cc)) III I e e IIVV dd)) IIII ee)) IIIIII Números Complexos

Números Complexos / Operações / Operações na Formana Forma Algébrica Algébrica 20 - (ITA SP/2006) 20 - (ITA SP/2006) Se para todo Se para todo zz∈∈CC,, f f ((zz)) == zz _ee f f ((zz))−−f f ((11)) == zz−−11_,,

então, pra todo

então, pra todo zz∈∈CC,, f f ((11))f f ((zz))++f f ((11))f f ((zz)) é igual aé igual a

a) a) 11 bb)) 22zz cc)) 22RReezz

(4)

dd)) 22IImmzz ee)) 22||zz||22 Equações

Equações e Inequações e Inequações Trigonométricas Trigonométricas / E/ Em m IRIR 21 - (ITA SP/2006)

21 - (ITA SP/2006) O

O CoConjnjununto to sosoluluçãção o dede

( (

tgtg22xx−−11

((

11−−cotcotgg22xx ==44,, 2 2 // k k x x≠≠ ππ ,, k k ∈∈ZZ, é, é a) a)      ππ ₊₊ ππ _∈_∈ Z Z k k ,, 4 4 k k 3 3 b) b)      ππ ₊₊ ππ _∈_∈ Z Z k k ,, 4 4 k k 4 4 c) c)      ππ ₊₊ ππ _∈_∈ Z Z k k ,, 4 4 k k 6 6 d) d)      ππ ₊₊ ππ _∈_∈ Z Z k k ,, 4 4 k k 8 8 e) e)      ππ ₊₊ ππ _∈_∈ Z Z k k ,, 4 4 k k 12 12 Números Complexos

Números Complexos / Operações na / Operações na FormaForma Trigonométrica

Trigonométrica 22 - (ITA SP/2006) 22 - (ITA SP/2006)

Se

Se αα∈∈[[00;;22ππ)) é é o o arargugumementnto o de de um um núnúmemeroro

complexo

complexo zz≠≠00 e n é um número natural tal quee n é um número natural tal que )) n n (( isen isen |) |) zz || // zz

(( nn == αα , então, é verdade que, então, é verdade que

a) a) 22nnαα é múltiplo deé múltiplo de 22ππ b) b) 22nnαα−−ππ é múltiplo deé múltiplo de 22ππ c) c) nnαα−−ππ//44 é múltiplo deé múltiplo de ππ//22 d)

d) ₂₂_n_nαα−−ππ é múltiplo não nulo de 2é múltiplo não nulo de 2

e)

e) nnαα−−22ππ é múltiplo deé múltiplo de ππ

Sistemas

Sistemas Lineares Lineares / / DiscussãoDiscussão 23 - (ITA SP/2006)

23 - (ITA SP/2006)

A condição para que as constantes reais a e b A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear

tornem incompatível o sistema linear

     == ++ ++ == ++ ++ == ++ ++ b b az az y y 2 2 x x 2 2 1 1 zz 5 5 y y 2 2 x x 2 2 zz 3 3 y y x x a) a) aa−− b b≠≠22 b) b) aa++ b b==1010 c) c) 44aa−−66 b b==00 d) d) aa// b b==33//22 e) e) aa⋅⋅ b b==2424 Determinantes / Propriedades Determinantes / Propriedades 24 - (ITA SP/2006) 24 - (ITA SP/2006) Se Se 11 zz y y x x r r q q p p cc b b aa det det ==−−           ,

, eennttãão o o o vvaalloor r ddoo

          ++ ++ ++ −− −− −− zz 3 3 y y 3 3 x x 3 3 zz r r 2 2 y y q q 2 2 x x p p 2 2 cc 2 2 b b 2 2 aa 2 2 det

det é igual aé igual a

a) a) 00 b) b) 44 c) c) 88 dd)) 1122 ee)) 1166 Equações Polinomiais

Equações Polinomiais / T/ Teorema das Raízeseorema das Raízes Complexas

Complexas

25 - (ITA SP/2006) 25 - (ITA SP/2006)

Seja p um polinômio com coeficientes reais, de Seja p um polinômio com coeficientes reais, de ggrraau u 77, , qquue e aaddmmiittee 11−−ii ccoommo o rraaiiz z ddee

multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e –40. Sendo afirmado que três raízes de p são e –40. Sendo afirmado que três raízes de p são re

reaiais s e e didiststinintatas s e e foformrmam am umuma a prprogogreressssãoão aritmética, então, tais raízes são

aritmética, então, tais raízes são a) a) 33//22−− 193193//66,,33,,33//22++ 193193//66 b) b) 22−−44 1313,,22,,22++44 1313 cc)) ––44, , 22, , 88 dd)) ––22, , 33, , 88 ee)) ––11, , 22, , 55 Polinômios

Polinômios / Grau e V/ Grau e Valor Numéricoalor Numérico 26 - (ITA SP/2006)

26 - (ITA SP/2006) So

Sobrbre e o o popolilinônômimioo p p((xx))==xx55−−55xx33++44xx22−−33xx−−22

podemos afirmar que podemos afirmar que a)

a) xx==22 não é raiz de pnão é raiz de p

b)

b) p p só admsó admitite e raraízízes rees reaiais, ses, sendndo o umuma a dedelalass inteira, duas racionais e duas irracionais inteira, duas racionais e duas irracionais c)

c) p admp admitite uma úe uma úninica raca raiz reiz realal, sen, sendo eldo ela umaa uma raiz inteira

raiz inteira d)

d) p só admp só admitite raíze raízes rees reaiais, ses, sendo dundo duas deas delalass inteiras

inteiras e)

e) p admp admitite some somenente 3 raízte 3 raízes rees reaiais, ses, sendndo umao uma delas inteira e duas irracionais

delas inteira e duas irracionais Sistemas

Sistemas Lineares Lineares / / DiscussãoDiscussão 27 - (ITA SP/2006)

27 - (ITA SP/2006)

Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por

e b reais, dado por

   == −− ++ ++ == ++ −− −− 1 1 y y )) b b aa (( x x )) b b aa (( 1 1 y y )) b b aa (( x x )) b b aa ((

Considere as seguintes afirmações: Considere as seguintes afirmações: I.

I. O O sisiststemema a é é popossssívível e el e inindedetterermmininadado o ssee

0 0 b b aa== == II

II.. O sisO sistetema é poma é possssívível e detel e deterermiminadnado se a e bo se a e b não são simultaneamente nulos

não são simultaneamente nulos III. III. _x_x22₊₊_y_y22 ₌₌₍₍_aa22₊₊_b_b22₎₎−−11_{, se}_{, se} 0 0 b b aa22++ 22 ≠≠ Então

Então, , pode-spode-se e afirmafirmar ar que é que é (são) verdadei(são) verdadeira(s)ra(s) apenas apenas a) a) II bb)) IIII cc)) IIIIII dd)) I I e e IIII ee)) III I e e IIIIII

Equações Polinomiais

Equações Polinomiais / Relaçôes / Relaçôes de Girardde Girard 28 - (ITA SP/2006)

28 - (ITA SP/2006)

Considere o polinômio

Considere o polinômio p p((xx))==xx33−−((aa++11))xx++aa, onde, onde Z

Z

aa∈∈ . O conjunto de todos os valores de a, para. O conjunto de todos os valores de a, para

os

os ququaiais s o o popolilinônômimio o p(p(x) x) só só adadmimite te raraízízeses inteiras, é inteiras, é a) a) {{22nn,,nn∈∈ N N}} b) b) {{44nn22,,nn∈∈ N N}}

(5)

c) c) {{66nn22−−44nn,,nn∈∈ N N}} d) d) {{nn((nn++11),),nn∈∈ N N}} e) e) NN Progressão Geométrica

Progressão Geométrica / Soma e Produto T/ Soma e Produto Termosermos de uma PG Finita e Infinita

de uma PG Finita e Infinita 29 - (ITA SP/2006)

29 - (ITA SP/2006) Num

Numa a circircuncunferêferêncincia a CC11 de de raraioio r r ₁₁==33cmcm _está_está

ins

inscricrito to um um hexhexágoágono no reguregular lar HH11; em H; em H11 estáestá inscrita uma circunferência C

inscrita uma circunferência C22; em C; em C22está inscritoestá inscrito uum m hheexxáággoonno o rreegguullaar r HH22 ee, , aassssiimm,, sucessivamente. Se Na (em cm

sucessivamente. Se Na (em cm22_{) é a área do}_{) é a área do} hexágono H

hexágono Hnn, então, então

_∑

_n_n∞∞₌₌₁₁AAnn (em cm(em cm22) é igual a) é igual a a) a) 5454 22 b) b) 5454 33 c) c) 3636((11++ 33)) d) d) 2727/(/(22−− 33)) e) e) 3030((22++ 33)) Circunferência

Circunferência / Problemas de T/ Problemas de Tangência e Posiçõesangência e Posições Relativas

Relativas

30 - (ITA SP/2006) 30 - (ITA SP/2006) Sejam a reta

Sejam a reta ss::1212xx−−55yy++77==00 _{e a circunferência}_{e a circunferência} 11 11 y y 2 2 x x 4 4 y y x x :: C C 22++ 22++ ++ == . . A A rreetta a pp, , qquue e éé

perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Ou

Ou nunum m popontnto o cucuja ja orordedenanada da pepertrtenence ce aoao seguinte intervalo seguinte intervalo a) a)            12 12 81 81 ,, 12 12 91 91 b) b)            ₋₋ ₋₋ 12 12 74 74 ,, 12 12 81 81 c) c)            −− 12 12 30 30 ,, 12 12 74 74 d) d)            12 12 74 74 ,, 12 12 30 30 e) e)            12 12 91 91 ,, 12 12 75 75 Cônicas

Cônicas / Elipse, / Elipse, Hipérbole e Hipérbole e ParábolaParábola 31 - (ITA SP/2006)

31 - (ITA SP/2006)

Os focos de uma elipse são

Os focos de uma elipse são FF₁₁((00,,−−66)) _ee FF₂₂((00,,66))_..

Os pontos

Os pontos A(0,A(0,9)9) ee B(x,B(x,3)3),, xx>>00, estão na elipse., estão na elipse.

A área do triângulo com vértices em B, F

A área do triângulo com vértices em B, F11 e e FF22 éé igual a igual a a) a) 2222 1010 b) b) 1818 1010 c) c) 1515 1010 d) d) 1212 1010 e) e) 66 1010 Pirâmides

Pirâmides / Area / Area e Ve Volumeolume 32 - (ITA SP/2006)

32 - (ITA SP/2006)

Uma pirâmide regular tem por base um hexágono Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cu

cuja ja didiagagonaonal l memenonor r memedede 33 33cmcm. . As As fafacceses

laterais desta pirâmide formam diedros de 60º laterais desta pirâmide formam diedros de 60º com o plano da base. A área total da pirâmide, com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm em cm22_{, é}_{, é} a) a) 8181 33//22 b) b) 8181 22//22 c) c) 8181//22 d) d) 2727 33 e) e) 2727 22 Conjuntos

Conjuntos / Operações / Operações e Pe Propriedadesropriedades 33 - (ITA SP/2006)

33 - (ITA SP/2006) Co

Consnsididere A ere A um um coconjnjununto to nãnão o vavazizio o cocom m umum nú

númemero ro fifininito to de de elelememenentotos. s. DiDizezemomos s ququee

)) A A (( P P } } A A ,, ,, A A { { F

F== ₁₁ _m_m ⊂⊂ é uma partição de A se asé uma partição de A se as

seguintes condições são satisfeitas: seguintes condições são satisfeitas: I.I. AA_ii ≠≠oo//,,ii==1,1,,,mm

II.

II. AA_ii∩∩AA_j_j==oo//,,seseii≠≠ j, j, para parai,i, j j==1,1,,,mm

III.

III. AA==AA11∪∪AA22∪∪∪∪AAmm Dizem

Dizemos ainda que F os ainda que F é uma partição de ordem ké uma partição de ordem k se

se nn((AA_ii))==k k _,, _ii₌₌₁₁_{, …, m.}_{, …, m.}

a)

a) As orAs ordendens poss possívesíveis pais para umra uma parta partiçãição de Ao de A.. b)

b) O númO númerero de paro de partitiçõções de es de A quA que têm ore têm ordedemm 2.

2. Funções

Funções (Geral) (Geral) / / ClassificaçãoClassificação 34 - (ITA SP/2006)

34 - (ITA SP/2006) Seja

Seja f f ::[[00,,1)1)→→R R ddeeffiinniidda a ppoor r

   << ≤≤ −− << ≤≤ == 1 1 x x 2 2 // 1 1 ,, 1 1 x x 2 2 2 2 // 1 1 x x 0 0 ,, x x 2 2 )) x x (( f f _.. Seja

Seja gg::((−−11//22,,1/2)1/2)→→R R ddaadda a ppoor r

   << ≤≤ ++ −− << << −− ++ == 1/2 1/2 x x 0 0 ), ), 2 2 // 1 1 x x (( f f 1 1 0 0 x x 2 2 // 1 1 ), ), 2 2 // 1 1 x x (( f f )) x x (( g

g _,_{, ccom}_{om f}_{f de}_defifini_nida_da

acima. Justificando a resposta, determine se g é acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par

par, ímpar ou nem par nem ímpar.nem ímpar. Binômio de

Binômio de Newton Newton / Números / Números Binomiais, FatorialBinomiais, Fatorial eTriângulo de Pascal

eTriângulo de Pascal 35 - (ITA SP/2006) 35 - (ITA SP/2006)

D

Deetteerrmmiinne e o o ccooeeffiicciieenntte e dde e xx44 _no_no desenvolvimento de

desenvolvimento de ₍₍₁₁₊₊_x_x₊₊_x_x22₎₎99_.. Equações e

Equações e Inequações TInequações Trigonométricas rigonométricas / Num/ Num Intervalo Limitado

Intervalo Limitado 36 - (ITA SP/2006) 36 - (ITA SP/2006)

Determine para quais valores de

Determine para quais valores de            ₋₋ππ ππ ∈ ∈ 2 2 ,, 2 2 x x valevale a a ddeessiigguuaallddaaddee 2 2 )) x x sec sec 4 4 (( log log )) 1 1 x x sen sen 4 4 (( log

log_cos_cos_x_x 22 −− −− _cos_cos_x_x −− 22 >> ..

Equações Polinomiais

Equações Polinomiais / Relaçôes / Relaçôes de Girardde Girard 37 - (ITA SP/2006)

37 - (ITA SP/2006)

Considere o polinômio

Considere o polinômio p p((xx))==xx33++axax22++xx++11, com, com

ra

raízízes es reareaisis. . O O cocoefeficicieientnte e a a é é racracioionanais is e e aa diferença entre duas de suas raízes também é diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte racional. Nestas condições, analise se a seguinte afirmação é verdadeira:

afirmação é verdadeira:

“Se uma das raízes de p(x) é racional, então “Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais.”

todas as suas raízes são racionais.” Cone

(6)

38 - (ITA SP/2006) 38 - (ITA SP/2006)

As medidas, em metros, do raio da base, da As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m

cone em m22_.. Matrizes

Matrizes / / Matriz Matriz InversaInversa 39 - (ITA SP/2006) 39 - (ITA SP/2006) Sejam as matrizes Sejam as matrizes               −− −− −− −− −− == 0 0 2 2 // 3 3 1 1 5 5 1 1 2 2 1 1 1 1 3 3 2 2 5 5 2 2 1 1 2 2 // 1 1 0 0 1 1 A A _ee               −− −− −− −− −− == 5 5 2 2 // 1 1 1 1 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 // 1 1 3 3 1 1 B B Determine o elemento c

Determine o elemento c3434 da matrizda matriz CC==((AA++BB))−−11.. Progressão Geométrica

Progressão Geométrica / Propriedades, / Propriedades, termo Geraltermo Geral e Soma dos n Termos

e Soma dos n Termos 40 - (ITA SP/2006) 40 - (ITA SP/2006)

Seja

Seja ((aa₁₁,,aa₂₂,,aa₃₃,,,,aa_n_n,,)) umuma a prprogogreressssãoão

geométrica infinita de razão positiva r, em que geométrica infinita de razão positiva r, em que

aa

aa₁₁== é um número real não nulo. Sabendo que aé um número real não nulo. Sabendo que a

soma de todos os

soma de todos os termotermos de s de índices pares destaíndices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 16/13, determine o valor de

16/13, determine o valor de aa++r r _..

Cônicas

Cônicas / Elipse, / Elipse, Hipérbole e Hipérbole e ParábolaParábola 41 - (ITA SP/2006)

41 - (ITA SP/2006) Sabendo que

Sabendo que 99yy22−−1616xx22−−144144yy++224224xx−−352352==00 é é aa

equação de uma hipérbole, calcule sua distância equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal.

focal. Areas de

Areas de Superficies Planas Superficies Planas / Polígonos/ Polígonos 42 - (ITA SP/2006)

42 - (ITA SP/2006) Co

Consnsididerere e um um lolosasangngo o ABABCD CD cucujo jo peperírímemetrotro mede 100cm e cuja maior diagonal mede 40cm. mede 100cm e cuja maior diagonal mede 40cm. Calcule a área, em cm

Calcule a área, em cm22_{, do círculo inscrito neste}_{, do círculo inscrito neste} losango.

losango. Matemática

Matemática Financeira Financeira / / PorcentagemPorcentagem 43 - (Unicamp SP/2006)

43 - (Unicamp SP/2006) O gráfico a

O gráfico a seguir mostseguir mostra o ra o total de acidentes detotal de acidentes de tr

trânânsisito to na na cicidadade de de de CaCampmpininas as e e o o tototatal l dede acidentes sem vítimas, por 10.000 veículos, no acidentes sem vítimas, por 10.000 veículos, no período entre 1997 e 2003. Sabe-se que a frota período entre 1997 e 2003. Sabe-se que a frota da

da cicidadade de de de CaCampmpininas as erera a cocompmpososta ta popor r 500.000 veículos em 2003 e era 4% menor em 500.000 veículos em 2003 e era 4% menor em 2002.

2002.

Adaptado de: Sumário Estatístico da Circulação Adaptado de: Sumário Estatístico da Circulação em Campinas 2002-2003. em Campinas 2002-2003. Campinas, EMDEC, 2004, p. 12. Campinas, EMDEC, 2004, p. 12. aa)) CCaallccuulle e o o nnúúmmeero ro ttoottaal l dde e aacciiddeennttees s ddee

trânsito ocorridos em Campinas em 2003. trânsito ocorridos em Campinas em 2003. b)

b) CaCalclculule o núe o númemero dro de ace acididenentetess com vítimascom vítimas ocorridos em Campinas em 2002.

ocorridos em Campinas em 2002. Problemas

Problemas / Montagem / Montagem e Resolução e Resolução de Equaçõesde Equações 44 - (Unicamp SP/2006)

44 - (Unicamp SP/2006)

Uma empresa possui 500 toneladas de grãos em Uma empresa possui 500 toneladas de grãos em seu armazém e precisa transportá-las ao porto de seu armazém e precisa transportá-las ao porto de Sa

Santntosos, , quque e fifica ca a a 30300 0 km km de de didiststânâncicia. a. OO transporte pode ser feito por caminhões ou por transporte pode ser feito por caminhões ou por trem. Para cada caminhão utilizado paga-se R$ trem. Para cada caminhão utilizado paga-se R$ 12

125,5,00 00 de de cucuststo o fifixoxo, , alalém ém de de R$ R$ 0,0,50 50 popor r qquuiillôômmeettrro o roroddaaddoo. . CCaadda a ccaammiinnhhãão o tteemm cap

capaciacidade dade para para tratranspnsportaortar r 20 20 tontonelaeladas das dede grãos. Para cada

grãos. Para cada tonelatonelada da transptransportada por ortada por tremtrem paga-se R$ 8,00 de custo fixo, além de R$ 0,015 paga-se R$ 8,00 de custo fixo, além de R$ 0,015 por quilômetr

por quilômetro o rodado. Com base rodado. Com base nesses dados,nesses dados, pergunta-se:

pergunta-se: a)

a) QuaQual o cusl o custo de tto de transransportporte das 5e das 500 to00 tonelneladasadas de grãos por caminhões e por trem?

de grãos por caminhões e por trem? b)

b) PaPara as ra as memesmsmas 500 tonas 500 toneleladadas de as de grgrãoãos,s, qual a distância mínima do armazém ao porto qual a distância mínima do armazém ao porto de Santos para que o transporte por trem de Santos para que o transporte por trem se

seja ja mamais is vavantntajajososo o que que o o trtrananspspororte te popor r caminhões?

caminhões? 45 - (Unicamp SP/2006)

Um carro irá participar de uma corrida em que Um carro irá participar de uma corrida em que terá que percorrer 70 voltas em uma pista com terá que percorrer 70 voltas em uma pista com 4,

4,4 4 km km de de exextetensnsãoão. . CoComo mo o o cacarrrro o tetem m umum rendimento médio de 1,6 km/l e seu tanque só rendimento médio de 1,6 km/l e seu tanque só comporta 60 litros, o piloto terá que parar para comporta 60 litros, o piloto terá que parar para reabastecer durante a corrida.

reabastecer durante a corrida. a)

a) SupSupondondo que o o que o carcarro iro inicniciariará a corá a corridrida com a com oo tanque cheio, quantas voltas completas ele tanque cheio, quantas voltas completas ele po

podederá rá pepercrcororrerer r anantetes s de de papararar r papara ra oo primeiro reabastecimento?

primeiro reabastecimento? b)

b) QuQual é al é o o vovolulumme e tototatal l de code combmbusustítívevel l ququee será gasto por esse carro na corrida?

será gasto por esse carro na corrida? Probabilidade

Condicional

Uma

Uma empempresresa a tem tem 5005000 0 funfunciocionárinários. os. DesDessesses,, 4488% % ttêêm m mmaaiis s dde e 330 0 aannooss, , 3366% % ssããoo especializados e 1400 têm mais de 30 anos e especializados e 1400 têm mais de 30 anos e são

são espespeciecialializadozados. s. Com Com basbase e nesnesses ses daddados,os, pergunta-se:

pergunta-se: a)

a) QuQuanantotos funcs funcioionánáririos têm aos têm até 30 anoté 30 anos e s e nãnãoo são especializados?

são especializados? b)

b) EsEscocolhlhendendo um funco um funcioionánário ao acario ao acasoso, qual a, qual a probabilidade de ele ter até 30 anos e ser probabilidade de ele ter até 30 anos e ser especializado?

especializado? Prismas

Prismas / Paralelepipedo / Paralelepipedo e Ce Cubosubos 47 - (Unicamp SP/2006)

Um cidadão precavido foi fazer uma retirada de Um cidadão precavido foi fazer uma retirada de dinheiro em um banco. Para tanto, levou sua dinheiro em um banco. Para tanto, levou sua ma

mala la exexececututiviva, a, cucujo jo ininteteririor or tetem m 56 56 cm cm dede comprimento, 39 cm de largura e 10 cm de altura. comprimento, 39 cm de largura e 10 cm de altura.

(7)

O

O cicidadadãdão o só só prpretetenende de cacarrerregar gar nonotatas s de de R$R$ 50,00. Cada nota tem 140 mm de comprimento, 50,00. Cada nota tem 140 mm de comprimento, 65

65 mm de mm de lalargrgurura, a, 0,0,2 2 mmm m de de esespepessssurura a ee densidade igual a 0,75 g/cm

densidade igual a 0,75 g/cm33_.. a)

a) QuQual é a al é a mámáxixima quma quanantitia, em rea, em reaiais, qus, que e oo cidadão poderá colocar na mala?

cidadão poderá colocar na mala? b)

b) SSe e a a mmalala a vavazizia a pepesa 2,sa 2,6 6 kgkg, , ququal seal será orá o peso da mala cheia de dinheiro?

peso da mala cheia de dinheiro? Probabilidade

Condicional

Seja S o conjunto dos números naturais cuja Seja S o conjunto dos números naturais cuja representação decimal é formada apenas pelos representação decimal é formada apenas pelos algarismos 0, 1, 2, 3 e 4.

algarismos 0, 1, 2, 3 e 4. a)

a) SSejeja a uum m núnúmmerero o de de dedezz al

algagarirismsmos os pepertrtenencecentnte e a a S, S, cucujojos s dodoisis últimos algarismos têm igual probabilidade de últimos algarismos têm igual probabilidade de assumir qualquer valor inteiro de 0 a 4. Qual assumir qualquer valor inteiro de 0 a 4. Qual a probabilidade de que x seja divisível por a probabilidade de que x seja divisível por 15?

15? b)

b) QuQuanantotos núms númereros meos menonoreres que um bis que um bilhlhão eão e múltiplos de quatro pertencem ao conjunto múltiplos de quatro pertencem ao conjunto S?

S? Problemas

Problemas / Montagem / Montagem e Resolução de e Resolução de EquaçõesEquações 49 - (Unicamp SP/2006)

Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma Para trocar uma lâmpada, Roberto encostou uma escada na parede de sua casa, de forma que o escada na parede de sua casa, de forma que o ttooppo o dda a eessccaadda a ffiiccoou u a a uumma a aallttuurra a ddee aproximadamente

aproximadamente 1414mm . . EnEnququananto to RoRobebertrtoo

subia os degraus, a base da escada escorregou subia os degraus, a base da escada escorregou por 1 m, indo tocar o muro paralelo à parede, por 1 m, indo tocar o muro paralelo à parede, conforme ilustração ao lado. Refeito do susto, conforme ilustração ao lado. Refeito do susto, Rob

Roberterto o repreparou arou queque, , apóapós s desdeslizlizarar, , a a escescadaada ppaassssoou u a a ffaazzeer r uum m âângnguullo o dde e 4455º º ccoom m aa horizontal. Pergunta-se:

horizontal. Pergunta-se:

a)

a) QuaQual é a dl é a dististânciância enta entre a pre a parearede da cde da casa asa e oe o muro?

muro?

bb)) QQuuaal l é é o o ccoommpprriimmeenntto o dda a eessccaadda a ddee Roberto?

Roberto? Função Exponencial

Função Exponencial / Funções / Funções ExponenciaisExponenciais 50 - (Unicamp SP/2006)

A concentração de CO

A concentração de CO22 na atmosfera vem sendona atmosfera vem sendo me

medididada, , dedesdsde e 19195858, , pepelo lo ObObseservrvatatórório io dede Ma

Maununa a LoLoa, a, no no HaHavavaí. í. Os Os dadadodos s cocoleletatadodoss m

moossttrraam m qquuee, , nnoos s úúllttiimmoos s aannooss, , eessssaa con

concencentraçtração ão aumaumentoentou, u, em em médmédia, ia, 0,50,5% % por por ano. É razoável supor que essa taxa anual de ano. É razoável supor que essa taxa anual de cr

cresescicimementnto o da da coconcncenentrtraçãação o de de COCO22 irirá á sese manter constante nos próximos anos.

manter constante nos próximos anos. a)

a) EsEscrcreveva a umuma a fufunçnção C(tão C(t) ) quque e rereprpresesenente ate a co

concncententraraçãção o de de COCO22 na na atatmomosfsferera a emem relação ao tempo t, dado em anos. Considere relação ao tempo t, dado em anos. Considere

como instante inicial — ou seja, aquele em como instante inicial — ou seja, aquele em que t = 0 — o ano de 2004, no qual foi que t = 0 — o ano de 2004, no qual foi observada uma concentração de 377,4 ppm observada uma concentração de 377,4 ppm de CO

de CO22na atmosfera.na atmosfera. b)

b) DeDetetermrminine aproe aproxiximamadadamementnte em que ano ae em que ano a concentração de CO

concentração de CO22 na atmosfera será 50%na atmosfera será 50% superior àquela observada em 2004.

superior àquela observada em 2004. S

Se e nneecceessssáárriioo, , uussee loglog₁₀₁₀22≅≅00,,30103010,, 3032 3032 ,, 0 0 01 01 ,, 2 2 log

log₁₀₁₀ ≅≅ _ee loglog₁₀₁₀33≅≅00,,47714771

Troncos

Troncos / Cilindro, Pirâmide, / Cilindro, Pirâmide, Cone e Sólidos Cone e Sólidos dede Revolução

Revolução

Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de Um abajur de tecido tem a forma de um tronco de co

cone ne cicircrculular ar reretoto, , cocom m basbases es papararalelelalas. s. AsAs aberturas do abajur têm 25 cm e 50 cm de aberturas do abajur têm 25 cm e 50 cm de diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede 30 diâmetro, e a geratriz do tronco de cone mede 30 cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se cm. O tecido do abajur se rasgou e deseja-se substituí-lo.

substituí-lo. a)

a) DetDetermermine oine os rais raios doos dos arcs arcos quos que deve devem sem ser er demarcados sobre um novo tecido para que demarcados sobre um novo tecido para que se possa cortar um revestimento igual àquele se possa cortar um revestimento igual àquele que foi danifi cado.

que foi danifi cado. b)

b) CaCalclculule e a a árárea da regea da regiãião o a a seser r dedemamarcrcadadaa sobre o tecido que r

sobre o tecido que revestirá o abajur.evestirá o abajur. Triângulos

Triângulos / Relações / Relações AngularesAngulares 52 - (Unicamp SP/2006)

De

De umuma a prpraiaia, a, um um totopópógrgrafafo o obobseservrva a umumaa pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na ve

vertrticicalal, , umuma a rérégugua a de de 2m 2m de de cocompmpririmementnto.o. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que passa o ângulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60º, enquanto o teodolito ao topo da régua é de 60º, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é segmento que une o teodolito à base da régua é de 75º. Sabendo que o teodolito está a uma de 75º. Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6m do nível da base da escarpa, altura de 1,6m do nível da base da escarpa, responda às questões abaixo.

responda às questões abaixo.

a)

a) QuQual al a a didiststââncnciia a hohoririzozontntal al enentrtre e a a rerettaa vertical que passa pelo teodolito e a régua vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa?

sobre a escarpa? b)

b) QuQual al a aa altltura ura da da esescacarprpa?a? Determinantes

Determinantes / Cálculo / Cálculo de Determide Determinantesnantes 53 - (Unicamp SP/2006)

Sejam dados: a matriz Sejam dados: a matriz

                 −− −− −− −− −− −− == 2 2 1 1 1 1 x x 2 2 1 1 1 1 x x 1 1 x x 1 1 x x 1 1 x x A A , , oo vetor vetor                  == 5 5 3 3 m m b b e o vetor e o vetor                  == 3 3 2 2 1 1 y y y y y y y y .. a)

a) EnEncocontntre re o o coconjnjununto to sosoluluçãção o da da eqequauaçãçãoo

0 0 )) A A det( det( == ..

(8)

bb)) UUttiillizizaannddo o o o mmaiaioor r vvalaloor r ddee x x quque e vovocêcê

encontrou no item (a), determine o valor de encontrou no item (a), determine o valor de

m

m para que o sistema linear para que o sistema linear AyAy== b b _tenha_tenha

infinitas soluções. infinitas soluções. Reta

Reta / Intersecção / Intersecção e Be Bissetrizissetriz 54 - (Unicamp SP/2006)

Sa

Sabebe-s-se e quque e a a reretata r r ((xx))==mxmx++22 intintercercepta epta oo

gráfico da função

gráfico da função yy==||xx|| _{em dois pontos distintos,}_{em dois pontos distintos,}

A e B. A e B. a)

a) DetDetermermine ine os pos possíossíveiveis vas valorlores pes para ara m.m.

bb)) SSe e O O é é a a oorriiggeem m ddoos s eeixixoos s ccaartrtesesiiananooss,, encontre o valor de m que faz com que a encontre o valor de m que faz com que a área do triângulo OAB seja mínima.

área do triângulo OAB seja mínima. Polígonos

Polígonos / Regulares, Nº / Regulares, Nº de Diagonais e de Diagonais e RelaçõesRelações Angulares

Angulares

Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal Um triângulo retângulo de vértices A, B e C é tal que

que ACAC==66cmcm,, ABAB==88cmcm ee BCBC==1010cmcm. . OsOs

segmentos

segmentos ACAC,, ABAB ee BCBC também são lados detambém são lados de

quadrados construídos externamente ao triângulo quadrados construídos externamente ao triângulo AB

ABC. C. SeSeja ja O O o o cecentntro ro da da cicircrcununferferênêncicia a ququee circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os circunscreve o triângulo e sejam D, E e F os centros dos quadrados com lados

centros dos quadrados com lados BCBC,, ACAC ee ABAB,,

respectivamente. respectivamente. a)

a) CalCalculcule os ce os compomprimrimententos doos dos segs segmenmentostos DODO

,, EOEO ee FOFO..

bb)) CCaallccuulle e oos s ccoommprpriimmeentntos os ddoos s llaaddoos s ddoo triângulo de vértices

triângulo de vértices D, E e F.D, E e F. Equações Polinom

Equações Polinomiais iais / Relaçôes / Relaçôes de Girardde Girard 56 - (Unicamp SP/2006)

As três raízes da equação

As três raízes da equação xx33−−33xx22++1212xx−−qq==00,,

oondnde e q q é é um um paparârâmemetrtro o rerealal, , foformrmam am uumama progressão aritmética.

progressão aritmética. aa)) DDeetteermrmiinne qe q.. b)

b) UtUtililizaizandndo o o o vavalolor de q r de q dedetetermrmininadado no itemo no item (a), encontre as raízes (reais e complexas) (a), encontre as raízes (reais e complexas) da equação. da equação. GABARITO: GABARITO: 1) Gab: 1) Gab: AA 2) Gab: 2) Gab: DD 3) Gab: 3) Gab: BB 4) Gab: 4) Gab: AA 5) Gab: 5) Gab: CC 6) Gab: 6) Gab: CC 7) Gab: 7) Gab: BB 8) Gab: 8) Gab: DD 9) Gab: 9) Gab: EE 10) Gab: 10) Gab: EE 11) Gab: 11) Gab: DD 12) Gab: 12) Gab: BB 13) Gab: 13) Gab: DD 14) Gab: 14) Gab: CC 15) Gab: 15) Gab: BB 16) Gab: 16) Gab: EE 17) Gab: 17) Gab: CC 18) Gab: 18) Gab: AA 19) Gab: 19) Gab:

(

( )

⋅⋅

)

==

(

⋅⋅

))

== ==

_∑

== == 2 2 // 1 1 k k 2 2 101 101 0 0 k k 22 101 101 0 0 k k k k 8 8 44 22 loglog 3322 22 log log S S ==            ++ ⋅⋅ ==                 ==

_∑

== ++ == 22 1 1 k k 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 log log 101101 0 0 k k 2 2 1 1 k k 2 2 101 101 0 0 k k 22            ₊₊ _⋅⋅ ==

_∑

== 33 2 2 k k 6 6 1 1 101 101 0 0 k

k , portanto S é a soma dos termos, portanto S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão de uma progressão aritmética finita de razão

3 3 2 2

,, cujo 1º termo é igual a

cujo 1º termo é igual a

6 6 1 1

e último termo é igual a e último termo é igual a

6 6 405 405 3 3 2 2 101 101 6 6 1 1 == ⋅⋅ ++ . . AsAssisim,m, 3451 3451 102 102 2 2 6 6 405 405 6 6 1 1 S S ⋅⋅ ==            ++ == ,, resultado superior a resultado superior a 6 6 1 1 3434 3434 2 2 log log 3434 3434++ ₈₈ == ++ ..

Além disso, a progressão geométrica

Além disso, a progressão geométrica ((1,1, x,x, xx22)),,

sendo x uma das raízes reais de

sendo x uma das raízes reais de 11++xx++xx22 ==34513451,,

tem soma igual a S. tem soma igual a S.

Logo as afirmações I, II e III são verdadeiras e a Logo as afirmações I, II e III são verdadeiras e a afirmação IV é falsa.

afirmação IV é falsa. Ob

Obs.s.: : cocom m relrelaçação ão à à afafirirmamaçãção o I, I, tetemomos s quque,e, dado qualquer real S, podemos encontrar uma dado qualquer real S, podemos encontrar uma progressão geométrica com n termos cuja soma progressão geométrica com n termos cuja soma é S: basta tomar, por exemplo,

é S: basta tomar, por exemplo,            n n S S ;; ;; n n S S ;; n n S S   ..

Pode-se provar que, mesmo se fixarmos

Pode-se provar que, mesmo se fixarmos qq≠≠−−11, é, é

pos

possívsível el obtobter er uma uma proprogresgressão são geogeométmétricrica a dede razão q e n termos cuja soma é S: basta tomar razão q e n termos cuja soma é S: basta tomar

1 1 q q )) 1 1 q q (( S S aa n n 1 1 −− −− == _.. 20) Gab: 20) Gab: CC 21) Gab: 21) Gab: DD 22) Gab: 22) Gab: BB 23) Gab: 23) Gab: AA 24) Gab: 24) Gab: DD 25) Gab: 25) Gab: EE 26) Gab: 26) Gab: EE

(9)

27) Gab: 27) Gab: EE 28) Gab: 28) Gab: DD 29) Gab: 29) Gab: BB 30) Gab: 30) Gab: CC 31) Gab: 31) Gab: DD 32) Gab: 32) Gab: AA 33) Gab 33) Gab:: aa)) 11, , 22, , 4 4 e e 88 bb)) 110055 34) Gab: 34) Gab: Para Para 2 2 1 1 x x 0 0 0 0 x x 2 2 1 1_<< _<< _⇔_⇔ _<<₋₋ _<< −− , temos, temos gg((xx))==gg((−−xx)) e,e,

portanto, g é uma função par. Porém,

portanto, g é uma função par. Porém, gg((00))==11≠≠00_..

Logo g não é ímpar. Logo g não é ímpar. 35) Gab: 35) Gab: 414414 36) Gab: 36) Gab: ==_−− ππ −−ππ_∪∪_ππ ππ_ 4 4 ;; 6 6 6 6 ;; 4 4 V V 37) Gab: 37) Gab:

Suponha que uma das raízes de p(x) é racional. Suponha que uma das raízes de p(x) é racional. Sejam

Sejam αα,, ββ _ee γ γ _{as raízes de p(x), com}_{as raízes de p(x), com} αα−−ββ

ra

raciciononalal. . PePelalas s relrelaçaçõeões s enentrtre e cocoefeficicieientntes es ee raízes, raízes, aa 1 1 aa −− == −− == γ γ ++ ββ ++ α α .. Se um dos números

Se um dos números αα _ou_ou ββ é racional, o outroé racional, o outro também é e, portanto,

também é e, portanto, γ γ ==−−aa−−αα−−ββ _{é racional. Se}_{é racional. Se} γ

γ _{é racional,}_{é racional,} αα−−ββ ee αα++ββ==−−aa−−γ γ são racionais e,são racionais e,

consequentemente,

consequentemente, αα _ee ββ sãsão o tatambmbémém racionais. Em qualquer caso, todas raízes de p(x) racionais. Em qualquer caso, todas raízes de p(x) são racionais.

são racionais.

Logo a afirmação do enunciado é verdadeira. Logo a afirmação do enunciado é verdadeira. 38) Gab: 38) Gab: ₉₆₉₆_ππ_m_m22 39) Gab: 39) Gab: 11 11 2 2 −− 40) Gab: 40) Gab: 1111 41) Gab: 41) Gab: 1010 42) Gab: 42) Gab: ₁₄₄₁₄₄_ππ_cm_cm22 43) Gab 43) Gab:: a)

a) 1414.8.800 00 acacididenentetess b)

b) 2.2.88880 ac0 acididenentetess 44) Gab

44) Gab:: a)

a) PoPor cr camamininhão hão é Ré R$ 6$ 6.8.875,75,0000

Devido a uma ambigüidade na frase "Para Devido a uma ambigüidade na frase "Para cada tonelada transportada por trem paga-se cada tonelada transportada por trem paga-se R$ 8,00 de custo fixo, além de R$ 0,015 por R$ 8,00 de custo fixo, além de R$ 0,015 por qquuiillôômmeettrro o rrooddaaddoo"", , ccaabbeem m dduuaass

interpretações para o custo do transporte por interpretações para o custo do transporte por trem:

trem:

Primeira interpretação: o custo por tonelada é Primeira interpretação: o custo por tonelada é

50 50 ,, 12 12 300 300 015 015 ,, 0 0 8

8++ ⋅⋅ == _re_reai_ais._{s. Lo}_Logo_{go o}_{o cu}_cust_sto_{o de}_de

transporte das 500 toneladas de grãos por transporte das 500 toneladas de grãos por trem é

trem é 500500⋅⋅1212,,55==R R $$66..250250,,0000_..

Se

Segugundnda a ininteterprpreretataçãção: o: o o cucuststo o fifixo xo dodo tr

trananspspororte te popor r trtrem em éé 500500⋅⋅88==40004000 reais.reais.

Logo, como o custo por quilômetro rodado é Logo, como o custo por quilômetro rodado é R$ 0,015, o custo do transporte por trem é R$ 0,015, o custo do transporte por trem é

50 50 ,, 004 004 .. 4 4 $ $ R R 300 300 015 015 ,, 0 0 4000 4000++ ⋅⋅ == ..

bb)) SSeejja a n n a a ddiissttâânncciiaa, , eem m qquuiillôômmeettrrooss, , ddoo armazém ao porto de Santos. Então o custo armazém ao porto de Santos. Então o custo dde e ttrraannsspoporrtte e dadas s 55000 0 ttoonneleladadaas s ppoor r caminhões é

caminhões é 2525((125125++00,,5050⋅⋅nn)) reais.reais.

F

Faarreemmoos s oos s ccáállccuulloos s pparara a aammbabas s aass interpretações do item a.

interpretações do item a.

Primeira interpretação: o custo de transporte Primeira interpretação: o custo de transporte por trem é

por trem é 500500((88++00,,015015⋅⋅nn))_..

Para que o transporte por trem seja mais Para que o transporte por trem seja mais vantajoso que o transporte por caminhões, vantajoso que o transporte por caminhões, devemos ter devemos ter ⇔ ⇔ ⋅⋅ ++ << ⋅⋅ ++00,,015015 nn)) 2525((125125 00,,5050 nn)) 8 8 (( 500 500 km km 175 175 n n 35 35 n n 2 2 ,, 0 0 >> ⇔⇔ >> ⇔ ⇔

Segunda interpretação: o custo de transporte Segunda interpretação: o custo de transporte por trem é

por trem é 40004000++00,,015015⋅⋅nn _{reais. Devemos ter}_{reais. Devemos ter}

⇔ ⇔ ⋅⋅ ++ << ⋅⋅ ++00,,015015 nn 2525((125125 00,,5050 nn)) 4000 4000 km km 08 08 ,, 70 70 n n 875 875 n n 485 485 ,, 12 12 ⋅⋅ >> ⇔⇔ >>  ⇔ ⇔

Observação: a primeira interpretação, que é Observação: a primeira interpretação, que é análoga à do cálculo com caminhões, deve análoga à do cálculo com caminhões, deve ser a pretendida pela banca. Entretanto, a ser a pretendida pela banca. Entretanto, a segunda interpretação também é cabível. segunda interpretação também é cabível. 45) Gab

45) Gab:: a)

a) O carO carro poro poderá pderá percercorreorrer 21 vor 21 voltaltas coms complepletastas antes de reabastecer.

antes de reabastecer. b)

b) O carO carro irro irá gasá gastar 1tar 192,5 92,5 litlitros dros de come combusbustívetívell na corrida.

na corrida. 46) Gab

46) Gab:: a)

a) A A ememprpresesa a popossssui ui 222200 00 fufuncncioionánáririos os nãnãoo especializados com até 30 anos.

especializados com até 30 anos. b)

b) a pra probobababililididadade é de é de 0,e 0,08 o08 ou 8%u 8% 47) Gab

47) Gab:: a)

a) PoPodede-s-se e cocololocacarr, , no no mámáxiximomo, , R$R$60600.00.00000,0,000 na mala

na mala b)

b) A A mamala cla cheiheia pea pesa sa 18,18,9898kgkg 48) Gab

48) Gab:: a)

a) A pA probrobabiabilidlidade é de 1ade é de 1/25/25, ou 0,, ou 0,04, o04, ou, aiu, aindanda,, 4%

4%

bb)) O O ccononjjuunntto o S S ppoossssui ui 662255..00000 0 nnúúmmeerrooss múltiplos de 4

múltiplos de 4 49) Gab

49) Gab:: a)

a) A A pareparede dde da casa casa esta está a 3 á a 3 metmetros ros do mdo murouro.. b)

b) A A esescacada da popossssuiui 33 22 metros.metros.

50) Gab 50) Gab::

a)

a) A A funçfunção ão é Cé C(t) (t) = 3= 377,77,4.(4.(1,001,005)5)tt b)

b) A cA cononcecentntraraçção de Cão de COO22 na atmosfera serána atmosfera será 50% superior àquela observada em 2004 por 50% superior àquela observada em 2004 por volta do ano de 2084.

(10)

51) Gab 51) Gab::

a)

a) O raiO raio ino internterno tem o tem 30c30cm e o ram e o raio exio exterterno teno temm 60cm

60cm b)

b) A árA área de ea de tetecicido necdo necesessásáriria a papara cobra cobririr r oo abajur é igual a

abajur é igual a ₁₁₂₅₁₁₂₅_ππ_cm_cm22 52) Gab

52) Gab:: a)

a) A réA régugua está a uma dia está a uma diststâncância horia horizizonontal detal de

46 46 ,, 6 6 3 3 2 2 3

3++ ≅≅ metros do teodolito.metros do teodolito.

b)

b) A A esescacarpa rpa esestá a utá a uma ama altlturura dea de11,,66++ 33≅≅33,,3333

metros metros 53) Gab

53) Gab:: a)

a) As As sosoluluçõções es da da equequaçação ão sãsãoo xx₁₁==11 _ee xx₂₂==11

b)

b) PaPara que o ra que o sisiststemema a tetenhnha a ininfifininitatas s sosoluluçõçõeses,, é preciso que

é preciso que mm==77//22

54) Gab 54) Gab::

a)

a) PaPara que ra que hahaja intja interersesecçcção em ão em dodois ponis pontotoss distintos, é preciso que

distintos, é preciso que −−11<<mm<<11

b)

b) A A áreárea do ta do triâriângulngulo seo será mrá míniínima pma paraara mm==00

55) Gab 55) Gab:: a) a) DODO==55cmcm,, EOEO==77cmcm ee FOFO==77cmcm b) b) FEFE==77 22cmcm,, DEDE==22 2929cmcm ee DFDF== 130130cmcm 56) Gab 56) Gab:: aa)) q q = = 1100 b) b) xx₁₁==11−−33ii_,, xx₂₂==11 _ee xx₃₃==11++33ii