Elasticidade aplicada à Infraestrutura de Transportes

Elasticidade aplicada à Infraestrutura de Transportes

CAP MONIZ DE ARAGÃO

DEFORMAÇÕES

:

• Campo de deslocamentos; Componentes de deformação; Relações deformação-deslocamento; Deformação linear específica numa direção qualquer; Deformações Principais.

SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO Pós-graduação em Engenharia de Transportes

Referências bibliográficas:

• Introdução à Teoria da Elasticidade, Villaça, S. F., Taborda Garcia, L. F., COPPE/UFRJ, 4ª Ed., 2000.

• Theory of Elasticity, Timoshenko, S. P., Goodier, J.N., McGraw-Hill Classic Textbook Reissue Series, 3rd _{Ed., 1970.}

Deformações:

Campo de deslocamentos

Solicitações externas atuando em um corpo deformável:

Configuração inicial indeformada

⇒

Configuração final deformada

Mudança de forma e dimensões

Deformações:

Campo de deslocamentos

Um ponto A do corpo, que na configuração inicial tem as coordenadas

x, y, z, sofre um deslocamento u, e passa para a posição A*.

(

x

y

z

)

v

v

,

,

=

(

u

,

v

,

w

)

=

u

(

x

y

z

)

u

u

,

,

=

(

x

y

z

)

w

w

,

,

=

As coordenadas A* são então dadas por x+u, y+v, z+w, e o

Deformações:

Campo de deslocamentos

Observações:

• Tendo em vista a continuidade do sólido no processo de deformação, as funções escalares u, v, w devem ser contínuas e unívocas.

• O campo de deslocamentos pode ser decomposto em duas parcelas: • Movimento de corpo rígido (translação do ponto)

• Deslocamento com mudança de forma e dimensões do corpo (alongamentos, encurtamentos)

• O movimento do corpo rígido pode ser sempre eliminado mediante a introdução adequada de vínculos.

Ex: F Deslocamento com mudança de dimensões Movimento de Corpo rígido

Componentes de Deformação

• Deformação (strain)

• Deformação linear específica • Alongamento relativo

s

ε

Deformação no ponto A e na direção s: Relação entre o alongamento sofrido pelo

segmento elementar e o seu comprimento inicial, ao passar da configuração inicial para a

deformada.

(

_s

)

s

ds

ds

ds

ds

ds

AB

AB

B

A

_ε

ε

=

−

=

−

⇒

*

=

1

+

* * *

Componentes de Deformação

• Deformação angular (shearing strain)

• Distorção

s t

γ

Distorção no ponto A associada às direções s, t :

B

A

C

st

*

ˆ

*

*

2

−

=

π

γ

Componentes de Deformação

O estado de deformação em um ponto A fica completamente

determinado se forem conhecidas as componentes de deformação (linear e angular) em três direções ortogonais.

Referindo-se ao sistema cartesiano global xyz, tem-se as seguintes componentes de deformação:

,

,

,

,

,

_{y z xy xz yz} x

ε

ε

γ

γ

γ

ε

De forma análoga ao estado de tensões, conhecidas essas componentes é possível calcular a deformação linear numa direção qualquer, ou a

deformação angular associada a um par de direções ortogonais quaisquer no ponto A.

Componentes de Deformação

A deformação em todo o corpo fica determinada conhecendo-se o campo de deformações, ou seja, as componentes de deformação como funções de posição:

(

)

(

)

(

)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ε

=

ε

ε

=

ε

ε

=

ε

z

,

y

,

x

z

,

y

,

x

z

,

y

,

x

z z y y x x

(

)

(

)

(

)

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

γ

=

γ

γ

=

γ

γ

=

γ

z

,

y

,

x

z

,

y

,

x

z

,

y

,

x

yz yz xz xz xy xy

Deformações: notação indicial

Na notação indicial pode-se definir a

posição dos pontos após a deformação como:

(

x

₁

x

₂

x

₃

)

i i

ξ

,

,

ξ

=

=

i

ξ

Coordenadas Eulerianas

=

i

x

Coordenadas Lagrangianas ou inversamente por:

(

ξ

₁

,

ξ

₂

,

ξ

₃

)

i i

x

x

=

1

x

2

x

2

2

,

ξ

x

3

3

,

ξ

x

1

ξ

2

ξ

1

1

,

ξ

x

3

x

3

ξ

A

A*

Deformações: notação indicial

Como as coordenadas Eulerianas podem ser escritas em função de , suas diferenciais totais são:

i

ξ

3 2 1

x

x

x

,

,

j j i i i i i

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x

d

∂

∂

=

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

ξ

ξ

ξ

ξ

ξ

₂ 2 2 2 1 1

Analogamente, fazendo-se: , obtém-se:

x

_i

=

x

_i

(

ξ

₁

,

ξ

₂

,

ξ

₃

)

j j i i

d

x

dx

ξ

ξ

∂

∂

=

Deformações: notação indicial

O comprimento ds do segmento AB fica então:

i i

dx

dx

dx

dx

dx

ds

2

=

₁2

+

₂2

+

₃2

=

Na configuração deformada, temos analogamente:

i i

d

d

d

d

d

ds

*2

=

ξ

₁2

+

ξ

₂2

+

ξ

₃2

=

ξ

ξ

k j k i j i

dx

dx

x

x

ds

∂

∂

∂

∂

=

⇒

_*2

ξ

ξ

Deformações: notação indicial

Quantificando-se a variação de comprimento do segmento através da

diferença entre os quadrados dos segmentos, após e antes da deformação, tem-se:

é o TENSOR DEFORMAÇÃO DE GREEN, expresso em função das coordenadas

Lagrangianas

x

_i

{ {

4

3

42

1

k j jk k ik j ij dx dx dx i dx i k j k i j i

_dx

_dx

_dx

_dx

x

x

ds

ds

δ δ δ

ξ

ξ

₋

∂

∂

∂

∂

=

−

2 2 * k j jk k i j i

dx

dx

x

x

ds

ds

4

4 3

4

4 2

1

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

∂

∂

∂

∂

=

−

⇒

*2 2

ξ

ξ

δ

ij

2

ε

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

∂

∂

∂

∂

=

⇒

_jk k i j i ij

x

x

2

1

ξ

ξ

_δ

ε

[Eq. 1]

Relações Deformação – Deslocamento

Denominando-se de

u

_i as componentes do deslocamento de um ponto A, tem-se a seguinte relação entre as coordenadas:

i

i

i

x

u

=

ξ

−

1

x

2

x

2

2

,

ξ

x

1

1

,

ξ

x

1

ξ

2

ξ

2

u

1

u

A

A*

u

exprimindo também os deslocamentos em função das coordenadas Lagrangeanas, pode-se obter:

(

x

₁

,

x

₂

,

x

₃

)

u

u

_i

=

_i

{

ij j i j i j i

x

x

x

x

u

∂

∂

∂

−

∂

∂

=

∂

∂

⇒

ξ

ij j i j i

x

u

x

∂

+

∂

∂

=

∂

∂

⇒

ξ

[Eq. 2]

Relações Deformação – Deslocamento

Substituindo-se a Eq. 2 na Eq. 1, obtém-se a expressão do Tensor de Green em função dos deslocamentos:

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

∂

∂

=

⇒

_{kj ij} j k ki i k ij

x

u

x

u

2

1

_δ

_δ

_δ

ε

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

j k i k i j j i ij

x

u

x

u

x

u

x

u

2

1

ε

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

=

⇒

_{ki kj ij} j k ki kj i k j k i k ij

x

u

x

u

x

u

x

u

2

1

_δ

_δ

_δ

_δ

_δ

ε

Relações Deformação – Deslocamento

Simplificação para pequenas mudanças de configuração

Considerando a classe de problemas em que as derivadas dos deslocamentos em relação às coordenadas são muito pequenas em relação à unidade:

1

u

1

x

u

i k i k

<<

∂

∂

<<

∂

∂

ξ

,

(

i j j i

)

ij

u

u

2

1

, ,

+

=

ε

os termos quadráticos na equação do tensor deformação se tornam de ordem inferior em relação aos lineares, podendo ser desprezados. Além disso, passa a ser irrelevante que as derivadas dos deslocamentos sejam calculadas para um certo ponto na sua posição inicial ou final, não sendo necessário portanto se distinguir entre coordenadas Lagrangeanas e Eulerianas nas expressões das componentes da deformação. Tem-se assim:

Relações Deformação – Deslocamento

Lineares

Na notação algébrica usual:

...

,

,

...

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

xy xx 12 11 3 2 1 3 2 1

w

v

u

u

u

u

z

y

x

x

x

x

ε

ε

ε

ε

→

→

→

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

=

z

w

y

v

x

u

z y x

ε

ε

ε

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

=

yz yz xz xz xy xy

2

1

y

w

z

v

2

1

2

1

x

w

z

u

2

1

2

1

x

v

y

u

2

1

γ

ε

γ

ε

γ

ε

⇒

ε

_x é o alongamento relativo da projeção em

x

de um segmento elementar originalmente na direção

x

.

Relações Deformação – Deslocamento

(coordenadas cartesianas)

Sejam (A*), (B*), (C*) as projeções de A*, B*, C* no plano xy. Logo:

O deslocamento (de primeira ordem) na direção x do ponto B é igual a:

dx

x

u

u

∂

∂

+

devido ao aumento de

da função u com o aumento da coordenada x

dx

x

u

∂

∂

Relações Deformação - Deslocamento

Sejam (A*), (B*), (C*) as projeções de A*, B*, C* no plano xy. Logo:

( )( )

φ + = ∂ ∂ + + dx u A B cos x u u dx * *

( )( )

ψ + = ∂ ∂ + + dy v A C cos y v v dy * *

( )

*

( )

*

( )

* B Aˆ C − π = ψ + φ 2

( )( )

* * B A dx x v sen ∂ ∂ = φ

( )( )

* * C A dy y u sen ∂ ∂ = ψ

Relações Deformação - Deslocamento

⇒ Hipótese de pequenas mudanças de configuração;

⇒ Componentes de deformação consideradas muito pequenas em presença da unidade;

( )( )

(

)

( )( )

(

y

)

* * * * x * * * *

dy

C

A

C

A

dx

B

A

B

A

ε

+

=

≅

ε

+

=

≅

1

1

1

1

≅

ψ

ψ

≅

ψ

≅

φ

φ

≅

φ

cos

;

sen

cos

;

sen

( )

( )

( )

xy * * * * * * B Aˆ C B Aˆ C ≅ π − = γ − π 2 2

Relações Deformação - Deslocamento

⇒ Reescrevendo-se as equações, tem-se:

( )( )

(

)

x

u

1

dx

u

B

A

u

dx

x

u

u

dx

_{x x}

∂

∂

=

⇒

+

+

≅

+

=

∂

∂

+

+

* *

cos

φ

ε

ε

( )( )

(

)

y

v

1

dy

v

C

A

v

dy

y

v

v

dy

_{y y}

∂

∂

=

⇒

+

+

≅

+

=

∂

∂

+

+

* *

cos

ψ

ε

ε

( )

( )

( )

xy xy * * * B Aˆ C ≅ γ ⇒ φ+ψ = γ − π = ψ + φ 2

( )( )

(

)

x v dx dx x v B A dx x v sen x * * ∂ ∂ ≅ ε + ∂ ∂ ≅ ∂ ∂ = φ ≅ φ 1

( )( )

(

)

y u dy dy y u C A dy y u sen y * * ∂ ∂ ≅ ε + ∂ ∂ ≅ ∂ ∂ = ψ ≅ ψ 1 x v y u xy _∂ ∂ + ∂ ∂ = γ

⇒ Com as projeções nos outros dois planos cartesianos, são obtidas as demais expressões das

relações deformação-deslocamento.

Deformação linear numa direção qualquer

Na figura abaixo, um segmento elementar PQ de comprimento ds e direção s é representado na sua configuração inicial.

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

n

ds

dz

m

ds

dy

ds

dx

l

co-senos diretores:

Deformação linear numa direção qualquer

Após a deformação o segmento passa para a posição P*Q* de comprimento ds*. As projeções dos deslocamentos u_p e u_q sobre a direção s são dadas por:

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

n

ds

dz

m

ds

dy

ds

dx

l

co-senos diretores:

( )

u

_{s P}

=

u

_P

⋅

r

l

=

u

l

+

vm

+

wn

( ) ( )

ds

ds

du

u

u

_{s Q s P} s

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

Deformação linear numa direção qualquer

Considerando-se a hipótese de pequenas mudanças de configuração:

ds

du

ds

ds

u

ds

du

u

ds

ds

ds

ds

s _s s s s

=

−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

=

−

=

*

ε

Desenvolvendo a derivada direcional da função u na direção s....

Deformação linear numa direção qualquer

⇒ Na notação indicial temos:

ij

sj

si

s

ε

ε

=

_l

_l

A expressão nos dá a deformação linear em torno de um ponto em uma direção qualquer (definida pelos seus co-senos diretores) em função das deformações lineares segundo os eixos coordenados e das distorções nos planos

coordenados.

Vê-se assim que as deformações segundo três eixos coordenados são suficientes para definir o estado de deformação em torno de um ponto quaquer (assim como nas tensões).

mn

n

m

n

m

2

_z

2

_xy

_xz

_yz

y

2

x

s

ε

ε

ε

γ

γ

γ

ε

=

_l

+

+

+

_l

+

_l

+

Obtém-se finalmente:

Deformação linear numa direção qualquer

{ }

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ε

ε

ε

=

ε

⇒

n

m

zz zy zx yz yy yx xz xy xx z s y s x s s

l

( )

( )

( )

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

=

=

y

s

ds

dz

n

y

s

ds

dy

m

x

s

ds

dx

,

cos

,

cos

,

cos

l

co-senos diretores:

s

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

ε

ε

ε

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

ε

⇒

n

m

n

m

n

m

zz zy zx yz yy yx xz xy xx T z s y s x s T s

l

l

l

Deformação linear numa direção qualquer

Analogamente, pode-se demonstrar que a distorção entre duas direções

s e t pode ser colocada como:

(

)

(

_{s t s t}

)

_yz

(

_{s t s t}

)

xz t s t s xy t s z t s y t s x st

m

n

n

m

n

n

m

m

n

n

2

m

m

2

2

+

+

+

+

+

+

+

+

=

γ

γ

γ

ε

ε

ε

γ

l

l

l

l

l

l

⇒ Na notação indicial temos:

ij

tj

si

st

ε

Deformações Principais

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

⇒

z ' z z ' y z ' x y ' z y ' y y ' x x ' z x ' y x ' x zz zy zx yz yy yx xz xy xx z ' z y ' z x ' z z ' y y ' y x ' y z ' x y ' x x ' x ' z ' z ' y ' z ' x ' z ' z ' y ' y ' y ' x ' y ' z ' x ' y ' x ' x ' x

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

Pode-se mostrar pela análise das expressões anteriores de deformação linear e distorção segundo direções arbitrárias, ou pelas propriedades dos Tensores, que o Tensor deformação segundo três novas coordenadas

x’, y’, z’

pode ser

Deformações Principais

Tal como na análise de tensões, pode-se considerar por hipótese que num ponto de um sólido em estado de deformação existem três direções ortogonais

(principais) em relação às quais a distorção é nula.

As deformações lineares em tais direções são as deformações principais:

Pelas propriedades dos tensores, as três direções principais (ortogonais) correspondem à representação do tensor deformação segundo uma matriz diagonal.

Logo, as raízes da equação característica do tensor de deformações

correspondem às deformações principais, e seus coeficientes são denominados de invariantes do estado de deformação.

3 2 1

ε

ε

ε

,

,

(

)

3 2 1

ε

ε

ε

≥

≥

Deformações Principais

{ }

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ε ε ε ε ε ε ε ε ε = ε ⇒ n m zz zy zx yz yy yx xz xy xx e l

Seja a direção “e” uma direção onde há apenas deformações lineares, sem distorções:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

ε

ε

ε

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⇒

z ,' z y ,' z x ,' z z ,' y y ,' y x ,' y z ,' x y ,' x x ,' x zz zy zx yz yy yx xz xy xx e e e z ,' z y ,' z x ,' z z ,' y y ,' y x ,' y z ,' x y ,' x x ,' x

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

l

0

0

0

0

0

0

(

ε

_ij

−

ε

_e

I

)

R

=

0

Deformações Principais

(

ε

_ij

− I

ε

_e

)

=

0

det

0

e z zy zx yz e y yx xz xy e x

=

−

−

−

⇒

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

0

J

J

J

_{1 e}2 _{2 e 3} 3 e

−

+

−

=

⇒

ε

ε

ε

3 2 1 ii z y x 1

J

=

ε

+

ε

+

ε

=

ε

=

ε

+

ε

+

ε

3 2 3 1 2 1 z zy yz y z zx xz x y yx xy x 2

J

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

+

+

=

+

+

=

3 2 1 z zy zx yz y yx xz xy x 3

J

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

=

=

Deformações Principais: sólidos isotrópicos

Deformações Principais: sólidos isotrópicos

Deformações Principais: sólidos isotrópicos

Deformações Principais: sólidos isotrópicos

Rosetas de Deformações

(

x y

)

OB

xy

=

2

ε

−

ε

+

ε

Compatibilidade de Deformações

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

=

z

w

y

v

x

u

z y x

ε

ε

ε

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

=

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

=

yz yz xz xz xy xy

2

1

y

w

z

v

2

1

2

1

x

w

z

u

2

1

2

1

x

v

y

u

2

1

γ

ε

γ

ε

γ

ε

2 3 2 2

y

x

u

y

x

∂

∂

∂

=

∂

ε

∂

⇒

2 3 2 2

x

y

v

x

y

∂

∂

∂

=

∂

ε

∂

⇒

2 3 2 3 2

x

y

v

y

x

u

y

x

xy

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

=

∂

∂

γ

∂

⇒

0

2 2 2 2 2

=

∂

∂

γ

∂

−

∂

ε

∂

+

∂

ε

∂

⇒

y

x

x

y

xy y x

• é preciso garantir a integrabilidade das relações deformações-deslocamentos;

• obtenção de um campo de deslocamentos cinematicamente admissível, representado por funções contínuas e unívocas;

Compatibilidade de Deformações

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

∂

∂

γ

∂

−

∂

ε

∂

+

∂

ε

∂

=

∂

∂

γ

∂

−

∂

ε

∂

+

∂

ε

∂

=

∂

∂

γ

∂

−

∂

ε

∂

+

∂

ε

∂

0

z

y

y

z

0

z

x

x

z

0

y

x

x

y

yz 2 2 z 2 2 y 2 xz 2 2 z 2 2 x 2 xy 2 2 y 2 2 x 2

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

∂

γ

∂

−

∂

∂

γ

∂

+

∂

∂

γ

∂

=

∂

∂

ε

∂

∂

γ

∂

−

∂

∂

γ

∂

+

∂

∂

γ

∂

=

∂

∂

ε

∂

∂

γ

∂

−

∂

∂

γ

∂

+

∂

∂

γ

∂

=

∂

∂

ε

∂

2 xy 2 zy 2 zx 2 z 2 2 xz 2 yz 2 yx 2 y 2 2 yz 2 xy 2 xz 2 x 2

z

x

z

y

z

y

x

2

y

x

y

z

y

z

x

2

x

z

x

y

x

z

y

2

Equações de compatibilidade:

Bibliografia Complementar

z

Propriedades dos Tensores:

z

_{Reddy, J.N., “Energy Principles and Variationl Methods in}

Applied Mechanics”, John Wiley & Sonx, 2nd Ed., 2002

(Capítulo 2.3)

z

Deformações na notação indicial:

z

_{Taborda, L. F., “Elasticidade Não-linear”}

z

Círculo de Mohr

z

_{Beer Johnston, Resistência dos Materiais}

z

_{Riley, Mecânica dos Materiais}