UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO (O QS INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS DE O CARLOS. Angela Maria Sitta BRASIL. asão CARLOS - SÃO PAULO DIFERENCIÁVEIS"

(1)

XX

(O

QS INSTITUTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS DE

O

CARLOS

LC.M.8.C.

"SÍMBOLOS DE BOARDMAN PARA _q-UPLAS DE

APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS"

Angela Maria

Sitta

UNIVERSIDADE

DE

SÃO

_PAULO

aSÃo CARLOS _- SÃO PAULO

(2)

"SÍMBOLOS DE BOARDMAN PARA _q-UPLAS DE

APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS"

Angela Maria

Sttta

Orientador: Prof. Dr. Auster Ruzante

Dissertação apresentada ao

Instituto

de Ciências Matemáticas de São _Car

los,

da Universidade de São _Paulo,

para obtenção do

título

de "Mestre

em Matemática".

SÃO CARLOS

(3)

-me

A _meus pais,

Maria do Carmo e

(4)

BOARDMAN SYMBOLS FOR _q-TUPLE OF DIFFERENTIABLE APPLICATIONS

Angela Marta

Sitta

Adviser: _Prof. Dr. Auster Ruzante

ABSTRACT

The main _{purpose of}

this

work is _to _investigate _the

Boardman Symbols and _the Set of

_{Singularities}

defined for

qa-tuple of germs of

differentiable

applications, analysing the

extensions of the

results

and theorems _presented by (Gibson,

(5)

Agradecemos Sinceramente

AO Prof. Dr. Auster Ruzante que demonstrou sua _con

fiança orientando este trabalho, pela atenção e apoio em mo

mentos

difíceis.

Ao Prof. Dr. Wilson Mauricio Tadini, pela disponibi

lidade com _{que nos} atendeu e pelas valiosas sugestões _que

permitiram a concretização do _nosso trabalho.

Aos _colegas do I.C.M.S.C. _- USP, pela amizade e _in

centivo.

À _FAPESP, cujo

auxílio,

através de bolsas, possibi

litou

à realização dos _cursos de Pós-Graduação.

À todos _que _de _{alguma forma} colaboraram _na

realiza

ção deste trabalho.

A _Deus, _por tudo.

Este trabalho foi patrocinado,

parcialmente, pelas

Institui

ções: CNPq, FAPESP, FINEP.

(6)

CAPÍTULO T

veces

RNA

ea

ol I1.2 I1T.8 I1.4

IT.

PRELIMINARES

Fe

_aaa

AAA

Ace

ol

I.1 - Germes de _Aplicações _{Diferenciáveis}

O

_...212.0... 01

1.2 - Lema de Hadamard

ANA

AAA.

02

1.3 - Ação _{de Grupos} em Conjuntos _{...ccccceevceaaacaaac.} 02

1.4 - _{Grupos que} atuam sobre o Conjunto

ep

AAA

03

1.5 - K-Equivalência

CA

Acao

e...

05

1.6 = C-Equivalência _{..c.ll.v.c.AAAAAA}

ADA

_o6 T.7 -— BI-K-Equivaleência

..v...v....

Aa

AAA

o8

1.8 -— BI-C-Equivalência

«fc...

AAA

..

10

1.9 - Deformação e Desdobramento de um Germe

...c..c.o.

11

I.10- Deformação e Desdobramento de um Par de Germes

...12

I.11- Deformação e Desdobramento de uma-q-upla de Germes 12

I.12-

q-K-Equivalênceia ...l....v.AVAAAAAAAA.

CARA.

13

I.13- q-C-Equivalênceia

_...l..0..o

FA

NAO

|

_;

I.14- Conjuntos de _{Singularidades} de Ordem _Supertor e

Simbolos de Boardman

...

Fava

FRA.

20

I.16- Posição Geral

_...0.0o

Coca

AA

29

T.16- Aplicações Estáveis

_...

_1.2.2.2...

FARA.

30

IT.17- _{Equivalência} de Ideais

..clcvceaaaaaaaaaaa..

33

CAPÍTULO II _{.ncurcacaaeaaaeaAAAAAAAa}

AAA.

₃₄

IT.1

- Construção do Simbolo de Boardman _para uma q-upla de aplicaçoes diferenciaveis

..ciccv...

eau 34

Simbolos de Boardman _para uma q-upla de ideais

..38

Simbolos de Boardman _para uma q-upla de _germes

..40

. Tjs To

e...

q

!

Stngulartídades do _tipo E

(o

0000

tee...

..

60

q-uplas de Aplicações Geneêricas no Sentido de BOardman _{....ecc.c..V.AAAAAAAAAAAAo}

ecran.

65

(7)

II.6

IT.7

-I1I.8

-Postçaão Geral e Exemplos de Intersecções Transver

sais dos _Conjuntos de _{Stngulartidades}

....l..

cc...

Comparação entre os Simbolos de Boardman de _Pares

de Germes com os Simbolos de Boardman doe Pares

como Germes

...

Acao

eRcaaaRAecaRaao

Comportamento dos Simbolos de Boardman de um Par

de Desdobramento a r-parametros do Tipo (tt,

r-t)

do _Par de Germes

_(f,,

_ff.) e dos Simbolos de

Boardman do

Par

de Germes _{(Fa fal}

eee.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

...

Acao

66

73

78

(8)

INTRODUÇÃO

Através do _estudo dos Símbolos de Boardman _para um germe de aplicação CO, £: (Rº,0) + (RP,0)

edos

conjuntos

de _{singularidades} de ordem _superior _{para essas aplicações,} _de

finimos os simbolos de Boardman e conjunto de singularidades

7 Sao]

“a

para uma q-upla de germes de aplicações

dife

renciáveis e analisamos as extensões dos resultados e teore

mas apresentados _por [11 e verificamos se os mesmos são _ver

dadeiros para uma q-upla de _germes.

No capítulo

I,

damos as definições e teoremas bási

cos que serão

utilizados

nas aplicações.

Fazemos as generalizações, para uma q-upla de _ger

mes, dos conceitos e teoremas sobre BI-K-equivalência,

BI-C-equivalência, deformação e desdobramento de um _par de _ger

mes apresentados _{por [2].}

No capítulo

II,

em

IT.l,

fazemos _a construção do

símbolo de Boardman _para uma q-upla de germes de aplicações

diferenciáveis.

Em IT.2 e IT.3 definimos os simbolos de Boardman _pa

ra uma q-upla de ideais e _para uma q-upla de _germes, _respec

tivamente, calculamos alguns símbolos de Boardman _{para pares} de _germes e estabelecemos resultados a respeito dos simbolos,

todos provados. Em IIL.4, definimos os conjuntos de

singulari

JJ;!

Toi.

* * Jq

— *

para uma q-upla de _germes de

dades do _tipo Z

aplicações. Em IT.5, definimos q-uplas. de aplicações genéri

cas no sentido de Boardman. Em

II.6,

damos _{exemplos de}

inter

secções transversais de _conjuntos de _{singularidades.} Em II.7,

(9)

símbolos de Boardman _{desses pares} como _germes _e, em

II.8,

_a

nalisamos o _{comportamento dos} simbolos de Boardman de um des

dobramento a _{r-parâmetros} do _tipo

(t, r-t)

de um par de ger

mes e dos símbolos de Boardman desse par de _germes.

No

final

do _nosso _trabalho, encontramos questões

abertas a

respeito

da _{correlação entre} os símbolos de Board

man e O grau de determinação que pretendemos desenvolver

fu

turamente,

(10)

CAPITULO 1

PRELIMINARES

T.1 _- GERMES DE APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS CP

Definição:

Sejam S _e T subconjuntos não vazios

do Rº e RÉ, respectivamente, com S

finito.

Consideremos _F, = (e: Rº-+ RE, £

e:

: £ (S)

CT).

Em F., definimos

a

relação:

f,g

eF,

; fug se e somente se

existir

um aberto U do R” contendo S _,

tal

que:

_fly

=

Iu'

_Segue _{que "v" é} uma relação _de _equiva

lência em F,. Cada classe de equivalência será denominada

"germe de aplicação em S". Denotaremos _por £: (Rd, S)>(R, T).

Observações:

0,

Se S = (0) _e T = (0), _denotaremos £f: (RP, _o) > (RP, o) _e F = O « Portanto, eº = (£; (Rº o/v n,Pp n,P oO _— _— : : : =

€e

C”),

Se S =-(0),

p=

le

T=R,

denotaremos Fo/n *

e,

Se

10)

+(R,0);

f e

ja (Xyy Xp

,.0..,

X) um Sistema de coordenadas nas

vizinhan

ças de O e

Rº

e (y,"

OTERERS Yn) um sistema de coordenadas

nas vizinhanças de O _e RP,

Em nosso trabalho, trataremos do _ca

so em _que S = (0). _Denotaremos _por

e

_ou

M

_o ideal _de _E"

formado _por todos os germes de _aplicações

f:

(RO, O) + (R O)

'

oo ,

Mostra-se que _e, é umanel

local

e

que M, ê o seu único ideal maximal. Podemos mostrar, tambêm,

que eo ê um _E,

-

módulo e que, em relação aos sistemas

n,P

fixados, a aplicação £ _pode

ser

_dada _por _(£,,

£,

e...

_f,)

_,

n o

(11)

2

Logo, podemos

identificar

e

_p' com

,

o o

-ent

XE,

(p-fatores) e ver que este é um exemplo natu

ral

de um

ER

módulo com base

finita.

Notemos, em

particu

lar,

que

e

_, _p tem

estrutura

de espaço

vetorial real.

0,5. O ideal de _En" gerado pelas componentes

(f,.

E,

fo”

)

de £f:

R'>R

será denotado por I = < _fyo

É,

e...

_f£ > ou

”

= «<

fo

E, e...

Êo >

1.2 - LEMA DE HADAMARD

"Seja U _uma vizinhança convexa de

n ; " co

o

q

0eEeR _e _seja £f uma função Cc definida em _U x R' que se

Q q : = co q

anula em O e R*, Existem funções C _", ff,"

e...

É, em U x R*?,

tais

que:

f = _x) ff. + _x, ff

+...

+x ff".

Prova: ver [1] - pág. 100

7.3 - AÇÃO DE GRUPOS EM CONJUNTOS

1.3.1. Por uma ação de um _grupo G _num conjunto _M, _en

tendemos uma aplicação é : G x M > M, definida por:

(g, x) » _g.x,

tal

que para todo x e M; gq, h e G

satisfaz:

(1)

1x

= _x, onde 1 denota _a identidade de _G.

(ii)

(gh). x = _g. (hx).

Dada

esta

_ação, podemos

definir

uma

relação de _{equivalência}

""

em M: dizemos que _x + _y _quando

existir

um elemento _g e G para _o qual _y = g.x.

As classes de _{equivalências} são _cha

madas

órbitas

_pela ação de G em NM,

Dado x e M, a

órbita

por x ê, por

(12)

o conjunto:

Gx = (g.x,

ge

G).

1.3.2. Ação Cc

de

Grupos de Lie em Variedades ce”.

Definição:

Um _grupo de Lie é um _grupo G que é

oo ; À =

Sd

uma variedade C _, onde a multiplicação G _x (G>Geaã inver

- - ; > co

sao G _> G são aplicações C .,

- oo

Por uma _ação C de _um _{grupo de} Lie

G _numa variedade

ec,

_M, entendemos _uma ação $: G _x M _> _NM,

co com à Ee C _.

Proposição:

" A =

o

i

Seja dd: G _x M _> M uma _ação C de

um _grupo de Lie G _numa variedade _M, ec”. Então, todas as

órbitas

são _{subvariedades} imersas

Cº

de NM. Para qualquer

x E M, a aplicação natural

dx GQ > G.x,

do _{grupo na}

órbita,

definida _por: g » g.x é uma submersão",

Prova: ver [1] - pág. 74

1,4 - GRUPOS QUE ATUAM SOBRE O _CONJUNTO

2

p'

3

GRUPO C

Seja C = (H:

(Rx

RP, 0) > (RO _x

xRE, O) | H é germe de difeomorfismo em 0 e o diagrama (*)

comuta) x RE, O) (R', O) J"n

A

n (*)

(R,

A | (Rº

Li?

o)

DAS

: (Rº x RO, O)

(13)

4

onde H ₌ Identidade, pois H (x, 0) =

Hoi

(x) =

[Ro _x ₍₀₎

=i (x) = _{(x, O).}

Em relação à composição de funções,

C tem

estrutura

de grupo 7ratuando sobre

e

p' da seguinte maneira: Cx eº > eo n,P n,P (H, £) — H.f ₌

geo

(1, ff) =

(1,9).

Propriedades:

P.l.

He C H (Rº x (10)) €

Rx

(0) e H ((x) _x RP) Cc ix) x RP, P.2. HE C; f e€

e

np!

H.f = gq, então H (graf £) = graf _g _,

pois: H (x, £f (x)) =

Ho(1,f)

(x) = (1, gg) (x) = (x, g(x)).

GRUPO K

Seja K = f(H; (Rº _{x RE, 0)} > (Ro _x

xRE, 0) [| H é germe de diféomorfismo em 0 e

existe

h: (Rº,0)>

+

(R,

0)

tal

_que o _diagrama (*) comutal.

(Rº, 0) id

L(RxRP,

0) mn (RP, O)

(*)

É

h

n ; n Pp T n

(R,

O)

i

(R _x

R,

O) n

(R,

O)

Sendo H = _(Hj, _HE,), segue que:

H (x, 0) = Ho

i

(x) =

i

(h (x)) = (h (x), 0), com:

H, (x, 0)

=h

(x) e E, (x, 0) = O.

Temos,também, que H (x, _y) = (h(x),

HE, (x,

y)),

com H (x, y) = h (x), para (x, y) nas

vizi

nhanças de O _e

R

xR.

Portanto, h é univocamente determi

nado _por H _{e é} _{germe de} difeomorfismo nas vizinhanças de

(14)

5

K tem

estrutura

de grupo, em

rela

ção à composição de _funções, _atuando em

SA

da seguinte

maneira: K _x cº > eº n,P n,P (H, £) > H.f£ = géeilbo(1,f) o

n=

(1,9).

1.5 - K-EQUIVALÊNCIA Definição:

K- Equivalência (ou _{Equivalência} de

Contato) é um par (h, H) de

quais o seguinte diagrama é

(Rd,

0"

(Rx

(Rº, 0)

POR

x Observação:

i

é n inclusão it:

(R,

0) > (Rº _x ER _{x RE,} _da Devido à _{comutatividade} do

ma

anterior,

H é dado _por:

H (x, y) = Definição:

Dois germes f£, _g: (R

(h _(x), 9 (x, y))com 8 (x, O) =

germes

invertíveis

para os

comutativo. 'H h RP, 0)

mn

JQ(R,0O) o _germe em O e Rº da aplicação RP, 0) e _Tn ê o germe em O _E aplicação projeção Tt. (Rº x Ré, o)

-

(R,

0). diagra 0, nº o) + (RP, O) são _{K-equivalentes} quando

existir

uma K-equivalência (h, H)

para à qual oO diagrama:

n

1,

£f

(R,

09)

SD

h (Rd, o) (1, gq)

ça

tanino

(Rº

x

RP x

R,

O) H comuta,

isto

é:

(Rx

RE, O)

(15)

Ho (1,f) = (1,0) o h.

Assim, H leva o gráfico de f£ no grãá

n

fico de _g, com h: (RO, 0) >

(R,

O).

1.6 - C-EQUIVALÊNCIA

Definição:

C-Equivalência é uma

particular

K-Equivalência:

trata-se

de um par (h, HE) com h = 1

nº onde R

1h

é o _germe em O da aplicação identidade do _R

.

Neste

ca R

so, temos o seguinte _{diagrama comutativo:}

(R,

ÃO

A

com H (x, _y) = _(x, 8 (x, y))e 0 (x, ₀₎ ₌ _O, —RXTFZm P

7 R,

Definição: Dois germes £f, _g:

(R,

0) > (RÉ, o)

(16)

7

são _{C-equivalentes} _quando

existir

uma C-eguivalência (1, H)

para a qual o diagrama:

o

(R

xR,

0)

o

H comuta,

isto

&:

n , .

RO)

_TA

Lg)

(R

xRP, O)

Ho(l,

ff) = (1,60),

Portanto, H leva _o gráfico de f

no yráfico de _g.

' (x, g (x))

1 (Xx, E

(x)

x PR?

Consequência da definição de _germes _{C-equivalentes}

Dois germes

_f,

g são K-equivalentes

:

ds

; n

se e somente se

existir

um _germe

invertível

h: (R

,

_g O) _>

s(R,

0) _para o qual fo h e q são C-equivalentes.

Proposição:

"As _seguintes _{condições para} _germes

fegem

e

_p são _{equivalentes:}

, :

(1) f

_eg

são _{C-equivalentes.}

f

(iii)

Existe uma matriz

invertível

(UU.

(ii)

Os ideais I. e _IT. são iguais,

3)

1<

i,j<

p,com

:

.

RP

x "

(17)

Prova: ver [1], pág. 145

1.7 -— BI — K-EQUIVALÊNCIA

Definimos eº como sendo o

n,p + _q

conjunto de todos os _pares de _germes:

EE

o)

(RP, O) _'

ES

_(x,

o)

isto

é: eº = n,P + _q ((£.,1'

£)

"2 : (Rd,n 0) + (RP x

R,

0)) Definição: A Bi - K-equivalência é um par de germes

invertíveis

(h, H) _que torna _o diagrama abaixo, _comu

tativo.

n ; (RR,

O)—==(RºxR

xR,

0)

n5(R',

O) h

|

H

h

_com: À TT

(R,

O),

(R'xR

xR,0)

nN

(R',0)

H= (ho _Th _o, o _Tnp' _9, o

"no

sendo:

1 , n P q

ias

E.

:

Th.

o _germe em 0 _e R x R _x R da aplicação projeção :

To

(R

xRP x Rº, o) > (RO, o).

2.

i

o germe em 0 e R' da aplicação inclusão

i: (R,

0) >

HR

xRxRI,

O). 3. o, : (Rº _{x RE,} 0) > (RE, 0). 4. _6, :

(Rx

RI, 0) _> (R2, O). n Pp n , 5. _mp

PR

_xR x RI, 0) > (R _x R$, 0); (Tn, (x, y, z)= = _(x,

y)).

6. nm :

(Rx

RP

xR,

0)

>(R

xR

O); (mq

(o

Y,

2)

" .——Fa - N— —

(18)

Decorre, portanto, da _comutativida de do _{diagrama que:} H (x, y, 2) = (h (x), _0, (x, y), _{9, (x,} 2)) e 1 (x, 0) = 8. (x, O) = O, para todo x € RR. 9 2 Definição:

Os _pares de germes

_(E,

E).

_(g,.

n

92)?

(R,

0) > (RP x Rº, 0) são Bi - K-equivalentes quando

existir

uma Bi - K-equivalência (h, H) pará _a qual o _diagra

ma:

(Ro)

sff

(RR xRP

xR,

O)

|

h

É

=

(ho

_TR

o

_"np

_8,

º

_LR (Rº, o) (1197792) (RR xRPxRA, O) comuta,

isto

é: Ho (1,

fr

_E)

= _(1,

9

_9,7) _{o h}

b

)

(01

(ho

nm. 9, o

np"

8, O

nq

) (1,

ff,

f,) (x)= 19,719,)O h (x) (h _(x),

7

_(x,

£

)),

_{0,(x,£,(x))=(h(x),}

_{9,0 h(x),g50 h(x))} o, (1, £]) = _9%

oh

e

(19)

10 Geometricamente: H (x,£ (x) ,£

_260);

—————— : => ;

RP

eee aleavo 1.8 - BI _- C-EQUIVALÊNCIA

Definimos uma

particular

Bi - K-e

quivalência:

trata-se

de um par (h, ÉH) com h = 1 _nº sendo

R

l1

,

O germe em O da aplicação identidade do Rº.

R

Neste caso, o diagrama

plifica-se

e temos a Bi - C-requivalência.

(Rº _x RE _{x R$,} _O _x n

HO

H

TA.

n

(Rº, o)

PA

(R,

O) com:

TD

x Ri, o) Tt H = _(mo o. o _"np 1868

ot

)

Definição:

Dizemos _{que os} _pares de germes

_(£,

1£2), (97) 92): (Rº10) > (RP x R',q O) são Bi -

(20)

11

tes quando

existir

uma Bi - C-equivalência _(1, H) _para _a

qual o diagrama co)

(RxRP

xR,

O)

UEL

2 Í n !

(R,

o

H _comuta,

isto

é:

IX.

d

o

TA

₂₎ _{> (Rº} x RP x R$, o) Ho L1,£71£,) = _1,9719,) Proposição:

"Os pares de germes

(f,,

£,):

(9.

92): (Rº, 0) > (RP x Rd, 0) são Bi - C-equivalentes se e

somente se Te = 1 e

”

= 1 ",

1

9

2 92

Proposição:

"Os _pares de _germes f = _(£,, _£,) _e

ga (9,

92): (RO, 0) > (RP x Rº, 0) são Bi -

K-equivalen-tes

se e somente se

existir

um _{germe de} di feomorfismo h: (Rº,0)>

*(R,

0) _para o qual f e

go

h são Bi _{- C-equivalentes".}

T.9 - DEFORMAÇÃO E DESDOBRAMENTO DE UM GERME

Definição:

| Uma deformação à

r-

parâmetros de

n _-

r

n

£o'

(R,

0) > (RP, 0) é um _germe f£f: _(R "x

R,

0) > (RP, o)

(21)

12

n

-n -“< r

r-

parâmetros é o _germe F: (R x

R,

0)

-

(RÉ x RP, 0) _da

do _por F _(u, x) = (u, £ (ur,

x)).

1.10

- DEFORMAÇÃO E DESDOBRAMENTO DE UM PAR DE GERMES

Definição:

Uma _deformação _a r-parâmetros

*—

um par de _germes (f£f £o2)'

(R,

0) > (RP x Rº, 0) ê de_um

o1'

par de _germes

Er

_E):

(Rº x Ro, 0)

-

(RP x Rº, 0)

&— com

(E.

É.) (0, x) =

(E

E

₇₎ (x), sendo u = _(uy

_e...

u

Je

x.a=

(x,

e...

_x.) os sistemas de coordenadas em torno da

; r

origem de R _e Ro, respectivamente.

Definição:

Um desdobramento a r-parâmetros do

tipo (s,

r-s)

de um par de _germes

(Ef

_£92)!

(R,

o) > + (RP _x Rº, 0) é um par de _germes (Fo

F,):

(Rº x Rº, 0) >

P rs q

s r

+ (R _x R

xR

x R*, 0) _com:

1 s+1"'

r

(0, x) =

É,

_(x); _É, _(0, x) = _£6>2 (x).

(Fy" F,) (u, x) = (uu.

....

no

f (u, x), u

e...

nu 1

1 £₂ (u,

x))

e £

l

IT.11 - DEFORMAÇÃO E DESDOBRAMENTO DE UMA _q-UPLA DE GERMES

Definição:

Uma deformação a r-parâmetros de

n P1

uma q-upla de _germes (£f f £. )t _{(RR, 0)} _{> (R} “x

01' “02º **** “oq

P, P

:

x

Rx...

xR$,O0o) _é uma q-upla de _germes:

' _P _P _P

(£,'

f,

e...

E)

: (RÉ x RO, 0) > (R 1 _x R 2

x...

_x R$ 1

f ) (x).

1 0) com

(E,

f £f) (0, x) = (£f

nato

Eq

q

27 999 01”

Definição:

Um desdobramento a r-parâmetros do

q-1

tipo

_(s.,

s_2' _..e... s

rl-

x _Ss.) de uma q-upla

de

q-1"'

(22)

13 P. P

n

0) > (R 1 _x R XK

a.

X germes (£f f £. ) _: (R 01º “02” **CC _Co P

x

...

x R 4, _{0) é} _uma g-upla de germes: _:

S P Ss P r _x

_R,

_{0) > (R} 1 x R 1 _x R 2 _x R 2 _x (F,, F_2'

_e...

FO): (R q S P

ro

P

x...

xR9$97lxRI"lve

₌₇ +

xR,

0), _com:

(F,, Fyo

e... FZ

(u, x)

7

sa..j _q. ,

f,

(u, x), 4. ₊

199

1 1 W E '

_"s,

_+s,'

É, (U, x),

1 _"s,

_FS,

_to..

_+s

a

+17

++

U-, Q ' £q (uy, x)) e E. (0, x) ! Hmh_oj x _Fº JA uu _IA OQ T. 12 _- _q _- K-EQUIVALÊNCIA A _q - K-equivalência é um _par (h,

18) de germes invertiíveis _que torna o _diagrama, abaixo, _co

mutativo. : i n P, P T. n : y 0) —

s(R'xR*

x...

xR,

0

DP

s(R,

O)

V

H

|»

i p

Yv

P T_n , (Rd, 9)

——>(RxR

x...

xR$,

0)——(Rº, O) com: = _e... _o sendo: H (h o _TO _o, _o

"np

,

q

_"np

'

P, P

Tt, O germe em

0OeRxR

x

...

x R À da aplicação proje

P P

ção _mi:

(Rx

RO

x...

RO, 0) > (R%,0).

i

o germe em O «e Rº da aplicação inclusão

i:

(RO, o) +

— P P +

(RX

R

lx

cexR

4, o). n

P

P1 o, : (R x R *, 0) > (R , O) P P n 2 2 07: (R x

R“º,0)

> (R”“, O)

o

?

ot

(R _x

R$,

0) > (R$, O) P P P n npy

(Rx

R 1 _x

...

R$,

0) >(R

xR

1

o) —P n

P

P 2

(23)

14

t

í

n

P

P n P

T : (R x R XxX

...

XxX R

q

0) — (R x R q, o)

Decorre da comutatividade do

_dia

grama que: H (x, _Yo _Ya

ee

_Yq) = (h(x), _9. (x,

Yo

8, (x, _Ya)" 2, O. (x )) e

'*q

UÚ *q 6, (x, 60) = _{0, (x,} 0)

=...

₌

º.

(x, 0) = 0, para todo x

eR.

Definição:

Dizemos _{que as} _q-uplas de _germes:

P P

(E,

E,

e

fd

(9,

Io"

e

IG

(Rº, 0) + (R

lxR

AA_AX

P

xXxR

q

0) são q - K-equivalentes se

existir

uma q - K-equi

valência (h, H) _para _a qual o _diagrama:

LE

_E)

P P (RO, )

e

Ia

(RxR"

_x

...

_x

R$,

o) *) h — (

|

H=(h _{o mn}

o

np”

oo

_"ne, LG,

r../g)

P P (Rº, o)

NT

(RxXxR

x...

xR$

o)

———>——

A

rs

comuta,

isto

é:

Ho,

fi,

£2:

e...

£)

= _(1, _Gar _To

IL)

oh

(h o _UP, 8 _o TF 1 8 O T 1, c.s.,

q

O "nPpZ (1,3 11É, o ' _L o,

ef

(x) =

19719219)

o h (x) L (h (x), 0, (x, £f (x))

o,

(x, £

l

1 2 (Xx)),

...,

% (x,

£

Co)

=(h(h (x), _, h

ros

h (x)) 9, o (x) _9% o x

b

o, (1, £,)

=g, oh

(24)

15

Consequências:

C.l. Se _as q-uplas de _{germes (£f,,}

_Er

ce

_E)

e _(9,19, ,

1

Io) forem q - k-equivalentes então

£

es,

são K-e

quivalentes via (h, (h o _TR

9)»,

1< _i<qg.

Prova:

Pela definição

_(E,

_e...

E)

e

(9,

_e...

_Io) são q - K-equivalentes via (h, (h o _To

o.

o

np,

ia

o

_Tap.)

e temos: 7

9, (1,

£)

=9%o h,

...,

q

(1,

E)

=

q

o h

Assim, os diagramas sucessivos àa

baixo comutam,

isto

é:

P

wo

O

É)

_(RxRb,O)

:

|

h

|

(ho

_TR" _0.)

P

(Rº, O)

1,

97)

(RxRI,Oo)

Segue da comutatividade do diagra.

ma (*) _que: (h o _TR _9.) o (1, _£,) (x) = (h (x),

9

_(x,

_f,

(x))) = = (h (x), _gq, Oh (x)) = (1, _9,)

oh

(x). -— . P

nº,

o)

Of

(Rx

RO)

h

|

o _Ty

9)

P o)

As

(RR _x RO, 0)

(25)

16

e temos:

(h o _TR

4

(1,

_E)

(x) = (h

0),

q

_(x,

_f,

(x)

E

=(h(h (x)

oh

(x)) = (1 Jonh (x).

"q

1

q

Da comutatividade dos q-diagra mas acima, concluímos que

f.

es

são K-equivalentes , 1

<i<q.

C.2,. Se _as _q-uplas de germes

_(E,

E,

_e...

_E)

e _(g,. _So"

Fo

7)

forem q - K-equivalentes, então os germes

(£,,

_e...

Ez) e (91,

e...

_Iq) são K-equivalentes.

Prova

Como _as q-uplas de _{germes (E,} ,

np

1)

E)

e _(9,1,

_e...

_IL) são q - K-equivalentes, existe uma q - K-equivalência (h, H), com H =

(ho

_{Tn o, om}

o

|

:

!

q

np),

ou

seja:

H (x, _Yqo

ce

_Yq) = (h (x), o, (x,

1

Yo

...;.r

ox

x, Ya)

Logo Os _germes

(E,

e...

E

e

(g,"

e...

Iq) são K-equivalentes via a K-equivalência (h,

,

HA) com:

H _(x,

_Yi

....

_Yq) = _(h (x) _, o (x, _Yo

....

_Yq) _e

o (x, Yyo

...

Yq) = (o, (x, Yao ....r

”

(x,

Y

>

1.18 = _q — C-EQUIVALÊNCIA

Definimos, _agora, uma

particular

q - K-equivalência:

trata-se

do _{par (h,} H) _con h = 1

_no"

Roo

sendo 1

n O germe em O da aplicação identidade do RR. Nes

R

te caso, o _diagrama

inicial

simplifica-se _e temos à q

(26)

(Rº _x R

LAO

o)

CT

, R n

(R,

OZ R 1 X

...

X R 1,0) com H ₌ (no _o, o "np, '

e...

q

o

np

).

Definição:

Dizemos _que _às _q-uplas de _germes:

P P

(fio

É,"

_....,

_{Ez" (91} _Ia"

e... 94)

(R _, o) > (R 1 _x R 2 _x

P

XxX

...

XxX R

q

0) são q - C-equivalentes se

existir

uma

q - C-equivalência (1, H) _para _a qual o diagrama:

comuta,isto é:

Ho (1,

_yo

_a...

_E)

= _(1, _ES

....

gg).

Observação:

Como em C.2., se as q-uplas de _ger

mes

_(E,

e...

_E)

e

(9,

_e...

_I4) forem q - C-equivalentes

então _{os germes}

(E

_e...

_E)

e

(9,

e

₉₂₎ são _C-equiva

lentes.

Proposição:

"As q-uplas _{de germes} _(£,,

_e..,

É),

n

P

Pz P ?

lee

I2) : (Rº, O) >(R* x Rº x

...x

R$,

0) são

q-C-equivalentes se e somente

sele

*7

Tg 1 1

<i<aq",

(27)

18

Prova

(=>)

Por hipótese, as q-uplas de _germes

(E.

e...

£)

e

(9,

_e...

₉₄₎ são q - C-equivalentes e ,

portanto, são válidas as igualdades:

O, (1,

£)

=

gr

ee

% (1,

£)

=

ge

ainda, (1, (mm =

1

, 0,))», 1

<i

<q

são C-requivalências. Segue que, £,

es

são _{C-equivalentes,} 1 _<

i

_< _q. Portanto, I = TI

,1<i<q.

ff,

NT,

(€&) Por hipótese, TI

a

ff

< q. Logo, _{existem C-equivalências} (1,

Hs

1

<i<q,

_pa

5l1<i

<

ra as quais os q-diagramas, abaixo, comutam:

(R,

n O)

cita

|

i=)l,

e...

aq

o, o (L,

£)

=

9,

1<i<q.

Mostremos _que _às _q-uplas de germes

(E,

e...

E)

e

(g,

e.

_I4) são q - _{C-equivalentes} via

à q - C-equivalência (1, _(mo o om

1.2,

O OT

)).

1 _nP7 _q _nPq

De fato:

(m'

Oo

_np)

_e...

% o

PQ

(1,

fr

e

£)

=

(1,0

(18),

poe

aee

4

(1,

E)

= _(1, _Tyr

_eee

_Io

_e, _como _conse

(28)

P, P (Rº _x R XK ... X R

q

o) | o (R*, o) (Tn

A

Oo

"np

'

e.O

TT n P, P (R _x R _x

...

_x

R$,

0)

Portanto, as q-uplas de germes (£,

,

e.

£)

e (g,.

e...

IL) são q - C-equivalentes.

Proposição:

"As _q-uplas de germes £

=

(fj,.i.,

P _P>

nO)

_+(R

xRºx

,

£

egs=

(g1.

e..;

Io

(£, g): (R

P

K

...

X R q, 0) são _q - K-equivalentes se e somente se e

—

n

xistir

um _germe de difeomorfismo h:; (R _, O)

-

(R,

0),

tal

que f

egoh

são q - C-equivalentes",..

Prova:

(=)

Como f e gq são q - K-equivalentes,

existe

uma _q - k-equivalência

(h,

H) para _a

qual

H _o

(1

_,

,

fo

e.

£)

₇ (1, _Far

ee

IJ) Oo h. Mostremos que

(E,

poe

E)

e _(g, o

)

_-...

q

o _h) são q

-

Crequivalentes

2 SS - 2 o ₅ _DP

via (1, HE), com H = (h 1 x 1871 XK e... X

--

4) o H. Temos:

HO,

_fo

ce

EQ

Cm

o

o _Tnpyr

_io

AR o

Tine

(29)

P P

Eq

(RXxXR

ix...

xRO)

QE!

H

(R,

O) (1 ,;

no,

P

.

Fo

(R xR

x...

_x R _, 0) comuta.

(E)

Por _hipótese,

_{(E. e...}

_E) e _(g,ºo

Oh,

...,

q

o h) são q - C-equivalentes. Seja (1, H) com H= = _{(mo %} o

“np!

e...

q

o "npg a q - C-equivalência en

tre

essas q-uplas de _germes, _{Portanto, 0,} (1, _E) = _sq oh,

1

1<i<q.

Mostremos que f e gq são q - K-equi

valentes via (h, H) com H=

(ho

_TR _o, O

"npy' e.

q

o ºTnp ) q Temos: H (1, _fio _err

E)

= _(h o _{Th 0,} o "npy'

e...

q

Oo

np)

(1, ,

2

1)

o.

= (h, SA (1, £,) , ....,r

q

(1,

E)

= (h ,

1 9, Oh,

...,

q

oh)

= (ll, CONRANRN,

4)

oheo

diagra ma: P P (R”, o)

(1,fp,...,f

) => (RP xR*t x x

RI,

o) h

É

(1,9.,/.../19))₁ _q P P n (R*, O) _{———————=>}

(Rx

_R 2 XK

...

X R

q

0) comuta.

T.14 - CONJUNTOS DE SINGULARIDADES DE ORDEM SUPERIOR E _SIM

(30)

21

Definição:

oo

Dada £f: (Rº, ₀₎ > (RÉ, 0), CC

, se

ja

Is

<

fy

e...

_£, > _um ideal próprio _em

2

Conside

remos (xy,

_e...

x.) um sistema de coordenadas em O _e Rº e

seja s _> _1, um número

inteiro,

Definimos _à, I como sendo

o ideal I +

I',

sendo

I'

o ideal _gerado _por _todos os meno

res s x s da _{matriz jacobiana:} 3

f.

onde _£, e TI.

o)

-i

Para:

S=

0, define-se À

o

I=TI,

Teorema:

"O ideal _A,

I,

assim definido, não depende da escolha do sistema de _geradores do ideal LI, _nem

do _sistema de coordenadas _{considerado",} Prova: ver [1] - pág. 178.

Temos _que _à,

I=T,quandos

>n.

São válidas _as _inclusões de

ideais:

I€CA IICA

IS...

CT_TA TT (*)

— n

-

n

-l

-

= 1

Adotaremos a notação:

A

Is

_Anes+l

Ie

1.

2

; n

nos

referimos

a À LT, À _LI,

...,

À TI como sendo às Exten

=

sões Jacobianas Sucessivas do ideal I., Devido à _sequência de inclusões (*), temos:

O

2

I=A 1CAtICA

1 CC...

EAN,

(**),

jo

Dizemos _que o ideal I

serã,

_pr

prio quando TI FÉ

E

Suponhamos que I seja próprio. A

1

extensão jacobiana

crítica

de I será o último

ideal

A

*

IT

(31)

22

à, à,

extensão jacobiana

crítica

À A I e assim, sucessivamen

à

te.

Desta forma, obteremos uma sequência crescente A 2

I,

i

_i

|

a?

IT,

...

de extensões jacobianas

críticas

sSucessi vas de I e diremós que I tem símbolo de Boardman

(ig

i,

,

1

ee).

Definição:

EXTENSÕES JACOBIANAS DE IDEAIS

Sejam K _um corpo, e A, = K

[6

_,

,

1x)

o conjunto das

séries

formais com indetermi nadas _Não

_eee

_x. e coeficientes no corpo K,.

Portanto, se _a é um elemento de _Ay

então ele se expressa por:

= a, +

+a

e

FA

+...

a

_à,

_a,

_à,

+ +

_a,

_, onde

à,

é um elemento de K. n

a,

= E _Ss.

x.

à,

=

Si

x.

x

etc,

i=l _i<j

POSTO (rank) DE UM IDEAL I _C _A, Definição:

Seja I 5”

à,

rank I = _dim ((I1I + MO)

/

MO = _número _de elementos

de

com .partes

lineares

linearmente independentes.

(Os elementos com partes lineares

linearmente independentes de

_I,

não _{necessariamente} _geram

I).

Teorema:

(32)

23

r=

rank I se e somente se a extensão

crítica

de 1 é o

" ideal _dn47 I". Notação: é I = _dr47 IT. Prova: Temos:

i

d T=

Ani

o ₂ _To A

I=I1=

_dn +1 I 1 À I1=

à,

I 2

red

E

t 1

- São válidas as inclusões:

ea. CC CA. CQC... Cc

n+1

IC

A.

IC

dn

I A. TI LM. En

( =>)

Por hipótese, r = rank T.

Suponhamos que

2 _e...

f.

Ee

Ital

que

fo

£,' e...

f.

sejam

L.I.,

sendo

fo ...,

É_r as par

tes lineares de

2 _e...

fo

_{respectivamente,}

= +

NS

AS

E

f,

a,

x.

às,

x, + _£, + ₀₍₂₎

f,

=

à,

_x. +

_à,,

_X, + _ee

toe.

E

f,

+ 0(2)

= _e.

eve

É + !

(33)

24

Sendo £_1º

...;

_£,

P-T-, segue que

em B, existe um menor r x

r,

cujo elemento é

unitário.

En

tão À

I=ec.

Portanto, À I será a extensão

crítica

de

r n r+l

|

ICM,

I,

pois dr₄₁ _n

( <<)

Por _hipótese: 5 ₁ ₌ _dn47 I

A

Ie

gIC

no?

rank I _<

r.

Suponhamos que rank I <

r-l.

Como rank 1 _< r=1 =

A

* En.

A extensão

crítica

de I é O ideal

à

I,

para algum o _< rr,

o _que é absurdo.

Portanto, rank I =

r.

CORANK DE UM IDEAL I C M. Definição:

Seja I C M,* Definimos corank de

I,

como sendo o número n - rank TI. Notação: corank I = _n - rank T,.

SÍMBOLO DE BOARDMAN DE UM _IDEAL I C _M, Definição:

Seja

I

CM

.

Definimos como Símbo

(34)

25

1

...),

onde

i,

= corank [L, ii, = corank &

1,

À, = corank

5º _Ip

_ee.

_ty = corank 8º”! IL. Observação:

As duas _definições _apresentadas _so

bre símbolos de Boardman de um ideal são equivalentes: _se

ja

IC

_M,

Suponhamos que I seja próprio e _que à extensão

1

l

jacobiana

crítica

de 1 seja Oo ideal A IT. Então, o primei

ro índice do símbolo de Boardman de I é

_ij.

Observe _que:

Is

_{nei +l}

IP

rank

Is

n -

io

Portanto,

_i,

=

n-

rank

II

_ti, =

corank TI.

Observação análoga é válida _para

os demais Índices dos símbolos de Boardman do ideal

[.

Definição:

O Símbolo de Boardman de _um _germe

n PP _-

e

-£f:

(R,0)

+

(R,

0) _é definido como sendo o Símbolo de

Boarâman do ideal _Tr gerado pelas componentes _(£,. e... ,

;

f)

_P de £.

Teorema:

"O Símbolo de Boardman de um _germe:

n P

:(R

_,

0) >

(R,

0) é invariante _por _{K-equivalência,}

isto

_é,

se dois germes forem K-equivalentes então terão

o

mesmo

simbolo de Boardman",

Prova:

(35)

26

f = _(Ex

É,

_e...

_Ep)

e

g = ₍₉₁ _Tao"

....

9)

Etapa 1

Suponhamos que os germes É _e _q _se

jam C-equivalentes. Então) Te = To (ver Proposição - Pag.

7).

Pelo Teorema _(pág.2l _), _os símbolos de Boardman dos

germes f e g coincidem.

Etapa 2

Por hipótese, os germes f

eg

são

a Ed . . ó n

K-equivalentes, Então,

existe

germe

invertivel

h:

(R,

0)-> (Rº, 0)

tal

_que f

oh

e g são C-equivalentes (ver pág .

).

Pela etapa 1, temos:

As _componentes _(hj, _ha,

_e...

h

)

de

h constituem um sistema de coordenadas em O € RR.

Logo, Oo ideal gerado pelos meno

res s x S$ da matriz jacobiana de g relativamente ao

siste

n.

;

ma de coordenadas (Xi, Ny

ce

x)

em 0 _e R _é _equivalen

te ao ideal gerado pelos menores s x s da matriz jacobia

na de £f em relação ao sistema de coordenadas (hy' ha:

e...

; h.) em 0 e

R,

Segue que É e g têm o mesmo símbolo de

Boardman. Teorema:

"Os primeiros

k-inteiros

do símbo

n P ;

(36)

27

mente do

k-jato

de

£", Prova: ver [1] - pág. 181.

Oo objetivo é obter

partições, for

madas _{pelos conjuntos} _de _{singularidades} _de _ordem _k, _no _es

paço dos jatos 3º (n, p). Dados

k-inteiros do

_Lar

ce

_is

dizemos que um _germe £f:

(R,

o) > (RX, O) apresenta singu

do

irei,

laridade do _tipo Z " quando seu símbolo de Board

man for igual à _(i1,

i,, ...,

if).

ia

io

....

À

Definimos » _como _sen

dó o _subconjunto do _espaço de _jatos 3º _(n,p), formado pe

los

_jatos

que têm como representantes germes do _tipo 3

1a

/ eos 7, ài

1 '

|

k

Pelo Teorema

anterior,

este _conjunto

está

bem

definido.

Teorema:

i

|

1 DD

a...

"Para que o conjunto E *!'

k

E

k .

|

.

. -” ” .

|

a :

CJ (n, p) _seja não vazio é necessário e

suficiente

_que as

seguintes condições estejam

satisfeitas:

(i) n _> _ip, _{2 1)}

2...

_> _di

20.

(11)

i,

_>

np.

(1il) Se

i,

=

n-pentão

i,

=

i,

=

,...=i,

Próva: ver [1]

_-

pág. 183.

Segue, como consequência desse _Teo

À

-. k

o. - '

rema, que a _partição de _J (n, p) em subconjuntos, não _va

ipresrin

zios, 3 ê

finita.

Teorema

(37)

28

:

- , co k

tão este subconjunto serã uma subvariedade C de J (n,p)

de codimensão: _(P

-n+

_ii)

u (do

e...

_in) - (3)

--i)U (iz,

ee.

ii)

-

er

li,

-

_ii)

u ₍₁₇₎ onde H

(iz,

e.

,

ij)

denota Oo número de sequências

(dj

eee ix) de

intei

ros que satisfazem as seguintes condições: >

(1) _3, _> _dz

2 23d?

(ii)

_ii

2 _js para todo 1

<s

<ke

_3d, > O".

-Prova: ver [1] - pág. 185.

|

Apos

dh

Os conjuntos £Z sao cha

mados _{subvariedades} de Boardman de 3º (n, _p).

Segue do Lema _de _{Transversalidade}

de Thom (ver [1], _Cáp.

II,

$ 4) _que o conjunto de todas as

; ” oo n P ;

Ke

aplicaçoes C

f:

R >

R,

_para as quais _{j f} é transversal

i ,

....

i

a todas as subvariedades de Boardman EL

.

k ê denso

co P

em CO (RR,

R).

Definição;

. - oo

Dizemos _que uma aplicaçao C _, f£f£:

1

x

n Po.

o

; ;

: R + R éê genérica no sentido de Boardman se ₃ £ for

iv

....

ài.

transversal a todas as subvariedades de Boardman 3

para todo

inteiro

k > 1. Para

tais

aplicações, O _con

o

....

the

k

-l

ie

e..,r

+

junto 3 f = (3" £) _(Z ) será _uma

n _- Lao

e...

tx

subvariedade do R de _mesma codimensão que £Z

.

Boardman _{mostrou que:}

n P _soa

"Se

f:

R > R for genêrica no _sen

tido de Boardman _então:

i

7, e.g, L

À

,

e...

i

pl

K'

kl

go

[ae

e?)

Ke).

(38)

29

à

i.,i

iii

slrçaor!t

2emrt

2

go.

Teorema:

|

. r r

Seja Ft: (R _{x Ro, 0)} > (R x RE, 0) um desdobramento a r-parâmetros do germe £:

(R,

0) + + (RP, 0). _{Então, f} _e F têm o mesmo símbolo de Boardman .

Portanto, os símbolos de Boardman

são _invariantes _por _{desdobramentos.}

Prova: ver [1] - pág. 188.

IT.15 _- POSIÇÃO GERAL

Definição:

Sejam H

q

2

subespaços de um

espaço

vetorial

V, Dizemos

_que

_Hu

_e...

_{n. estão} em posi

ção

_geral

se para toda sequência de

inteiros

_dio

_eee

i,

com 1 _<

i,

£S

...

Si

<Ti codim

FA

ea.

Ns,

) ₌ _codi _(5, ) ₊

s

1

+

...

+ codim _(A. ).

NS Ss

Observação:

No caso

r

= _2, _temos _que, H, e _H

estão

em posição geral se _e somente se HE, + 4, = V,

Suponhamos dim V = _n.

dim _(E, + _H,) = _{dim H,} + _{dim H,} - dim _(E, A HE.) =n->»- (co

dim _E, *+ codim H, - codim (H,

NE,

Portanto,

dim

_$:

+ _H,) _n _se _e _somente _se _{codim (E,} _{O H,)} _codim _H,

-- e

(39)

30

Definição:

Sejam Y _Y. subvariedades de

7 e...

uma variedade Y.

Diremos que Y_71º

e...

_Y. estão em posição geral se _Y, M) ...MN

Y,=Z

ouse

para todo _{q e}

YO...

fo

Xe Tq

Ye

2

“TT Y- estiverem em posição geral sendo que

Ta

r.

são Os espaços tangentes a Y. no ponto q, 1

<i<

r e Tq

Yêo

espaço tangente à Y _em q.

Observação t

Se tivermos duas subvariedades Y,

er,

de Y, então v,

eY,

estarão em posição geral se:

TX,

+tT

"TT

Y

aenNY

2*

Portanto, dizer que duas subvarie

dades estão em posição geral é equivalente _a dizer _que

e

las se interceptam transversalmente,

Teorema:

Se _Yyo

_e...

_Y. forem subvariedades

de uma variedade Y e estiverem _em posição geral em _um _pon to q, então em uma vizinhança desse ponto, essas subvarie

dades poderão

_ser,

simultaneamente,

linearizadas.

Prova: ver [3], Lema 3.10, _pág. 85.

T.16 - APLICAÇÕES ESTÁVEIS

Definição;

sejam

_£,,

É£,: Rº + RP aplicações

co = ; + ds ;

C _. Dizemos _que

f,

_e f£f, São equivalentes se

existirem

di

(40)

31

a —n n P P ;

feomorfismos gq: R + R

eh:

R +R

paraos

quais O se guinte diagrama é _comutativo,

AS

P

Ow

"Uma aplicação £: RUC R _,

co,

.

_ê

estável se

existir

um número real e > O

tal

que para toda

, - n P OO

aplicação gq: R > R,C _, numa ce-vizinhança de £, na topo

logia de Whitney, for equivalente a f£".

Teorema:

"

_Toda _aplicação

DA

_estável- _£: _R

n

_> _RP k .

ê _genérica no sentido de Boardman,

isto

é, j

fé

_transver

S

iirecerin

:

sal a todas as subvariedades de Boardman £Z

1

para.

todo

_inteiro

k _> 1",

Prova: ver [1] , pág. 206. Observação:

À n s =

-Seja f:;: R > Rº _uma aplicaçao

estã

vel. Então, o germe de £, considerado em qualquer ponto &

estável.

Singularidades de _Aplicações Estáveis (ver [1] -

págs.207--214).

2

- - : _:

(1) _Seja f:;: R

-

Rº aplicação

estável.

O _germe dessa

apli

cação, em qualquer ponto,

é

equivalente a um dos modelos:

5"

(41)

32

7%

gt

(dobra) 2 $2 = *z

7

X,

gt

10

_(cúspide) 3 Y2

7X

FX

*%

Esses resultados foram obtidos por

H. _Whitney.

: :

3 _: _i

(ii)

Seja £f: Rº _* R aplicação

estável.

O _germe dessa

apli

cação, em qualquer ponto, é equivalente _a um dos modelos:

” Y = _x. o E í Y2 = *> (regular) | Y3 = 43 Y, =*1

go

| v29 = *, (dobra)

x?

| Y3 = *3 í _x

ne

1,1,0 — : Y2 = *, _(cúspide) YyY =

x?

+ x 3

43,

,T* *3

(42)

33

3 2

(iii)

Seja f;: R > R

plicação, em qualquer ponto, é equivalente a um dos

los:

3 I“

si Y> = É*7 . Y, = *. 2 tt. 2+t 2 $2 77 *2 *3

“4

p2/1,0 ' 2 * 2 + 3 + Y2 TF 7X2 7%; Xx7 “3

I.17 - EQUIVALÊNCIA DE IDEAIS

Definição:

("dovetail")

aplicação

estável,

O _germe dessa _a

mode

Sejam I e J ideais em

e,

T ê equi

valente à J se

existir

à:

_E

? En"

R - álgebra

tal

_que 9 (1) = OU.

(43)

CAPÍTULO 11

STMBOLOS DE BOARDMAN PARA _q-UPLAS DE APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS

II.1

- CONSTRUÇÃO DO SÍMBOLO DE BOARDMAN PARA UMA _q-UPLA DE

APLICAÇÕES DIFERENCIÁVEIS

P

gre

£

):(R%,O) + (RR) x

P, Pq

x R XxX

...

X R 3,0), seja I = (Ts Ta,

e...

TJ) uma q-upla de

Dada

_(E.

£

ideais em M, x M. XK .... XX _NM.

(a-fatores),

com _IT,

s<fiyo

fi2'

f _ee., f >

=

22' . 2P,7

1,

....r

Tq

=<f

7

faã2º'

Consideremos _{(X,, Ko}

ce

x)

um

sis

tema de coordenadas em 0 ER" e

sejas

_{> 1,} um número

inteiro.

Definimos _a.

Is

(A, _Ty

2

Ia,

e...

7 à,s

1),

tal

que A LT, 1

<iígq,

é definido como sendo o

"q

i'

ideal IT; +IT',

_i

e

T',

ê o ideal gerado por todos os menores sx s

das _{matrizes jacobianas:}

3 f

(

a)

_onde

fe!

ox.

Teorema:

"A q-upla de ideais

_à,

TI, definida

a-cima, não depende da escolha do sistema de _geradores dos ideais

1

<i<

_q".

Prova:

Faremos _para o caso 1 _<

i

_< 2,

Caso 1:

(44)

ge-35

rados:

Dados os _pares _(fa,

£,);(£,,

_£,) :

n P7 P2z

: (R,/,0) > (R x R “,0) consideremos o _par de ideais

fini-tamente gerados I = _(Ty, _Io) com:

1

= <

fio

....

fp

>? = <fiao

....

_fp,

> e

I,

=.«

fo

_e..,

_op,

> E C<

2. e...

_ap,

>

Sejam (Xi, Kyr

ce

x”) um sistema

: n

= . s

de coordenadas em O _e R

es

_> _1, um _numero

inteiro.

Mostremos que o _par de ideais

a

I=

(A, I

AT

s "1º "s 1, 2

'

. y .

2)" sendo d. IT; o ideal IT; + I

oo

e

_T';

o ideal _{gerado por todos} os menores s x

s,

respectiva-mente, das _{matrizes jacobianas:}

qua --— r —

É,

df.

df,

dx, 9X, _9x. 9X, df df à f

E

tp,

lp,

2P>, 2P, dx, 9X, _dx, 9X,

coincide com o _par de ideais _gerados _pelos _novos

(45)

36 - - - xr - - o

df

_o

É

9£.7 ++

fx

(**) _dx. _IX, _dx, _dx, : : _e : : 9 f of 3 É of

lp,

1P, 2P, 2P, dx, dx dx dx

Lo

_|

Lo?

]

É

suficiente

_provar _que qualquer _par

gerado pelos menores s x s das matrizes (**) _pertence a _às IL.

Cada componente _f13 e Hhl_fx

do _par

(E;

És)

pode ser

escrita,

respectivamente, como combinação

linear

das componentes

f,,

e _£f,, do _par _(Ego

fg)"

com

coe-ficientes

em _En

Assim, cada derivada

parcial

df;

e ox

_r

95x

pode _ser

escrita,

_{respectivamente,} com a mesma

combi-dx_r

-

df,

9£,s

naçao

linear

de e » Usando a multilinearidade

dx

_r

dx_r

do _{determinante, qualquer par} _gerado _pelos menores s x s de

(**) _pertence _{a A,}

I,

definido no

início

da _{demonstração.}

Portanto, o _par de ideais _ALT não

depende da _escolha do _sistema de _geradores _que formam O par

(46)

37

Caso 2:

Os ideais _IT. e _Ia não _{necessariamen}

te

finitamente gerados.

n

=

<£,

1 a E À.

= > _.

I,

<Ig 1 BÊeEB

<£

= <

£,

_e _<Ig? = < _98?

Neste _caso, a técnidá-se aplica _ana

logamente.

A _prova é análoga para uma q-upla de

ideais I = _(Ti,

Ia

e.

_Ta):

Observação:

O.l: Para _I =

(Io

_Ly

_e...

_TJ) _e

a

TI _(Ag _Tao

e...

_ag

_Ih),

temos _que:

AI

=1Tquandos

>ne

são válidas _as _inclusões _de _q-uplas de

ideais:

1TCA 1 _A &S Exemplo:

Seja _(£,, _£,) : (R4,0)> (Rx RO)

definido _por: (x,y) » (xy, xº + vo).

Is

(Ty,

Ia),

TI, = <£.,? = <xy>

2

I,

= _<£,”? =<x +

y>

(47)

38

AI, = <X + _yÓ, _x, y>

=<x,y>

CO AÇI OS (<Xx,

y>,

<x, Y>)

271771 2212)

4 IT= _(TI, _1,) = 1

Portanto, à,

I=T,sS>

22.

II.2

- DEFINIÇÃO

Dada uma q-upla de

ideais:

I=

(Ty, Ty,

ee.

To) Cc NM, x _M, x _e... X _M.

(q-fatores),

ado

taremos a notação:

API = A ₌ _(A A

n-s+l

T

n-s+l

Ty

n-s+l

Ta

Fer

2

1

) e denominamos

a

II, 0 _LI;

...,

az

exten

n-s+l

Tq

soes _{jacobianas sucessivas} da _q-upla de _ideais

[.

Pelas inclusões anteriores (ver O.1l,

pag.37), são válidas:

A q-upla de ideais I é chamada

pró-pria

quando _1, É

e,

1

<i

_“<q.

Suponhamos que I = _(Ty,

Io

es

_Io)

seja própria.

A extensão jacobiana

crítica

da

pri

i

meira componente _1, é o último ideal à * _{1, pertencente} à

(48)

39

i

petimos o _{processo para} O ideal à 1 _Tn, _.

7

à, [ TI, é o ideal gerado por

ti

À _IT, _e pelos menores s _x s da matriz formada pelas

deri-vadas

_parciais

_{desses geradores, relativamente} ao sistema

de coordenadas considerado.

Chamaremos _{essa matriz} de _"jacobi

j

à

il

_1,

ana" de AÀ

1, e denotaremos “por "Jac" (A

?-

Pelo Teore

i,

:

ma

anterior,

o ideal _às A _IT, independe da escolha dos

ii

geradores de A

Ty

Este ideal possui uma outra exten

i,

i

são _jacobiana

crítica

A 2 A 1 _IT, e assim, sucessivamente.

Desta forma, obtemos uma sequência

*

2

*1

os

: ;

crescente: À

L.,A

à

Ties

de exteénsoes jacobianas

críticas

sucessivas do ideal _IT, e dizemos que IT. tem símbo

lo de Boardman

_IJ

=

_(iz,

_àyo

e..).

Analogamente, _para à segunda

com-ponente de

_I,

obtemos uma seqtência crescente 5

Ia

32 31 |

6 dAGOb: :

0, AIEA

Io,

eee de extensoes jacobianas

criticas

suces-sivas do ideal

_I,

e dizemos que

_I,

tem símbolo de Boardman

JIJ, =

Gy

32"

...)

e assim, sucessivamente, para as

de-mais componentes de [L.

Definimos _o _símbolo de Boardman _pa

(49)

40

(J77 J27

e...

_q

II.3

- DEFINIÇÃO

O simbolo de Boardman para uma

n P1 P2

q-upla de _germes

_(£,

_2”

_ec... _£z) :

(R,

0) > (R x

Rx

Pp

x

...

x

R$,

0) é definido _por

(Jj;

_Tai _«.+;

_Jo),

sendo

J,

o simbolo de Boardman do ideal:

f.

I = <f _,

....

à

<i<

i2

_ip,

f.

i1'

Exemplos: Cálculo do símbolo de Boardman _{para pares} de _ger mes. Exemplo 1 Seja

_(f,,

£₂₎ (R2,0) + (Rx R,0O) definido _por: (x; y) DD (Xy, xº + yº) H H FP- HNM Qo= H W" _H " <xy> 1, = TIL

=<xº+

yº> 1. Símbolo de Boardman de £f.: Jac (f,)) = _[y _x) 1, =

n

8, Ty = <Xy, X, y>=<X, Yy>

(50)

O = — AT, =

A;

=

T

1 -A _IT ₌ à, _Tn, = 1

l

nº₁ ₌ A, T) sS<x > 1 1*1 1Y 3 Il, — — dd _TLo= à, IT = _TI =<Xx,

y?

2

l

(o "Jac" (A _IT) = (. 1 2

2

8, A _LT, ₌ À _TI. 2

da

nn

_sex,

y,1,0

A, Ml Tr =<x 1> 2

l

Yo

2 2 = A >

LAT

17: SL o, ,2 — 2 — AA

_I,

= à; A T, ₌

1,2

_- 2 _—

ATA _IT, = _à, A _{IT, =}

2. Símbolo de Boardman

Jac (£,) = [2x 2y

à, IT, = TI,

41

Repetindo O processo para

a,

=

<l>

O simbolo de Boardman de _£, ê (2,0).

(51)

42 à.

_Ia

E <x” + vê, 2X, 2y > ₌ < _x, _y?> à

I,

= _Ta,

s>2

0 _—. _L A

I,

₌ _à; _T, ₌

I,

1 _— — A

I,

₌ _À, _1,

=“,

NE

= À IT = <x >

27

= 2 2 1 *2 XY

7 IL

=A II,

=

Repetindo O processo para nº? _Il, =

=<x,

_y>,

pelo item 1, obtemos: _j2 = 0,

O símbolo de Boardman de É, ê (2,0). Portanto, o símbolo de Boardman do

par

_(E,

f

Exemplo 2:

Seja _(£,, £,)₂ : (R2,0)>

(Rx

R,0O)

definido _por:

(x, y) >

(x?

+

vo yº),

yº)

I=

(1 I)) com IL. = I =<x + 2

3,

71' 2 1

f,

Ya Y

2

Il, = ITQ

=<y'>

2 _É,

l.

Símbolo de Boardman de _£,:

2

Jac

_(£)

= 3X _2y